跳躍過程與隨機利率下之信用違約交換訂價模型

國立交通大學

財 務 金 融 研 究 所 碩 士 班

碩士論文

跳躍過程與隨機利率下之信用違約交換訂價模型

Pricing Credit Default Swap with Jump-diffusion Process and

Stochastic Interset Rate

研 究 生: 邱銘輝

指導教授: 王克陸 博士

跳躍過程與隨機利率下之信用違約交換訂價模型

Pricing Credit Default Swap with Jump-diffusion Process and

Stochastic Interset Rate

研 究 生: 邱銘輝 Student: Ming-Huei Chiou

指導教授: 王克陸博士 Advisor: Dr. Keh-Luh Wang

國立交通大學

財務金融研究所碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Graduate Institute of Finance

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master of Science

in

Finance

June 2006

跳躍過程與隨機利率下之信用違約交換訂價模型

學生 : 邱銘輝 指導教授: 王克陸 博士

國立交通大學財務金融研究所碩士班

2006 年 6 月

學生： 邱銘輝 指導教授：王克陸博士

摘要

本篇論文提出在資產價值滿足跳躍擴散過程且無風險利率為CIR架構下的 信用違約交換契約的評價模型。並提出在此一模型假設下如何利用拉普拉斯轉換 及逆轉換求得違約機率及信用違約交換價差的近似解。同時，本研究亦比較了跳 躍擴散過程及傳統擴散過程對違約機率及信用違約交換價差所造成的影響。 在模型驗證方面，本文使用美國S&P500其中四十三個公司資訊來進行分 析，並同時比較了在跳躍擴散過程與傳統擴散過程下信用違約交換契約之訂價誤 差。本研究發現當資產滿足跳躍擴散過程時，訂價誤差遠比傳統擴散過程來的小。 關鍵字： 跳躍擴散過程、傳統擴散過程、拉普拉斯轉換、拉普拉斯逆轉換、二 階變差、信用違約交換。

Pricing Credit Default Swap with Jump-diffusion Process and

Stochastic Interset Rate

Student: Ming-Huei Chiou Advisor: Dr. Keh-Luh Wang

Graduate Institute of Finance

National Chiao Tung University

June 2006

ABSTRACT

This thesis suggests that asset value satisfies jump-diffusion process and that risk-free rate follows CIR process is the CDS assessment model. It also points out the way to obtain the approximate formula to the probability of default and CDS spread from the Laplace transform and the inverse of Laplace transform. Meanwhile, this research compares the effects that the jump-diffusion process and diffusion process have on the probability of default and CDS spread

As for the test of the model, this thesis analyzes the data based on forty-three companies out of American S&P500. It compares the pricing error of CDS under the jump-diffusion and diffusion process. The study shows that as the assets value satisfy the jump-diffusion process, the pricing error is far less than diffusion process.

Keyword: jump-diffusion process, diffusion process, Laplace transform, the inversion of Laplace transform, quadratic variation, credit default swap

誌 謝

二年的研究所生活或許說不上是多采多姿，但還是有著許多讓我感動、 開心的人事物。在這二年中很高興認識了每一位同學、學長姐、學弟妹，也 很謝謝所上每一位老師這二年來的教導。 本篇論文的完成，真的得好好感謝老師、同學及學長姐的幫忙與鼓勵。 感謝王克陸老師在這二年來的教導，老師在這二年中不止帶給了我許多知 識，也讓學生我從接觸竹商銀的計畫中了解到許多理論與實務上的差距與困 難處。謝謝陳達新、韓傳祥、張焯然三位口試老師抽空審查我的論文，並在 口試時給了我許多意見，讓學生發現一些自己所沒注意到的問題。謝謝陳煒 朋學長總是不厭其煩地幫我抓資料、整理資料；謝謝戰哥三番二次地幫助我 整理資料，給予我許多財務上的建議；謝謝妃君總是在忙碌之餘撥出時間幫 我抓資料，並主動關心我的進度，讓人倍感溫馨；謝謝孟男在下班之後能夠 繼續留在公司為我抓取 CDS 的資料，在我論文忙的心煩意亂之時，能夠陪 我一同舒壓解悶；謝謝波哥、阿國能夠在我搬離宿舍無家可歸之時，給了我 一個安身之所，讓我可以繼續完成我的論文；謝謝文淇與佳芸這二年來為我 們處理了所上大大小小的事務。 另外，還要謝謝小倢總是很熱心地幫我買藥，並且幫我注意每個地方的 價錢，讓人覺得妳真是一個熱心助人的好朋友；感謝我的好友 Teresa 即便 是在工作忙的焦頭爛額的時候，仍然二話不說地幫我解決英文上的問題。謝 謝瑞娟、惠華、儀貞、志揚、小素、慧妤、忠穎、柏釣、柏豪、家農及怡文 在這二年中陪我渡過了許多歡樂的時光，在每次的出遊時總是不會忘了我。 謝謝依依常常鼓勵我並為我抱屈。還要謝謝我大學及研究所的學姐婉儀，謝

謝妳當初告訴我許多推甄時該注意的事項，謝謝妳時常為我打氣加油並關心 我論文的進度，最重要的是謝謝妳當初陪我去看我雪狼湖音樂劇，讓我渡過 了一個永生難忘的浪漫雪狼湖之夜。最後，還要謝謝我的家人，謝謝你們的 鼓勵、支持與照顧，讓我可以無後顧之憂地完成學業，之後我會好好報答照 顧你們的。

目錄

中文摘要... I 英文摘要...II 誌謝... III 目錄... V 表目錄...VII 圖目錄... VIII 第壹章、緒論... 1 1.1 研究背景...1 1.2 研究動機...2 1.3 研究目的...3 1.4 研究方式...3 第貳章、 文獻探討... 4 第參章、研究方法... 9 3.1 基本模型假設...9 3.2 信用違約交換契約之評價...11 第肆章、 違約機率與參數估計法... 15 4.1 違約機率的近似解...15 4.1.1 違約機率的拉普拉斯轉換...16

4.1.2 拉普拉斯逆轉換（The inversion of Laplace transform） ...16

4.2 模型參數估計方式...19

第伍章 比較靜態分析與模型驗證... 25

5.1 模型參數比較靜態分析...25

第陸章、 結論與建議... 31 參考文獻... 33

表目錄

【表 一】全球各類信用衍生性商品比例表...36 【表 二】信用違約交換契約實證資料...37 【表 三】估計參數平均值...38 【表 四】估計參數標準差...39 【表 五】跳躍擴散模型信用違約交換估計誤差表...40 【表 六】傳統擴散模型信用違約交換定價估計誤差表...41

圖目錄

【圖 一】全球信用衍生性金融商品流通餘額統計...42 【圖 二】：跳躍擴散過程與傳統擴散過程下違約機率之比較。...43 【圖 三】：跳躍擴散過程與傳統擴散過程下信用違約交換價差之比較。...44 【圖 四】：信用違約交換價差與違約回收率之比較。參數值分別為...45 【圖 五】：信用違約交換價差與槓桿比率之比較。參數值分別為...46 【圖 六】：信用違約交換價差跳躍頻率之比較。參數值分別為...47 【圖 七】：2003 年信用違約交換價差之估計值與真實市場上價格曲線圖...48 【圖 八】：2003 年信用違約交換價差之估計值與真實市場上價格曲線圖...49 【圖 九】：2003 年市場信用違約交換價差與違約機率比較圖(DOW) ...50 【圖 十】：2003 年市場信用違約交換價差與違約機率比較圖(WMT) ...51 【圖 十一】：2003 年市場信用違約交換價差與違約機率比較圖(IPG) ...52

第壹章、緒論

1.1 研究背景

銀行或金融機構在面對借款人的信用風險時，是以加強其徵信、分散授信、 限制個別授信額度或聯合貸款等方式做事前的控管。或是在放款後出售或證券化 其放款，以移轉借款人的信用風險。而所謂的信用風險即為合約的一方因對方無 法履行其契約上所規定之義務所造成損失的可能性。但由於受限於市場的流動 性，或銀行仍需和貸款客戶間維持良好的關係，使得其無法或不願出售該放款債 權。因此，信用衍生性金融商品便在此種環境下油然而生。藉由信用衍生性商品 銀行或金融機構不但可以移除或減輕借款人的信用風險，又可繼續持有標的資 產。 信用衍生性商品如信用違約交換、擔保債權憑證以及信用連動債券等有助於 經濟對於一些大事件衝擊的抵抗力；這些金融工具使得如美國能源巨人恩龍公 司、世界通訊、美國海底電纜公司、英國鐵路基建公司、瑞士航空等國際級企業 破產的不良效應可以較為分散，因而對金融市場的衝擊不致於發生巨大的骨牌效 應。 自1992 年紐約開始出現了信用衍生性金融商品這個名詞，但當時，這個市 場還不能算是存在。直到1995 年起市場交易才逐漸活絡，並由倫敦取得市場的 領導地位。至此，信用衍生性金融商品隨即快速發展，成為公司債及政府公債避 險的主要工具。英國銀行協會(British Bankers Association, 簡稱 BBA)公佈指出， 全球信用衍生性金融商流通餘額，從1997 年的 1, 800 億美元快速增加至 2000 年 的8,930 億美元。2002 年底時，全球成交量已達到 2 兆美元（2000 年時所預估 的成交量為1.5 兆美元）；2004 年底時更達到 5 兆美元左右。根據預測，2006 年

以前，成交量將會增至8 兆美元（參見圖一）。 表1，列出 2002 年時，各類型信用衍生性金融商品的市場佔有率

1.2 研究動機

信用衍生性金融商品發展之所以如此迅速，主要原因乃是由於信用風險高漲 導致規避及管理風險的需求日益增加。九零年代以前，信用風險並不是那麼地受 到人們重視，當時的投資人認為違約事件的發生僅在少數，且大都有跡可尋，更 別論是一連串大規模或地域性的集體違約事件。然而，隨著美國能源巨人恩龍公 司的崩塌讓全球為之震驚，緊接著泰科(Tyco)、世界通訊(WorldCom)、全錄 (Xerox)、默克藥廠(Merck)、必治妥施貴寶(BMY)等大型企業紛傳舞弊案，使得 一連串的企業發生破產或是信用危機；而國內信用情形亦是令人擔憂：海山集 團、長億集團、廣三集團、大穎集團等，至少有十六家企業曾發生跳票事件，七 大行庫於 1998 年十月總逾放金額亦創歷史新高，紅極一時的上市櫃公司如博 達、衛道、訊碟、皇統等皆紛紛中箭落馬。至此，使得投資人不得不逐漸開始注 意起違約風險的預估與轉移。自2007 開始，新版巴塞爾協定(Basel II)即將實施， 信用風險的課題已成為全球的熱門話題。 信用事件現已由 ISDA 標準化，其定義包括(1)無力付款 (2)破產 (3)違約履 行債務 (4) 拒付、延期償付 (5)重整 (6) 信用評等降級 (7)信用價差的改變。在 預估違約風險時，存在著一些先天上的困難，其包括了(1)違約事件的缺乏(2)違 約事件無法事先預期 (3)難以估計違約損失率。也由於上述的信用風險本身的特 性，導致迄今為止，信用衍生性商品的定價較一般的衍生性商品定價存有更多的 困難。有鑑於此，故本文便試著找出一種能夠將違約事件、違約損失率模組化進 而推算出信用衍生性金融商品的實作方法。

1.3 研究目的

本篇論文的研究目的，旨在提供評價信用交換契約的方法，並將原本只考慮 跳躍擴散之隨機過程，加入利率的隨機性跳動項於模型中，希望能提供一個較符 合市場的模型來計算信用交換契約的價值，使原本模型的假設條件可以放寬，更 具一般性。

1.4 研究方式

信用衍生性金融商品在近幾年來已受到市場廣大的注意，其為一種收益取決 於一個或多個商業實體的信用之契約。信用衍生性金融商品是一項用來轉移、規 避及管理信用風險的衍生性金融商品。近年來也發展出許多模型來為這些金融商 品訂價。在本文中，我們將會以可用於信用衍生性金融商品定價的跳躍擴散模 型；這個模型是以Scherer 於 2005 年所提出的「Efficient Pricing Routines of Credit Default Swaps in a Strucutral Default Model with Jumps」為基礎。該文中，假設跳 躍幅度滿足雙邊指數分配，且無風險利率為常數，並以拉普拉斯轉換及其反轉換 求出違約機率，進而求算出信用違約交換契約價格。

以下我們先介紹目前信用衍生性商品中成交量最大的商品信用違約交換契 約是如何運作的。信用違約交換契約(credit default swap, CDS )是提供對抗特定公 司違約風險的保險之契約，特定公司稱為參考實體，這個公司發生違約稱為信用 事件，保險的購買者在信用事件發生時，可以用面額出售這家公司所發行的特定 債券，這個債券稱為參考債券，債券可出售的總面額則稱為交換契約的名目本金。 信用違約交換契約的購買者會定期支付給出售者直到 CDS 的期末或是直到 信用事件發生時。信用事件通常會要求買方支付最後的應計金額，然後這個交換 契約就會以實體或現金交割。如果交換契約的條款要求實體交割，交換購買者會 交割債券給出售者以得到債券面額；如果要現金交割，計算單位會探詢交易者以

決定信用事件發生後幾天的參考債券之中期市場價格Z, 則現金交割是名目本金 的(100 – Z)%。 信用違約交換可以成功的規避掉信用風險，之後我們將改放寬Scherer 的模 型假設，允許利率為一隨機變數。

第貳章、 文獻探討

違約風險的分析在公司債、交換契約、信用衍生性商品的定價中扮演了一個 相當重要的角色。 衡量公司違約風險的模型基本上分成二大類：一為結構式模 型（structural form）亦稱為公司價值模型（firm’s value models），另一類則為縮 減約模型（reduced form）亦稱為違約強度模型（intensity model）。

結構式模型主要是由Merton(1974)所提出。Merton 將 Black及Scholes(1973) 所提出的選譯權評價理論應用到信用風險的衡量上，認為企業舉債經營可比擬為 股東向債權人買進一個買權，買權的標的資產為公司資產價值，履約價為負債， 則當負債到期時，若公司資產的市值低於負債價值，則股東會選擇違約，而公司 資產不足以清償負債的機率即為違約機率。但此一模型的缺點為假設了公司違約 只發生在到期日當天，明顯地與現實不符。 Black與Cox(1976)放寬了此一假設，在模型中加入了違約的門檻值的設定。 一旦公司資產價值下跌至門檻值以下，即發生違約。此一設定大大地改良了 Merton模型的缺點 使得違約亦有可能發生在到期日之前。 Longstaff與 Schwartz(1995)推廣了Black與Cox的模型，考慮了短期無風險利 率為一滿足Vasicek process之隨機過程。此外，他們將違約回收率設定成一外生 變數；藉由設定不同的違約回收率以應用在評價各種不同求償順位之零息債券價 格。Longstaff與 Schwartz推導出一評價固定與浮動利率債券價格公式，並在定價 與避險公司債間發現了一些有趣的現象。舉例來說，他們發現違約風險與利率間

的相關性對於信用價差俱有顯著的影響效果。 結構化模型的概念為當公司的市場價值掉落至負債的門檻值以下時即發生 違約而Merton-Black-Cox-Longstaff-Schwartz的模型中假設公司資產價值遵從一 個擴散過程（diffusion process）。此模型最大的好處就是可以直接透過公司資產 的價值來衡量有違約風險的公司證券，例如可轉換公司債、可贖回公司債等等； 然而，在實際運用時卻也存在著一些困難；首先，公司資產無法直接觀察其價值， 因此很難找到一個合適的隨機過程來補捉公司價值的走勢；其次，公司發行的風 險性債券，通常具有不同之求償順位，增加了評價的困難；最後，Jones, Mason 與Rosenfeld(1984)發現當公司價值滿足擴散過程下其預估的短期信用價差（credit spread）是遠低於市場上的實際值。而造成此一現象的主要原因是擴散過程為一 連續的隨機過程，故在此一隨機過程下，公司資產價值不可能無預期地在一瞬間 掉落至違約門檻值下，因此其短期的違約機率為零。既然公司在短期間不可能違 約，所以其預期的信用價差自然為零。 Zhou（1997）解決了模型裡，短期的違約機率接近於零的問題，理由是如果 公司的資產價值服從連續擴散過程，短期內碰觸到違約界線的機率幾乎是零，所 以 Zhou 將不連續的跳躍過程加入原先的模型，對突然發生違約的情況提出合理 的說明。因此，一個含有跳躍風險的結構化模型能夠合理地預測出短期公司債的 信用價差曲線，如上升型、下降型、水平型及峰狀的曲線。

與 結 構 式 模 型 相 反 ， Duffie 與 Singleton(1994) ， Jarrow 、 Lando 與 Turnbull(1994)，Jarrow 與 Turnbull(1995)等人則是採用縮減約模型。他們並不直 接考慮公司價值與違約事件之間的關聯性。而是視違約事件為一個無預警的卜瓦 松事件（Poisson event）。簡而言之，縮減約模型通常能夠配適出較結構式模型更 接近現實的信用價差。 Das(2001)將縮減式模型分成三大類。第一類為違約模型 （Default models），其假設違約率滿足一隨機過程。價差模型(Spread models)則 是將風險拆解成二部份，一部份為信用風險，另一部份則為違約回收率風險。最

後一類為信用評等模型(Credit rating models) 考慮了公司評等改變的變動。 Jarrow 和 Turnbull(1995)首先提出違約強度滿足一卜瓦松過程。假設N t

( )

為 t 時間點時，發生跳動的次數。且在一段很短的時間Δt內，發生跳動的次數為零 或是一，在這段期間內發生一次跳動的機率約與時間成λ 倍的比例關係。也就是

(

)

( )

(

)

( )

P N t+ Δ −t N t =λt+o t 則可以得出

( )

(

)

( )

t nexp_!

(

t

)

P N t n n λ −λ = = 則我們稱N t

( )

為一個強度為 λ 之卜瓦松過程。Jarrow 和 Turnbull 將違約看作是 一個卡瓦松過程發生跳動，而以出現第一次跳動之時點視為違約時間點。

Jarrow、Lando 和 Turnbull (1997)推廣了Jarrow與Turnbull的模型，考慮信用 價差的期間結構為一馬可夫鏈。假設信評機構能夠給予企業正確的信用評等等 級。他們使用了企業直到破產為止前的不同信用評等間的之變動去估計評等轉換 機率。讓Q為一K乘K的馬可夫鏈轉移矩陣定義成 其中

q

i j,

≥

0

對於所有 ,i j ， i≠ 。j q 表示在下一個時間間隔後，由狀態 i 至狀i j, 態 j 的機率。評等最高為 1，最低則為 K-1；狀態 K 代表違約，也就是馬可夫鏈 的吸收狀態。在無套利機會的假設下，我們可得出風險中立下的轉移矩陣 Q，其 第i 列第 j 行元素為qij

(

t t, + =1

)

πi

( )

t qij。若令τ 為公司破產時間點，則可推導出

存活機率為

(

)

( )

, 1

( )

, i t iK iK j K Q τ T q t T q t T ≠ > =

∑

= −  _ 此外，

( )

,

( )

,

(

(

1

) (

_t

)

)

B t T =B t T δ + −δ Q τ >T 為該公司在評等i 時所發行之零息債券價格，其中B t T

( )

, 無風險零息債券價格， δ 為違約回收率。 Madan與Unal(1998)延續上述之作法，將違約強度假設成隨機，並且利用借 貸市場中存款利率的資訊來估計該隨機過程的參數。 Duffie 與Singleton(1999)以Madan與Unal的模型為基石，令h 為在風險中立_t 機率測度下之危險率(hazard rate), L 為在時間t資訊下的期望損失。則在一段極t 小時間間隔t內違約發生的機率為h t_tΔ 。Duffie 與Singleton假設債權人的違約回 收率為隨機項，且滿足RMV模型（recovery of market model）。藉由上述條件， 他們能夠評價出債券價格滿足

( )

0 exp

(

₀

)

T P u B T =E ⎡_⎢ − R du ⎤_⎥ ⎣

∫

⎦  接著由Lando(1998)發展出一個建購在Cox隨機過程上的方法，用以衡量信用衍生 性商品的價值。假設卜瓦松過程的違約強度為一隨機項，且允許危險率和無風險 利率具有相關性。

Schönbucher 考慮一般化的情況中，多次違約(multiple default)是可能發生 的，它假定違約發生後該公司的資產並不會馬上被清算，而是經過協商重組後仍 繼續存活，其價值則為原來價值的某一隨機比例，該比例又稱作回復率（recovery rate)。其它實證相關的文章則尚有 Düllmann et.al.（1999），在這些文章中，都

第參章、研究方法

經由上述文獻回顧，我們不禁會想問：「是否我們可以設定一個模型同時具 有縮減式與結構式模型的優點？」本章將介紹關於信用違約交換契約評價模型， 共分為二部分。第一部分為基本模型假設，第二部份為信用違約交換評價方式。

3.1 基本模型假設

本節延伸 Metron-Black-Cox-Longstaff-Schwartz 的模型，假設公司資產價值 滿足一個跳躍擴散過程。下述假設可為本文提供了風險性資產訂價公式的一般架 構。Zhou（1997）中假設了資產跳躍幅度滿足對數常態分配；然而在此一模型設 定下，卻無法找出風險性資產價格公式下之解析解。Scherer（2005）改良了此一 缺點，假設資產跳躍幅度為一雙邊指數分配，利用拉普拉斯轉換（Laplace transform）得出在此模型下違約機率的逼近式，並得出在無風險利率為常數下， 違約交換契約定價公式的公式解。

模型假設一

讓V 表示公司資產總市值。資產價值 V 服從一跳躍擴散過程

(

)

1 t dV r dt dW YdN V = −λυ +σ + 其中λ 和 σ 為正數。W 為標準布朗運動，₁ dN表示強度為λ 的卜瓦松過程。跳躍

幅度Y 滿足雙邊指數分配（two-sided exponential density）

( )

1 _{{ }}

(

)

2 _{{ }} 1 1 0 1 2 1 0 y y y y f y = p eλ −λ _> + −p λeλ _< 其表示 Y 有 p 的機率向上跳躍，向上跳躍幅度滿足指數分配，其參數為λ 。同₁ 理，Y 有1 p− 的機率向下跳躍，往下跳躍幅度亦為指數分配，其參數為λ₂。 , t t dW dN 和Y 彼此間相互獨立。υ 表示資產平均跳動幅度，也就是

( )

1 2 1 p p E Y υ λ λ − = = − 此一假設隱含著將資產價值拆解成兩種變化：一種為「常態性」的波動，此 變動的原因主要是由於經濟環境逐步的變動所造成公司價值邊際性(Marginal)的 變化，如暫時性的價格失衡、經濟展望的改變、利率之變化、或其他新的消息到 來而造成。簡單的說，此種因消息面之變化而對每單位時間之價值改變可說是一 幾乎確定的邊際變化。此種變化是可用幾何布朗移動模型來解釋，其每單位的變 異數是固定的，而且有種連續性的樣本走勢。第二種則為一「非常態性」跳動， 是由一突如其來的消息對資產價值造成非邊際性的變化。通常此種消息的到來是 一「非連續性」的，此變化可由「跳躍」行為來反應資產價值對消息面所造成之 非邊際性改變。

模型假設二

資本資產定價模式（CAPM）成立。CAPM 是適用於均衡情況下 證券報酬，而公司資產價值跳動部分是屬於公司特有情形與整體市場無關。

模型假設三

我們假設在一個完美、無摩擦市場上任一時點皆可進行交易，且 無套利機會存在。

模型假設四

Modigliani-Miller 定理成立，資產價值與其資本結構無關。

此一假設為Merton(1974)和 Longstaff 與 Schwartz(1995)中的標準假設。公司 資本結構的改變不會影響到公司價值；換言之，公司資本結構可視為由多種不同 或有求償權（contingent claims）所組成。模型假設四隱含的想法為資本結構不隨 著時間而改變。此一想法可根據模型假設三的條件下得知企業並沒有任何動機去 修正其資本結構。

模型假設五

根據Black 與 Cox(1976)，我們假設對於每一家企業，存有一個違 約門檻值K。當公司市場價值 V 恆大於 K 時，公司可持續正常營業；然而一旦

公司價值V 小於或等於門檻值 K 時，即發生違約。此時，公司要立即履行其債 務，並進行重組（restructuring）。 模型假設五中亦表示一旦違約事件發生，即代表對所有發行之債券同時違 約。

模型假設六

我們假設當一家企業違約時，則手中握有該企業之債券持有人， 將可立即收回債券面額乘上某一介於零一之間的常數R。我們稱該常數為違約回 復率（recovery rate）。並在本模型中假設其值為一已知常數。

模型假設七

假設無風險短期利率滿足Cox-Ingersoll-Ross 模型，亦即

(

)

r 2 dr=κ θ−r dt+σ rdW 其中κ、θ 及 σ 為正數。θ 代表著利率的長期平均水準；κ 表示利率返回其長期 平均水準的速度，σ 為無風險利率波動性，W 為標準布朗運動。 ₂

模型假設八

假設無風險利率與違約事件獨立。

3.2 信用違約交換契約之評價

本節將著手介紹在跳躍擴散過程下信用違約交換契約之評價方式。當我們針 對信用交換契約進行定價時，必須考慮在契約期初的時點，由於預期的現金流入 等於預期的現金流出，而且並沒有其他現金流量的發生，所以此時契約本身沒有 任何價值，亦即市場價值為零（不考慮交易成本），這個階段所要決定的是該契 約之買方於固定時點應支付的費用為多少，也就是契約期初的合理價格為何，即 一般所謂的信用交換價差（credit swap spread）或信用交換貼水（credit swap premium）。因此，本研究必須針對保護買方及保護賣方未來的現金流量來考量 信用交換價差的計算。

首先，本文先考慮保護買方未來所面臨到的現金流量問題。當發行公司債之 企業發生信用違約事件時，交換契約之買方將可從保護賣方那受到本金乘上

(

1 R−

)

之賠償金額；在此，為了簡化起見，本研究直接假設本金為一元，且此契 約終止時以持有的債券現金交割。因此，保護買方對於此交換契約未來的期望價 值折現即為

(

1

)

0 ( ) _{{ }} b b r s ds T E R e I τ τ − ≤ ⎡ _∫ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 另一方面，保護買方在契約開始至結束或是違約事件發生前為止，需定期支付信 用交換價差予賣方以換取信用風險的保障。為了簡化起見，假設保護買方在契約 有效期間連續付息給予賣方。我們以s表示買方所支付出的貼水，則保護賣方對 於此交換契約未來的期望價值折現即為 ( ) { } 0 0 t b T r s ds t E⎡_⎢ se−∫ I_{τ >} dt⎤_⎥ ⎣

∫

⎦ 。 在市場不存在套利機會的假設下，買賣雙方對於交換契約的期望價值應是相 等的。故我們可得到

(

)

0 ( ) _{{ }} 0 ( ) _{{ }} 0 1 t b b b T r s ds r s ds T t E R e I E se I dt τ τ τ − − ≤ > ⎡ _∫ ⎤ ⎡ _∫ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣

∫

⎦ 由於本研究假設違約回收率 R 為一已知常數且信用交換價差s亦為一固定常 數，因此我們可得到

(

)

0 ( ) _{{ }} 0 ( ) _{{ }} 0 1 t b b b T r s ds r s ds T t R E e I sE e I dt τ τ τ − − ≤ > ⎡ _∫ ⎤ ⎡ _∫ ⎤ − _{⎢ ⎥}= _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎣

∫

⎦ 經過整理後可得

(

)

( ) _{{ }} ( ) { } 0 0 0 1 b b t b r s ds T T r s ds t R E e I s E e I dt τ τ τ − ≤ − > ⎡ _∫ ⎤ − _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ = ⎡ _∫ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣

∫

⎦ 上式即為信用交換價差之一般式，接下來我們分別考慮分子與分母的估計方式。

首先，我們可利用貝氏公式將分子 0 ( ) _{{ }} b b r s ds T E e I τ τ − ≤ ⎡ _∫ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦整理如下： ( ) { } ( )

(

)

( ) (

)

0 0 0 0 , b b t r s ds T T r s ds b b T b E e I E e t dP t D r t dP t τ τ τ τ τ − ≤ − ⎡ _∫ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ _∫ ⎤ = _⎢ ≤ _⎥ ≤ ⎣ ⎦ = ≤

∫

∫

上式中D r t

( )

, 代表著折現因子。在估計上式時，我們可利用Riemann-Stieltjes sum 去逼近

( ) (

)

0 , T b D r t dP τ ≤t

∫

，也就是

( ) (

)

(

) (

(

)

(

1

)

)

0 1 , n , T b k b k b k k T D r t dP t D r t P t P t n τ τ τ ₋ = ≤ ≈

∑

≤ − ≤

∫

違約機率的估計之後將在第肆章違約機率的估計演算法4.3 中介紹。 分母 0 ( ) _{{ }} 0 t b T r s ds t E⎡_⎢ e−∫ I_{τ >} dt⎤_⎥ ⎣

∫

⎦的部份則可化簡如下： ( ) { } ( ) { }

(

)

( )

(

)

( ) (

)

0 0 0 0 0 0 0 By Fubini's Theorem , t b t b t T r s ds t T r s ds t T r s ds b b T b E e I dt E e I dt E e t P t dt D r t P t dt τ τ τ τ τ − > − > − ⎡ _∫ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ _∫ ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎣ ⎦ ⎡ _∫ ⎤ = _⎢ > _⎥ > ⎣ ⎦ = >

∫

∫

∫

∫

( ) (

)

0 , T b D r t P τ >t dt

∫

的數值積分估計式建議可採用 Simpson 3 8 rule 求得以便擁 有較快的收斂速度。綜合前面二式的結果，可以得到跳躍擴散過程下信用違約交 換價差

(

)

( ) _{{ }} ( ) { }

( ) (

)

( ) (

)

0 0 0 0 0 1 _{(1 ) ,} , b b t b r s ds T T b T T r s ds b t R E e I R D r t dP t s D r t P t dt E e I dt τ τ τ τ τ − ≤ − > ⎡ _∫ ⎤ − _{⎢ ⎥ − ≤} ⎣ ⎦ = = ⎡ _∫ ⎤ _> ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∫

∫

∫

另一方面，我們尚需考慮折現因子D r t

( )

, 的問題。此時的D r t

( )

, 為一個一 般化的折現因子，也就是說此折現因子可以依模型中對於無風險利率的假設而變 動。若是假設無風險利率為一常數，則D r t

( )

, =exp

( )

−rt 。而本文在 3.1 小節基 本模型假設七中假設無風險短期利率滿足 CIR 模型；因此，本文的折現因子

( )

, D r t 的式子為

( )

, exp

(

)

D r t = A −Br 其中

(

)

( ) (

)

(

( )

)

2 2 2 exp 2 2 exp 1 exp r r r t A t t κθ σ κ λ γ γ γ γ κ λ γ γ ⎡ ⎛ + − ⎞ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ = ⎢ _{− + + + − −} ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

( )

(

)

( ) (

)

(

( )

)

2 1 exp 2 exp _r 1 exp t B t t γ γ γ κ λ γ γ − − = − + + + − −

(

)

2 ₂ 2 r γ = κ λ+ + σ 有了上述定價模型及其求解的工具，我們便可以針對信用交換契約市場進行 定價及比對的工作。本文將在4.2 小節中介紹模型參數估計方式，以便我們能求 出市場上CDS 的價格。

第肆章、 違約機率與參數估計法

4.1 違約機率的近似解

在評價一間企業的信用違約交換契約時，違約機率佔了極大的影響性。本小 節將闡述如何求出在跳躍擴散過程下違約機率的近似值，之後將可利用違約機率 去評量其信用違約交換契約價值。 由模型假設一資產價值所服從的隨機過程中，我們可得知

( )

0exp t t V =V X 其中X 表示資產的報酬率，並且滿足隨機過程 _t 2 1 1 2 t N t t i i X r σ λυ t σW Y = ⎛ ⎞ =_⎜ − − _⎟ + + ⎝ ⎠

∑

而X 期望值和變異數分別為 _t

[ ]

1 2 2 t E X =t r⎛_⎜ − σ ⎞_⎟ ⎝ ⎠ 及

( )

2 2 2 1 2 1 2 t p p Var X t σ λ λ λ ⎛ ⎛ − ⎞⎞ = _⎜⎜ + _⎜ + _⎟⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t

X 的動差生成函數（moment generating function）則是

( )

2 2 2 1

(

)

2 1 2 1 1 1 1 2 2 p p G x x r x x x λ λ σ λυ σ λ λ λ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = _⎜ − − _⎟+ + _⎜ + − _⎟ − + ⎝ ⎠ _{⎝ ⎠} 上述X 的定義及性質將能夠幫助我們解決違約機率估計上的問題。 _t

4.1.1 違約機率的拉普拉斯轉換

由於指數分配本身俱有無記憶性（memoryless）的特質，違約機率P

(

τ ≤t

)

的 拉普拉斯轉換可明確地推導出來。讓ϕ α 表示

( )

P

(

τ ≤t

)

的拉氏轉換，則

( )

₀ t

(

)

1 ₀ t

(

)

1 b b b e α P t dt e αdP t E e ατ ϕ α τ τ α α ∞ ₋ ∞ _{− −} ⎡ ⎤ =

_∫

≤ =

_∫

≤ = _{⎣ ⎦} 其中 0 log K b V ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠，τb =inf

{

t≥0 :Xt ≤b b, <0

}

表示企業發生違約的時間點。然而 我們要如何求出_{E e}⎡ −ατb⎤ ⎣ ⎦ 呢？Kou 和 Wang(2003)找出當α >0時，G x

( )

− =α 0 將會有四個解，假設這四個根分別為β_1,α、β_2,α、-β_3,α及-β_4,α並且滿足下列不等式： 1, 1 2, 0<β _α <λ β< _α < ∞ 及0<β_3,α <λ₂ <β_4,α < ∞ 。Kou 和 Wang 推導出其拉氏轉 換。Scherer 修改了他們二人的證明，得出當α >0且b<0時， 3, 4, 2 2 b b b E e⎡_⎣ −ατ ⎤ =_⎦ A e β α +B eβ α 其中 2 3, 4, 2 2 4, 3, A α α α α λ β β λ β β − = − 4, 2 3, 2 2 4, 3, B α α α α β λ β λ β β − = − 至此，Scherer 提出了違約機率P

(

τ ≤t

)

的拉普拉斯轉換式。

4.1.2 拉普拉斯逆轉換（The inversion of Laplace transform）

數。然而這對於我們要去估計違約機率而言是不夠的，本小節將要探討如何將

( )

ϕ α 轉回至違約機率P

(

τ ≤t

)

。Gaver-Stehfest 演算法可用來解決絕大多數拉普 拉 斯 逆 轉 換 的 問 題 。 接 下 來 ， 我 們 先 將 介 紹 二 個 分 別 由 Gaver(1966) 及 Stehfest(1970)所提出的定理，再闡述拉氏逆轉換的演算法。 Gaver 在 1966 年提出了拉普拉斯轉換函數和逆轉換間的關係式，我們在引 理4.1 陳述

引理 4-1(Gaver 1966)

假設 f 為一有界的實值函數，且在 t 點連續，ϕ表示 f 的拉氏轉換。並且定 義

( )

( )

₍

₎

( )

(

)

0 2 ! log 2 log 2 1 ! 1 ! n k n k n n n k f t k t n n = ϕ t + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟ ⎜ ⎟} −

∑

_{⎝ ⎠ ⎝ ⎠}  則

( )

lim _n

( )

n f t f t →∞ =  然而，Gaver 所提出的這個關係式要能夠成立，除了上述條件外，尚需要有 足夠大的項數n。這對於實際的應用產生了一定的困難。幸好，Stehfest 在 1970 年提出只要將 f_n

( )

t 給予適當的權重即能夠快速逼近真正的函數 f t

( )

。

引理 4-2(Stehfest 1970)

沿用Gaver 所採用的符號，Stehfest 找出一個在每一個 fk

( )

t 間給予適當權重 的準則，使得 f_n

( )

t 可以快速逼近 f t

( )

。Stehfest 選取了

( ) ( )

(

)

1 , ! ! n k _n k k n k n k ω − − = − 為

( )

k f t 權重，則

( )

( ) ( )

* 1 , n n k k f t ω k n f t = =

∑

 此外，

( )

( )

( )

* k n f t − f t =o n− Gaver-Stehfest 二人所提供之方法使得違約機率的估計可以從拉氏轉換與反 拉氏轉換中求得。Scherer 提出

(

)

*

( )

( )

( )

1 , n b n k B k P τ t f t ω k n f ₊ t = ≤ ≈ =

∑

 的近似法，其 中B= 稱作燃燒數（burning-out noumber）。接下來，我們將以上述所提之方法2 及定理估計違約機率。其步驟如下：

演算法 4-3（估計違約機率演算法程序）

步驟一：設定所有模型參數，包括n K、 、V、 、 、 、 、 、 、 及₀ μ σ λ p λ λ_{1 2} t k= ，B=21 。 步驟二：設定

(

n k

)

log 2 t α = + ，解G x

( )

− =α 0的二個負根得出−β_3,α及-β_4,α。 步驟三：利用步驟二所算出之β_3,α及β_4,α計算出拉氏轉換ϕ α

( )

1 _{E e} ατb α − ⎡ ⎤ = _{⎣ ⎦} 步驟四：計算 f_{k B+}

( )

t 及ω

( )

k n, 步驟五： 將k值加一，並重覆步驟二至五直到k=n為止 步驟六：

(

)

*

( )

( )

( )

1 , n b n k B k P τ t f t ω k n f ₊ t = ≤ ≈ =

∑

 Scherer 發現此一演算法收斂速度相當快，n=9的精確度便足以解決我們估 計上的困難。然而，此演算法卻有著一個不得不注意到的問題。此近似法對於

( )

0 G x − =α 所求之根敏感度相當高，換句話說，我們在實際計算違約機率的拉

氏轉換時，若所求出G x

( )

− =α 0方程式的解精確度不夠時，會造成估計上極大 的誤差。本人在實際運用此演算法時發現，所求出來的解−β_3,α及-β_4,α至少需到 小數點下十位的準確度，方能夠估出合理的違約機率值。 一般而言，我們會使用牛頓法來迭代求解G x

( )

− =α 0的二個負根，但。首 先，由於我們在實際操作時需要用到極高的準確度，因此會造成求解時間過長， 甚而影響到之後信用違約交換契約的計算時間。第二個則是牛頓法初始值選取上 的問題？要如何選取適當的初始值，以便能順利求出−β_3,α及-β_4,α。值得慶幸的 是我們可以把G x

( )

− =α 0轉換成一元四次方程式 4 3 2 4 3 2 1 0 0 a x +a x +a x +a x+a = 其中

(

)

(

)(

)

(

)

0 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2 4 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 a a p p a a a αλ λ λ λ μ σ λυ λ λ λ λ λ λ λ α λ λ μ σ λυ σ λ λ λ α λ λ _{σ μ λυ} σ = − ⎛ ⎞ = _⎜ − − _⎟+ − − − − + ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = − _⎜ − − _⎟+ + + ⎝ ⎠ − + = − + = − 配合上數學家 Ferrari 所提出之一元四次方程式公式解便可快速且精確地求出方 程式G x

( )

− =α 0的二根−β_3,α及-β_4,α。

4.2 模型參數估計方式

本小節的目的主要是提供一種跳躍擴散過程下參數估計的方法。一旦我們能

夠順利估計出模型參數，便能夠制定出合理的信用違約交換價差。正確的參數的 估計式將會大大地影響到我們所估計出來的契約價格。 首先我們先來想想一般的擴散過程是如何估計參數的。舉例來說，我們考慮 股價行為滿足擴散過程 t t t t dS =μS dt+σS dW 則由此我們知道股價報酬率必定滿足

( )

1 2 ln 2 t t d S =⎛_⎜μ− σ ⎞_⎟dt+σdW ⎝ ⎠ 因此，我們可以很合理地估計出股價的波動性σ為股價報酬率之標準差經由年化 而得，而漂移項則是股價報酬率之平均值加上1 2 2σ 。 然而，一般來說跳躍擴散過程參數估計並不像傳統擴散過程那麼容易。主要 原 因 是 因 為 此 隨 機 過 程 在 標 準 布 朗 運 動 之 外 又 多 了 複 合 式 卜 瓦 松 過 程 （compound poisson process）這一隨機項，使得參數估計變得困難重重。舉例來 說，考慮股價行為滿足跳躍擴散過程

(

)

t t dS dt dW YdN S = μ λυ− +σ + 且跳躍幅度Y 亦服從雙邊指數分配。則股價報酬率滿足

( )

1 2 ln 2 t t t d S =_⎜⎛μ− σ −λυ⎞_⎟dt+σdW +YdN ⎝ ⎠ 則我們可以發現此時股價報酬率之平均數仍為 1 2 2 μ σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠，但是變異數卻變成了 2 2 2 1 2 1 2 p p t σ λ λ λ ⎛ ₊ ⎛ ₊ − ⎞⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎜ _{⎝ ⎠}⎟ ⎝ ⎠。我們發現求解跳躍擴散過程的參數因難點在於只有二個 方程式，但卻必須去解六個未知參數。因此，倘若我們可以順利求出跳躍擴散過

程中跳躍隨機項Y 及跳躍發生率λ，則其它模型參數的求解便變的簡單了。 Benjamin Yibin Zhang, Hao Zhou 和 Haibin Zhu（2005）提出利用日內股價資 訊估計出複合式卜瓦松過程參數。其主要概念為使用高頻的權益報酬檢測出每日 是否發生跳躍及其大小，再利用這些資訊去估計出跳躍隨機項之參數。由於在財 務市場上跳躍事件的發生是罕見的，且一旦發生其產生之變動也是巨大的。因 此，我們提出以下三點假設：第一，一日之內最多只能夠發生一次跳躍事件；第 二，跳躍事件所造成之影響將會完全左右當日的股價行為。第三，股價發生跳躍 之頻率及跳動比率與資產相同。這三項假設除了滿足目前市場上的現況之外，也 是為什麼我們可以在資產價值的隨機過程中加入複合式卜瓦松過程的主要原因。 在過去的文獻中，每日報酬率的絕對值和每日報酬率的平方值，常被視為， 日波動度的指標。然而，Andersen and Bollerslev (1998)強調這兩種測度方法皆為 每日波動度的偏誤估計值，這些學者指出在合適的抽樣頻率下日內報酬率平方值 的總和，較每日報酬率的絕對值和每日報酬率的平方值，更為接近每日波動度的 估計值。利用二階變差和無套利過程的理論，ABDL(2001,2003)提出對高抽樣頻 率日內報酬率的真實波動度作理論上的修正。 首先，我們先介紹一些符號定義以便之後說明。讓s_t ≡ln

( )

S_t 表示股價經由 對數函數轉換後的值，其中S 表示 t 日之股價。並定義_t r 為股價於 t 之日報酬，_t 即r_t ≡ −s_t s_t−1。 類似於日報酬，定義 t 日之股價日內報酬（intra-day returns）為 ( ) , , , 1 s t i t i t i r ≡s _⋅Δ−s _{− ⋅Δ} 其中 s_, t i r 表示t 日第 i 筆日內報酬，而 Δ 為每日的取樣頻率。1 1_{換句話說，即是一天將取1} Δ筆資料。一般而言，通常會使用每五分鐘取一筆資料來當取樣頻率；

若是取樣過於頻繁，會受到市場上的雜訊干擾而使得資料失真。（Ait-Sahalia etal., 2005; Bandi and Russelll, 2005）

Barndorff-Nielsen 與 Shephard(2003a,b,2004) 提 出 二 個 測 度 二 階 變 差 （quadratic variation）的方法，即

( )

( )

1 1 2 ₂ 2 , ₁ , 1 1 t s s t t i _t s t i i i RV r σ ds J Δ Δ − = = ≡

∑

→

_∫

+

∑

1 2 , , 1 ₁ 2 2 t s s t t i t i _t s i BV π r r σ ds Δ − ₋ = ≡

∑

⋅ →

∫

其中 s_, t i J 為 t 日第 i 筆資料之跳躍部份。上式中RV 及_t BV 將會分別均勻收斂至跳 躍擴散過程之總二階變差（total quadratic variation）與連續部份之二階變差 （continuous part of quadratic variation）。而RVt−BVt即表示跳躍部份之二階變

差。Benjamin Yibin Zhang, Hao Zhou 和 Haibin Zhu 所採用檢定統計量為

t t t t RV BV RJ RV − ≡ 其表示t 日的跳躍部份之二階變差與總二階變差之間的比值。若RJ 為 0 表示當t 日沒有發生跳躍事件，若不為0 則代表有跳躍的發生。並令 2 2 5 max 1, 2 t t t RJ z TP BV π _π = ⎛_{⎛ ⎞ + − ⋅Δ⋅}⎞ ⎛ ⎞ ⎜_{⎜ ⎟} ⎟ _{⎜ ⎟} ⎜_{⎝ ⎠} ⎟ _{⎝ ⎠} ⎝ ⎠ 其中

( )

( )

1 4 4 4 3 3 3 , , 1 , 2 3 1 3 1 7 1 4 _{6 2} t t i t i t i i TP r r r Δ − − − ₌ ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ Δ Γ_⎢ ⋅Γ _⎥ ⎣ ⎦

∑

則當Δ→0 時， 4 1 t s t TP σ ds − →

_∫

且z→N

( )

0,1 。 由於z 這個檢定統計量近似於標準常態分配，之後我們便可將每日的日內股 價報酬率拿來計算z 值；藉由選取適當的信賴水準檢測當日是否發生跳躍事件。

Benjamin Yibin Zhang, Hao Zhou 和 Haibin Zhu 發現信賴水準選取 0.999 將會產生 將好的估計結果。Huang 與 Tauchen(2005)建議為了避免相鄰的股價報酬率之間 的相關性及其一些市場微結構上的干擾，可將BV 及_t TP 改成 _t ( ) 1 , , 1 2 2 t t i t i j i j BV π r r Δ − + = + ≡

∑

⋅

( )

( )

( ) ( ) ( ) 1 4 4 4 _{3 3} 3 , , 1 , 2 1 3 1 _{1 2 1} 1 7 1 4 _{6 2} t t i t i j t i j i j TP r r r Δ − + − + − _{= + +} ≡ ⋅ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ Δ Γ_⎢ ⋅Γ _⎥ ⎣ ⎦

∑

並選取 j= 。 1 除了需檢測出t 日是否有發生跳躍事件後，我們仍需要去檢定產生跳躍的大

小。Benjamin Yibin Zhang, Hao Zhou 和 Haibin Zhu 在他們的研究中建議採用

( )

_{ 1_} s s t t t t _z J sign r RV BV I α − >Φ = × − × 來判別跳躍的幅度及跳躍的發生與否；其中的Φ 為標準常態累積分配函數。 s t J 可 解釋如下：I_{z 1_} α− >Φ 用來表示是否發生跳躍，而RVt −BVt可看作是t 日之跳躍幅度 平方加總所造成的變動，最後乘上當日的股價報酬率，即為當日股價報酬率所發 生之跳動值。 估計出市場上的跳躍事件及其大小，我們便可以這些樣本進行複合式卜瓦松 過程參數估計。參數估計量可計算如下： ˆ λ =發生跳躍事件天數除上總交易日數。 ˆp =股價向上跳躍天數除上發生跳躍事件天數。 1 ˆ λ =樣本向上跳躍幅度的平均值之倒數。

2 ˆ λ =樣本向下跳躍幅度的平均值之倒數。 然而值得我們注意的是跳躍的發生是罕見的，也就是我們在實際上去進行參數估 計時，會發現樣本數並不多。此一現象隱含著參數估計的準確性是讓人擔憂的。 試想若是我們的樣本只有寥寥可數的幾筆，則許多樣本的統計性質將無法適當地 反映出來。因此，本文建議可試著以Bootstrap、Jackniffe 或是 EM 演算法來進行 參數的估計以求得較為準確的估計量。 除了上述模型參數的估計之外，我們尚需估計出利率模型所需之參數值。在 這一方面，過去已有許多文獻對於利率模型參數之估計方面已有大量的研究。因 此，我們可依所使用到的利率模型不同而去參考各種不同的估計方法，如一般常 見的最大概似估計法、動差估計法或是Kalman filter 等, 本文便不加以贅敘。

第伍章 比較靜態分析與模型驗證

5.1 模型參數比較靜態分析

以下我們將以一些模型中的實際數值來說明比較各種不同參數下，對於違約 機率與信用交換契約所產生的影響。 由於一般的擴散過程的比較靜態分析已有許多文獻提過其影響。本文將把重 點著墨於模型中跳躍隨機項。首先，本文在變動複合式卜瓦松過程參數時，將會 維持整個資產價值之總波動性不變及跳躍振幅之平均值為0，這是因為我們在描 繪同一個企業的違約風險時，整個企業的總風險或是總波動性應是不變的。因此 本文會藉由改變σ 參數值以對應模型中跳躍隨機項的波動性的變動，其改變的方 式為 2 2 2 2 1 2 1 2 total p p σ σ λ λ λ ⎛ − ⎞ = − _⎜ + _⎟ ⎝ ⎠ 並假設上下跳動之平均值相同，意即p=0.5且λ λ₁= 。而這麼做的主要目的是可₂ 以讓我們確定信用違約價差的改變確實是由於跳躍隨機項所發生的變動而導致 的；而不是由於整個公司的總波動性改變而起的。 誠如之前所提過的，一般擴散隨機過程(diffusion process)由於其路徑為連續 的，公司資產價值不可能突然間掉落至門檻值以下，故在該模型架構下，其短期 的違約機率近似於0，因此，短期的信用交換價差亦近似於 0，然而事實上短期 的信用交換價差是遠大於零。若是資產價值滿足跳躍擴散過程，則情況將大為不 同。在此模型假設下，企業在短期內無預期地倒閉的情形將可被適當地預測出來。 假設P TJ

( )

表示跳躍擴散過程下在T 時間內違約的機率函數，P TD

( )

表示傳

統擴散過程下的違約機率函數。Harrison(1990)提出了P T_D

( )

為

( )

(

)

(

)

2

(

)

2 2 0 2 0 1 0 ln ₂ r ln ₂ D V V r T r T d _V d P T P T d T T σ σ σ τ σ σ − ⎛ ⎛_⎜ ⎞_{⎟+ −} ⎞ ⎛ ⎛_⎜ ⎞_{⎟− −} ⎞ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ _{⎛ ⎞} ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ = ≤ = Φ −⎜ ⎟+⎜_⎝ ⎟_⎠ Φ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 【圖二】為P TJ

( )

與P TD

( )

隨著時間變化的曲線圖。我們在此圖中固定了公 司總波動性為常數0.3001。則我們可以發現在短期的時候，P TD

( )

近似於0，而

( )

J P T 遠大於 0；也就是說考慮了跳躍項的模型在短期時更能充份地反映出真實 世界的情形。然而有趣的是，在長期的時候，二者間的關係卻恰恰相反。當 T 很大，P T_J

( )

卻要比P T_D

( )

來的小。我們可以這樣想，由於二個模型在此的總波 動性是相同的，因此，我們知道跳躍擴散過程的連續部份的隨機項的波動性σ 會 滿足

(

)

2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 total total p p σ σ λ σ λ λ − ⎛ ⎞ = − ⋅_⎜ + _⎟< ⎝ ⎠ 也就是說跳躍擴散過程的連續部份的隨機項的波動性會小於擴散過程的的波動 性。然而我們知道，隨著時間的增加，一家公司未來的營運狀況的不確定因子主 要還是受到其總體經濟環境變遷的影響，而不是由突發事件來左右其未來。所以 就長期而言跳躍隨機項對於資產價值的影響會愈來愈小，而布朗運動將會逐漸成 為公司未來主要的不確定因子。因此，在長期的時候，跳躍擴散過程的波動性將 會受限於跳躍事件的稀少性，使得其波動性會低於傳統擴散過程。同時，在過去 的研究中顯示，一個企業的波動性愈大其違約機率愈高，我們也可得知為何長期 時P TD

( )

會大於P TJ

( )

。 除了違約機率的比較之外，我們也可對二個模型下信用違約交換之間做一個

比較。本文利用Harrison 所提出在擴散過程下的違約機率P T_D

( )

替代信用交換價 差的中違約機率函數可得到該模型下的信用交換價差。【圖三】中描繪出在傳統 擴散隨機過程與跳躍擴散過程下信用違約交換契約在不同到期日之貼水。由圖中 二條曲線的變幻可以發現，短期時跳躍擴散過程確實較能夠較貼近事實。長期 時，由於跳躍擴散隨機過程會得到較擴散過程低的違約機率，因而造成其信用交 換價差較擴散過程預測的低。 違約回收率為影響信用交換的重要因素，其為決定當違約事件發生時債券持 有人可回收之部份及保護賣方所需負擔的金額。【圖四】中秀出在不同違約回收 率下之信用交換價差隨時間變動的情形。我們可以發現當違約回收率R 愈大時， 其信用交換價差會較低回收率的來的低。代表著保護買方在面對違約事件的發生 時，可以收回較高的面額，也就是說其面對的信用風險較低，因此其違約交換價 差較低回收率的來得低。 接下來我們考慮槓桿比率對信用交換價差的影響。一般而言，槓桿比率愈高 代表著公司在財務方面愈容易發生周轉不靈的現象，則公司的違約機率會愈高， 則預期信用違約交換價差將會來得愈大，此一現象可從【圖五】反應出來。 【圖六】明顯地反應出跳躍頻率與信用交換價差間的關聯。從圖中我們可以 發現在總波動性保持不變下，跳躍頻率λ 愈大時信用交換價差愈大，此一現象尤 其是對於短期或中期的契約時更為明顯。試想二家條件完全相同的公司AB，其 中A 公司較容易受到突如其來的衝擊影響，但其總波動性與 B 相同。則在短期 內投資人心中會易對 A 感受到不安，因此該公司會有著較高的信用交換價差。 然而隨著時間的流逝，若A 公司仍健全地營運會使得投資人對其逐漸恢復信心， 使得A 和 B 之間信用交換價差的差距減小。 在【圖六】中，我們亦假設了跳躍的波動性 _{2 2} 1 2 1 2λ p p λ λ ⎛ ₊ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠為一固定的常數。

因此 1 2 2 2 total λ λ λ σ σ = = − 也就是跳躍幅度λ₁和λ₂與跳躍頻率開根號成反比。由於跳躍頻率λ 決定著資產不 連續性的程度，愈大的跳躍頻率便挾帶著愈小的跳躍幅度，意指跳躍事件發生的 愈頻繁但每次的跳躍可能僅只造成小的跳躍幅度；使得整個資產價值變動的路徑 看起來愈近似連續；與此相反的，小的跳躍頻率與大的跳躍幅度的組合在每次跳 躍事件發生時，總是會產生極大的影響。這時我們可發現一項有趣的事實，大跳 躍頻率與小跳躍幅度所組合的信用交換價差在短期時價格會低於小跳躍頻率、大 跳躍幅度所組合的，然而在長期時雙方的行為恰恰相反。

5.2 資料選取與模型驗證

本文在實證方面共選用了美國 S&P500 的其中四十三家企業之信用違約交 換契約、日內股價資料、每日調整後股價、每日在外流通股數、流動負債、長期 負債及無風險利率等。選取的信用違約交換資料是來自於Bloomberg 資料庫，資 料時間為2003 年 1 月 2 日至 2003 年 12 月 31 日，共計 252 筆交易資料。日內股 價資料為自TAQ（Trade and Quote）下載的每日逐筆交易資料，資料時間為 2002 年1 月 2 日至 2002 年 12 月 31 日，共計 252 個交易日。每日在外流通股數及每 日調整後股價下載自CRSP，資料時間為 2003 年 1 月 2 日至 2003 年 12 月 31 日， 共計252 個交易日。流動負債與長期負債資料來源為 Compustat 資料庫，資料時 間為2003 年季資料，共計四筆。本研究使用美國聯邦準備理事會公佈之聯邦基 金利率為無風險利率，資料時間為2003 年 1 月 2 日至 2003 年 12 月 31 日，共計 252 筆交易資料。【表二】中列出本文所採用之美國 S&P500 的其中四十三家企 業中違約回收率為0.4 之五年期信用違約交換契約之報價。

本研究實證方法為使用前一日之隱含波動度當作今日波動度之估計值，配合 上模型參數λ、 ˆp、ˆ λ 與ˆ₁ λ 四個參數以求算出今日之信用違約交換價格。ˆ₂ λ、 ˆp 、ˆ 1 ˆ λ 與_{λ 四個參數的估計原則為使用前一年內每個交易日之內股價資訊估計。而} ˆ₂ 估算隱含波動度之方式為使用前一天市場上 CDS 之報價及前一日之模型參數反 解求出隱含波動度σ 。 而在其它參數方面，以流動負責加上二分之一長期負債為違約門檻值；資產 總值為每日在調整後外流通股數乘上收盤價加上負債。利率參數使用最大概似估 計而得。表三跟表四分別列出每日變動之模型參數平均值與標準差。

本文評量定價誤差以均方根誤差百分比（Percent Root of Mean Square Error，簡稱 PRMSE）為準則，即是 2 1 ˆ 1 n k k k k y y PRMSE n = y ⎛ − ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠

∑

【表五】中列出本模型所計算出四十三家企業信用違約交換價差之均方根誤百分 比。。由此可發現，本模型對於市場上的報價估計誤差最大為可口可樂的百分之 四的相對誤差，最小則為希爾頓飯店百分之零點一四。另外，本文藉由Harrison 所提出之違約機率可計算出在傳統擴散過程下信用違約交換價差之均方根誤差 百分比，我們將此一誤差列在【表六】中。經由【表五】及【表六】的兩相比照 之下，本研究發現當資產價值服從跳躍擴散過程時，其定價誤差將會比傳統擴散 過程下要來的小。 圖七至圖八為其中八家企業信用違約交換價差之估計值與真實市場上價格 曲線圖。我們發現此定價模型確實能夠適當地反映出市場上的報價。 另外，在圖九、十及十一中，本文中比較了五年內的違約機率與五年期信用 交換契約價格的曲線關係圖。在這三個圖中，本文為方便比較將違約機率乘上

1000 倍，即圖中違約機率的單位為十個基點（10 basis points）。在這三個圖中我 們可以發現違約機率與信用交換價差關係密不可分。二者的走勢幾乎相同，違約 機率約為價差的十倍。我們可解釋這現象如下：契約保護買方在未來只有二種現 金流量流入的可能，一個為零，另一個為1-R。當違約事件發生時，買方可從賣 方那收取到1-R 的賠償；若至契約到期為止，都沒有發生違約，則沒有現金流入。 因此，保護買方對未來的報酬為 ⎧ ⎨ ⎩ 1-R 發生違約 報酬= 0 無違約 則買方願意付出的價差s 應該是對未來的期望報酬，

[

]

(

1

) (

_b

)

s=E 報酬 = −R P τ ≤t 從這便可發現違約機率確實是和信用交換價差有著密不可分的關係。

第陸章、 結論與建議

傳統結構式模型中，以擴散過程為主要核心架構。利用公司財務資訊分析其 信用風險，然而，此種模型卻無法預測短期內企業倒債及解釋短期信用交換價 差。本研究整合了違約風險與利率風險並允許資產價值擁有連續及離散部份的可 能情形。 本文提供了在跳躍擴散過程下，對於違約機率及信用違約價差的封閉解。同 時整理出模型參數估計的方法，並以此模型去驗證 CDS 市場上的報價。我們以 美國S&P500 其中四十三家企業的五年期信用交換契約去驗證。並從實證結果中 我們發現本模型對於市場上的報價有相當好的估計值，其均方根誤差百分比最小 的為希爾頓飯店百分之零點一四，最大為可口可樂的百分之四。其它四十一家企 業的誤差皆在此範圍內，此一結果遠比在傳統擴散過程下所訂出之信用違約交換 的訂價誤差要來的小。 本研究為許多真實市場中無法被傳統擴散過程所解釋的現象提出了說明，如 短期內違約機率、信用價差的變幻。信用交換價差是如何受到跳躍隨機項的影響 而變動等，使得可預期及不可預期的信用風險共存。另一方面，過去雖有人提出 跳躍擴散過程，並假設跳幅度滿足對數常態分配，但在此假設下卻不存在一個違 約機率的封閉解，需以模擬方式求出其違約交換契約價值。本研究最大的貢獻仍 是提供一個較傳統擴散過程更符合真實市場的模型，並找出信用違約交換及違約 機率的封閉解。 建議後續的研究方向可將公司資產價值及資產變異試著以KMV 模型的方式 求出，以更符合實際市場上的市值。也就是說，首先，需考慮在跳躍擴散過程下 歐式買權的價格。在以公司資產為標的，負債為執行價，反解求出公司資產價值 及資產波動性。另一方面，跳躍隨機項的估計亦可試著以 Bootstrap、Jackniffe

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【表 一】全球各類信用衍生性商品比例表

Instrument Share(%)

Credit default swaps 67

Synthetic balance sheet CLOs 12

Tranched portfolio default swaps 9

Credit-linked notes, asset repackaging, asset swaps

7

Credit spread options 2

Managed synthetic CDOs 2

Total return swaps 1