數學考科參考答案暨詳解

(1)

數學

103 學年度全國高級中學學科能力測驗模擬考試

數學考科參考答案暨詳解

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(2)

數學考科詳解

題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9

答案 3 5 4 1 2 5 15 245 23

題號 0 q w

答案 345 2345 1345

第壹部分：選擇題一、單選題 1 3

出處：第一冊第三章〈指數、對數函數〉

目標：評量指數運算的操作解析：∵n＜ ²

3 5 ＜n＋1，即 n＜ 125 ＜n＋1 又 125 ＝11.… …

∴ n＝11，故選3。

2 5

出處：第一冊第二章〈多項式函數〉

目標：評量一次有理因式檢驗法的操作解析：由一次有理因式檢驗法知

f（x）＝0 在 0 與 1 之間的有理根可能為

6 1 ，

3 1 ，

2 1 ，

3 2 代入檢驗，僅得 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 3

f 2 ＝0，故選5。

3 4

出處：第一冊第一章〈數與式〉

目標：利用奇偶性討論整數解

解析：∵2x＋1 為奇數 ∴│2x＋1│的值可能為 1，3，5 即 2x＋1＝±1，±3，±5

故選4。

〈另解〉

1當 2x＋1＞0 ⇒ x＞－

2 1 … … … … …1

－3＜2x＋1＜7 ⇒ －2＜x＜3 … … …2 由1、2得－

2 1 ＜x＜3 ∴ x＝0，1，2

2當2x＋1＜0 ⇒ x＜－

2 1 … … … … …3

－3＜－（2x＋1）＜7 ⇒ －4＜x＜1…4 由3、4得－4＜ x＜－

2 1 ∴ x＝－3，－2，－1

∴ x＝－3，－2，－1，0，1，2，共 6 個故選4。

4 1

出處：第二冊第三章〈機率〉

目標：評量機率的應用解析：因為歐洲有 4 隊

所以歐洲的 4 隊必與非歐洲的 4 隊對戰

∴機率為 ( )

! 8

! 4 2 4 6

8 × × × ×

＝ 35

8 ，故選1。

(3)

5 2

出處：第二冊第二章〈排列、組合〉

目標：評量排列組合的應用解析：由於第 7 節必須是禮記

所以只需考慮前面 6 節課的排課設 A 代表騎術連堂的事件

B 代表詩經排第 1 節的事件

⇒ 所求為 n（A）－n（A∩B）

＝4×4!－3×3!＝78（種）

故選2。

6 5

出處：第二冊第四章〈數據分析〉

目標：評量迴歸直線的應用解析：∵μ X 皆為 4，μ Y 皆為 7

r＝

∑ ∑

∑

3

1 2 3

1 7 4

7 4

＝

）

－

（

．

）

－

（

）

－

（

）

－

（

i i i

i i

y x

∴1 r ＝

18 8

6 ．

－

2 r ＝

6 8

6 ．

－

3 r ＝

6 8

6 ．

－

4 r ＝

18 8

6 ．

－

5 r ＝

42 8

6 ．

－

故選5。

二、多選題 7 15

出處：第二冊第一章〈數列與級數〉

目標：評量連加符號的運算性質解析：1 ○： ∑ ⁿ

k

k b

a

1 ＝

）

＋

（＝（a 1 ＋b 1 ）＋（a 2 ＋b 2 ）＋… …＋（a n ＋b n ）

＝（a 1 ＋a 2 ＋… …＋a n ）＋（b 1 ＋b 2 ＋… …＋b n ）

＝ ∑ ⁿ

k

a k 1

＝

＋ ∑ ⁿ

k

b k 1

＝

2 ╳： ∑ ⁿ

k

ra k 1

＝

）

（＝ra 1 ＋ra 2 ＋… …＋ra n

＝r（a 1 ＋a 2 ＋… …＋a n ）＝ ∑ ⁿ

k

a k

r

1 ＝

3 ╳：反例：1×（－1）＋2×3＝5，但（1＋2）×〔（－1）＋3〕＝6 4 ╳： ∑ ⁿ

k

n

1 ＝

＝n ² ≠ 2

1

n（n＋1）

5 ○： ∑ ¹⁰

1 1 2

＝

）

－

（

k

k ＝0 ² ＋1 ² ＋2 ² ＋… …＋9 ²

＝ 6

1 ×9×10×19

＝285

故選15。

(4)

8 245

出處：第三冊第二章〈直線與圓〉

目標：評量圖形與式子的結合應用解析：∵圓 C 的圓心為 A（2 , 3）

∴直線 L 與直線 AP 互相垂直即 b

a

－ ×

2 3

3 2

－

－＝－1 得 a＋b＝0

又點 P 同時落在直線 L 與圓 C 上

∴把點 P 代入直線 L 與圓 C 後解得 a＝－2，b＝2，k＝11 故選245。

9 23

出處：第一冊第三章〈指數、對數函數〉

目標：評量函數的圖形變換

解析：∵點 A 在 y＝log 2 x 上，即 b＝log 2 a 1 ╳：log 4 （2a）＝log 4 a＋log 4 2＝

2 1

b＋

2 1

2 ○：log 2 （2a）＝log 2 a＋log 2 2＝b＋1 3 ○：2 ^b ＝ 2 ^log

²

^a ＝a

4 ╳：2 ^b＋2 ＝2 ² ×2 ^b ＝4a 5 ╳：2 ^－b ＝ _b

2 1 ＝

a 1

故選23。

0 345

出處：第一冊第二章〈多項式函數〉

目標：評量二次函數的應用解析：∵f（x）＝

2 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

x

＋

a

＋4－

4 a 2

又－1 _≤

x

_≤ 1 且－2 _≤ － 2 a ≤ －1

∴ f（－1） _≤

f（x）

_≤

f（1）恆成立，即 5－a

_≤

f（x）

_≤ 5＋a

⇒ 1 _≤

f（x）

_≤ 9 故選345。

q 2345

出處：第三冊第一章〈三角〉

目標：廣義角三角函數的定義

解析：1 ╳：∵A 點的坐標為（3 , －4）

∴sinθ＝

r y ＝－

5 4 2 ○：tanθ＝

x y ＝－

3 4

3 ○：由內角平分線性質知， BD ： AD ＝ BO ： AO ＝3：5

∴ BD ＝ 8

3 × AB ＝ 2 3

4 ○：tan∠AOD＝tan∠BOD＝

3 2 3

＝ 2 1

5 ○：tan 2

θ ＝tan（180°－∠BOD）＝－tan∠BOD＝－

2

1 故選2345。

(5)

w 1345

出處：第三冊第二章〈直線與圓〉

目標：評量以等值線判斷點的相對位置解析：設 A、B、C 三點分別落在三直線

3x－2y＝k 1 、3x－2y＝k 2 、3x－2y＝k 3

由題設知 k 1 ＜k 2 ＜k 3

又直線 3x－2y＝k 的 k 值愈大，其位置愈往右移

∴將直線 3x－2y＝k 由左往右移的過程中必須依序通過 A、B、C 三點故選1345。

第貳部分：選填題 A. 33

出處：第二冊第一章〈數列與級數〉

目標：觀察數列的規律解析：∵〈a n 〉的公差為 3

∴a n 除以 3 的餘數為 1

觀察 b n 各項中除以 3 的餘數為 1 者有 31，61，91，… …，991 即〈c n 〉：31，61，91，… …，991

又（991－31）÷30＋1＝33 故〈c n 〉共有 33 項。

B. 32

出處：第一冊第一章〈數與式〉

目標：評量雙重根號的化簡

解析：∵ k － 700 ＝a＋（3－ 7 ）

雙邊平方化簡，得 k－10 7 ＝（a＋3） ² ＋（ 7 ） ² －2（a＋3） 7

⇒ k＝a ² ＋6a＋16 且 10＝2（a＋3），解得 a＝2 故 k＝32。

C. 4 1

出處：第二冊第三章〈機率〉

目標：評量條件機率與獨立事件的應用

解析：設 A 代表取出的兩張牌點數皆為 2 的事件

B 代表遺失的牌為紅心的事件

因為 A 與 B 互為獨立事件故 P（B│A）＝P（B）＝

4 1 。 D. 2

出處：第二冊第二章〈排列、組合〉

目標：評量二項式定理的操作解析：

7 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ x

x ＋ a 的一般項為

k k

k x

x a

C ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

）－

（ ² ⁷

7 ＝

C

_k ⁷

a

^k

x

¹⁴ ^－ ³ ^k ，k＝0，1，… …，7 若 14－3k＝5，則 k＝3

∴

C ×a

3 ⁷ ³ ＝280，即 35a ³ ＝280

故 a＝2。

(6)

E. 5 4

出處：第三冊第一章〈三角〉

目標：利用正弦定理與餘弦定理找三角形的邊角關係解析：△ABC 中，由餘弦定理知

BC 2 ＝8 ² ＋（ 4 5 ） ² －2×8× 4 5 × 5

1 ＝80，得 BC ＝ 4 5

由正弦定理知 5 2

5 4 ＝

C

sin

8 ，故 sin C＝

5 4 。

F. 28

出處：第三冊第三章〈平面向量〉

目標：利用長度與角度或坐標化求向量的內積解析：設 A 對 BC 邊的垂足為 H

∵ AD // BC

∴

_{AC 對}

M M

_{AD 的正射影為}_HC

M

又四邊形 ABCD 為等腰梯形

∴ BH ＝ 2

AD BC

－

＝3

故

_{AD ．}

M

AC ＝ AD × HC ＝4×7＝28。

M

G. 2 3

出處：第三冊第三章〈平面向量〉

目標：利用二階行列式求平行四邊形面積解析：設 M

_{AB ＝（x}

₁ _{, y} ₁ _），

_{AD ＝（x}

M ₂ _{, y} ₂ _）

⇒

_{AC ＝（x}

M ₁ _＋x ₂ _{, y} ₁ _＋y ₂ _）， M

_{A ＝（2x}_P

₁ _＋3x ₂ _{, 2y} ₁ _＋3y ₂ _）

∵平行四邊形 ABCD 的面積＝ | |

2 1

y y

x

＝3

又

2 1 2 1

3 2

y y y y

x x x x

＋

＋＝

2 1 1

3 2

y y y

x x x

＋

＋＋

2 1 2

3 2

y y y

x x x

＋

＝

2 1

3 3

y y

x

＋

1 2

2 2

y y

x x

＝3

2 1

y y

x

－2

2 1

y y

x x

＝

2 1

y y

x x

故△ACP 的面積為 2

1 × | |

2 1

y y

x

＝

2 3 。

H. 25 14

出處：第二冊第三章〈機率〉

目標：獨立事件

解析：設 X 代表開關 A 與開關 B 電流同時能流通的事件

Y 代表開關 C 與開關 D 電流同時能流通的事件

⇒ 所求為 P（X ∪ Y）＝P（X）＋P（Y）－P（X ∩ Y）

＝ 2 1 ×

5 2 ＋

4 3 ×

5 3 －

2 1 ×

5 2 ×

4 3 ×

5 3

＝ 5 1 ＋

20 9 －

100 9 ＝

25

14

(7)

勾勒出臺灣文學地圖輪廓

1 以文學地圖的概念，選擇臺灣著名作家之作品，勾勒出臺灣文學的輪廓

2 以作家出生或長期居住地為區域劃分，包括北部、中部、南部、東部、離島、原住民等

忠實呈現選文原有的風貌

1 完整收錄 66 篇作品，不做任何節錄，值得閱讀與收藏 2 作品觸及作家的生命現場，建構文學圖景，具有鄉土情懷

兼顧學生閱讀興趣與耐性

1 選文大多是作家近期的作品，貼近學生生活，讓學生更親近臺灣文學

2 作品先以區域劃分，再依短篇、中篇、長篇的順序安排，逐漸培養閱讀耐性

提升閱讀理解及應考實力

1 每篇選文皆有精準的「賞析」，提升閱讀理解能力

2 每篇選文以 PISA 測驗模式設計「問題引導」Q ＆ A，訓練學生掌握閱讀重點 3 每篇選文最後，設計大考非選題，題型多元，培養寫作能力

全彩編排增加閱讀的興味

1 創新版面，成為全臺第一本高中生的彩色白話讀本

2 插畫風格結合文本情境，讓學生有全新感受而喜愛閱讀

(8)

北區　23585 新北市中和區建一路136號9樓電話：(02)32344718　傳真：(02)32344720

桃竹區　32060 桃園縣中壢市內定20街76巷55號電話：(03)4515136　傳真：(03)4515305

中區　40854 臺中市南屯區東興路一段488號電話：(04)24732018　傳真：(04)24734074

南區　80794 高雄市三民區民族一路373巷15號電話：(07)3972288　傳真：(07)3971199

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