 60 x  90 C

高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：98.10.11 班級 三年 班

範

圍 二為數據

座號

姓 名 一、單選題: 每題 5 分

( ) 1. 如圖所示，有 5 筆( , )X Y 資料。試問：去掉哪一筆資料後，剩下來 4 筆資料的相關係數最大？ (A)A (B)B (C) C (D)D (E)E。

【解答】：D

【解析】：(1)圖中各點接近斜率正（左下右上）之直線為正相關，且愈接近直線相關程度愈高 (2)圖中各點接近斜率為負（左上右下）之直線為負相關，且愈接近直線相關程度愈高 (3)散布圖中各點愈接近鉛直線或水平線，相關程度愈接近 0

(4)散布圖中各點愈均勻分布在X  X，Y Y 所分四個象限，相關程度愈接近0。

故此散布圖去掉D(3 , 10)這筆資料，剩下4 筆資料的相關係數最大 ( ) 2. 下列哪一個圖，其相關係數最小？

(A) (B) (C) (D) (E)

。

【解答】：B

【解析】：由圖中知，當其迴歸直線的斜率為負，則其相關係數為負，若點的排列為對稱，則其 相關係數為0，若為鉛直線或水平線其相關係數亦為 0，又靠迴歸直線的點愈密，其相 關係數愈大

( ) 3. 有甲、乙兩組資料，已知甲：94，92，90，88，86；乙：63，61，60，59，57。試問 哪一群資料的變異情形較大？ (A)甲 (B)乙 (C)一樣大 (D)無法比較。

【解答】：B

【解析】：甲： x 90 ¹(4 2 0 2 4)

 5     90 Sx 1

(16 4 0 4 16)

 4      10； S^x 100% 3.51%

CV  x   乙：y 1

60 (3 1 0 1 3)

 5     60 Sy 1

(9 1 0 1 9)

 4      5； S^y 100% 3.73%

CV  y  

∴乙組資料變異情形較大

第 2 頁

( ) 4. 若(2 , 2)、(3 , 3)、(5 , 4)、(6 , 7)的最佳直線為y a bx，則 b 的最接近值為：

(A)1.2 (B)1.57 (C)2.35 (D)2.75 (E)3.73。

【解答】：A

【解析】： x ^{2 3 5 6} 4

  

 4，y 2 3 4 7

4

  

 4

b 最佳直線的斜率 ¹

2 2

1 n

i i i

n i i

x y n x y

x n x















(4 9 20 42) 4 (4 4) (4 9 25 36) 4 (16)

     

      1.1

( ) 5. 某項藝能競賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六位參賽者，下表是A、B、 C 三位評 審對這六位參賽者的評分資料：

參賽者

評審 甲 乙 丙 丁 戊 己

A 8 6 8 6 6 8

B 7 5 7 5 5 7

C 4 3 4 3 3 4

若A與B、B與 C 、 C 與A的相關係數分別為r 、₁ r 、₂ r ，則下列哪一個選項為真？ ₃ (A)0  (B)r₁ 1 r₁ (C)r₂ r₂   (D)r₃ 1 r₂  (E)r₃ r₁ 。 r₃

【解答】：B

【解析】：觀察發現：B評審給分都比A評審少1 分 C 評審給分都是A評審的 ¹

2 C 評審給分都是B評審的 ¹

2 倍再加 ¹ 2 分 故r₁  ，1 r₂  ，1 r₃  1

( ) 6. 給定X 與Y兩種抽樣數據( , )x_i y ，_i i 1、2、3、、40。已知 ⁴⁰

1 i i

x



 ^{ 3000、40} 1

i i

y



 ^{ 2720，}

其標準差分別為S_X  4、S_Y  2，且相關係數為 0.8，試求y對 x 的迴歸直線為

(A)y  0.8 x (B)y0.8 x  68 (C)y0.8 x  38 (D)y 0.4 x  38 (E)y0.4 x  68。

【解答】：D

【解析】： X 3000 40 75

  ，Y 2720

 40 68 y對 x 的迴歸直線為 yy ^Y ( )

X

r S x X

  S  ，y68 2

0.8 ( 75) 4 x

   ，即y0.4x38

( ) 7. 若有 10 筆 ( , )x_i y 的資料，其相關係數為_i r，則下列敘述哪一個為真？

(A)當這 10 筆資料完全落在直線y0.5x上，表示r 0.5 (B)當r1時，則散布圖上所有點均在一直線上

(C)當r 時，則散布圖上所有點必成一圓 0 (D)當r 1時，則表示無法由 x 的值來預測y的值 (E)r的值可能是1.2。

【解答】：B

【解析】：(A)r 1 (C)r  時，散布圖也可能是一條水平線 0

(D)r  1時，表10 筆資料落在一條斜率為負的直線上，因此藉由 x 值來預測 y 值 (E)  1 r 1

( ) 8. 研究十位學生某次段考甲、乙兩學科成績的相關性，設其相關係數為r。若r1表完 全正相關；r 1表完全負相關；0.7 | |<1 r 表高度相關；0.3 | |<0.7 r 表中度相關；| |<1r 表低度相關：r 表零相關。已知此十位學生的成績如下： 0

學生代號 A B C D E F G H I J 總計 甲科測驗 3 4 8 9 5 6 7 7 6 5 60 乙科測驗 9 8 5 6 7 6 5 7 8 9 70

則此次甲、乙兩學科測驗成績之相關程度為

(A)高度相關 (B)中度相關 (C)低度相關 (D)完全正相關 (E)完全負相關。【86 學測】

【解答】：A

【解析】：甲科測驗 x 的平均數6，乙科測驗 y 的平均數7

SXY

1 [( 3) 2 ( 2) 1 2 ( 2)

 9         3 ( 1) ( 1) 0 0 ( 1) 1 ( 2)

                  1 0 0 1 ( 1) 2] 19

  9

SX 1 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

[( 3) ( 2) 2 3 ( 1) 0 1 1 0 ( 1) ]

 9              ³⁰

 3

SY 1 ^{2 2 2 2 2 2 2 2 2 2}

[2 1 ( 2) ( 1) 0 ( 1) ( 2) 0 1 2 ]

 9              ^{2 5}

 3

故r ^XY

X Y

S

 S S

19 9 30 2 5

3 3

 



361

  600 ≒0.77

( )9. 下圖表兩組數據 x 與y的分布圖，試問其相關係數r最接近下列何值？(A)1 (B)0.5 (C)0 (D)–0.5 (E)–1。【88 日社】

【解答】：C

【解析】： _圖形對稱直線x  x、y y   r 0

y

O x

第 4 頁

( )10. 某班 46 位同學期考的數學成績平均成績為 61 分，今老師將成績做線型調整，把每位 同學的成績先乘以⁴

3倍，再減去5 分。設變量 X、Y 分別表同學的原始成績與調整後 的成績。並設 r 表 X 與 Y 的相關係數，則下列何者正確？

(A) 0.3 r 0.5 (B) 0.5 r 0.7 (C) 0.7 r 0.9 (D) 0.9  (E)r 1 ^r1。

【解答】：E

【解析】：由題意已知 ⁴ 5 Y  3X

，資料完全落在直線 ⁴ 5

Y 3X  上，∵斜率 ⁴ 0 m 3

∴資料完全正相關，相關係數r1

( )11. 令X 代表每個高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則：W 7(24X)代 表每個高中生平均每週花在研讀數學以外的時間。令 Y 代表每個高中生數學學科能力 測驗的成績。設X 、Y之相關係數為R_XY，W 、Y之相關係數為R_WY，則R_XY與R_WY兩 數之間的關係，下列選項何者為真？

(A)R_WY 7(24R_XY) (B)R_WY 7R_XY(C)R_WY  7R_XY (D)R_WY R_XY(E)R_WY  R_XY。

【解答】：E

【解析】：∵若U aX  ，V cY db   ，而U 、V 的相關係數為r_UV，則 0 0

XY UV

XY

r ac

r r ac

 

   當

當

，

， 又W  7X 168 ∴R_WY  R_XY(∵ 7 1 0   )

( )12. 下列有關兩變量 x 與y之散布圖中，哪一個相關係數最接近0.25？

(A) (B) (C) (D) (E)

【解答】：B

( )13. 一肥皂廠商欲推出一種新產品，在上市之前以不同的 單價 x（單位：十元），調查市場的需求量y（單位：

萬盒），調查結果如右表，試問 x ，y的相關係數最 接近下列哪一個值？ (A)⁴

5 (B)²

5 (C)0 (D) ²

5 (E) ⁴

5。

【解答】：E

【解析】：X 1

(8 9 10 11 12)

5     10 Y 1

(11 12 10 8 9)

5     10

x 8 9 10 11 12 y 11 12 10 8 9

xi 2x  1 0 1 2 yi 1 2 0 2y  1

r 2 2 0 2 2

4 1 0 1 4 1 4 0 4 1

    

        

8 10

 4

 5

( )15. 若有 10 筆( ,x_i y_i)的資料，x  ，5 y3，相關係數r1，且y對 x 的迴歸線過(0 , 2)， 則下列何者為真？ (A) x 組的變異係數小於y組的變異係數 (B)迴歸線過(10 , 3) (C) x 組的標準差大於y組的標準差 (D)迴歸線的斜率為 1。

【解答】：C

【解析】： ^y( )

x

y y r S x x

  ．S  3 ^y( 5)

x

y S x

  S  (0 , 2)代入 1 5

y x

S S  CVx S^x

 x 5 5 Sy

 S_y，^CVy Sy

 y

3

y y

S S

  二、多選題: 每題 10 分

( ) 1. 某班的 50 名學生參加一項考試，考題共有 100 題，全為 5 選 1 的單選題，計分方法 共有X、Y兩種；若某學生有 N 題放棄沒答、R題答對、W 題答錯，則

4 X  R W ，

5

Y  R N ，試問下列敘述哪些是正確的？

(A)同一學生的X 分數不可能大於Y 分數

(B)全班X 分數的算術平均數不可能大於Y 分數的算術平均數 (C)任兩學生X 分數的差之絕對值不可能大於Y 分數的差之絕對值 (D)用X 分數將全班排名次的結果與用Y 分數排名次是完全相同的 (E)兩種分數的相關係數為 1。

【解答】：ABDE

【解析】：

4 X  R W ，

5

Y  R N ，N 100  ，其中R W R、W 、 N 皆為不小於0 之整數 (A)(B)∵

5 4

N W

X  R  R X ∴Y  X，故(A)(B)皆正確 (C)設有兩學生其作答情形分別為R 、₁ W 、₁ N 、₁ R 、₂ W 、₂ N ₂ X 分數的差之絕對值 | ₁ ¹ ( ₂ ²) |

4 4

W W

R R

    | _{1 2} ( ^{2 1}) | 4 4

W W

R R

   

Y分數的差之絕對值 | ₁ ¹ ( ₂ ²) |

5 5

N N

R R

    | _{1 2} ( ^{1 2}) | 5 5

N N

R R

   

取R₁100，W₁N₁  ，0 R₂ 50，W₂ N₂ 25，代入 取X 分數的差之絕對值 50 ²⁵

  4

Y分數的差之絕對值50 5 X  分數的差之絕對值，故(C)錯誤 (D) 4

X  R W 100 4

R N

R  

  5 1

4R 4N 25

   5 1

( ) 25

4 R 5N

   5

4Y 25

 

第 6 頁

 成績整個放大⁵

4倍再平移25

 用X 分數全班排名次的結果與用Y分數排名次是完全相同，兩種分數的相關係數1 ( ) 2. 圖中，有五組數據，每組各有六個資料點，設各組的相關係數由左至右分別為r ，₁ r ，₂

r ，3 r ，₄ r ，則下列關係式何者為真？ ₅

(A)r₁  (B)r₂ r₂  (C)r₃ r₃  (D)r₄ r₃  (E)r₅ r₄  。 r₅

【解答】：ABDE

( ) 3. 空氣品質會受到汙染物排放量及大氣擴散等因素的影響。某一機構為瞭解一特定地區 的空氣品質，連續 28 天蒐集了該地區早上的平均風速及空氣中某特定氧化物的最大 濃度。再繪製這28 筆資料的散布圖，現根據該圖，可

知

(A)此筆資料中，該氧化物最大濃度的標準差大於 15 (B)此筆資料中，該氧化物最大濃度的中位數為 15 (C)此筆資料中，平均風速的中位數介於 45 與 50 間 (D)若以最小平方法決定數據集中直線趨勢的直線，則 該直線的斜率小於0。

【解答】：CD

【解析】：(A)最大濃度之平均約在 15mg/m³，而所有的點幾乎集中在（15 10 ）mg/m³內 （即 5mg/m³ ～25mg/m³） ∴標準差不可能大於15

(B)樣本由小到大a ，₁ a ，……，₂ a 共有 28 個 ∴中位數為₂₈ ^{14 15} 2 a a

由圖形知最大濃度之a ≒13，₁₄ a₁₅ 15，∴ ^{14 15} 15 2

a a  ，中位數小於15 (C)平均風速樣本由小到大a₁₃ a₁₄ a₁₅≒48，中位數為 ^{14 15}

2 a a

，∴介於45 與 50 間 (D)根據 28 個點之散布圖知平均風速與最大濃度兩者為負相關，∴直線之斜率小於 0 ( ) 4. 圖為某年級國文、英文、歷史三科成績分布情形的直方圖。根據該圖，下列哪些推論

是合理的？ (A)歷史的平均分數比國文的平均分數低 (B)歷史的平均分數最低 (C)英文的標準差比國文的標準差很小 (D)英文的標準差最大

(E)「國文與歷史之相關係數」比「國文與英文之相關係數」高。

【解答】：ABD

( ) 5. 某次數學考試，甲組 20 人之平均成績為 70 分，標準差為 10 分；乙組 30 人之平均成 績為65 分，標準差為 8 分，則

(A)甲組的數學程度比較平均 (B)乙組的數學程度比較平均

(C)兩組合併計算之平均成績為 67 分 (D)兩組合併計算之平均成績為 69 分 (E)兩組合併計算之標準差為 8.8 分。

【解答】：BC

【解析】：CV_甲 10 70 100%

  14.29%； CV_乙 ⁸ 100%

 65 12.31%，∴乙組的數學程度較平均 x 兩組合併後的平均 20 70 30 65

20 30 67

  

 



2 19 102 20 702 99900 xi

      ；y_i² 29 8 ² 30 65 ² 128606；

2 2 228506

i i

x y

   

S 1 ²

(228506 50 67 )

 49    82.77 9.10

( ) 6. 下列四個散布圖的相關係數由左至右依序為r 、₁ r 、₂ r 、₃ r ，則下列哪些敘述是正確？ ₄

y

x y

x

y

x

y

x

(A)r₁  r₂ 0 (B)r₃  (C)1 r₄  r₃

(D)若兩變數 x 與y的相關係數為r，則2x 與 3y  4 的相關係數仍為3 r

(E)若y對 x 的迴歸直線為y a bx，則y 3y4對x 2x 的迴歸直線仍為 3 y a bx。

【解答】：AD

【解析】：(B)0  ； r₃ 1 (C)r₃  r₄

(E)x ' 2x3，y ' 3y4， r r，S_X 2S_X，S_Y 3S_Y yy

 ^Y ( )

X

r S x x ' S





 

   且 ^Y

X

b r S

  S

第 8 頁 (3 4)

y y

   3

( 2 3) 2

Y X

r S x x

S 

    3

( 2 3) 2 b x x

  

又a y bx，故y 3 9 3( ) 4 2 bx y bx 2 b

     3 9

3 4 2 bx a 2 b

   

( ) 7. 如下圖為某年級國文、英文、歷史三科成績分布情形的直方圖。根據該圖，下列哪 些推論是合理的？

(A)歷史的平均分數比國文的平均分數低 (B)歷史的平均分數最低 (C)英文的標準差比國文的標準差小 (D)英文的標準差最大

(E)「國文與歷史之相關係數」比「國文與英文之相關係數」高。【89 學測】

【解答】：ABD

【解析】：(A)(B)_國文成績集中在50～90 分，英文成績分散於 10～90 分，

歷史成績集中在 20～50 分國文成績平均分數最高，歷史成績平均分數最低 (C)(D)_英文成績最分散 英文的標準差最大

(E)從三科的成績分布直方圖無法判斷相關係數大小

( )8. 下列圖中有五組數據，每組各有A、B、 C 、D、E、F等六個資料點：

設各組的相關係數由左至右分別為r 、₁ r 、₂ r 、₃ r 、₄ r ，則下列關係式何者為真？ ₅ (A)r₁  r (B)₂ r₂  (C)r₃ r₃  (D)r₄ r₃  (E)r₅ r₄  。【90 學測】 r₅

【解答】：ABE

【解析】：_前兩個的圖形均對稱直線xx、 y  y  r₁ r₂  0 計算r ：₃ x 1 2 2 3 3

6

   

 7

 3 ， y ^{1 3 2 2 3} 6

   

 5

 3 SXY ¹ [ ( ⁴ ) ( ² ) ( ¹ ) ( ² ) ² ( ² )

5 3 3 3 3 3 3

           1 1 2 1 2 4

( ) ]

3 3 3 3 3 3

       1

 3

SX 1 4 ² 1 ² 2 ² 1 ² 2 ² 2 ² ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 3 3 3 3 3 3

 

          

 

6

 3

SY 1 2 ² 2 ² 2 ² 1 ² 1 ² 4 ² [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 3 3 3 3 3 3

         6

 3

r3

 ^XY

X Y

S

 S S

1 3 6 6 3 3





1

 2 ；同理可得 ₄ ¹

r  2 ， ₅ ¹ r  2

( )9. 英國某實驗室研究一金屬圓柱（原高 70.5 英寸）在不同負重下對柱高的影響，其實驗 結 果 如 下 ： (0 , 70.5) (2 , 69.4) (4 , 68.4) (6 , 67.2) (8 , 66.3) (10 , 65.5) (12 , 64.4)，其中測量單位分別為英噸和英寸。將此筆資料的相關係數記為^r，以最小 平方法決定的直線斜率記為 m 。現為提供臺灣廠商資料，將單位轉換為公噸（1 英噸 等於1.016 公噸）及公分（1 英寸等於 2.54 公分），若單位換算後該資料的相關係數 記 為 R ， 以 最 小 平 方 法 決 定 的 直 線 斜 率 記 為M 。 則 下 列 有 哪 些 是 正 確 的 ？ (A)r m  (B)0 r (C) r R0  (D)mM。【93 日自】

【解答】：AC

【解析】：設原數值資料為X ，Y ，其中X 表負重，Y表柱高 則新數值資料X 1.016X ，Y 2.54Y

(A)(B)_負重愈大，柱高愈短，  r 0  m 0，故r m  0 (C) 1.016 2.54 0   ^{ r R}

(D)已知S_X 1.016S_X，S_Y 2.54S_Y， ^Y

X

m r S S _

  ， ^Y

X

M R S S





  且rR 故M 2.54

1.016

Y X

r S

  S 2.54

1.016 m



( )10. 某校高三共有 300 位學生，數學科第一次段考、第二次段考成績分別以X、Y表示，

且每位學生的成績用 0 至 100 評分。若這兩次段考數學科成績的相關係數為 0.016，

試問下列哪些選項是正確的？

(A)X 與Y 的相關情形可以用散布圖表示

(B)兩次段考的數學成績適合用直線 X  a bY表示X 與Y的相關情形 （ a 、 b 為常數，b ） 0

(C)X 5與Y 5的相關係數仍為0.016 (D)10X 與10Y的相關係數仍為0.016 (E)若X  

X

X X S

 、Y  

Y

Y Y S

 ，其中X 、Y 分別為X 、Y的平均數，S_X、S_Y分

別為X 、Y 的標準差，則X 與Y 的相關係數仍為0.016。【96 日自】

【解答】：ACDE

【解析】：(A)顯然成立

第 10 頁

(B)_相關係數很接近0，∴相關程度小，不適合用直線X  a by，來表示 x 與y的 相關情形

(C) 1 1 0   ∴相關係數仍為0.016 (D) 10 10 0   ∴相關係數仍為0.016 (E)X  1

X X

X X

S S

  ，Y  1

Y Y

Y Y

S S

  且 ^{1 1} 0

X Y

S  S  X 與Y 的相關係數仍為0.016

( )11. 若有 20 筆資料( , )x y_{i i} ，其相關係數為r，則下列何者正確？

(A)當這 20 筆資料完全落在直線 ¹ 5

y3x ，則 ¹ r 3 (B)當這 20 筆資料完全落在直線 y  x 4，則r 1

(C)當這 20 筆資料完全落在直線 y x 7，則 y對 x 的迴歸直線為 y x 7

(D)設 x 、 y分別為x_i、 y_i的算術平均數，則 y 對 x 的迴歸直線必通過點( , )x y 。

【解答】：BCD

【解析】：(A)：資料完全落在直線 ¹ 5

y3x 上∵斜率 ¹ 0 m 3

，∴完全正相關，相關係數r1 (B)：資料完全落在直線y  x 4上∵斜率m   ，∴完全負相關，相關係數1 0 ^{r 1} (C)：當 20 筆資料完全落在直線y x 7，則利用「最小平方法」的迴歸直線為y x 7

(D)：y對 x 迴歸直線yy

20

1

20 2

1

( )( ) ( ) ( )

i i

i

i i

x x y y

x x x x





 

 







，

∴y對 x 迴歸直線必過點( , )x y

三、填充題: 每題 10 分

1. 請排出下面 5 個散布圖中， x 、y的相關係數之大小次序：__________。

(A) (B) (C) (D) (E)

【解答】： b e c d   a

2. 某次民意調查，從隨機抽樣的 300 人中，得到對三位臺北縣縣長候選人的支持率如表，現在 從這300 人中任選兩人，則這兩人支持同一候選人的機率為__________。

候選人 甲 乙 丙

支持率 25% 30% 45%

【解答】： ²¹¹ 598

【解析】：在接受調查的300 人中，支持候選人甲、乙、丙的人數分別是 75，90，135，從 300 人中選出兩人，選法有C₂³⁰⁰ 300 299

2

  44850種又選出兩人支持同一候選人的選法有

75 90 135

2 2 2

C C C 2775 4005 9045  15825種 故兩人支持同一候選人的機率為¹⁵⁸²⁵

44850

211

598

3. 某公司調查 360 位男、女員工對公司的福利制度是否滿意，其人數統計如下，則：

意見

性別 滿意 不滿意 合計

男性 165 35 200

女性 135 25 160

合計 300 60 360

(1)男性員工滿意的比率是__________。 (2)全體員工滿意的比率是__________。

(3)滿意的員工中，男性滿意的比率是__________。

【解答】：(1)¹⁶⁵

200 (2)⁵

6 (3)55%

【解析】：(1)男性員工滿意的比率是¹⁶⁵ 82.5%

200  (2)全體員工滿意的比率是³⁰⁰

360≒83.33%

(3)滿意的員工中，男性占的比率是¹⁶⁵ 55%

300

4. 對 20 對夫婦年齡做調查，設先生的年齡為X，太太的年齡為Y，其算術平均數分別為X 與Y 且x   ，x_i X y   ，已知y_i Y X Y 298，X ² 346，Y ² 395，則20 對夫妻年齡相 關係數為__________。

【解答】：0.806

【解析】： r

2 2

x y

x y

  

    

298 346 395

 0.806

5. 含 10 個數值的兩變數 x 與y的直線相關係數r0.74，變數 x ，y滿足x 10x ，5 2 3

y  y ，則 x ，y的相關係數r__________。

【解答】：0.74

【解析】：當ac 時，0 r ax b cy(  , d)r x y( , )， x 與y的相關係數r r x y( , ) 0.74

第 12 頁

6. 蒐集臺灣 8 個地點的公告地價與市價（單位：萬元／坪）如下：

公告地價（ x ） 12 10 22 30 8 40 20 18 市價（ y ） 15 11 28 40 10 72 39 25

(1)試求市價對公告地價的迴歸直線方程式為__________。

(2)若某塊土地公告地價是每坪 28 萬元，利用上面的迴歸式預測其市價為__________萬元。

【解答】：(1) ^{11 20}

6 3

y x (2)44.7

【解析】：

x y

xix y_iy (x_i x)² (x_ix y)( _iy)

12 15 8 15 64 120 10 11 10 19 100 190 22 28 2 2 4 4

30 40 10 10 100 100

8 10 12 20 144 240 40 72 20 42 400 840

20 39 0 9 0 0

18 25 2  5 4 10 20

x y30 (x_ix)² 816 (x_ix y)( _iy) 1496

迴歸直線的斜率 b ^Y

X

rS

 S ^XY

XX

S

 S ¹

2 1

( )( ) ( )

n

i i

i n

i i

x x y y

x x





 









1496

 816 11

 6

(1)迴歸直線方程式為 30 ¹¹( 20)

y  6 x ，即 ^{11 20}

6 3

y x (2)x28代入迴歸式 ^{11 20}

6 3

y x 得y44.7 預測市價為每坪約 44.7 萬元

7. 設有 10 組資料 ( , )x_i y ，經計算而得_i

10

1 i 450

i

x





 ^，10

1

i 1300

i

y





 ^{，10 2}

1

21250

i i

x





 ^{，10 2}

1

171250

i i

y





 ^，

10

1

59100

i i i

x y





 ，則其相關係數為_____；迴歸直線方程式為_____，又當x50時，y_____。

【解答】：0.4；y103 0.6 x；133

【解析】： x 45，y 130

r ¹

2 2

2 2

1 1

( ) ( )

n i i i

n n

i i

i i

x y n x y

x n x y n y



 

  



 



 

^{2 2}

59100 10 45 130

21250 10 45 171250 10 130

  

    

600 1000 2250

 0.4

迴歸直線的斜率 b ^XY

XX

S

 S 600 1000 0.6

 

迴歸直線必通過點( , ) (45 , 130)x y  ∴迴歸直線為y103 0.6 x， x50代入，y133

8. 設三資料(1 , 3)，(2 , 4)，(3 , )k 的迴歸線方程式為 ¹ 4

y 2x ，求 k__________。

【解答】：2

【解析】：迴歸線方程式必經過點( , ) (2 ,⁷ ) 3

x y k

 ，∴⁷ 1 4

3

k

     k 2

9. 設有一隨機樣本包含 200 對父子體重 ( , )x_i y 的觀察資料，且已算出下列的統計量（單位為公_i 斤）：x68，y69， ²

1

( ) 1920

n i i

x x



 



^{， 2}

1

( ) 2040

n i i

y y



 



^，

1

( )( ) 1010

n

i i

i

x x y y



  



^，

200

n ，則：

(1)兩變數 x 與y的相關係數 101

 48 a ， a N ，求 a__________。

(2)最適合這 200 個資料點的變數y對 x 之直線方程式為y69m x( 68)，求 m ______。

【解答】：(1)17 (2)¹⁰¹ 192

【解析】：(1)r ¹

2 2

1 1

( )( )

( ) ( )

n

i i

i

n n

i i

i i

x x y y

x x y y



 

 



 



 

1010 1920 2040

 101

48 17

  a 17

(2)最佳直線的斜率 ¹

2 1

( )( ) ( )

n

i i

i n

i i

x x y y

x x





 









1010

1920 101

192

10. (1)設兩變數 x 與y的相關係數為0.3，則4x 與6 6y4的相關係數為__________。

(2)設兩變數 x 與y的相關係數為0.7，則  與5x 4 4y5的相關係數為__________。

【解答】：(1)0.3 (2)0.7

【解析】：(1) 4 6 0   ∴所求的相關係數依然是0.3

(2)( 5) 4 0   ∴所求的相關係數是( 1) ( 0.7)   0.7

11.有五組資料如下表所列：

(1)若 x 、y的相關係數 17 r

k

 ，則 k  __________。 ^{x 1 2 3 4 5}

y 2 3 5 6 9

第 14 頁

(2)若y對 x 的迴歸直線為y a bx，則 b __________。

【解答】：(1)300 (2) ¹⁷ 10

【解析】： x 1 2 3 4 5 5

   

  ， 3

y ^{2 3 5 6 9} 5

   

  5

SXY ¹



( 2) ( 3) ( 1) ( 2) 0 0 1 1 2 4



 4              17

 4

SX 1 ^{2 2 2 2 2} ( 2) ( 1) 0 1 2

4  

         ^{ 10}₂

SY 1 ^{2 2 2 2 2} ( 3) ( 2) 0 1 4

4  

         ^{ 30}₂

(1)r ^XY

X Y

S

 S S

17 4 10 30

2 2





17

 300 ，即k 300

(2) b ^XY₂

X

S

 S

17 104 4

 ¹⁷

 10

12.有 n 筆資料 ( , )x_i y ，其算術平均數_i x  ，3 y5，標準差S_X  ，2 S_Y  。已知4 y對 x 的迴歸 直線通過(2 , 6)，則相關係數r為__________。

【解答】： 0.5

【解析】：∵(3 , 5)，(2 , 6)在迴歸直線上

∴由點斜式知y對 x 的迴歸直線為y5 5 6

( 3) 3 2 x

 

 ，即y 8 x 又 1 ^Y

X

r S

   S 4

1 r 2

      r 0.5

13.設變數 x、y的二維數據( ,x₁ y₁),(x₂ , y₂),…,(x_n , y_n)的樣本相關係數為 3

1

，另一組變數X 、

Y可以變數 x 、y表示為X_i 2x_i1，Y_i   y_i 4，則X 、Y 的樣本相關係數為 c 1，則

c _____。

【解答】：3

【解析】：∵X_i 2x_i1，Y_i   y_i 4且2 ( 1) 0  

故(X、 的樣本相關係數Y )   、 的樣本相關係數(x y )，¹_c^{ (}₃^{1)c 3}

14.由某學校抽樣 10 位教師的年齡（ x ）與血壓（y）之資料，結果算出

10

1 _i 450

i

 x 

 ，¹⁰

1 _i 1300

i

 y 

 ，^{10 2}

1 _i 21250

i

 x 

 ，^{10 2}

1 _i 171250

i

 y 

 ，¹⁰

1 _{i i} 59100

i

 x y 



(1)則血壓對年齡的迴歸式為。(2)若該校一位老師年齡為 50 歲，預測此教師的血壓為 ________。

【解答】：(1)y103 0.6 x (2)133

【解析】：y對 x 之迴歸式為y ^y( )

x

Y r S x x

  ．S  ， ⁴⁵⁰ 45

X  10  ，Y 1300

 10 130

10

1( _i )

i

x x

 

 ^{10 2 2}

1 _i 10( )

i

x x

  21250 10 45 ． ² 1000 ¹⁰

1( _i )( _i )

i

x X y Y

  

 ¹⁰

1 _{i i} 10

i

x y X Y

 

59100 10 45 130 ． ． 600

b ⁶⁰⁰

100 0.6

(1)迴歸直線過( , )x y (45 , 130)，∴^y 103 0.6x 即為所求 (2)x50時，y 103 0.6 50 ． 133