962 ᑖᵬ 08-12 I ʟʠὃϘ 1. (10%)  R FM −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 ஺  ZZ

962 微積分甲 08-12 班 期末考題

1. (10%) 令 R 為矩形 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 。 求 Z Z

R|y − x²|dA 。

Z Z

R|y − x²|dA = Z ¹

−1

Z x² 0

(x²− y)dydx + Z ¹

−1

Z ²

x²(y − x²)dydx (5 points)

= Z 1

−1

(tx² −1

2x²y)|^x02dx + Z 1

−1

(1

2y²− x²y)|²x²dx (2 points)

= 46

15 (1 point)

2. (10%) 求 Z ¹₂

0

Z √

1−y²

√3y

ln(x²+ y²)dxdy 。

Z ¹/2 0

Z √

1−y²

√3y

ln(x²+ y²)dxdy = Z ^π₆

0

Z ¹

0

ln r²· rdrdθ (4 points)

= π 6 · lim

a→0

1

2(r²ln r²− r²)|¹a

= −π

12 (2 points)

3. (10%) 求 Z ²

0

Z _4−x²

0

Z x 0

sin 2z

4 − zdydzdx 。

4. (12%) 令 D = {(x, y, z)|2x²+ 3y²+ 5z² + 6yz + 2xz ≤ 1} 。 求 Z Z Z

D

(x + y + z)²dV 。

(提示: 利用 2x²+ 3y²+ 5z²+ 6yz + 2xz = (x + y + z)²+ (x − y)²+ (y + 2z)², 可以將 D 轉換成一球體。)

Let











u = x + y + z v = x − y w = y + 2z

then











x = ¹₃(2u + v − w) y = ¹₃(2u − 2v − w) z = ¹₃(−u + v + 2w)

|∂(x, y, z)

∂(u, v, w)| = |         

2 3

1 3 −¹3 2

3 −²3 1 3

−¹3 1 3

2 3

| = | − 1 3| = 1

3

Z Z Z

D

(x + y + z)²dV = 1 3

Z Z Z

D

u²dudvdw

Let











u = ρ sin φ cos θ v = ρ sin φ sin θ w = ρ cos φ

then|∂(u, v, w)

∂(ρ, φ, θ)| = ρ²sin φ

1 3

Z Z Z

D

u²dudvdw = 1 3

Z ²π 0

Z π 0

Z ¹

0

(ρ sin φ cos θ)² · ρ²sin φdρdφdθ

= 4

45π

2

5. (14%) 令 F = yz²i+ (xz² + ze^yz)j + (2xyz + p(y, z) + 1

1 + z)k, 其中 p(y, z) 為變數 y, z 的函數, 它有 連續的一階偏導函數, 且 p(0, z) = 0 。 假設 F 為保守場 (conservative):

(a) 求 p(y, z) 。

(b) 求 F 的位勢函數 (potential function)。

(c) 令曲線 C 為 r(t) = ti + t²j+ t³k, 0 ≤ t ≤ 1, 求 Z

C

F· dr 。

φ is a potential,

∂φ

∂x = yz² ⇒ φ = xyz²+ θ(y, z)

∂φ

∂y = xz²+ ^∂θ_∂y(y, z) = xz²+ ze^yz

∂θ

∂y = ze^yz ⇒ θ = e^yz+ σ(z) and

φ = xyz²+ e^yz+ σ(z)

∂φ

∂z = 2xyz + ye^yz+ σ^′(z) = 2xyz + p(y, z) +₁₊¹_z

⇒ ye^yz= p(y, z), σ(z) = ln(1 + z) + C (a) p(y, z) = ye^yz

(b) φ = xyz² + e^yz+ ln(1 + z) + C (c) R

CF dr = φ(1, 1, 1) − φ(0, 0, 0) = e + ln 2~

6. (10%) 令 R 為矩形 1 ≤ x ≤ √

3,^√1₃ ≤ y ≤ 1, C 為 R 的邊界, 且取逆時針方向, n 為往外的單位法向量;

F= (x + 2y tan⁻¹x

1 + y² )i + (y − ln(1 + y²) 1 + x² )j 。 求

I

C

F· nds 。

div ~F = 1

1 + y² + 2y

(1 + x²)(1 + y²)+ 1

1 + x² − 2y

(1 + x²)(1 + y²) = 1

1 + y² + 1 1 + x² Use Green’s Thm

I

C = F · nds = Z Z

R

divFdA

= Z ^√3

1

Z 1

1

√3

1

(1 + y²) + 1

1 + x²dydx

= 3

18π

也可以在每個邊上運用線積分去計算, 也可以得到相同結果。

I

C

F·nds = Z ¹

1

√3

F(√

3, y)·(1, 0)dy+

Z ^√3

1

F(x, 1)·(0, 1)dx+

Z ¹

1

√3

F(1, y)·(−1, 0)dy+

Z ^√3

1

F(x, 1

√3)·(0, −1)dx

其中 y 的部分

Z 1

1

√3

√3 + ^π₃2y 1 + y² dy −

Z 1

1

√3

1 + ^π₄2y

1 + y² dy = π 12(√

3 − 1) + π

12(ln 2 − ln4 3)

x 的部分

Z ^√3

1

1 − ln 2 1 + x² dx −

Z ^√3

1

√1

3 − ln⁴3

1 + x² = π

12(1 − 1

√3) − π

12(ln 2 − ln4 3)

4

7. (12%) 令 S 為曲面 z = x² + y² 被平面 z = 0 及 z = 1 所截出的部份; 單位法向量 n 的方向指離 z 軸 (即

−n 指向 z 軸); F = 4xi + 4yj + 2k。 求 F 經由 S 的外通量 (outward flux)。

法向量 ~n = (2x, 2y, −1)/p1 + 4(x²+ y²) , dσ =p1 + 4(x²+ y²)dxdy ⇒(6 points) r_r× r^θ = (−2r²cos θ, −2r²sin θ, r) (3 points)

∇ · F = 8 ⇒(1point)

RRR ∇ · F dV = 4π ⇒(1point) 圓錐, 但算對 (6points)

div.thm – 上蓋, 算錯 (6 8 points) 計算錯誤 (8 12 points)

∇ × F (0point) , ∇ · F = (4, 4, 2),etc. (0point)

8. (10%) 令 S 為柱面 4x² + 9y² = 36,0 ≤ z ≤ 5 , 在 z = 5 處加上頂蓋 4x²+ 9y² ≤ 36; 單位法向量 n 的方向指離 z 軸 (即 −n 指向 z 軸); F = −yi+(x+z)j+x²k 。 求∇×F 經由 S 的外 通量 (outward flux)。

S 為整個柱面 (包含頂蓋),S1為側面,S2為頂蓋,S3為底部。 其中 S = S1 ∪ S² 且 C = ∂S3, 為逆時針 ( 由 於法向量指向柱體外部 )。

Solution1

C : {x = 3 cos t, y = 2 sin t, z = 0, 0 ≤ t ≤ 2π} By Stokes’ thm Z Z

S(∇ × F) · ~ndσ = I

C

F· dt = Z ²π

0 (−2 sin t, 3 cos t, 9 cos²t) · (−3 sin t, 2 cos t, 0)dt = 12π Solution2

∇ × F =         

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−y x + z x²         

= −i − 2xj + 2k

根據 Divergence Thm

Z Z

S(∇ × F) · ~ndσ + Z Z

S3

(∇ × F) · ~ndσ = Z Z Z

V ∇ · (∇ × F)dV = 0 Z Z

S³(∇ × F) · ~ndσ = Z Z

S³(−1, −2x, 2) · (0, 0, −1)dA = −12π ∴ Z Z

S(∇ × F) · ~ndσ = 12π 註: 底的面積亦可由 Green 定理求出

Solution3

S1 : {x = 3 cos s, y = 2 sin s, z = t, 0 ≤ s ≤ 2π, 0 ≤ t ≤ 5} ⇒ r¹(s, t) = (3 cos s, 2 sin s, t)

∂

∂sr1 = (−3 sin s, 2 cos s, 0),_∂t^∂r1 = (0, 0, 1)

~nS1 = (−3 sin s, 2 cos s, 0) × (0, 0, 1) = (2 cos s, 3 cos s, 0) RR

S1(∇ × F) · ~ndσ =R⁵

0

R²π

0 (−1, −2 · 3 cos s, 2) · (2 cos s, 3 sin s, 0)dsdt = 0 S2 : {x = 3r cos t, y = 2r sin t, z = 5, 0 ≤ t ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}

Similarily, RR

S2(∇ × F) · ~ndσ = 12π

6

9. (12%) 令 S 為環狀柱體 1 ≤ x²+ y² ≤ 2,1 ≤ z ≤ 2 的全表面; 單位法向量 n 的方向 指離 z 軸 (即 −n 指 向 z 軸); F = ln(x²+ y²)i − xyzj + z²px²+ y²k 。 求 F 經由 S 的外通量 (outward flux)。

Z Z

S

F· ndσ = Z Z

V

divFdV

= Z Z Z

V

2x

x²+ y² − xz + 2zpx²+ y²dV

= Z ²π

0

Z ^√2

1

Z ²

1

r(2r cos θ

r² − rz cos θ + 2rz)dzdrdθ

= 2π(2√ 2 − 1)

亦可不用 Divergence Theorem, 分成上下內外四部分, 直接計算 外:RR

S(∇ × F) · ~ndσ =R²

1

R²π 0 (√

2 cos θ ln 2 − 2√

2 cos θ sin²θz)√

2dθdz = · · · = 0 內:RR

S(∇ × F) · ~ndσ =R²

1

R²π

0 (cos θ sin²θz)dθdz = · · · = 0 上:RR

S(∇ × F) · ~ndσ =R²π 0

R²

1(4r²)drdθ = · · · = ⁸3π(2√ 2 − 1) 下:RR

S(∇ × F) · ~ndσ =R²π 0

R²

1(−r²)drdθ = · · · = ⁻²3 π(2√ 2 − 1)