Dynamic Programming (2) 下

Dynamic Programming (2) 下

by music960633

空間優化

• 給一個N*M的矩形，每格內有一個數字。由左上走到右下，且只 能往右走和往下走的路徑中，總和最大為多少？

• 定義狀態

• f(i,j)為走到點(i,j)時，路徑的最大值

• 狀態轉移

• f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))+a[i][j]

• 最後答案

• f(N,M)

空間優化

• 如何儲存狀態？

• 開一個N*M的二維陣列

• 能不能開少一點？

• 注意到f(n,?)只會用到f(n-1,?)和f(n,?)

• 不會用到f(n-2,?)、f(n-3,?)等狀態！

• 滾動數組

• 壓成1維陣列

空間優化

• 只開兩個陣列，做完一次之後將結果複製到原本的陣列

i=n-1

i=n i=n

i=n+1

空間優化

• 滾動數組：兩個陣列交替使用

• dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j]

• dp[i%2][j]=max(dp[(i+1)%2][j],dp[i%2][j])+a[i][j]

i=n i=n-1 i=n+1

i=n+2

空間優化

• 只使用1維陣列

• 注意到，每個狀態( 紅色 )只會使用到上面一格和左邊一格的狀態 ( 藍色 )

• 開一個一維陣列表示右圖中綠色格子的值：dp[j]

空間優化

• dp[j]=max(dp[j-1],dp[j])+a[i][j]

空間優化

• 當轉移式為f(i,j)=min(f(i,j+1),f(i-1,j))+a[i][j]

• dp[j]=min(dp[j+1],dp[j])+a[i][j]

• j由M掃到1

空間優化

• 當轉移式為f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i-1,j-1))+(i+j)

• dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])+(i+j)

• j由M掃到1

0/1 背包問題

• 有一個可以耐重W的背包，及N個物品，每個物品有各自的重量w

和價值v

，求在不超過重量限制的情況下往背包塞盡量多的東西，

總價值最大為多少？

• 如果w

和v

都很大，則此問題為一NP問題，但如果範圍較小，則 可以用DP的方法解決

• 暴力法 ：窮舉2

種可能的取法，找重量小於W的v

總合最大值

0/1 背包問題

• 定義狀態

• f(n,m)表示從前n個物品中選出重量總和恰為m的物品時，價值總合的最 大值。若不存在一種取法使得重量為m，則f(n,m)=-INF(或是其他數值，

如-1)

• 狀態數：N*W (重量超過W就不需要考慮了)

• 狀態轉移

• 從前n樣物品中選擇物品的最佳方案，一定是「有選到第n樣物品」和

「沒選到第n樣物品」其中一個(或者兩者一樣好)

• 如果最佳方案包含第n樣物品，則此最佳方案必為「選擇第n樣物品」及

「從前n-1項物品中取出重量為m-w_n的最佳方案」，因此可以得到 f(n,m) = f(n-1,m-w_n)+v_n

• 如果最佳方案不包含第n樣物品，則f(n,m) = f(n-1,m)

0/1 背包問題

• 狀態轉移

• f(n,m) = max(f(n-1,m), f(n-1,m-w_n)+v_n), m ≧ w_n

• f(n,m) = f(n-1,m), m < w_n

• 初始條件

• f(0,0) = 0

• f(0,k) = -INF, for k>0

• 最後答案

• max(f(N,k)), 0 ≦ k ≦ W

0/1 背包問題

• 實做

• 注意到，f(n,m)只依賴於f(n-1,m)及f(n-1,m-w_n)

• 滾動數組

• dp[n%2][m]=max(dp[(n+1)%2][m], dp[(n+1)%2][m-w[n]]+v[n])

• 開一維陣列

• m從M跑到0

• dp[m]=max(dp[m], dp[m-w[n]]+v[n])

• 時間複雜度

• O(NW)，N為物品個數，W為背包重量上限

0/1 背包問題

• 另解

• 定義狀態

• f(n,m)表示從前n個物品中選出價值總和恰為m的物品時，重量總合的最 小值。若不存在一種取法使得價值為m，則f(n,m)=INF

• 狀態數：N*V (V為所有物品總合)

• 狀態轉移

• 如果最佳方案包含第n樣物品，則此最佳方案必為「選擇第n樣物品」及

「從前n-1項物品中取出價值為m-v_n的最佳方案」，因此可以得到 f(n,m) = f(n-1,m-v_n)+w_n

• 如果最佳方案不包含第n樣物品，則f(n,m) = f(n-1,m)

0/1 背包問題

• 狀態轉移

• f(n,m) = min(f(n-1,m), f(n-1,m-v_n)+w_n), m ≧ v_n

• f(n,m) = f(n-1,m), m < v_n

• 初始條件

• f(0,0) = 0

• f(0,k) = INF, for k>0

• 最後答案

• max(k), for all 0 ≦ f(N,k) ≦ W

• 時間複雜度

• O(NV)，N為物品個數，V為物品價值總合

0/1 背包問題

• 比較兩種做法

• 用重量做為狀態

• 空間複雜度：O(W)

• 時間複雜度：O(NW)

• 限制：W不能太大

• 用價值做為狀態

• 空間複雜度：O(V)

• 時間複雜度：O(NV)

• 限制：V不能太大

無限背包問題

• 有一個可以耐重W的背包，及N種物品，每種物品有各自的重量w

和價值v

，且數量為無限多，求在不超過重量限制的情況下往背 包塞盡量多的東西，總價值最大為多少？

• 定義狀態

• f(n,m)表示從前n種物品中選出重量總和恰為m的物品時，價值總合的最 大值。若不存在一種取法使得重量為m，則f(n,m)=-INF

無限背包問題

• 狀態轉移

• 從前n樣物品中選擇物品的最佳方案，一定是「第n樣物品取了0個」、

「第n樣物品取了1個」...「第n樣物品取了k個」中的最佳方案，其中k 為滿足 w_i*k ≦ m 的最大可能值

• f(n,m)=max(f(n-1,m),

f(n-1,m-w_n)+v_n,

f(n-1,m-2*w_n)+2*v_n, ...,

f(n-1,m-k*w_n)+k*v_n )

• 整理之後得到 f(n,m)=max(f(n-1,m), f(n,m-w_n)+v_n)

無限背包問題

• 實做

• 注意到，f(n,m)只依賴於f(n-1,m)及f(n,m-w_n)

• 滾動數組

• dp[n%2][m]=max(dp[(n+1)%2][m], dp[n%2][m-w[n]]+v[n])

• 開一維陣列

• m從0跑到M

• dp[m]=max(dp[m], dp[m-w[n]]+v[n])

• 時間複雜度

• O(NW)，N為物品個數，W為背包重量上限

有限背包問題

• 有一個可以耐重W的背包，及N種物品，每種物品有各自的重量w

和價值v

，且 數量為k

個，求在不超過重量限制的情況下往背包 塞盡量多的東西，總價值最大為多少？

• 做法：將k

個相同物品視為不同物品，做0/1背包，時間複雜度

為O(NWK)，其中K為重複數量的最大值

有限背包問題

• 另一種做法

• 狀態轉移

• f(n,m)=max(f(n-1,m), f(n-1,m-w_n)+v_n, f(n-1,m-2*w_n)+2*v_n,...,f(n-1,m-k*w_n)+k*v_n), where k ≦ k_i

• O(K)轉移

• 時間複雜度還是O(NWK)

• 更快的做法將在之後的課程中提到，有限背包問題有時間複雜度O(NW*logK) 及O(NW)的做法

換零錢問題

• 有N個不同的銅板，面額分別為c[1~N]，問

• 1. 能不能湊出恰好M元？

• 2. 如果可以，共有幾種方法？

• 3. 如果可以，最少需要用幾個銅板？

• 4. 能不能分成兩堆，使得兩堆的總和相等？

• 5. 能不能分成兩堆，使得兩堆的總和為x:y？

• 6. ...

換零錢問題

• 其實這根本是弱化版的背包問題！

• 可以想成每樣物品有重量c[i]，價值為1

• 1. 能不能湊出恰好M元？

• 因為只問「能不能湊出」，因此只需要開bool陣列就可以了

• f(n,m) = f(n-1,m) OR f(n-1,m-c[n])

• 2. 湊出M元的方法數有幾種？

• f(n,m) = f(n-1,m) + f(n-1,m-c[n])

換零錢問題

• 3. 湊出M元需要最少的銅板數是幾個？

• 完全是背包問題，只是最大值改成最小值

• f(n,m) = min(f(n-1,m), f(n-1,m-c[n])+1)

• 4. 能不能分成兩堆，使得兩堆總和相等？

• 只要看能不能湊出sum(c[i])/2元就可以了

• 5. 能不能分成兩堆，使得兩堆總和為x:y？

• 只要看能不能湊出sum(c[i])*x/(x+y)元就可以了