Dynamic Programming (2) 下

Dynamic Programming (2) 下

by music960633

空間優化 空間優化

• 給一個 N*M 的矩形，每格內有一個數字。由左上走到右下，且只 能往右走和往下走的路徑中，總和最大為多少？

• 定義狀態

• f(i,j) 為走到點 (i,j) 時，路徑的最大值

• 狀態轉移

• f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i,j-1))+a[i][j]

• 最後答案

• f(N,M)

空間優化 空間優化

• 如何儲存狀態？

• 開一個 N*M 的二維陣列

• 能不能開少一點？

• 注意到 f(n,?) 只會用到 f(n-1,?) 和 f(n,?)

• 不會用到 f(n-2,?) 、 f(n-3,?) 等狀態！

• 滾動數組

• 壓成 1 維陣列

空間優化 空間優化

• 只開兩個陣列，做完一次之後將結果複製到原本的陣列

i=n-1

i=n i=n

i=n+1

空間優化 空間優化

• 滾動數組：兩個陣列交替使用

• dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+a[i][j]

• dp[i%2][j]=max(dp[(i+1)%2][j],dp[i%2][j])+a[i][j]

i=n i=n-1 i=n+1 i=n+2

空間優化 空間優化

• 只使用 1 維陣列

• 注意到，每個狀態 ( 紅色 ) 只會使用到上面一格和左邊一格的狀 態 ( 藍色 )

• 開一個一維陣列表示右圖中綠色格子的值： dp[j]

空間優化 空間優化

• dp[j]=max(dp[j-1],dp[j])+a[i][j]

空間優化 空間優化

• 當轉移式為 f(i,j)=min(f(i,j+1),f(i-1,j))+a[i][j]

• dp[j]=min(dp[j+1],dp[j])+a[i][j]

• j 由 M 掃到 1

空間優化 空間優化

• 當轉移式為 f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i-1,j-1))+(i+j)

• dp[j]=min(dp[j],dp[j-1])+(i+j)

• j 由 M 掃到 1

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 有一個可以耐重 W 的背包，及 N 個物品，每個物品有各自的重量 w

和價值 v

，求在不超過重量限制的情況下往背包塞盡量多的東 西，總價值最大為多少？

• 如果 w

和 v

都很大，則此問題為一 NP 問題，但如果範圍較小，

則可以用 DP 的方法解決

• 暴力法 ：窮舉 2

種可能的取法，找重量小於 W 的 v

總合最大值

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 定義狀態

• f(n,m) 表示從前 n 個物品中選出重量總和恰為 m 的物品時，價值總合的 最大值。若不存在一種取法使得重量為 m ，則 f(n,m)=-INF( 或是其他數 值，如 -1)

• 狀態數： N*W ( 重量超過 W 就不需要考慮了 )

• 狀態轉移

• 從前 n 樣物品中選擇物品的最佳方案，一定是「有選到第 n 樣物品」和

「沒選到第 n 樣物品」其中一個 ( 或者兩者一樣好 )

• 如果最佳方案包含第 n 樣物品，則此最佳方案必為「選擇第 n 樣物品」

及「從前 n-1 項物品中取出重量為 m-w_n 的最佳方案」，因此可以得到 f (n,m) = f(n-1,m-w_n)+v_n

• 如果最佳方案不包含第 n 樣物品，則 f(n,m) = f(n-1,m)

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 狀態轉移

• f(n,m) = max(f(n-1,m), f(n-1,m-w_n)+v_n), m ≧ w_n

• f(n,m) = f(n-1,m), m < w_n

• 初始條件

• f(0,0) = 0

• f(0,k) = -INF, for k>0

• 最後答案

• max(f(N,k)), 0 ≦ k ≦ W

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 實做

• 注意到， f(n,m) 只依賴於 f(n-1,m) 及 f(n-1,m-w_n)

• 滾動數組

• dp[n%2][m]=max(dp[(n+1)%2][m], dp[(n+1)%2][m-w[n]]+v[n])

• 開一維陣列

• m 從 M 跑到 0

• dp[m]=max(dp[m], dp[m-w[n]]+v[n])

• 時間複雜度

• O(NW) ， N 為物品個數， W 為背包重量上限

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 另解

• 定義狀態

• f(n,m) 表示從前 n 個物品中選出價值總和恰為 m 的物品時，重量總合的 最小值。若不存在一種取法使得價值為 m ，則 f(n,m)=INF

• 狀態數： N*V (V 為所有物品總合 )

• 狀態轉移

• 如果最佳方案包含第 n 樣物品，則此最佳方案必為「選擇第 n 樣物品」

及「從前 n-1 項物品中取出價值為 m-v_n 的最佳方案」，因此可以得到 f (n,m) = f(n-1,m-v_n)+w_n

• 如果最佳方案不包含第 n 樣物品，則 f(n,m) = f(n-1,m)

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 狀態轉移

• f(n,m) = min(f(n-1,m), f(n-1,m-v_n)+w_n), m ≧ v_n

• f(n,m) = f(n-1,m), m < v_n

• 初始條件

• f(0,0) = 0

• f(0,k) = INF, for k>0

• 最後答案

• max(k), for all 0 ≦ f(N,k) ≦ W

• 時間複雜度

• O(NV) ， N 為物品個數， V 為物品價值總合

0/1 背包問題 0/1 背包問題

• 比較兩種做法

• 用重量做為狀態

• 空間複雜度： O(W)

• 時間複雜度： O(NW)

• 限制： W 不能太大

• 用價值做為狀態

• 空間複雜度： O(V)

• 時間複雜度 ： O(NV)

• 限制： V 不能太大

無限背包問題 無限背包問題

• 有一個可以耐重 W 的背包，及 N 種物品，每種物品有各自的重量 w

和價值 v

，且數量為無限多，求在不超過重量限制的情況下往 背包塞盡量多的東西，總價值最大為多少？

• 定義狀態

• f(n,m) 表示從前 n 種物品中選出重量總和恰為 m 的物品時，價值總合的 最大值。若不存在一種取法使得重量為 m ，則 f(n,m)=-INF

無限背包問題 無限背包問題

• 狀態轉移

• 從前 n 樣物品中選擇物品的最佳方案，一定是「第 n 樣物品取了 0 個」

、 「第 n 樣物品取了 1 個」 ... 「第 n 樣物品取了 k 個」中的最佳方案

，其中 k 為滿足 w_i*k ≦ m 的最大可能值

• f(n,m)=max(f(n-1,m),

　　　　　　　 f(n-1,m-w_n)+v_n, 　　　　　　　　　 　　　　　　　 f(n-1,m-2*w_n)+2*v_n,

　　　　　　　 ...,

　　　　　　　 f(n-1,m-k*w_n)+k*v_n 　 )

• 整理之後得到 f(n,m)=max(f(n-1,m), f(n,m-w_n)+v_n)

無限背包問題 無限背包問題

• 實做

• 注意到， f(n,m) 只依賴於 f(n-1,m) 及 f(n,m-w_n)

• 滾動數組

• dp[n%2][m]=max(dp[(n+1)%2][m], dp[n%2][m-w[n]]+v[n])

• 開一維陣列

• m 從 0 跑到 M

• dp[m]=max(dp[m], dp[m-w[n]]+v[n])

• 時間複雜度

• O(NW) ， N 為物品個數， W 為背包重量上限

有限背包問題 有限背包問題

• 有一個可以耐重 W 的背包，及 N 種物品，每種物品有各自的重量 w

和價值 v

，且數量為 k

個，求在不超過重量限制的情況下往 背包塞盡量多的東西，總價值最大為多少？

• 做法：將 k

個相同物品視為不同物品，做 0/1 背包，時間複雜度

為 O(NWK) ，其中 K 為重複數量的最大值

有限背包問題 有限背包問題

• 另一種做法

• 狀態轉移

• f(n,m)=max(f(n-1,m), f(n-1,m-w_n)+v_n, f(n-1,m- 2*w_n)+2*v_n,...,f(n-1,m-k*w_n)+k*v_n), where k ≦ k_i

• O(K) 轉移

• 時間複雜度還是 O(NWK)

• 更快的做法將在之後的課程中提到，有限背包問題有時間複雜度 O(NW*log K) 及 O(NW) 的做法

換零錢問題 換零錢問題

• 有 N 個不同的銅板，面額分別為 c[1~N] ，問

• 1. 能不能湊出恰好 M 元？

• 2. 如果可以，共有幾種方法？

• 3. 如果可以，最少需要用幾個銅板？

• 4. 能不能分成兩堆，使得兩堆的總和相等？

• 5. 能不能分成兩堆，使得兩堆的總和為 x:y ？

• 6. ...

換零錢問題 換零錢問題

• 其實這根本是弱化版的背包問題！

• 可以想成每樣物品有重量 c[i] ，價值為 1

• 1. 能不能湊出恰好 M 元？

• 因為只問「能不能湊出」，因此只需要開 bool 陣列就可以了

• f(n,m) = f(n-1,m) OR f(n-1,m-c[n])

• 2. 湊出 M 元的方法數有幾種？

• f(n,m) = f(n-1,m) + f(n-1,m-c[n])

換零錢問題 換零錢問題

• 3. 湊出 M 元需要最少的銅板數是幾個？

• 完全是背包問題，只是最大值改成最小值

• f(n,m) = min(f(n-1,m), f(n-1,m-c[n])+1)

• 4. 能不能分成兩堆，使得兩堆總和相等？

• 只要看能不能湊出 sum(c[i])/2 元就可以了

• 5. 能不能分成兩堆，使得兩堆總和為 x:y ？

• 只要看能不能湊出 sum(c[i])*x/(x+y) 元就可以了