行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
新型顯微鏡式雷射都卜勒振動儀應用於原子力顯微鏡探針
之動態研究
計畫類別： 個別型計畫
計畫編號： NSC92-2212-E-006-118-
執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日
執行單位： 國立成功大學機械工程學系（所）
計畫主持人： 陳聯文
計畫參與人員： 楊文佩、王俊智、劉俊逸
報告類型： 精簡報告
處理方式： 本計畫可公開查詢
中 華 民 國 93 年 11 月 1 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫
□ 成 果 報 告
□期中進度報告
新型顯微式雷射都卜勒振動儀應用於原子力顯微鏡探針之動態研究
計畫類別：□ 個別型計畫 □ 整合型計畫
計畫編號：NSC 92－2212－E－006－118－
執行期間：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日
計畫主持人：陳聯文 國立成功大學機械工程學系
共同主持人：
計畫參與人員：楊文佩、王俊智、劉俊逸
成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：□精簡報告 □完整報告
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、
列管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢
□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢
執行單位：國立成功大學機械工程學系
中 華 民 國 93 年 10 月 31 日
- 1 -
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
新型顯微式雷射都卜勒振動儀應用於原子力顯微鏡探針之動態研究
計畫編號：NSC 92-2212-E-006-118
執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日
主持人：陳聯文 國立成功大學機械工程學系
計畫參與人員：楊文佩、王俊智、劉俊逸
一、中文摘要 在微機電的製程中，基材的表面起伏對於元件 的性能與壽命有相當大的影響，在 1986 年原子力顯微鏡（Atomic Force Microscopy, AFM）發明，使 人類對於材料更細微的表面現象有了更進一步的 研究。AFM 的基本原理是利用探針與試件表面的凡 得瓦耳力作用，影響探針懸臂樑的動態行為，藉由 此量測訊號得知試件表面的高低起伏或不同材料 的分佈情形。所以如何精準地測量懸臂樑探針的動 態行為是相當必要的。 在本計劃裡，我們探討 AFM 探針之懸臂樑的 振動行為，經由理論的分析可知懸臂樑所受到的力 量梯度會改變懸臂樑的共振頻率，換句話說，試件 與探針間作用力的改變會造成共振頻率的偏移；以 經由頻率的量測可得探針懸臂樑所受到的力量梯 度，進而得知試件的表面形貌。而懸臂樑的頻率可 經由位置感知器的量測得到，為了量測微小尺寸的 懸臂樑，利用透鏡的裝置達到顯微的效果。另一方 面，奈米碳管由於具有極小的尺寸、超高的剛性和 共振頻率，許多學者專家嘗試將其應用在微小物理 量的量測上。若直接將奈米碳管應用為原子力顯微 鏡探針的懸臂樑，因奈米碳管的高自然振動頻率， 在量測時會有較大的頻率偏移量，並因其有優良的 撓曲性及較高的自然頻率，雜訊量會比傳統探針小 很多。 關鍵詞：振動量測、原子力顯微鏡探針、奈米碳管 Abstract
Since the atomic force microscopy (AFM) was invented in 1986, there have been advanced researches about the material surface and the nano-technology made great progress in recent years. The basic theory of AFM depends on the Van Der Waal force between the cantilever probe and the sample surface, and the interaction force affects the dynamic response of the cantilever probe. By measuring the dynamic response of the cantilever probe, the geometry and roughness of the sample surface can be known. To measure the dynamic response precisely is a very important work.
In this work, the dynamic response of the AFM
probe will be present. After the theoretical analysis, the interaction force between the probe and sample will shift the natural frequencies of the cantilever probe. Then, the roughness of the surface of the sample can be extracted from the difference of natural frequencies of the probe. The natural frequency of the probe can be detected by the position sensing detector. For measurement the vibration of the probe, some optical lens must be used.
The nanotube, that have small size, high stiffness and high natural frequency, can be used to nano measurment. Sometime, the nanotube will be the AFM probe. Nanotube will have the large difference of the natural frequency and good signal to noise ratio.
Keywords: vibration measurement, AFM cantilevers,
nanotube 二、緣由與目的
原子力顯微鏡(AFM)利用原子之間的凡得瓦力 （Van Der Waals Force）之作用來呈現試件的表面 特性[1,2]。AFM 除了提供其他量測儀器無法達到的 原子級的解析度能力外，其量測的環境可不必在真 空的環境中，可直接在大氣中或者在液相環境中工 作[3]，因這兩項的特點，使 AFM 的應用性更加的 廣泛。所以 AFM 的發展對於微小結構的量測有非 常大的貢獻[4]，更重要的是它是人類前往奈米技術 的跳板。 AFM 是利用探針來取得試件表面的訊息；藉由 探針與待測試件間作用力的關係，來擷取所需要的 資料。根據量測資料的不同，AFM 可分為：側向力 顯微鏡 (Lateral Force Microscopy, LFM)、近場光學
顯 微 鏡 (Near-field Scanning Optical Microscopy,
NSOM) 、 靜 電 力 顯 微 鏡 (Electrostatic Force microscopy, EFM)、表面電位顯微鏡 (Surface Kelvin Microscopy, SKM)等。AFM 的操作摸式若以探針針 尖與試件的距離來分的話，一般分為接觸式、非接 觸式以及敲擊式；若以分析訊號方式的不同，可分 為振幅調變與頻率調變兩方式。雖然 AFM 有許多 分類，但都是基於同一個基本原理，就是利用微小 探 針 針 尖 的 原 子 與 試 件 表 面 原 子 間 的 交 互 作 用 力，由於不同原子間的距離有不同的作用力，不同
的作用力會對探針的振幅或共振頻率有不同的影 響，透過量測微懸臂樑的振幅變化或是頻率偏移 量，則可計算出探針針尖與表面原子間的距離，進 而求得試件表面的粗糙度。 由以上可知，AFM 探針在量測過程中的振動資 訊，是決定AFM 量測性能的關鍵。且 AFM 的應用 領域不只是在量測方面，更可以應用在加工方面 [5]，利用強度較強的探針對事件表面做加工。所以 精準地取得探針的動態行為是一門很重要的課題。 三、結果與討論 3.1 基本理論 為了瞭解微小結構的表面粗度與材料變化情 形，AFM 探針的振盪會受到試件表面原子力的影 響；為了完整瞭解動態 AFM 的操作，必須解決探 針在原子力作用下的運動方程式。求解一個三維模 型(懸臂樑)的運動方程式是一個非常艱鉅的過程， 使用對稱條件可使微小懸臂樑的三維模型簡化成 一維的物件，其運動方程式如下： ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 4 4 t x F t t x w x t x w EI = ∂ ∂ + ∂ ∂ µ (1) 其中 w(x,t)是懸臂樑的橫向(transverse)位移，E、I 及μ分別代表樑的楊氏係數、慣性矩和線密度，而 F(x,t)則包括所有作用在探針上的力量。在 AFM 的 應用方面，此外力項大都著眼於凡得瓦力及探針與 試件表面的接觸力[6,7]。
對於敲擊式(tapping mode)之 AFM，因探針受 到壓電材料的電力激振，會在共振頻率下(或接近共 振頻率)振盪，其振盪的振幅當作回授的參數，用以 量測試件表面的粗度。 為了進一步瞭解探針的運動，將探針的運動方 程式加上阻尼與點重(point-mass)的影響如： ) cos( 0 0 w F F t Q m kw w m&&+ + ω = ts+ ω (2) 其中 F0及ω 分別為驅動力的振幅與頻率，而 Q、ω0 與 k 則為 quality factor、懸臂樑的共振頻率及彈性 係 數 。 在 不 考 慮 探 針 與 試 件 表 面 的 作 用 力 下 (Fst =0)，上式的運動方程為一個帶有阻尼的振動 器，則解可假設為： ) cos( ) cos( ) exp(−α ω +β + ω −φ =B t t A t w r (3) 此方程式的解包含暫態項與穩態項；穩態項是 一個正弦函數且與激振的外力有個相位差，振幅 A 的大小可表示為：
[
2]
1/2 0 2 2 2 0 0 ) / ( ) ( / ) ( Q m F A ω ω ω ω ω + − = (4) 且相位差為： 2 2 0 0/ tan ω ω ω ω φ − = Q (5) 而阻尼項會修正懸臂樑的共振頻率，修正後的 共振頻率與自然共振頻率的關係如下： 2 / 1 2 0 ) 2 1 1 ( Q r=ω − ω (6) 以上的分析是考慮一個懸臂樑受一值為 F0的 簡諧力影響，若是考慮懸臂樑被一個二次關係的探 針與試件表面力所影響，而且所有施於探針的力包 含了彈性響應 kz以及探針與試件作用力 Fts，則對一 微小位移對平衡位置的力關係式表示如下： ) ( ) ( 0 0 z z dz dF F F = + z − (7) 0 ) ( z ts e dz dF k dz dF k =− = − (8) 則新的共振頻率可表示如下 2 / 1 ] ) / ( [ m dz dF k ts e − = ω (9) 由上式可知，力量梯度會影響懸臂樑的共振頻 率，換句話說，試件與探針間作用力的改變會造成 共振頻率的偏移。所以經由頻率的量測可得知試件 與探針之間的表面關係。 3.2 位置感知器量測原理應用位置感知器(Position Sensing Detector)可 量測懸臂樑之振動頻率。位置感知器是一種光電二 極體，以矽為主要材料；在其量測範圍內，可提供 光點位置的訊號。 其量測原理是利用雷射光源將待測物體的影 子投射到感測器上，投射的位置經過感測器的處理 得知，簡單的一維位置感知器如圖（1）所示。以 光點為例，當光點投影在感測器上，且位置為 x。 此時感測器會因投影光點的作用引起電流，稱之光 電流；假設輸出的電流在兩極分別為Ix+，Ix-，感測 器的全長為2L，所以對一維的位置感知器而言，投 影光點的位置x 可表示為： L I I I I x x x x x − + − + + − = (10) 其中，Ix+，Ix-可以在兩端的電極量測得到。位置的 量測結果與雷射光源的光強度無關。以上的原理是 描述是光點位置的量測方式，亮場中，物體投射點 的位置可經由相同的原理得到。 所以在雷射光的照射下，位置感知器可同時量 測範圍內光點的位置與強度。因為位置感知器輸出 的訊號是與位移成正比的電壓，所以只要紀錄輸出 電壓的變化，便可以量測到懸臂樑的振動頻率及位 移大小。為了取得懸臂樑的振動訊號，必須將含有 振動訊號的雷射光打在位置感知器的感範圍內；一 般尺寸的懸臂樑可直接將雷射光擴束後打在位置 感知器上，再將懸臂樑置於雷射光束中。但 AFM 棎針之懸臂樑的尺寸大約是幾百微米的大小，要利 用位置感知器量測探針的振動頻率則需外加其它 裝置。
- 3 - 3.3 微小物體的振動量測 微小尺寸的物體，如 AFM 探針之懸臂樑，如 何得到其精確的動態資訊是相當重要的。為了使用 位置感知器當作訊號擷取的裝置，我們必需讓雷射 在 懸 臂 樑 上 的 投 影 可 以 清 楚 在 位 置 感 知 器 上 顯 示；所以我們先利用空間濾波器(Spatial Filter)將雷 射光擴束，讓雷射光束變大，再利用一組凸透鏡將 雷射光作聚焦放大的動作，實驗裝置如圖（2）。 而懸臂樑則放置於透鏡組內，調整懸臂樑的位置， 務必將其振動的範圍限制於雷射光束內，以期可完 整的量測到懸臂樑的振動頻率。 3.4 實驗結果與討論 本 計 劃 所 使 用 厘 米 等 級 的 懸 臂 樑 為 量 測 工 件，而為了使位置感知器的訊號可以被清楚的解析 出來，感知器後必需加上訊號放大器及訊號擷取裝 置，在此我們使用訊號擷取卡及訊號處理軟體進行 振動訊號的解析。表一是量測的結果，可以發現， 使用位置感知器量測之結果與理論值相當接近，也 可證明此實驗裝置可用於厘米級懸臂樑的振動量 測。 3.5 奈米碳管簡介 自從奈米碳管被發現以來，此一新奇結構由於 具有極小的尺寸以及超高的剛性和共振頻率，許多 學者專家嘗試將其應用在微小物理量的量測上，如 在原子力顯微鏡的針尖也可以看到奈米碳管的應 用，而我們提出一個新穎的想法，直接將奈米碳管 應用為原子力顯微鏡探針的懸臂樑，做為量測試件 表面粗糙度的元件，並對其頻率偏移量及解析度上 加以探討。而在對於奈米碳管的理論模擬近似法， 傳統的連體力學可以考慮到奈米碳管的螺旋性，並 可分析結構的振動行為，而且計算量比以微觀觀點 探討粒子間行為分子動力學少許多，非常適合此微 小共振器振動行為的模擬。 為了探討不同結構的奈米探管，先以結構力學 的觀點，將奈米碳管視為如空間中的構架結構，並 透過碳-碳鍵結中化學能和構架元素機械能的連 結，建構一個基於連體力學計算此微小結構機械性 質的方法。我們對不同尺寸及結構的奈米碳管建 模，分析其靜態及振動行為，最後將凡得瓦爾力的 效應引進，將奈米碳管應用為感測原子力的元件， 利用其超高的共振頻率及優異的撓曲性，而得到更 高的頻率偏移量以及較低的雜訊量。 碳六十是碳的同素異形體，由六十個碳原子所 組成的中空球團；奈米碳管是由一層層的石墨捲曲 而成的管狀結構，其中又分為單層與多層之奈米碳 管。單層奈米碳管的直徑大約在 0.8~3nm，多層奈 米碳管則是 2~30nm，長度一般為數奈米至數十微 米 間 ， 而 多 層 奈 米 碳 管 其 層 與 層 之 間 的 距 離 為 0.34nm。由於奈米碳管的高強度、特殊的導電性、 高細長比及其他特殊性質，因此具有相當大的應用 潛力，其主要的應用有：場發射平面顯示器的電 極、強化複合材料、作為儲氫材料及作為原子力顯 微鏡探針的針尖。 3.6 奈米碳管的振動分析 無阻尼結構自由振動之運動方程式如下： } 0 { } ]{ [ } ]{ [M U&&+ K U = (11) 其中[M 和] [K 分別為總體座標下的總質量矩陣及] 總勁度矩陣，{U&&}和{U}分別為總加速度向量及總 位移向量。在處理完邊界條件後，可得結構的自由 振動方程式如下： } 0 { } ]{ ~ [ } ]{ ~ [M U&&+ K U = (12) 上式的解可假設成下列形式： t i e u U} { } ω { = (13) 其中角頻率ω =2π f 是系統的自然頻率。將(13)式 代入(12)式中，可以得到一特徵值問題： 0 } ]){ ~ [ ]) ~ ([ − 2 = u M K ω (14) 求解此特徵值問題，即可得到各模態下的自然頻 率。在奈米碳管的分子結構中，由於共價鍵是不具 任何質量的，質量集中在碳原子核，碳原子之質量 kg mC 26 10 9943 . 1 × − = ，比照奈米碳管的分子結構， 在我們建構的奈米碳管構架結構，每個元素之節點 即 是 原 子 核 ， 於 是 我 們 付 予 每 個 節 點 質 量 為 kg 26 10 9943 . 1 × − ，並將構架元素的密度設為零。 使用奈米碳管為 AFM 的探針，因奈米碳管具 有極高的共振頻率，為超高頻之共振器，故適合頻 率調變的模式(FM-AFM)，若將此元件應用成原子 力顯微鏡探針之懸臂樑，我們著眼在原子間之凡得 瓦爾力對其共振頻率偏移量的影響上，在進行模擬 前，我們先做一些基本假設，我們的基本假設如下： (1)因為不同的原子間有不同的結合能及平衡距 離，在此我們僅針對碳原子對碳原子來做模擬。(2) 我們著眼點在微小尺寸的奈米碳管應用上，以往尺 寸較大的氮化矽製探針懸臂樑須考慮的空氣阻尼 效應，我們在此予以忽略。(3)由於我們奈米碳管並 沒有所謂的針尖(tip)，無法確定所量測試件上的原 子是和碳管上的哪一顆原子作用，但我們仍以碳管 的最末端為量測區域，假設原子力作用在最末端的 一顆原子上。 在分析上，原子力的計算是依 Lennard-Jones Potential[8]的公式計算。一般而言，Lennard-Jones 勢能多用於單原子分子的模擬，其表示式如下： ] ) ( ) [( 4 ) ( 12 6 r r r U = ε σ − σ (15) 其中，r為兩粒子間的距離，ε、σ 分別為結合能 與平衡距離。若僅針對碳原子，Lennard-Jones 勢能 模型參數應採ε =0.0566kcal /mole，σ =3.4Å[9]。
基於 Lennard-Jones 勢能模型，兩粒子間的作 用力可由下列式子表示： − = − = 7 13 2 24 ) ( ) ( r r dr r dU r F σ σ σε (16) 將上式的作用的轉換成等效的勁度，並將之代入奈 米碳管的運動方程式，可計算其共振頻率。此針對 不同長度的奈米碳管計算其共振頻率 f ，然後將其1' 減去原本的自然頻率可得共振頻率偏移量，如下式 所示： 1 1' f f f = − ∆ (17) 圖（3）即是我們針對三種不同管長的奈米碳管， 對於不同原子間距所得的頻率偏移圖，圖中可看到 其頻率偏移量在數百kHz 到數 GHz 之間，而文獻[8] 為FM-AFM 探針的頻率偏移量的計算研究，一般較 大尺寸氮化矽(Si3N4)製探針其共振頻率在數百 kHz 左右，其頻率偏移量也是在kHz 的範圍，短距力作 用下的關係圖如圖（4）所示，而我們的結果與之 比較，兩者的趨勢是相同的，唯不同處在以奈米碳 管為懸臂樑的探針，由於其共振頻率本來就較大， 故在原子力影響下其頻率偏移量也較大；如此便可 提高AFM 的解析度。 四、計劃成果自評 利用位置感知器可量測懸臂樑的振動頻率，利 用透鏡的裝置達到顯微的效果。在不同外力作用 下，懸臂樑的振動頻率會有偏移，經由量測的結果 可計算頻率的偏移大小，進而得到試件的表面形 貌。而奈米碳管的微小尺寸及超高剛性，可為AFM 探針，其解析度也會有顯著的提升。 五、參考資料
[1]. Iijima, S., Brabec, C., Maiti, A., and Bernholc, J., “Structural flexibility of carbon nanotubes,”
Journal of Chemical Physics, Vol.104,
pp.2089-2092 (1996)
[2]. Yakobson, B.I., Campbell, M.P., Brabec, C.J., and Bernholc, J., “High strain rate fracture and C-chain unraveling in carbon nanotubes,”
Computational Materials Science, Vol.8,
pp.341-348 (1997).
[3]. Hernandez, E., Goze, C., Bernier, P., and Rubio, A., “Elastic properties of C and BxCyNz composite nanotubes,” Physical Review Letters, Vol.80, pp.4502-4505 (1998).
[4]. Ru, C.Q., “Elastic buckling of single-walled carbon nanotube ropes under high pressure,”
Physical Review B, Vol.62, pp.10405-10408
(2000).
[5]. Li, C., and Chou, T.W., “A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes,”
International Journal of Solids and Structures
Vol.40 pp.2487-2499 (2003).
[6]. Baughman, R.H., Cui, C., Zakhidov, A.A., Iqbal, Z., Barisci, N., Spinks, G.M., Wallace, G.G., Mazzoldi, A., Rossi, D.D., Rinzler, A.G., Jaschinski, O., Roth, S., and Kertesz, M., “Carbon nanotubes actuators,” Science, Vol. 284, pp.1340-1344 (1999).
[7]. Craighead, H.G., “Nanoelectromechanical systems,” Science, Vol. 290, pp.1532-1535 (2000).
[8]. Lennard-Jones, J.E., “The determination of molecular fields: from the variation of the viscosity of a gas with temperature,” Proc Roy
Soc, Vol. 106A, pp.441 (1924).
[9]. Li, C., and Chou, T.W., “Vibrational behaviors of multiwalled carbon nanotube based nanomechanical resonators,” Applied Physics
Letters, Vol. 84, pp.121-123 (2003).
[10]. Hölscher, H., Schwarz, U.D., and Wiesendanger, R., “Calculation of the frequency shift in dynamic force microscopy,” Applied Surface
Science, Vol. 140, pp.344-351 (1999).
六、附表、圖 表一 實驗結果
Set 1 Set 2 Set 3 量測值 (Hz) 88 90 91 160 162 168 346 350 348 理論值 (Hz) 81.4862 144.864 3.2.945 誤差(%) 7.4 9.4 10.5 9.5 10.6 13.8 5.8 6.9 6.3 平均誤差 (%) 9.1 11.3 6.3 圖（1） 位置感知器原理之示意圖
- 5 - Spatial filter Spatial filter Laser PSD cantilever lens 圖（2） 實驗示意圖 3 4 5 6 7 8 9 10 distance r [Å] -2 0 2 4 6 fr equency shi ft ∆ f [G H z ] Lt = 39.0nm Lt = 26.0nm Lt = 17.4nm 圖（3） 奈米碳管末端在不同間距的原子力作用下 的共振頻率偏移量圖 圖（4） 氮化矽探針在短距力作用下的距離與 頻率偏移量關係圖
