原子力顯微鏡 V 型微懸臂探針的分析 Analysis on the V-Shaped Cantilever Beam of

國 立 成 功 大 學 機 械 工 程 學 系

碩 士 論 文

原子力顯微鏡 V 型微懸臂探針的分析 Analysis on the V-Shaped Cantilever Beam of

Atomic Force Microscopy

研 究 生：陳 炳 勳

指導教授：李 森 墉

中文摘要

本文提出一個解法，可以求出原子力顯微鏡(AFM)之 V 型微探針 在非線性原子力邊界條件下之確切靜態撓度，另外也求出在彈性邊界 與薄膜阻尼下的動態解。首先考慮一般情況下的探針物理模型，推導 出其統御方程式和邊界條件。再分別討論靜態位移和動態共振頻率，

由於V 型樑的特殊造型，用連續條件求出系統的正解。研究探針-樣 品表面間之非線性力作用與探針撓度的關係、各種參數對系統靈敏度 之影響；非接觸量測模式(non-contact mode)之尺寸改變與薄膜阻尼對 共振頻率影響的問題。

Abstract

A new method is proposed to drive exact static deflection of AFM (atomic force microscopy) V-shaped probe with nonlinear atomic force boundary, and dynamic natural frequency with elastic root and squeeze film damping. First, drive the governing equation and boundary conditions of a general physical model. And discuss static deflection and dynamic resonance frequency respectively. Use continuity condition to derive the solution due to the geometry of V-shaped cantilever tip.

Investigate the influence of natural frequency shifting by probe dimension in the non-contact model, the relation between deflection of beam and tip-surface distance, and the influence of sensitivity of measurement by some parameters.

誌謝

感謝恩師 李森墉老師兩年來在學業及生活上的指導和教誨，使 得可以順利度過研究所這段時光，並讓本論文得以完成，在此致上最 誠摯的謝意與感激。也要感謝論文口試委員陳鐵城老師及林水木老師 對本論文的指正與建議，讓本論文更完美。

在論文研究摸索過程中，十分感謝林水木學長不厭其煩地悉心教 導與建議，使得論文可以順利完成。

還要感謝在研究所給予指導的學長︰哲嘉、俊峰、小長哥、銘宏、

小孩和昆蔚，以及同窗彭彭、耀文，學弟 midi、條仔和胖輝的互相扶 持和砥礪，充實了研究所生活。

要感謝父母的照顧，還有弟弟的支持，使我可以順利地完成學業。

還要感謝小玉的陪伴和關心，向你們說聲謝謝。

目錄

中文摘要 ...I Abstract... III 目錄 ... V 表目錄 ... VIII 圖目錄 ...IX 符號說明 ... X

第一章 緒論 ... 1

1.1 前言...1

1.2 原子力顯微鏡微探針之介紹 ...2

1.3 文獻回顧...4

1.3.1 原子力顯微鏡靜態量測...4

1.3.2 原子力顯微鏡 V 型探針動態量測...5

1.3.3 微系統之阻尼特性...6

1.4 研究動機及目的...8

第二章 物理模型分析 ... 10

2.1 一般問題...10

2.2 靜態問題...15

2.2.1 無因次化的統御方程式及邊界條件 ...18

2.2.2 變數變換法...19

2.2.3 V 型探針...22

2.2.4 移位函數...22

2.2.5 轉換函數...23

2.2.6 連續條件...26

2.3 動態問題...33

2.3.1 無因次化的統御方程及邊界條件 ...36

2.3.2 V 型樑之無因次參數...37

2.3.3 統御方程式及邊界條件...38

2.3.4 頻率方程式...40

2.3.5 第一段確切基本解...42

2.3.6 第二段確切基本解...47

2.3.7 連續條件...51

第三章 數值分析與討論 ... 58

3.1 V 型微探針之靜態分析...58

3.2 無阻尼 V 型微探針之分析與討論...69

參考文獻 ... 82

表目錄

表3.1 微懸臂樑之材料與幾何形狀...61

表 3.2 ξ1 = 0.0 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ...62

表 3.3 ξ1 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ...63

表 3.5 ξ2 = 0.5 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ...65

表 3.6 ξ2= 0.8 對探針尖端撓度與探針樣品間距離的關係的影響 ...66

表 3.7 共振頻率值之比較...71

表3.8 無因次自然頻率值的比較...71

圖目錄

圖 1.1 作用力-探針和樣品間的間距之關係 ...3

圖 2.1 一般情形下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型...12

圖 2.2 靜態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型...17

圖 2.3 微型探針與樣品表面之關係...33

圖 2.4 動態問題下原子力顯微鏡 V 型探針的物理模型...35

圖 2.5 微型樑與剛性壁示意圖: (a) 側視圖﹔(b) 上視圖 ...57

圖 3.1 ξ1對探針尖端撓度的影響...67

圖 3.2 ξ1對探針自重造成撓度的影響...68

圖 3.3 ξ₁=0.3時，不同長寬比對自然頻率之影響...72

圖 3.4 ξ1對系統自然頻率的影響...73

圖 3.5 ξ1對阻尼係數a₀的影響...76

圖 3.6 a₀對頻率偏移之影響...77

圖 3.7 ξ1對衰減速率ζ的影響...78

圖 3.8 長寬比對衰減速率ζ的影響...79

圖 3.9 B/L 對阻尼係數a₀的影響...80

符號說明

a 0 薄膜阻尼係數 ( )

A x 樑斷面積

A Hamaker H 常數

( )

b ξ 無因次抗撓勁度

D 探針頭與樣品間之距離

( )

E x 楊氏模數

fvdw 探針頭與樣品間之交互作用力

Fvdw 無因次探針頭與樣品間之交互作用力 ( , )

Fflow x t 結構與流體作用產生之阻尼力 F R 樑右邊所受的作用力

F Lennard-Jones L force f L 無因次Lennard-Jones force

f b 無因次探針頭重量

1

c v 無因次排斥力參數 Hi Hamaker constant

KTL 樑左端之位移彈簧模數 K_θL 樑左端之旋轉彈簧模數 KTR 樑右端之位移彈簧模數

L 樑長度

B 樑寬度

hb 樑厚度

wb 樑小支架寬度

ζ0 空氣薄膜厚度

( )

m ξ 單位長度之無因次質量

mtip 探針頭之質量 ( )

q ξ 無因次橫向分布力

Pflow 流體之壓力 ( )

P x 橫向分布力

r 二原子或小分子間之距離

t 時間

u 樑在y 方向之撓度 v 樑在y 方向之撓度 V i 正規化基本解

w 樑在z 方向之撓度

w 負荷所引起的撓度 ( )

W ξ 負荷所引起的無因次撓度

ξi 無因次幾何參數

, ,

x y z 座標參數

( )

γ 薄膜阻尼係數

τ 無因次時間量

ρ ξ( ) 單位體積之質量密度

βTL 樑左端之無因次位移彈簧模數

θL

β 樑左端之無因次旋轉彈簧模數

βTR 樑右端之無因次位移彈簧模數

ξ 距離樑左端之無因次長度

ζ 結構間之微小間隙

µ 流體之黏滯係數

Ω 自然頻率

ω 無因次自然頻率

λ 衰減速率

第一章 緒論

1.1 前言

二十世紀初期，開始了人類的太空時代。人類開始好奇外面的世界 長什麼樣子，加上戰爭科技的需求與競爭，各先進國家紛紛投入相當多 的人力物力在太空探險。但是慢慢地，科學發現了微小世界的新奧秘，

在微觀與宏觀之間的界觀尺寸(即奈米尺寸)，發現了許多特殊超乎尋常的 物理、化學、光電特性，有人開始預言奈米科技將創造未來科技上重大 突破，原子力顯微鏡也在這時被發明出來，被當作探索奈米世界的眼睛 和雙手。

1982 年 IBM 蘇黎世研究所的 Binnig 與 Rohrer[1]及其同事成功地研 製出第一台掃描式穿隧顯微鏡(Scanning Tunneling Microscopy，STM)，在 研究奈米甚至原子尺寸的表面原子、分子的幾何結構及與電子行為有關 的物理、化學性質開闢了新的途徑。 1986 年，Binnig，Quate 和 Gerber[2]

發明了原子力顯微鏡(Atomic Force Microscopy，AFM)改良了掃描式穿隧 顯微鏡需導電材料的限制，使得研究的材料範擴大許多。

奈米科技不單單是一門獨立的科學，它可以應用到各個科學領域 中，為許多科學領域開拓了新天地，而幾乎貫穿了全部奈米技術之掃描

式穿隧顯微鏡和原子力顯微鏡(也被統稱為 SPM，Scanning Probe

Microscopy)，因其具有原子與奈米尺度之分析、影像掃描與加工的能力，

所以在奈米技術的發展中占有極為重要的地位。

1.2 原子力顯微鏡微探針之介紹

在 1986 年原子力顯微鏡被研究出來之後不久，就有人想到把原本矩 型的探針設計成 V 型的，使用在原子力顯微鏡量測上。雖然矩形的探針 比較容易在量測時反射光學訊號，但是 V 型探針可以減低掃描時樣品表 面對探針作用的橫向力，提高探針橫向剛性，增加探針對扭轉的抵抗，

將橫向力對掃描品質的影響減至最低。可是因為其較複雜的幾何結構，

解析 V 型探針的共振頻率比較困難。

微探針常用的材料如 Si3N4和SiO2，以微機電製程出來的探針不一定 都是完全相同的機械性質，密度不同會對應到不同的楊氏係數。有時候 探針上會鍍一層金膜或是陶瓷，由於金或陶瓷有較高的材料係數和密 度，可以提高探針的剛性，但是同時也會顯著地增加探針的重量，造成 共振頻率下降。所以，如何取捨鍍膜要依量測目的和型態來作依據。

尖原子與樣品表面原子存在著一極微弱之作用力(Lennard-Jonse Force)，

包含凡得瓦爾力(Van Der Waals Force)和排斥力，使得微懸臂樑產生一微 小之撓度，利用不同之檢測如穿隧電流法、光學干涉法…等方法來取得 微懸臂樑產生之微小撓度。針尖與樣品表面的距離與作用原子力的關係 如圖 1.1。

圖 1.1 作用力-探針和樣品間的間距之關係

1.3 文獻回顧

1.3.1 原子力顯微鏡靜態量測

原子力顯微鏡(AFM)目前廣泛的應用在材料表面的影像掃描，量測範 圍從微米到次奈米等級。為了原子力等級解析度影像和探針-樣品間距離 等資訊，發展出一個很有效的方法：頻率偏移模式(frequency shift mode)。

Holscher et al. [3] 以 集 中 質 量 模 型 與 一 個 非 線 性 解 法 ( perturbation method )，研究原子力顯微鏡量測中非接觸模式的頻率位移。Sasaki et al.[4]

研究非接觸模式的頻率偏移，考慮具有集中質量與 Lennard-Jones potential 的模型。Rabe et al.[5] 研究無探頭質量的均勻樑，探針-樣品間的作用力 以線性彈簧模擬。這個模型是不夠正確的，因為真實的作用力是非線性 的。Fung and Huang [6] 以有限元素法分析微壓電樑的動態反應，也使用 Lennard-Jones potential 模 型 。 Sokolov et al.[7] 研 究 Lennard-Jones potential 模型的穩定度與成像。近似法使用在動態 AFM 量測，分析中的 振幅通常在 1-100 nm，遠大於正常的原子力作用力範圍，通常作用力範 圍僅數A^D 。因此，需要精準的分析改善表面成像的研究和原子作用力。

目前樑具有探頭集中質量與非線性作用力的方面，所發表的論文仍比較

1.3.2 原子力顯微鏡 V 型探針動態量測

Ho^..lscher et al. [8]，以集中質量的方式模擬微樑探針，利用微擾法 (perturbation method)研究共振頻率偏移問題。以線性模式用頻率偏移來推 知力梯度，適用於探針振幅趨近零的情況。Sasaki et al.[9]採集中質量及 Lennard-Jones 位能模式，並用 Poincare map 法研究頻率的偏移問題。Rabe et al.[10]研究不具探針頭的均勻樑，作用力以線性彈簧方式來模擬。

Weigert et al.[11]，比較不具探頭的均勻樑，在沒有接觸作用力的情況，

在真空，空氣和水中，樑自然頻率的變化。Fung 和 Huang[12]考慮壓電 微型樑和 Lennard-Jones 位能模式，利用有限元素法來分析動態反應。

Sokolov et al.[13]利用簡化的 Lennard-Jones 位能模式分析，以致於成像會 失真。以上除了 Sokolov et al.的論文外，皆未討論成像問題。且分析模式 除論文(Fung 和 Huang)較完整外,都太簡略而適用性不佳。但論文 Fung 和 Huang[12]採用有限元素法分析屬於近似法，對於高頻分析而言精度是不 佳的。而 AFM 之設計為了防止外界振動干擾，其共振頻率很高，且操作 頻率是在共振頻率附近。故 F.E.M 法不是很好方式，必須建立解析解才 行。

在 SFM(scanning force microscopy)發展之初，探針微型樑的彈簧係數 和探針重量就被認為是很重要的影響因素。在接觸模式量測時，彈簧係

數會限制探針在樣品表面上的作用力，而且彈簧係數和探針重量都會限 制掃描速度。在非接觸式量測時，對於掃描速度有相同的限制，另外彈 簧係數會限制掃描力解析度。大部分研究原子力探針的論文，都會討論 到彈簧係數的效應。Neumeister 和 Ducker[14]以解析法和 F.E.M.法分析 V 型樑在橫向、垂直和縱向的彈簧常數。Clevelan[15]、Hazel[16]、Gibson et al.[17]以理論及實驗分析 V 型樑的彈簧常數和鍍膜厚度。

另外，也有些論文是以板的理論分析原子力顯微鏡微型樑。Sader [18]

將 V 型微型樑當成兩根矩形樑分析( parallel beam approximation )，這種 分析方法在研究V 型微型樑是常常被使用的。Sader、White[19]和 Sader[20]

將 V 型微型樑以均質等向性薄板理論分析，並且假設微小變形，求彈簧 係數和探針頭的位移。Neumeister 和 Ducker[14]將 V 型微型樑，一段以 板理論，另一段以樑理論分析，研究垂直、縱向和橫向的彈簧係數。

微型樑的厚度達到某種程度(1μm)，材料性質(例如楊氏係數)就會受 到表面效應很大的影響[16]。這會使得理論分析會因為材料性質與實際有 出入，而造成理論與實驗結果有誤差。

性會決定系統的動態行為。其原因為在微系統中供給系統運作所需之能 量是不容易的，因此必須盡量減少阻尼所消耗的能量。另外一個原因是，

許多微感測器和致動器使用共振的方式來增加系統之敏感度或振幅。理 論上，為了提高敏感度，理想的探針尺寸儘可能微小來減輕質量，然而 這將會導致明顯的薄膜力( Squeeze film force )，在微型樑和代測物間產生 巨大的阻尼效應。

一般而言阻尼的來源有材料內部阻尼和外界產生之阻尼，對微系統 和微探針而言，最重視微結構在運動時結構間微小間隙所造成的作用 力，即薄膜阻尼( Squeeze film damping )，例如 Kokbun et al. [21]和 Blom et al. [22]提出剛體平行於牆，垂直運動在 Squeeze film damping 下之閉合 解。Hirano et al. [23] 和 Murakimi 與 Moronuki [24]研究 Squeeze film damping 第一自然振動頻率的行為。Matsuda 和 Fukui [25]以數值方法對 微型矩型懸臂樑阻尼性做分析和實驗。Darling et al. [26]利用 Green 函數 方法分析矩型薄膜阻尼。Xu 和 Smith [27]研究薄膜阻尼對原子力顯微鏡 探針的影響，其考慮均勻斷面懸臂樑一端固定另一端具集中質量探針 頭 ， 簡 化 成 等 效 質 量 和 等 效 剛 性 的 單 自 由 度 系 統 來 分 析 。Hiroshi Hosaka[28]量化計算空氣流動、薄膜、內部摩擦和連接表面摩擦產生的阻 尼力，並且比較這四種阻尼力的關係，還有阻尼力與微致動器尺寸的關 係。Chen et al.[29]考慮 V 型樑，撓度以級數解假設，自然頻率以數值方

法求得，研究在阻尼強迫振動、氣體黏性阻尼和黏性流體中的阻尼之下 的效應。

1.4 研究動機及目的

為了達到原子力顯微鏡高速量測與良好精確性，一般操作環境下的 探針自然共振頻率可達到 27 KHZ，可提高動態反應，使探針頭緊隨著樣 品表面高低起伏移動，也可避免外在環境中低頻振盪的干擾，同時阻尼 可減少振動的敏感性和提高測量的正確性。然而太高的阻尼反使得動態 反應太慢。欲得最佳設計必須配合探針幾何形狀及其他參數，求出最合 適的阻尼性質。

目前大部分研究原子力顯微鏡V 型探針的論文，將注意力集中在探針 的彈簧係數，然後使用數值方法或是將樑簡化成等效質量和等效剛性的 單自由度系統分析。因為 V 形樑並不是像矩形樑那像形狀簡單，使用簡 化的方化會導致自然共振頻率的研究不夠精準。因此本篇論文以解析解 的方式求出系統的正解。另外，薄膜阻尼力對原子力顯微鏡量測是個很 重要的影響因素，雖然目前其他學者發表的論文有對薄膜阻尼的研究，

在靜態量測方面，關鍵的因素在於探針跟樣品表面間的作用的原子 力，而且這個作用力是非線性的作用力，屬於比較複雜的問題。因此本 篇也考慮了原子力的作用，研究探針跟樣品表面間的作用力與探針撓度 的關係。並且討論其他參數對系統靈敏度的影響。

本論文將研究原子力顯微鏡探針空氣薄膜阻尼下之自然振動頻率，

考慮非時變彈性基台，具端點集中質量微型樑。並且研究靜態量測下之 原子作用力與探針撓度的關係，考慮非時變彈性基台，具端點集中質量 與探針重量之微型樑，具有非線性邊界條件。建立整體系統之統御偏微 分運動方程和邊界條件。最後，研究各種參數對系統的影響，以建立完 整 AFM 量測系統理論及技術。

第二章 物理模型分析

本章先考慮一般物理情況下之探針物理模型，推導出其統御方程式和 邊界條件，再分別對靜態位移與動態共振頻率兩個主題討論，會有不同 的統御方程式和邊界條件。求出兩段各別的基本解，再以系統連續條件 求得系統之解。

2.1 一般問題

考慮一般情形下原子力顯微鏡探針的物理模型，探針為均勻厚度、

有本身自重和探針頭集中質量的樑，樑左邊有彈性邊界，右邊有探針-樣 品間作用力，樑中間有空氣薄膜阻尼力作用。

由圖2.1 探針的物理模型，推導出其動能方程式和位能為方程式，再 使用Hamilton’s principle 推導出系統的統御方程式和所對應的邊界條件。

統御方程式

2 2 2

2 2 2

( , ) ( , ) ( ) ( ) w x t ( ) ( ) w x t

E x I x x A x

x ^ x ^ ρ t

∂  ∂ + ∂

∂  ∂  ∂

其對應之邊界條件為 於x= ： 0

2

2 _L 0

w w

EI K

x ^θ x

∂ − ∂ =

∂ ∂ (2. 2)

2

2 _TL 0

EI w K w

x x

 

∂  ∂ + =

∂  ∂  (2. 3)

於x L= ：

2

2 0

w x

∂ =

∂ (2. 4)

2 2

( , )

t R

w x t

EI m a F

x x

 

∂  ∂ = +

∂  ∂  (2. 5)

其中w為樑之撓度、L為樑之長度、A x( )為斷面積、E x( )為楊氏模數、I x( ) 為面積慣性矩、ρ( )x 為單位體積之質量密度、t為時間。F_flow( , )x t 為結構 與流體作用產生之阻尼力。K_θL及K_TL分別代表樑左端之旋轉和位移彈簧 之彈性模數。^{P x}

( )

( , ) ( ) ( ) ( ) ,

flow

F x t x x A x w

γ ρ ^∂t

= ∂ (2. 6)

其中γ( )x 為薄膜阻尼係數，在下一個小節有詳細的推導。

圖 2.1 一般情形下原子力顯微鏡V型探針的物理模型

2.1.1 阻尼係數之物理意義

在微系統的設計中，阻尼特性會對系統產生很大的影響，其原因為當 系統尺寸微小到奈米等級，些微的空氣薄膜也會對系統產生不可忽視的 作用，而且在微系統中供給系統運作所需之能量是不容易的，因此必須 減少阻尼對有效能量的消耗。

微結構在運動時結構間微小間隙所造成的流體流動之作用力，即薄膜 阻尼( Squeeze damping )，考慮一長度為 L，寬度為w_b，厚度為h_b之均勻 樑，樑與一剛性壁很靠近，當樑在作振動時，則會與一剛性壁間產生薄 膜阻尼力。

單位長度之薄膜阻尼力[28]為

2 2

3 - 3

0

,

wb wb

flow flow b

w w

F P dy

t µ

ζ

= − = ∂

∫

所以在V型梁第一段，有兩根小均勻梁，其薄膜阻尼力

( ) ( )

3 2

3 3

0 0

2 ^b 2 ^b ,

flow

b

w w w w

F x A x

t h t

µ ρ µ

ζ ρζ

∂ ∂

= =

∂ ∂ (2. 8)

在V型梁第二段部分，寬度為

(

)

0 1

wb

L L x L−

− ，隨著x方向上的座標改變。

因此單位長度之薄膜阻尼力

Fflow在V型梁第二段有以下變化

( ) ( ) ( )

2

-2

3

3 3 1

0 1

0

2 3 3 1

0 1

0

,

wb

flow wb flow

b

b b

F P dy

w w

L L x L t

w x L w

x A x

L L t h

µ ζ ρ µ

ρζ

= −

  ∂

=  −  − ∂

 −  ∂

=  −  ∂

∫

(2. 9)

其中，取

( )

2 3 1 0 2 3

1 1

3 0 1

0

2 0

b

b

w x L

r x h

w x L

L x L L L

h µ ρζ µ ρζ

 < <



=   −−  < <

(2. 10)

對r x 無因次化，得無因次參數

( )

( )

( )

0 1

3

0 1 1

2 1

2 0

1 1/

a

a a

ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

< <



=     −−  < <

(2. 11)

其中薄膜阻尼係數

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

0 3

0

0 0

0 0

b E I

a w L

h A µ ρζ ρ

= (2. 12)

2.2 靜態問題

本小節討論具有非線性邊界的模型的靜態位移。因此圖2.1樑右邊端 點所受的作用力F_R模擬為探針-樣品間的原子力 Lennard-Jonse

forceF [30]_L ，這個作用力是非線性的。分子與分子之間的作用力，取決 於一位勢能函數(potential)，此位勢能係由分子間的凡得瓦力作用、電荷 靜電力、磁偶矩、與分子內部勢能造成。當二分子距離甚近時，此勢能 對分子距離的導數將得出一排斥力，而在某適當距離時，則表現出吸引 力，而彼此作用。對於單原子分子(如Ar，Ne，Kr，Xe 等)，最常用的位 勢能為 Lennard-Jones potential。

由於討論靜態位移，因此去除跟時間有關的項，也去除薄膜阻尼係 數γ( )x (跟加速度有關)，探針頭加速度因此為靜態的重力加速度g，定義

y方向朝上為正，所以重力加速度要加上負號。因此得到靜態系統的物理 模型如圖 2.2，經由以上條件，從方程式(2.1~5)得到︰

靜態系統之統御方程式

2 2

( )

2 2

( ) ( ) w x( )

E x I x P x

x x

 

∂  ∂ =

∂  ∂  x∈(0, ),L (2. 13) 其對應之邊界條件為

於x=0：

2

2 _L 0

w w

EI K

x ^θ x

∂ − ∂ =

∂ ∂ (2. 14)

2

2 _TL 0

EI w K w

x x

 

∂  ∂ + =

∂  ∂  (2. 15)

於x L= ：

2

2 0

w x

∂ =

∂ (2. 16)

2

2 t L

EI w m g F

x x

 

∂  ∂ = − +

∂  ∂  (2. 17)

其中， ¹ ₈ ²₂

180 6

L

H R H R

F = D − D [30] (2. 18)

方程式(2.18)右邊第一項是排斥力，第二項是凡得瓦力。H_i是 Hamaker常數，D 是探針-樣品間距離，R是探針頭半徑。

接下來會對統御方程式與邊界條件無因次化，使用變數變換法處理先 非線性非齊次邊界，再分別求出四個基本解表示 V 型樑的第一段和第二 段的解，然後利用連續條件求得整個系統的撓度正解，就可以得到 V 型 樑撓度和探針-樣品距離之間兩個直接簡單的關係。

圖 2.2 靜態問題下原子力顯微鏡V型探針的物理模型

2.2.1 無因次化的統御方程式及邊界條件

以下是所使用的無因次參數：

( ) ( )

( ) ,

(0) (0) E x I x

b ξ = E I ₁ ^{1 3} ₉

(0) (0) 0 v

c H RL

E I L

= ,

2 3

2 3

(0) (0) 0 v

c H RL

E I L

=

0 0 0

D D

= L ,

3

0

(0) (0) ,

b t

f m gL

E I L

=

(

)

(

)

180 6

v v

L

c c

f = D w − D w

− − ,

4

0

( ) ( ) , (0) (0)

P x L p ξ = E I L

0

( ) w x( ),

W ξ = L ₁ ,

(0) (0) K L E I

β = θ ₂ ³ ,

(0) (0) K LT

E I

β =

11 1

1 1

γ β

= β

+ ^{, 12} ₁

1 γ 1

= β

+ ^{, 21} 1 ² ₂ γ β

= β

+ ^,

22 2

1 γ 1

= β

+ , x,

ξ = L (2. 19)

因此統御方程式(2.13)和邊界條件(2.14~17)無因次化成：

微型樑之統御方程式為：

2 2

2 ( ) 2 ( )

d d W

b p

d ξ d ξ

ξ ξ

 

 =

  ξ∈(0,1) (2. 20)

2

12 ( )d W2 11dW 0

b d d

γ ξ γ

ξ ⁻ ξ = , (2. 21)

2

22 d ( )d W2 21 0

b W

d d

γ ξ γ

ξ ξ

 

+ =

 

  , (2. 22)

於ξ = ： 1

2

2 0

d W

dξ = , (2. 23)

2

( ) 2 _{b L}

d d W

b f f

d ξ d

ξ ξ

 

= − +

 

  , (2. 24)

其中 fb是探針重量的無因次參數， fL 是 Lennard-Jones 力的無因次參 數。Lennard-Jones 力包含排斥力和凡得瓦力(van der Waals force)[30]。

cv1是無因次排斥力參數，cv1是無因次吸引力參數。L0是特徵長度，是為 了避免程式數值處理出錯而多使用的工具。

2.2.2 變數變換法

一般來說，對一個含有非線性邊界條件的系統，要求出其解析解是 很困難的。在 AFM 的探針振動中，探針和被測物件之間的作用力是高度 之非線性，因而無法以一般方法解得確切解，用線性彈簧方式近似或是 使用微擾法，則無法全面性之求解與探討，因此提出了以下的解法。

由於邊界條件上的非齊次非線性項，所以使用變數變換[31]來求解

( )

( ) ( ) _{b L} ( )

W ξ =v ξ − f − f s ξ , (2. 25)

其 中v( )ξ 是 轉 換 函 數(transformed function) ， s(ξ) 是 移 位 函 數 (shifting function)， fb是個常數，fL在ξ = 時也是個定值。令 s(ξ)滿足以下條件 1 統御方程式為：

2 2

2 ( ) 2 0

d d s

d b ξ d

ξ ξ

 

 =

 

  (2. 26)

相對應之邊界條件為：

於ξ = ：0

2

12 d s2 11 ds 0 d d

γ γ

ξ ⁻ ξ ^{= , (2. 27)}

2

22 d ( )d s2 21 0

b s

d d

γ ξ γ

ξ ξ

 

+ =

 

  , (2. 28) 於ξ = ：1

2

2 0

d s

dξ = , (2. 29)

2

( ) 2 1 d d s d b ξ d

ξ ξ

 

 =

  . (2. 30)

ξ,τ

2 2

2 ( ) 2 ( )

d d v

b p

d ξ d ξ

ξ ξ

 

  =

  , (2. 31)

相對應之邊界條件為：

於ξ = ：0

2

12 d v2 11 dv 0 d d

γ γ

ξ ⁻ ξ = , (2. 32)

2

22 d ( )d v2 21 0

b v

d d

γ ξ γ

ξ ξ

 

+ =

 

  , (2. 33) 於ξ = ：1

2

2 0

d v

dξ = , (2. 34)

2

( ) 2 0 d d v d b ξ d

ξ ξ

 

 =

  . (2. 35) v(ξ)和 s(ξ)的正解在下一小節求出後，代入關係式(2.25)，再加上 Lennard-Jones 力，就可以得到真正的解探針撓度 W(ξ)。但是由於 f_L是以 探針頭撓度 W(1)為變數的函數，換句話說，得到的解如果滿足以上條件，

確切解 W(ξ)就獲得了。

2.2.3 V 型探針

由V 型探針的幾何形狀圖 2.5(b)，微型樑的材料性質和厚度假設為 定值，寬度變化為 V 型樑，因此有以下無因次參數

( ) ( )

( )

1

2 1

1 2

1, 0 ,

1 , 1, 1

b

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

 ≤ ≤

= −− ≤ ≤

(2. 36)

( ) ( )

( )

0 1

0 2

1 2 1

, 0 ,

1 , 1, 1

p

p p

ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

 ≤ ≤

= −− ≤ ≤

(2. 37)

其中 p₀ =ρA gL₀ ⁴/[ (0) (0) ]E I L₀ ^， A₀=2w_bh_b

2.2.4 移位函數

方程式(2.26)中的移位函數 s(ξ)可以寫成

2 2 1

d ( )d s

b c

d ξ d

ξ ξ

 

 =

  ^,

2

1 2

2

b d s c c

d ξ

ξ ^{= + ,}

1 2

( ) 3

ds c c

d c

d b

ξ ξ

ξ ξ

=

∫

∫∫

12 11 22 21

11 0 21 0

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

s d d d

b b _ξ b _ξ

ξ ξ γ γ ξ ξ ξ γ γ ξ ξ

ξ γ ξ ₌ γ ξ ₌

   

− − −

= −  +  −  + 

   

∫∫ ∫ ∫∫

(2. 39)

V 型樑第一段和第二段的移位函數分別為

3 2

1 2

1 3 4 0 1

6 2

c c

s = ξ + ξ +c ξ +c ≤ ≤ ξ ξ (2. 40)

( )

( )

[ ]

2 1 2 1 2 2 2 2

2 2 2

3 4 1

(1 )

1 1 ln(1 ) 1

2

1,

c c

s c

c c

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

  −

= − − + −  +  − −

 

+ + ≤ ≤

(2. 41)

將上兩式代入邊界條件，求出移位函數

3 2 12 22

1 1

11 21

1 1

0

6 2

s ξ ξ γ ξ γ ξ ξ

γ γ

= − − − ≤ ≤ (2. 42)

( ) ( ) [ ]

( )

2 2

2 1 2 1 2 2 2

2 2 2

12 22

1 2 1

11 21 22 2

1 1 (1 )

1 1 1 ln(1 ) 1

2

1 1

1 1 1,

s ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

γ ξ γ ξ ξ ξ ξ

γ γ ξ ξ

  −

= − − + − − +  − −

 

 

− − + − − +  ≤ ≤

 

(2. 43)

2.2.5 轉換函數

方程式(3.31~35))的轉換函數表示成

4

1

( ) _p( ) _{i i}( )

i

v ξ V ξ DV ξ

=

= +

∑

其中是 Vp(ξ)特解， Di 是待定常數。Vi(ξ), i = 1, 2, 3, 4 為方程式(2.31)

的四個線性獨立基本解，滿足以下正規化條件。

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

(0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0)

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V

 

 ′ ′ ′ ′ 

 

′′ ′′ ′′ ′′

 

 ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ 

 

=

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

 

 

 

 

 

 

, (2. 45)

此特解和基本解可以很容易地以Lin [32]提出的方法解得。

將方程式(2.36)(2.37)代入(2.25)，得到轉換後的統御微分方程式

4

0 1

4 , 0 ,

d v p

d ξ ξ

ξ ^{= ≤ ≤ (2. 46)}

( ) ( )

2 2

2 0 2 1

2 1 2 1 , 1,

d d v

d ξ ξ d p ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

 

− = − ≤ ≤

 

 

  (2. 47)

假設上面兩個統御方程式(2.46)、(2.47)的解分別為

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3

1,4 1,4 1, 1

_p , 0

v D V D V D V

D V V

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

= + +

+ + ≤ ≤ (2. 48)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2,1 2,1 1 2,2 2,2 1 2,3 2,3 1

2,4 2,4 1 2, 1 1

+ _p , 1

v D V D V D V

D V V

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

− = − + − + −

− + − ≤ ≤ (2. 49) 方程式(2.46)、(2.47)的特解容易地求出

0 4

1, , 0 1,

p 24

V = p ξ ≤ ≤ξ ξ (2. 50)

3 4

0 0 , 1,

p p

V = ⁻ ξ + ξ ξ ξ≤ ≤ . (2. 51)

0≤ ≤ξ ξ1, V_1,1( ) 1ξ = , V_1,2( )ξ = , ξ _1,3 1 ² ( ) 2

V ξ = ξ , _1,4 1 ³ ( ) 6

V ξ = ξ , (2. 52)

1 1,

ξ ξ≤ ≤ V_2,1(ξ ξ− ₁) 1= ^{, V}_2,2^{(ξ ξ−} ₁^{)= +ξ}₁

(

)

( ) ( )

2,3 1 12 1 1 1

1 1

( )

2 2

V ξ ξ− = ξ +ξ ξ ξ− + ξ ξ− (2. 53)

齊次微分方程式(2.47)以下形式表示

4 3

2 4 2 3

(1 )d v 2 d v 0,

d d

ξ ξ ξ

ξ ξ

− − = (2. 54)

假設第四個線性獨立基本解為

( )

2,4 1

0

( ) _i ⁱ,

i

V ξ ^∞ α ξ ξ

=

=

∑

這四個線性獨立基本解(2.52)、(2.53)和(2.55)滿足正規化條件(2.45)。將 方程式(2.55)代入(2.54)，整理多項式ξ的係數，求得以下遞迴公式

( )

4 2 3

2 , 0,1,2, ( 4)

j j

j j

j

α ₊ =ξ ⁺ α ₊ =

+ " (2. 56)

從遞迴公式可以得到第四個線性獨立基本解。

目前為止，分別得到了V型樑第一段和第二段的四個齊次基本解和特解。

2.2.6 連續條件

由V型樑的上視圖2.5(b)，樑的第一段和第二段在ξ=ξ₁處交會，因此有 以下四個基本解的連續條件

位移: ^v

( ) ( )

斜率: ^dv

( ) ( )

d d

ξ ξ

ξ ξ

− +

=

力矩:

( ) ( ) ( ) ( )

d v d v

b b

d d

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

− +

− = +

剪力:

1 1

2 2

2 2

d d v d d v

b b

dξ dξ _ξ− dξ dξ _ξ+

   

  =  

    ^{(2. 57)}

在方程式(2.44)已經假設整個系統的解為

( )

v ξ =D V +D V +D V +D V +V ≤ ≤ξ (2. 58)

另外再假設第一段和第二段的解分別為

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,3 1,3

1,4 1,4 1, 1

_p , 0

v D V D V D V

D V V

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

= + +

+ + ≤ ≤ ^{(2. 59)}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 1 2,1 2,1 1 2,2 2,2 1 2,3 2,3 1

2,4 2,4 1 2, 1 1

+ _p , 1

v D V D V D V

D V V

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

− = − + − + −

− + − ≤ ≤ ^{(2. 60)}

1

2,1 2,2 2,3 2,4 2,1 2,2 2,3 2,4 2,1 2,2 2,3 2,4 2,1 2,2 2,3 2,4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

V V V V

V V V V

V V V V

V V V V _{ξ ξ}

=

   

 ′ ′ ′ ′   

  = 

′′ ′′ ′′ ′′

   

 ′′′ ′′′ ′′′ ′′′   

   

 

, (2. 61)

將v₁(ξ)和v₂(ξ)代入上面的連續條件(2.57)，D_2,j可以推導出

( ) ( )

2,1 1 1 2,_p 0

D =v ξ −V

( ) ( )

2,2 1 1 2,_p 0

D =v^′ ξ −V′

( ) ( )

2,3 1 1 2,_p 0

D =v^′′ ξ −V′′

( ) ( ) ( )

2,4 2 1 1 1 1 2,

1 2

1 ^p 0

D ξ v ξ v ξ V ξ ξ ^{′′ ′′′ ′′′}

= + −

− (2. 62)

可以用整段的解來涵蓋第二段的解

( ) ( )

2 1

v ξ ξ− =v ξ (2. 63)

( ) ( ) ( ) ( )

( )

2,1 2,1 1 2,2 1,2 1 2,3 1,3 1 2,4 2,4 1

2, 1 1 1 2 2 3 3 4 4

_{p p}

D V D V D V D V

V DV D V D V D V V

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

− + − + − + −

+ − = + + + + ^{(2. 64)}

係數(2.62)帶回方程式(2.64)，得

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

( ) ^{( )}

1

1

1

1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,1 1

1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,2 1

1 1 2 2 3 3 4 4 2, 2,3 1

2 1 1 2 2 3 3 4 4

1 2

1

p p

p p

p p

p

D V D V D V D V V V V D V D V D V D V V V V D V D V D V D V V V V

D V D V D V D V V

ξ

ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

+ + + + − −

′ ′ ′ ′ ′ ′

+ + + + + − −

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

+ + + + + − −

 ′′ ′′ ′′ ′′ ′′

+ −

(

)

( ) } ^{( ) ( )}

1

1 1 2 2 3 3 4 4 _p 1 2,_p ( )1 2,4 1 2,_p 1

D V D V D V D V V V V V

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ

′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′ ′′′

+ + + + + − − + −

(2. 65)

1 1 2 2 3 3 4 4 p

D V D V D V D V V

= + + + +

比較係數 Dj後，得到整個系統的基本解和特解

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1, 1 2,1 1 1, 1 2,2 1 1, 1 2,3 1

2 1, 1 1, 1 2,4 1

1 2

1

i i i i

i i

V V V V V V V

V V V

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

′ ′′

= − + − + −

 ′′ ′′′ 

+ − +  −

(2. 66)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

1

1, 2, 2,1 1

1, 2, 2,2 1 1, 2, 2,3 1

2 1, 1 1, 1 2, 2,4 1 2, 1

1 2

1

P P P

P P P P

P P P P

V V V V

V V V V V V

V V V V V

ξ

ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

= − −

′ ′ ′′ ′′

+ − − + − −

 ′′ ′′′ ′′′ 

+ − + −  − + −

(2. 67)

將整段的解代入邊界條件(2.32~35)，線性獨立基本解的係數D_j可推導出 於ξ =0：

12 3D 11 2D 12V_p(0) 11V_p(0)

γ −γ = −γ ′′ +γ ′ , (2. 68)

22 4D 21 1D 22V_p(0) 21V_p(0)

γ +γ = −γ ′′′ −γ , (2. 69)

於ξ =1：

1 1(1) 2 2(1) 3 3(1) 4 4(1) _p(1)

D V′′ +D V′′ +D V′′ +D V′′ = −V′′ , (2. 70)

[ ]

4 1

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

i i i p p

i

D b V b V b V b V

=

′′′ + ′ ′′ = − ′′′ − ′ ′′

∑

將 D_j的四個方程式以矩陣方式表示

12 11 11 12 1

22 21

2

21 22

1 2 3 4 3

1 2 3 4 4

(0) (0)

0 0

(0) (0) 0 0

(1) (1) (1) (1) (1)

(1) (1) (1) (1)

p p

p p

p

p p

V V

D

V V

D

V V V V D V

U U U U D b V b V

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

′′ ′

− +

 

−  

    

   − ′′′ − 

 ′′ ′′ ′′ ′′   =  ′′ 

   − 

   − ′′′ − ′ ′′ 

     

(2. 72)

其中

(1) (1) (1) (1), 1,2,3,4

i i i

U =b V′′′ +b′ V′′ i= (2. 73)

將矩陣(2.72)簡化成

1 1

11 12

2 2

21 22

1 2 3 4 3

1 2 3 4 4

0 0

0 0

(1) (1) (1) (1) (1)

(1) (1) (1) (1) (1)

p p

D D

V V V V D V

V V V V D V

γ γ α

γ γ α

 

−  

 

 

 

 

 

 

 ′′ ′′ ′′ ′′  = − ′′ 

 

 

 

 ′′′ ′′′ ′′′ ′′′   − ′′′ 

     

(2. 74)

其中

1 12 11

2 22 21

(0) (0)

(0) (0)

p p

p p

V V

V V

α γ γ

α γ γ

′′ ′

= − +

= − ′′′ − (2. 75)

由(2.74)先解出 D1和D2

22 2

1 4

21 21

,

D γ D α

γ γ

= − + (2. 76)

12 1

2 3

11 11

,

D γ D α

γ γ

= + (2. 77)

將 D1和D2代入(2.74)解出 D3和D4

12 22 1 2

2 3 1 4 3 2 1

11 21 11 21

12 22 1 2

2 3 1 4 4 2 1

11 21 11 21

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1)

p

p

V V V V D V V V

V V V V D V V V

γ γ α α

γ γ γ γ

γ γ α α

γ γ γ γ

 ′′ + ′′ − ′′ + ′′   − ′′ − ′′ − ′′ 

    

 −  = 

 ′′′ + ′′′ ′′′ + ′′′   − ′′′ − ′′′ − ′′′ 

    

   

(2. 78)

3

C B CB D A B AB

′ − ′

= ′ − ′ (2. 79)

4

A C AC D A B AB

′ − ′

= ′ − ′ (2. 80)

12 12

2 3 2 3

11 11

22 22

1 4 1 4

21 21

1 2 1 2

2 1 2 1

11 21 11 21

(1) (1), (1) (1) (1) (1), (1) (1)

(1) (1) (1), (1) (1) (1)

p p

A V V A V V

B V V B V V

C V V V C V V V

γ γ

γ γ

γ γ

γ γ

α α α α

γ γ γ γ

′′ ′′ ′ ′′′ ′′′

= + = +

′′ ′′ ′ − ′′′ ′′′

= − + = +

′′ ′′ ′′ ′ ′′′ ′′′ ′′′

= − − − = − − −

(2. 81)

將解代入關係式(2.25)，令ξ =1得到樑尖端的撓度。要注意的是，

Lennard-Jones力是探針頭與樣品表面距離的函數。

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 2

2 8 2

0 0

1 1 2 2 3 3 4 4 1

1 2

2 8 2

0 0

(1) 1 (1)

180 (1) 6 (1)

(1)

180 (1) 6 (1)

v v

b

p

v v

b

c c

W V s f

D W D W

D V D V D V D V V

c c

s f

D W D W

ξ=

 

 

= − − +

 − − 

 

 

= + + + + 

 

 

− − +

 − − 

 

(2. 82)

其中