数值计算方法 数值计算中的误差分析

数值计算方法

数值计算中的误差分析

张晓平

2019 年 9 月 2 日

武汉大学数学与统计学院

图 1: 教材: 1. 计算方法，李大美、李素贞、朱方生，武汉大学出版社；2. 现 代数值计算方法，肖筱南，北京大学出版社

课件及作业见网址：www.xpzhang.me

1

目录

1. 数值计算简介

2. 误差

3. 数值计算的误差估计

4. 选用和设计算法应遵循的原则

2

数值计算简介

数值计算简介

现代科学的三种研究方式

现代科学的三种研究方式

当今世界科学活动的三种主要方式：

• 理论

• 实验

• 科学计算

3

数值计算简介

解决科学工程问题的几个步骤

解决科学工程问题的几个步骤

实 际 问 题

数 学 模 型

计 算 方 法

程 序 设 计

上 机 求 解

应用数学 计算数学

图 2: 解决科学工程问题的步骤

4

数值计算简介

研究数值方法的必要性

研究数值方法的必要性

例

解线性方程组

Ax = b, A∈ R^n×n, b∈ Rⁿ 定理 : Crammer 法则

A非奇异 =⇒ 此方程组有唯一解，且xi= |Ai|

|A|, i = 1, 2,· · · , n.

该结论从理论上讲非常漂亮，它把线性方程组的求解问题归结为计算 n + 1 个 n 阶行列式的计算问题。

5

研究数值方法的必要性

而对于行列式，可以采用 Laplace 展开定理进行计算：

定理 : Laplace 展开定理

|A| = ai1|Ai1| + ai2|Ai2| + · · · + ain|Ain|, Aij为aij的代数余子式

6

研究数值方法的必要性

实际操作中，该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计 算。事实上，设 k 阶行列式所需乘法运算的次数为 mk，则

mk= k + km_k−1, 于是有

mn = n + nm_n−1

= n + n[(n − 1) + (n − 1)m_n−2]

=· · ·

= n + n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) +· · · + n(n − 1) · · · 3 · 2

> n!

故用 Crammer 法则和 Laplace 展开定理求解一个 n 阶线性方程组，所 需乘法运算的次数就大于

(n + 1)n! = (n + 1)!.

7

研究数值方法的必要性

在一台百亿次的计算机上求解一个 25 阶线性方程组，则至少需要 26!

10¹⁰× 3600 × 24 × 365 ≈ 4.0329× 10²⁸

3.1526× 10¹⁷ ≈ 13亿年 而用下章介绍的消去法求解，则需要不到一秒钟。

8

数值计算简介

数值计算方法的研究对象

数值计算方法的研究对象

数值分析的研究对象为：

• 线性代数

• 曲线拟合

• 数值逼近

• 微积分

• 微分方程

• 积分方程

• · · ·

9

数值计算简介

数值计算方法的研究任务

数值计算方法的研究任务

数值分析的研究任务为：

• 算法设计

• 理论分析

• 算法的收敛性

• 稳定性

• 误差分析

• 复杂度分析

• 时间复杂度

• 空间复杂度

•

10

数值计算简介

数值计算方法的特点

数值计算方法的特点

数值分析的特点为：

• 既有数学的抽象性与严格性，又有广泛的应用性

• 有自身的研究方法和理论系统

• 与计算机紧密结合，实用性很强

11

误差

误差

误差来源与分类

误差来源与分类

误差按照其来源可分为四类，即 模型误差

数学模型只是复杂客观现象的一种近似，它与实际问题总会存在 一定误差。

观测误差

由于测量精度和手段的限制，观测或实验得来的物理量总会与实 际量之间存在误差。

截断误差

数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差。如 e^x≈ 1 + x +^x_2!² +· · · +^x_10!¹⁰

R10(x) = ^ξ_11!¹¹

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误差来源与分类

误差按照其来源可分为四类，即 模型误差

数学模型只是复杂客观现象的一种近似，它与实际问题总会存在 一定误差。

观测误差

由于测量精度和手段的限制，观测或实验得来的物理量总会与实 际量之间存在误差。

截断误差

数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差。如 e^x≈ 1 + x +^x_2!² +· · · +^x_10!¹⁰

R10(x) = ^ξ_11!¹¹

12

误差来源与分类

误差按照其来源可分为四类，即 模型误差

数学模型只是复杂客观现象的一种近似，它与实际问题总会存在 一定误差。

观测误差

由于测量精度和手段的限制，观测或实验得来的物理量总会与实 际量之间存在误差。

截断误差

数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差。如 e^x≈ 1 + x +^x_2!² +· · · +^x_10!¹⁰

R10(x) = ^ξ_11!¹¹

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误差来源与分类

舍入误差

由于计算机的字长有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的 中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使 计算过程有误差。

典故

1990 年 2 月 25 日，海湾战争期间，在沙特阿拉伯宰赫兰的爱国 者导弹防御系统因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度 仅有 24 位，存在 0.0001% 的计时误差，所以有效时间阈值是 20 个小时。当系统运行 100 个小时以后，已经积累了 0.3422 秒的误 差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地瞄准 目标。结果未能拦截一枚伊拉克飞毛腿导弹，飞毛腿导弹在军营 中爆炸，造成 28 名美国陆军死亡。

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误差来源与分类

舍入误差

由于计算机的字长有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的 中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使 计算过程有误差。

典故

1990 年 2 月 25 日，海湾战争期间，在沙特阿拉伯宰赫兰的爱国 者导弹防御系统因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度 仅有 24 位，存在 0.0001% 的计时误差，所以有效时间阈值是 20 个小时。当系统运行 100 个小时以后，已经积累了 0.3422 秒的误 差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地瞄准 目标。结果未能拦截一枚伊拉克飞毛腿导弹，飞毛腿导弹在军营 中爆炸，造成 28 名美国陆军死亡。

13

误差

误差与有效数字

误差与有效数字

定义 : 绝对误差与绝对误差限

设某个量的精确值为 x，其近似值为 x^⋆，则称 E(x) = x − x^⋆

为近似值 x^⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得

|E(x)| = |x − x^⋆| ⩽ η

则称 η 为近似值 x^⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。

η 越小，表示近似值 x^⋆ 的精度越高。

x^⋆− η⩽ x ⩽ x^⋆+ η or x = x^⋆± η

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误差与有效数字

定义 : 绝对误差与绝对误差限

设某个量的精确值为 x，其近似值为 x^⋆，则称 E(x) = x − x^⋆

为近似值 x^⋆ 的绝对误差，简称误差。若存在 η > 0，使得

|E(x)| = |x − x^⋆| ⩽ η

则称 η 为近似值 x^⋆ 的绝对误差限，简称误差限或精度。

η 越小，表示近似值 x^⋆ 的精度越高。

x^⋆− η⩽ x ⩽ x^⋆+ η or x = x^⋆± η

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误差与有效数字

例

用毫米刻度的直尺量一长度为 x 的物体，测得其近似值为 x^⋆ = 84mm。

因直尺以 mm 为刻度，其误差不超过 0.5mm，即有

|x − 84| ⩽ 0.5 mm or x = 84 ± 0.5 mm.

15

误差与有效数字

例

测量 100m 和 10m 的两个长度，若它们的绝对误差均为 1cm，显 然前者的测量更为精确。

由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了绝对误差外，还必须 考虑该量本身的大小，为此引入相对误差的概念。

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误差与有效数字

例

测量 100m 和 10m 的两个长度，若它们的绝对误差均为 1cm，显 然前者的测量更为精确。

由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了绝对误差外，还必须 考虑该量本身的大小，为此引入相对误差的概念。

16

误差与有效数字

定义 : 相对误差与相对误差限

近似值 x^⋆ 的相对误差是绝对误差与精确值之比，即 Er(x) = E(x)

x = x − x^⋆ x . 实际中精确值 x 一般无法知道，通常取

Er(x) = E(x)

x^⋆ = x − x^⋆ x^⋆ . 若存在 δ > 0，使得

|Er(x)| = x − x^⋆

x^⋆

 ⩽ δ, 则称 δ 为近似值 x^⋆ 的相对误差限。

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误差与有效数字

例

|x − x^⋆| ⩽ 1cm 时，测量 100m 物体时的相对误差为

|Er(x)| = 1

10000 = 0.01%, 测量 10m 物体时的相对误差为

|Er(x)| = 1

1000 = 0.1%.

18

误差与有效数字

定义 : 有效数字

若近似值 x^⋆ 的绝对误差限是某一位的半个单位，就称x^⋆ 精确到 这一位。更进一步，若从该位直到 x^⋆ 的第一位非零数字共有 n 位，则称x^⋆ 有 n 位有效数字。

给定数 具有 5 位有效数字的近似值 358.467 358.47

0.00427511 0.0042751 8.000034 8.0000 8.000034× 10³ 8000.0

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误差与有效数字

任何一个实数 x 经四舍五入后得到的近似值 x^⋆ 都可写成 x^⋆=±(α1× 10⁻¹+ α2× 10⁻²+· · · + αn× 10⁻ⁿ)× 10^m, 其中 m∈ Z，α1∈ {1, · · · , 9}，α2,· · · , αn∈ {0, 1, · · · , 9}。当其绝对误 差限满足

|x − x^⋆| ⩽ 1

2× 10^m−n 时，则称近似值 x^⋆ 具有 n 位有效数字。

20

误差与有效数字

例

验证 e = 2.718281828459046· · · 的近似值 2.71828 具有 6 位有效 数字

解

2.71828 =(

2× 10⁻¹+ 7× 10⁻²+ 1× 10⁻³ +8× 10⁻⁴+ 2× 10⁻⁵+ 8× 10⁻⁶)

× 10

=⇒ m = 1, n = 6.

∵ |e − 2.71828| = 0.000001828 · · · < ¹₂× 10⁻⁵,

∴ 它具有 6 位有效数字

21

误差与有效数字

定理

设某数 x 的近似值为 x^⋆，则

x^⋆有n位有效数字 =⇒ |x − x^⋆| ⩽ 1

2× 10^m−n. 注

当 m 一定时，有效数字位数 n 越多，其绝对误差限越小。

22

误差与有效数字

定理

设某数 x 的近似值为 x^⋆ 有如下形式

x^⋆=±(α1× 10⁻¹+ α2× 10⁻²+· · · + αn× 10⁻ⁿ)× 10^m, 则

• 若 x^⋆ 有 n 位有效数字，则

|Er(x)| ⩽ 1

2α1 × 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾.

• 若

|Er(x)| ⩽ 1

2(α1+ 1)× 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ 则 x^⋆ 至少有 n 位有效数字。

23

误差

证明

由x^⋆=±(α1× 10⁻¹+ α2× 10⁻²+· · · + αn× 10⁻ⁿ)× 10^m可知 α1× 10^m−1⩽ |x^⋆| ⩽ (α1+ 1)× 10^m−1

所以，

|E^⋆r(x)| = |x − x^⋆|

|x^⋆| ⩽

1

2× 10^m−n α1× 10^m−1 = 1

2α1 × 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ 反之，由

|x − x^⋆| = |x^⋆| · |E^⋆r(x)| ⩽ (α1+ 1)× 10^m−1· 1

2(α1+ 1)× 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

= 1

2× 10^m−n 知，x^∗ 至少具有 n 位有效数字。

24

误差

例 为使 √

20 的近似值的相对误差小于 1%，问至少应取几位有效数 字？

√解

20 的近似值的首位非零数字是 α1= 4，故

|E^⋆r(x)| = 1

2× 4× 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾< 1% 可解得 n > 2，故取 n = 3 即可满足要求。

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误差

例 为使 √

20 的近似值的相对误差小于 1%，问至少应取几位有效数 字？

√解

20 的近似值的首位非零数字是 α1= 4，故

|E^⋆r(x)| = 1

2× 4× 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾< 1%

可解得 n > 2，故取 n = 3 即可满足要求。

25

数值计算的误差估计

数值计算的误差估计

设有可微函数 y = f(x1, x2,· · · , xn)，其中 x₁^∗, x^∗₂,· · · , x^∗n 分别是 x1, x2,· · · , xn 的近似值，记 y 的近似值为 y^∗= f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n). 由

E(y^∗) = y − y^∗= f(x1, x2,· · · , xn) − f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n)

≈

∑n i=1

∂f(x^∗₁, x^,₂· · · , x^∗n)

∂x^∗_i · (xi− x^∗_i),

Er(y^∗) = E(y^∗) y^∗ ≈

∑n i=1

∂f(x^∗₁, x^,₂· · · , x^∗n)

∂x^∗_i ·x^∗_i

y^∗ ·xi− x^∗_i x^∗_i 可知，

|E(y^∗)| ⩽

∑n i=1

∂f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n)

∂x^∗_i

· E(x^∗i),

|Er(y^∗)| ⩽

∑n i=1

x^∗_i y^∗

 ·

∂f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n)

∂x^∗_i

· Er(x^∗_i).

26

数值计算的误差估计

定义 称 

∂f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n)

∂x^∗_i

,  x^∗_i

y^∗  ·

∂f(x^∗₁, x^∗₂,· · · , x^∗n)

∂x^∗_i

 为各个 x^∗_i 对 y^∗ 的绝对误差和相对误差的增长因子。

27

数值计算的误差估计

例

试估计 y = f(x1, x2,· · · , xn) = x1+ x2+· · · + xn 的绝对误差与相 对误差。

解 因 ^∂f

∂xi = 1，故

• 和的绝对误差不会超过各项的绝对误差之和，因

E(y^∗) =

∑n i=1

E(x^∗_i) =⇒ |E(y^∗)| ⩽

∑n i=1

|E(x^∗i)|,

• 和的相对误差不会超过各项中最大的相对误差，因

|Er(y^∗)| ⩽

∑n i=1

x^∗_i y^∗

|E^r(x^∗_i)| ⩽ max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|

∑n i=1

|x^∗i|

|y^∗| = max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|.

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数值计算的误差估计

例

试估计 y = f(x1, x2,· · · , xn) = x1+ x2+· · · + xn 的绝对误差与相 对误差。

解 因 ^∂f

∂xi = 1，故

• 和的绝对误差不会超过各项的绝对误差之和，因

E(y^∗) =

∑n i=1

E(x^∗_i) =⇒ |E(y^∗)| ⩽

∑n i=1

|E(x^∗i)|,

• 和的相对误差不会超过各项中最大的相对误差，因

|Er(y^∗)| ⩽

∑n i=1

x^∗_i y^∗

|E^r(x^∗_i)| ⩽ max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|

∑n i=1

|x^∗i|

|y^∗| = max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|.

28

数值计算的误差估计

例

试估计 y = f(x1, x2,· · · , xn) = x1+ x2+· · · + xn 的绝对误差与相 对误差。

解 因 ^∂f

∂xi = 1，故

• 和的绝对误差不会超过各项的绝对误差之和，因

E(y^∗) =

∑n i=1

E(x^∗_i) =⇒ |E(y^∗)| ⩽

∑n i=1

|E(x^∗i)|,

• 和的相对误差不会超过各项中最大的相对误差，因

|Er(y^∗)| ⩽

∑n i=1

x^∗_i y^∗

|E^r(x^∗_i)| ⩽ max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|

∑n i=1

|x^∗i|

|y^∗| = max

1⩽i⩽n|Er(x^∗_i)|.

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数值计算的误差估计

例

测得某桌面的长 a 的近似值为 a^∗ = 120cm，宽 b 的近似值为 b^∗= 60cm，若已知|a − a^∗| ⩽ 0.2cm，|b − b^∗| ⩽ 0.2cm，试求近似 面积 S^∗= a^∗b^∗的绝对误差限和相对误差限。

解

因 S^∗= a^∗b^∗, _∂a^∂S_∗^∗ = b^∗, ^∂S_∂b∗^∗ = a^∗，故

|E(S^∗)| ⩽ |b^∗||E(a^∗)| + |a^∗||E(b^∗)| ⩽ 60 × 0.2 + 120 × 0.1 = 24 cm². 且

|Er(S^∗)| = E(S^∗)

S^∗

 = |E(S^∗)| a^∗b^∗ ⩽ 24

7200≈ 0.33%.

29

选用和设计算法应遵循的原则

选用和设计算法应遵循的原则

一、选用数值稳定的计算公式，控制舍入误差的传播

若算法不稳定，则数值计算的结果就会严重背离数学模型的真实结果。

因此在选择数值计算公式来进行近似计算时，应特别注意选用那些在 计算过程中不会导致误差迅速增长的计算公式。

30

选用和设计算法应遵循的原则

例 计算积分

In= e⁻¹

∫1 0

xⁿe^xdx, n = 0, 1, 2,· · ·

31

选用和设计算法应遵循的原则

算法 1





In= 1 − nI_n−1, I0= 1 − e⁻¹≈ 0.6321.

matlab code t0 = 0.6321;

for i = 1:9

fprintf('%10.5 f\n', t0);

t1 = 1 - i * t0;

t0 = t1;

end

running result 0.63210 0.36790 0.26420 0.20740 0.17040 0.14800 0.11200 0.21600 -0.72800

32

选用和设计算法应遵循的原则

误差分析

0 < In< e⁻¹ max

0⩽x⩽1(e^x)

∫1 0

xⁿdx = 1 n + 1 知

I7< 1

8 = 0.1250, I8< 1

9 ≈ 0.1111.

由此可知以上算法得到的 I7, I8的结果时错误的。设 In 的近似解 为 I^∗_n，由

In= 1 − nI_n−1

I^∗_n= 1 − nI^∗_n−1 ⇒ |en| = (n − 1)|en−1|

可知，由于 I0 本身有不超过 0.5× 10⁻⁴ 的舍入误差，即|e0| ⩽ 0.5× 10⁻⁴ 此误差在运算中传播、积累很快，传播到 I7 和 I8时，

该误差已放大了 7 与 8 倍，从而使得 I7 和 I8的结果面目全非。

33

选用和设计算法应遵循的原则

算法 2：

I_n−1= 1

n(1 − In)

matlab code t0 = 0.1124;

for i = 7: -1:0

fprintf('%10.5 f\n', t0);

t1 = (1 - t0) / i;

t0 = t1;

end

running result 0.11240 0.12680 0.14553 0.17089 0.20728 0.26424 0.36788 0.63212

34

选用和设计算法应遵循的原则

误差分析 由

In> e⁻¹ min

0⩽x⩽1(e^x)

∫1 0

xⁿdx = e⁻¹ n + 1 知

e⁻¹

n + 1 < In< 1 n + 1.

I7≈ 0.1124.

设 In 的近似解为 I^∗_n，由 I_n−1= ¹_n(1 − In)

I^∗_n−1= ¹_n(1 − I^∗_n) ⇒ |en−1| = 1 n|en|

可知，由 I7引起的初始误差在以后的计算过程中逐渐减小，最后 便得到了与 I0= 1 − e⁻¹≈ 0.6321 相差无几的结果。

35

选用和设计算法应遵循的原则

定义 : 数值稳定

在数值计算中，误差不会增长的计算格式称为是数值稳定的，否 则就是不稳定的。

为了不影响数值计算结果的精确度与真实性，在实际应用中，应选用 数值稳定的计算公式，尽量避免使用数值不稳定的公式。

36

选用和设计算法应遵循的原则

定义 : 数值稳定

在数值计算中，误差不会增长的计算格式称为是数值稳定的，否 则就是不稳定的。

为了不影响数值计算结果的精确度与真实性，在实际应用中，应选用 数值稳定的计算公式，尽量避免使用数值不稳定的公式。

36

选用和设计算法应遵循的原则

二、尽量简化计算步骤以便减少运算次数

节省计算量，提高计算速度，简化逻辑结构，减少误差积累。

例

计算多项式

Pn(x) = anxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+· · · + a1x + a0

37

选用和设计算法应遵循的原则

• 逐项计算

共需1 + 2 +· · · + (n − 1) + n = ¹₂n(n + 1)次乘法和n次加法

• 秦九韶算法

{ u0= an,

uk= u_k−1x + a_n−k, k = 1, 2,· · · , n.

共需n 次乘法和n 次加法。

38

选用和设计算法应遵循的原则

秦九韶（1208 年－ 1261 年），南宋官 员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并 称宋元数学四大家。

数学成就

• 数学九章

• 大衍求一术: 比高斯的同余理论早 554 年

• 任意次方程的数值解法: 比英国人霍纳早提出 572 年

• 三斜求积术: 海伦公式 (公元 50 年左右)

• 秦九韶公式

• · · ·

39

选用和设计算法应遵循的原则

三、避免两个相近的数相减

数值计算中，两个相近的数相减会造成有效数字的严重丢失。常用的 处理办法有：

• 因式分解

• 分子分母有理化

• 三角函数恒等式

• Taylor 展开式

• · · ·

40

选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

√x + 1 −√

x (x = 1000)

• 直接计算

√1001 −√

1000≈ 31.64 − 31.62 = 0.02 只有一个有效数字，损失了三位有效数字

• 分子有理化

√x + 1 −√

x = 1

√x + 1 +√

x ≈ 0.01581 没有损失有效数字

41

选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

√x + 1 −√

x (x = 1000)

• 直接计算

√1001 −√

1000≈ 31.64 − 31.62 = 0.02 只有一个有效数字，损失了三位有效数字

• 分子有理化

√x + 1 −√

x = 1

√x + 1 +√

x ≈ 0.01581 没有损失有效数字

41

选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

√x + 1 −√

x (x = 1000)

• 直接计算

√1001 −√

1000≈ 31.64 − 31.62 = 0.02 只有一个有效数字，损失了三位有效数字

• 分子有理化

√x + 1 −√

x = 1

√x + 1 +√

x≈ 0.01581 没有损失有效数字

41

选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

A = 10⁷(1 − cos 2^◦) (cos 2^◦= 0.9994)

• 直接计算

A≈ 10⁷(1 − 0.9994) = 6× 10³ 只有一个有效数字

• 三角恒等式

1 − cos x = 2 sin²x 2

A = 2× (sin 1^◦)²× 10⁷≈ 2 × 0.01745²× 10⁷≈ 6.09 × 10³ 有三位有效数字

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选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

A = 10⁷(1 − cos 2^◦) (cos 2^◦= 0.9994)

• 直接计算

A≈ 10⁷(1 − 0.9994) = 6× 10³ 只有一个有效数字

• 三角恒等式

1 − cos x = 2 sin²x 2

A = 2× (sin 1^◦)²× 10⁷≈ 2 × 0.01745²× 10⁷≈ 6.09 × 10³ 有三位有效数字

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选用和设计算法应遵循的原则

例

计算（取 4 位有效数字）

A = 10⁷(1 − cos 2^◦) (cos 2^◦= 0.9994)

• 直接计算

A≈ 10⁷(1 − 0.9994) = 6× 10³ 只有一个有效数字

• 三角恒等式

1 − cos x = 2 sin²x 2

A = 2× (sin 1^◦)²× 10⁷≈ 2 × 0.01745²× 10⁷≈ 6.09 × 10³ 有三位有效数字

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选用和设计算法应遵循的原则

四、绝对值太小的数不宜做除数

数值计算中，用绝对值很小的数作除数，会使商的数量级增加，甚至 在计算机中造成“溢出”停机，而且当很小的除数稍有一点误差，会对 计算结果影响很大。

例

3.1416

0.001 = 3141.6 3.1416

0.001 + 0.0001 = 2856

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选用和设计算法应遵循的原则

五、合理安排运算次序，防止“大数吃小数”

例

计算 a, b, c 的和，其中 a = 10¹², b = 10, c≈ −a.

• (a + b) + c 结果接近于 0

• (a + c) + b 结果接近于 10

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