L11 中間值定理的應用 3.1 derivate
Q:中間值的內容敘述
A:如果有一個函數在 AB 閉區間上連續，對任意 c 在 f(a)與 f(b)之間，
則會存在有一個 x0在 AB 閉區間，使得 f(x0)=c。
它真正建模的概念 f(a) and f(b) 之間的值必被取。
eg. Show that 3x^3-2x+5 has a root.
Q:這裡提到 AB 閉區間了沒？A:沒。
Q:那怎麼辦？A:所以要自己找。
Q:這個題目是要找一個數？A:取值為 0。
Q:找怎樣的區間，有沒有條件？A:有。
第一個 f 在這個閉區間連續。第二個要使得 0 被取，0 要介於 f(a) and f (b)之間。
∵ f(0)=5, f(-2)=-24+4-5<0 ∴ 0 is between f(0) and f(-2).
∵ f is cont. on [-2,0] ∴By Intermediate value thm. ∃ x0∈[-2,0] s.t f(x0)=0.
Therefore f has a root.
eg. Let f be cont. on [0,1] and 0≤f(x)≤1. Show that ∃ c∈[0,1] s.t. f(c)=c pf: If f(0)=0 or f(1)=1, then it’s done! 證得，解題的經驗。
assume then f(0)>0 and f(1)<1. 假設 f(0)=0 or f(1)=1 不發生，也成立。
f(0)=0 不發生，所以 f(0)>0；f(1)=1 不發生，所以 f(1)<1
Let g(x)=f(x)-x Q:在數學上如何求交集？ A:求兩個函數相減有零根
∵ f and x are cont. on [0,1] ∴ g is cont. on [0,1] 根據連續四則運算
∵ g(0)=f(0)-0>0 and g(1)=f(1)-1<0 ∴ 0 is between g(0) and g(1).
By Intermediate value thm. ∃ c∈[0,1] s.t. g(c)=0
⇒g(c)=f(c)-c=0
⇒f(c)=c O x
y
y=x y=f(x)
L11 中間值定理的應用 3.1 derivate
Chapter 3 Differentiation
§ 3.1 The derivative Let f be a function
Question:How to find the tangent line of graph
of the function y=f(x) at (x,f(x))?這個問題就是研究微分的出處
所有人的經驗都說我會畫，但是問題是常常畫壞，變成割線，所以事實上畫割線。
Q:什麼叫割線？A:就是在圖形上取任何兩點的連線。
割線找兩點，有一點會被固定，那點就是找切線的點，所以在找一點。
圖形上的一點，事實上定義上先給一點。所以我要講這個點有 x 座標 y 座標，但 這是函數的圖形，所以這兩個位置，x 的位置決定 y 的位置就決定。就算你要決 定函數值，事實上是從自變數所決定的。所以在這個地方須要再找一個點，描述 這個點有兩種方式，一個是用函數的變數，一個是用跟該點的差距，在這個地方 我們用的是差距。x 是固定點，差距為 h，所以該點就是(x+h,f(x+h))
去看(x,f(x))與(x+h,f(x+h))所決定的割線
Q:割線不是切線，但是我要求切線。可是我從割線畫起，如何得到切線？
A:從圖形上想，也就是讓第二點往 x 靠近，也就是讓 h 變小。
當 h→0 時，此割線會逼近切線。故切線是割線的極限(as h→0)
可是你會發現，割線是一整條線，你求它的極限，線的極限是一條線，不好控制。
可牽涉到有無線多點，想法上可行，可是它的數學建模寫出來有一點難。
換一個方式，割線是兩點所決定，有一個點固定不動，就是(x,f(x))，過這點的割 線，依依對應它的斜率，斜率是一個數，割線是一條線。求線的極限，可以考慮 從割線斜率的極限，由點斜式可知。
Q:割線的斜率等於多少？A:兩點(x,f(x)),(x+h,f(x+h))， y 差值/x 差值
改成考慮割線的斜率=[f(x+h)-f(x)]/h 考慮 lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h 割線斜率的極限 Q:極限一定會存在嗎？A:不一定。
Q:如果存在，結果會是一個數。切線知道了嗎？
A:知道了，過那點，以這個數為斜率，由點斜式可以求出。
x x+h
y=f(x)
(x,f(x)) (x+h,f(x+h))
x y
L11 中間值定理的應用 3.1 derivate
Def:We say that f is differentiable at x, if lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h exists.
我們說函數在該點可微，如果割線斜率的極限存在。
If the limit exists, it is called the derivative of f at x, and is denoted by f'(x).
如果極限存在，它被稱為函數在該點 derivative，被記成 f'(x)。
Q:lim 是誰的極限？A:割線斜率的極限。
Q:f'(c)？A:該點割線斜率的極限。數學上lim(h→0)[f(c+h)-f(c)]/h
Def:We say that f is diff. on the set I, if it is diff. at every point of I.
Rmk:f→f' (f'=derivative of f)
Q: f(Dom)與 f'(Dom)哪一個大？A: f(Dom)，為什麼？因為討論 f 在割線斜率的極限 存在，存在的叫 f’(Dom).
○1 Dom(f')包含於Dom(f)
○2 f'(x)=the slope of tangent line of the graph of the function y=(x) at (x,(f(x).
eg. Show that f(x)=x^2 is deff. on ℝ and f'(x)=2x.
pf:Let x∈ℝ 設實數上一點，根據可微的定義，割線斜率的極限存在
lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h= lim(h→0) [(x+h)^2-x^2]/h
=lim(h→0) [x^2+2xh+h^2-x^2]/h= lim(h→0) (2xh+h^2)/h= lim(h→0)2x+h
= 2x+0=2x.極限的四則運算(2x→2x,h→0)
So f is diff. on ℝ and f'(x)=2x. Q:f'(x)=2x 為什麼？A:該極限存在等於 2x
eg. Let f(x)=|x|. Show that f is not diff at 0.
Let f(x)=x,if x≥0 –x,if x≤0
L11 中間值定理的應用 3.1 derivate
lim(h→0+)=(h-0)/h=1, lim(h→0-)=(-h-0)/h=-1
∵1≠-1 ∴lim(h→0)[f(h)-f(0)]/h does't exist⇒f is diff. at 0.
Note:
在 0 點是兩條割線相交，割線的極限不存在，割線斜率的極限也不存在。
1 跟-1 不能趨近一定數。
Q:從圖形上如何判斷可不可微？A:若圖形在某點有尖角，則 f 在該點不可微，
故若 f 在該點可微，則圖形在該點會圓滑。
eg. Find f'(1) given by f(x)=x^2,x≤1、2x-1,x≥1, and the tangent line…at (1,f(1)).
pf:
Q:證什麼？A:f(1)割線斜率的極限存在，在 1 這點切割成兩部分，要分開算。
lim(x→0+){[2(1+h)-1]-1}/h= lim(x→0+)2h/h= lim(x→0+)2=2
lim(x→0-)[(1+h)^2-1]/h= lim(x→0-)(2h+h^2)/h= lim(x→0-)2+h=2+0=2 f'(1)=2,f(1)=1過這點，由點斜式
∵(y-1)/(x-1)=2 ∴y-1=2x-2⇒2x-y=1
P112(6.19.32.40.49.59)
0
y=|x|
-h -h x
y
