中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：覆晶設計之輸出入設定與重新分配層繞線

系 所 別：資訊工程學系碩士班 學號姓名： E09402007 王憲旌 指導教授： 顏 金 泰 博士

中 華 民 國 九 十 八 年 二 月

中文摘要

隨著現今晶片設計日益複雜化，使得晶片的輸入輸出接腳成倍數的成長，覆 晶封裝技術已被廣泛使用在新一代積體電路設計中，由於該封裝技術讓輸入輸出 接腳大大增加，且應因其設計方式讓原本之連線變短，讓電路的效率與頻率能夠 再提升，因此覆晶封裝技術為一個有效的封裝方式。在本論文中利用兩個步驟去 完成重新分配層的繞線，分別為輸入輸出緩衝器的配置及繞線演算法。

從實驗結果的數據顯示，如為以貪婪輸入輸出緩衝器配置加上我們的繞線演 算法，本論文與之比較總線長平均可減少 7.6%，繞線成功率平均增加 8.8%，另 一種為使用我們的輸入輸出緩衝器配置加上球閘陣列總體繞線[1]，本論文與之 比較總線長平均可減少 15.9%，繞線成功率平均增加 10.6%。從實驗的結果可以 看出本論文所提出的基於重新分配層的輸入輸出緩衝器配置及繞線演算法是有 效率的演算法。

Abstract

The chip design is becoming more and more complicated, and the IO count in a chip is continuously growing. Recently, new flip-chip technology has already been used in the IC design and package extensively. Because the flip-chip technology has more IOs to be used in a chip, it can be applied in a complicated chip and improve the timing delay of IO connections. In the thesis, we consider RDL routing in flip-chip design and propose a two-phase approach to complete RDL routing. In first phase, all the IOs are assigned on bump balls by using IO connection assignment algorithm. In the second phase, all the assigned IOs connections are further routed by using a RDL algorithm.

The experimental results show that our RDL routing algorithm can achieve 100% routability under reasonable CPU times. Compared with the combination of the greedy IO assignment and our RDL routing, our IO assignment reduces the global wirelength by 7.6% after global routing and improves the routability by 8.8% after detailed routing on the average. Compared with the combination of our IO assignment, the single-layer BGA global router[1] and our detailed routing phase, our RDL router reduces the global wirelength by 15.9% after global routing and improve the routability by 10.6% after detailed routing on the average. Clearly, the experimental results show that our RDL routing algorithm is very effective for flip-chip designs.

致 謝

本人論文能夠順利完成，特別要感謝我的論文指導教授顏金泰博士認真的指 導及循循善誘，讓我在研究所就學期間能夠在增長學識與學習研究方法方面能有 所精進，教授待人寬厚，治學態度嚴謹，有幸能與老師學習，乃是我最大的榮幸，

在此致上最深的感謝。

首先要感謝家人對我的支持與關心，讓我更能專心致力於學業上，無後顧之 憂，感謝在研究所就學期間陪伴我的同學—嘉和、志偉、明原、詩芩等同學，在 念書期間可以相互切磋增長知識，不論是學業上的協助或是生活上的幫助等，在 在都感謝大家的支持與鼓勵，在此致上我的感謝。

謹將此論文獻給我最愛的家人、師長、同學們，與大家共同分享這份得來不 易的榮耀。

王憲旌 謹致 中華民國九十八年一月十五日於新竹

目錄

中文摘要...I ABSTRACT...II 致 謝...III 目錄...IV 圖形目錄...VI 表格目錄...VIII 第 一 章 簡 介 ...I

1.1 積 體 電 路 ...1

1.2 封 裝 技 術 ...2

1.3 自 動 化 設 計 的 重 要 性 ...8

1.4 相 關 研 究 ...10

第 二 章 研 究 動 機 與 問 題 描 述 ...15

2.1 研 究 動 機 ...15

2.2 問 題 描 述 與 定 義 ...17

第 三 章 重 新 分 配 層 輸 入 輸 出 配 置 演 算 法 設 計 ...20

3.1 初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 配 置 ...20

3.1.1 狄洛尼三角化演 算 法 ...22

3.1.2 沃洛諾依多邊形演 算 法 ...25

3.2 配 對 交 換 修 訂 ...28

3.3 輸 入 輸 出 緩 衝 器 連 接 合 併 ...30

3.4 重 新 分 配 層 輸 入 輸 出 配 置 演 算 法 之 時 間 複 雜 度 ...31

第 四 章 重 新 分 配 層 自 動 化 繞 線 設 計 ...32

4.1 總 體 繞 線 演 算 法 ...32

4.1.1 總體連線配置...33

4.1.2 史丹爾點的設置...35

4.2 細 部 繞 線 演 算 法 ...39

4.2.1 跨越點配置...39

4.2.2 河流演算法與實體路徑配置...40

4.2.3 迷宮繞線演算法...42

4.3 重 新 分 配 層 自 動 化 繞 線 設 計 演 算 法 之 時 間 複 雜 度 ...44

第 五 章 實 驗 數 據 與 結 果 ...46

5.1 實 驗 模 型 定 義 及 初 始 化 ...46

5.2 實 驗 結 果 ...47

第 六 章 結 論 與 未 來 展 望 ...49

6.1 結 論 ...49

6.2 未 來 展 望 ...49

參考文獻...50

圖形目錄

圖 1.1 傳統積體電路封裝流程圖 ...3

圖 1.2 雙排積體電路封裝示意圖 ...4

圖 1.3 薄 型 化 的 小 型 封 裝 示 意 圖 ...5

圖 1.4 球 閘 陣 列 封 裝 示 意 圖 ...6

圖 1.5 打 線 及 覆 晶 封 裝 模 型 示 意 圖 ...7

圖 1.6 凸 起 球 尺 寸 圖 ...9

圖 1.7 積體電路設計流程圖 ...10

圖 1.8 覆晶封裝簡示圖 ... 11

圖 1.9 三個點二選一限制範例圖 ...12

圖 2.1 覆 晶 封 裝 詳 細 架 構 圖 ...16

圖 2.2 重 新 分 配 層 繞 線 對 照 圖 ...17

圖 2.3 演 算 法 設 計 流 程 圖 ...18

圖 2.4 初 始 化 輸入輸出緩衝器與凸起球分布範例說明圖 ...19

圖 3.1 重新分配層配置演算法流程圖 ...20

圖 3.2 漣波效應示意圖 ...21

圖 3.3 狄洛尼三角形外接圓相 互 關 係 示意圖 ...23

圖 3.4 狄洛尼三角形作法示意圖 ...23

圖 3.5 狄洛尼三角形完成範例圖 ...24

圖 3.6 三角形區域化作法圖 ...25

圖 3.7 狄 洛 尼 三 角 形 及 沃 洛 諾 依 多 邊 形 轉 換 示 意 圖 ...26

圖 3.8 沃 洛 諾 依 多 邊 形 演 算 法 範 例 圖 ...27

圖 3.9 初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 與 凸 起 球 圖 ...28

圖 3.10 配 對 交 換 修 訂 三 種 模 式 示 意 圖 ...29

圖 3.11 配 對 交 換 修 改 完 成 示 意 圖 ...29

圖 3.12 連 接 合 併 完 成 示 意 圖 ...30

圖 4.1 繞 線 設 計 流 程 圖 ...32

圖 4.2 可 找 出 史 丹 爾 點 的 範 例 圖 ...33

圖 4.3 配 對 點 間 區 域 化 圖 ...34

圖 4.4 範 例 說 明 配 對 點 總 體 連 線 圖 ...35

圖 4.5 找出史 丹 爾 點 示 意 圖 ...36

圖 4.6 找出最 佳 史 丹 爾 點 示 意 圖 ...36

圖 4.7 第 一 種 類 型 史 丹 爾 點 設 置 示 意 圖 ...37

圖 4.8 第 二 種 類 型 史 丹 爾 點 設 置 示 意 圖 ...38

圖 4.9 範 例 說 明 史 丹 爾 點 設 置 位 置 圖 ...38

圖 4.10 跨 越 點 分 析 示 意 圖 ...40

圖 4.11 範 例 說 明 跨 越 點 完 成 標 示 圖 ...40

圖 4.12 河 流 繞 線 演 算 法 繞 線 路 徑 示 意 圖 ...41

圖 4.13 範 例 完 成 河 流 演 算 法 示 意 圖 ...42

圖 4.14 迷 宮 演 算 法 示 意 圖 ...43

圖 4.15 範 例 完 成 迷 宮 演 算 法 示 意 圖 ...43

表格目錄

表 5.1 ITRS 預測 2018 年覆晶繞線封裝製程參數表 ...46 表 5.2 貪 婪 輸 入 輸 出 配 置 加 上 我 們 的 繞 線 演 算 法 比 較 表 ...47 表 5.3 我 們 的 輸 入 輸 出 配 置 加 上 球 閘 矩 陣 陣 列 繞 線 演 算 法 比 較 表 ....48

第 一 章 簡 介

隨 著 積 體 電 路 製 程 日 漸 下 降 ， 而 封 裝 的 面 積 也 日 漸 縮 小 對 而 輸 入 輸 出 接 腳 的 需 求 卻 呈 倍 數 的 成 長 ，因此許多在過去未曾考慮的問題也漸漸浮 現出來，如晶片內因電晶體密度及個數劇增而引發的散熱問題，高密度輸 入 輸 出 接 腳 所 需 考 慮 到 的 繞 線 問 題 、 及 晶 片 內 元 件 配 置 最 佳 化 等 等 ，這些新的 問題都是目前從事積 體 電 路 設 計 所可能遇到的挑戰，目前覆晶封裝技術已逐漸 成為封裝的主流，但在高密度及高數量的輸 入 輸 出 接 腳 需 求 下 ，在重新分配層 的繞線將會遇到瓶頸，即繞線可能無法在一層內保證 100%成功，因此本論文為找 出一種應用在覆晶技術的重新分配層上的演算法，在一層繞線層內保證 100%繞線 成功的前提下完成繞線，且此演算法的繞線時間在合理的範圍內，在未來覆晶技 術的接腳數再往上提升亦可應用，因此在日新月異的科技產業來說如何來加速產 品的開發及縮短產品量產週期，且有能兼顧到上述問題的發生唯有藉由將積 體 電 路 設計自動化，因此電子設計自動化(EDA, Electronic Design Automation)工具最近 幾年來因此而蓬勃發展，畢竟電路的實體設計複雜度越來越高，光靠人力將難以 順利及快速的完成晶片的開發與設計。

1.1 積 體 電 路

積體電路(IC, Integrated Circuit)乃是將二極體、電晶體、電阻、電容等許多電 子零件組合在一矽基板(Silicon substrate)上，以往在積體電路(IC, Integrated Circuit) 尚未問世之前，無論在業界或學術研究上皆是用印刷電路板(PCB)並在上面加電晶 體、電阻或電容等元件來組成電路使用，常常需使用眾多零件才能完成一種功能，

而當功能越來越複雜時，人們便想要簡化眾多零件且體積更近一步縮小，於是便 有了積體電路的產生，由眾零件組成完整功能單元進而形成一積體電路，不僅簡 化了電路本身組成的複雜性，讓電路由功能作區分成各部元件，生產時只要將不

同功能的積體電路及少許零件可連接起來便能完成整個電路。根據戈登莫爾 (Gordon Moore ,Intel 創辦人之ㄧ)於 1964 年提出認為大約每隔一年，晶片可容納 電晶體數目增加為兩倍，稱之為莫爾定律(Moore’s law)，此定律一直到 1975 年才 被修正為每隔十八個月便會增加為一倍，因為積體電路的體積很小，所以電子移 動的距離極小，故其速度快且較穩定，而積體電路的分類是由電晶體數量來決定，

區分簡介如下所示 :

‧小型積體電路(SSI)，電晶體數目為 10~100 ‧中型積體電路(MSI)，電晶體數目為 100~1,000 ‧大型積體電路(LSI)，電晶體數目為 1,000~100,000

‧超大型積體電路(VLSI)，電晶體數目為 100,000~1,000,000 ‧超級大型積體電路(ULSI)，電晶體數目為 1,000,000~

積體電路以使用的市場可大致區分為所謂消費性的積體電路及工業性的積體 電路。所謂消費性的積體電路系指一般生活上所使用到的電子產品，如電視機、

洗衣機、電子鐘、電話等，因此類商品更新速度快且取代性高故稱為消費性積體 電路，而另一類工業性的積體電路其主要運用在工業上，除要求穩定及功能性外 尚需考慮其規格標準化，唯有標準化的規格方能使各廠商所生產的積體電路能交 互使用替代，而使工業設備維護上更加便利。如從電子電路的角度來看，可分為 類比電路(Analog Circuit)及數位電路(Digital Circuit) ，類比電路多應用於無線通訊 或電源之轉換等，如廣播、無線網路、變壓器的應用，皆普遍使用類比電路，而 數位電路的應用上則更為廣泛，舉凡電子類產品皆有數位電路之存在，雖然類比 電路所量測出的數據未必精確，但是在先前所提到的應用卻有非使用類比電路不 可的因素，因為在上述電路運用上它還是優於數位電路，但隨著科技的進步類比 電路已有慢慢被數位電路所取代的趨勢。

1.2 封 裝 技 術

一 般 我 們 提 到 封 裝 (Package) ， 因 為 封 裝 使 得 晶 片 得 以 與 外 界 隔

離 ， 讓 晶 片 不 會 因 為 空 氣 中 的 水 氣 或 雜 質 造 成 晶 片 線 路 短 路 或 腐 蝕 ， 使 得 晶 片 的 性 能 不 佳 或 甚 至 是 損 毀 ， 所 以 封 裝 對 於 晶 片 來 說 是 非 常 重 要 的 ， 另 外 對 於 晶 片 的 安 裝 或 運 送 ， 一 個 良 好 的 封 裝 方 式 是 可 以 減 少 不 必 要 的 損 失 ， 且 能 延 長 晶 片 的 使 用 年 限 ， 封 裝 不 僅 是 密 封 晶 片 進 而 保 護 及 增 強 晶 片 的 散 熱 作 用 ， 在 晶 片 經 過 封 裝 後 唯 一 對 外 連 接 的 接 腳 以 目 前 常 用 的 接 腳 來 說 可 分 為 兩 種 ， 一 種 為 一 般 接 腳 (Pin)， 另 一 種 為 凸 起 球 (Bump Ball)， 凸 起 球 為 目 前 新 形 式 的 接 腳 方 式 ， 而 以 目 前 將 積 體 電 路 安 裝 到 印 刷 電 路 板 的 方 式 來 分 可 大 致 分 成 兩 種 類 型 ， 一 種 為 晶 片 直 接 封 裝 (COB, Chip On Board)是 將 切 割 下 來 的 晶 粒 (Die)直 接 粘 附 印 刷 電 路 板 ， 在 由 印 刷 電 路 板 透 過 走 線 (Layout) 將 導 線 拉 出 再 加 上 封 膠 ， 此 方 法 是 將 積 體 電 路 的 封 裝 製 程 直 接 應 用 在 印 刷 電 路 板 上 ， 常 應 用 於 小 型 電 子 產 品 上 如 電 子 鐘 或 電 子 錶 等 ， 另 一 種 則 是 使 用 環 氧 樹 酯 ， 將 晶 粒 封 裝 在 其 中 利 用 導 線 架 將 所 需 接 腳 連 接 出 來 ， 再 利 用 外 接 之 接 腳 連 接 到 印 刷 電 路 板 。 如 以 積 體 電 路 本 身 封 裝 來 分 類 則 有 眾 多 種 類 ， 如 DIP、 TSOP、 PGA、 BGA、 QFP、 QSOP..等 等 ， 下 圖 1.1 所示 為傳統積體電路簡易封裝流程圖。

圖 1.1 傳統積體電路封裝流程圖

在 封 裝 技 術 推 陳 出 新 下 ， 像 晶 片 面 積 與 封 裝 面 積 之 比 率 日 益 接 近 1:1，因 此 常 用 此 一 比 值 來 衡 量 封 裝 技 術 之 進 步 程 度，而 越 新 的 封 裝 技 術 在 封 裝 後 接 腳 數 增 多 、 接 腳 間 距 減 小 、 散 熱 及 耐 熱 性 越 好 、 重 量 也

晶片切割 黏晶 打線 壓模沖切

電鍍接腳 蓋印 去框成型 積體電路

越 小 、 封 裝 後 成 品 可 靠 度 及 良 率 提 高 及 方 便 配 合 自 動 化 機 台 來 安 裝 等 等 ， 都 是 一 代 一 代 改 良 而 來 的 成 果 ， 因 此 封 裝 技 術 的 良 窳 在 積 體 電 路 製 造 過 程 中 扮 演 著 舉 足 輕 重 的 角 色 。

以 下 將 介 紹 幾 個 常 用 的 封 裝 格 式 :

雙 排 積 體 電 路 封 裝 (DIP, Dual In-Line Package)-此 類 封 裝 流 行 約 於 1970 年 代 興 起 為 一 對 稱 腳 位 封 裝 技 術 ， 在 當 時 印 刷 電 路 板 上 會 預 留 焊 接 的 導 孔 ， 預 留 空 間 方 便 印 刷 電 路 板 之 佈 線 規 劃 ， 如 圖 1.2 所示為雙 排 積 體 電 路 封 裝 示 意 圖 ， 從 圖 中 可 看 到 兩 排 互 相 對 稱 的 接 腳 與 積 體 電 路 本 身 呈 90 度 垂 直 ， 而 它 的 封 裝 的 架 構 也 有 許 多 樣 式 ， 如 單 層 陶 瓷 式 、 多 層 陶 瓷 式 及 導 線 架 式 等 ， 因 為 封 裝 才 剛 開 始 起 步 因 此 晶 片 面 積 與 封 裝 面 積 之 比 率 都 還 非 常 的 大 ， 幾 乎 都 是 一 比 數 十 倍 以 上 的 比 率 ， 對 於 晶 片 的 封 裝 技 術 還 有 相 當 大 改 進 的 空 間 。

圖 1.2 雙 排 積 體 電 路 封 裝 示 意 圖

薄 型 化 的 小 型 封 裝 (TSOP, Thin Small Outline Package)起 於 1980 年 代，因 為 小 型 封 裝 (SOP)內 積 體 電 路 的 電 晶 體 數 量 越 來 越 多 而 造 成 散 熱 不 良 的 問 題 ， 因 此 出 現 薄 型 化 的 小 型 封 裝 大 幅 降 低 小 型 封 裝 (SOP) 之 厚 度 因 而 加 強 散 熱 效 果，且 更 方 便 使 用 於 表 面 黏 著 技 術 (SMT)的 產 品 中 有 效 降 低 成 品 的 體 積 ， 因 更 適 用 於 高 頻 故 廣 泛 使 用 於 記 憶 體 的 封 裝

上 ， 它 的 主 要 特 徵 為 在 晶 片 四 周 做 出 導 線 ， 如 在 記 憶 體 封 裝 的 應 用 中 便 將 導 線 做 在 兩 側 上 如 圖 1.3 所示封裝的接腳經過兩次轉折後與積體電路本 身呈平行， 而 應 用 於 視 訊 上 的 記 憶 體 更 是 把 導 線 遍 佈 在 四 周 ， 因 此 應 用 在 表 面 黏 著 技 術 的 產 品 上 尤 其 適 合 ， 但 隨 著 大 型 及 超 大 型 積 體 電 路 的 產 生 對 於 輸 入 輸 出 接 腳 的 需 求 也 日 益 增 大 ， 故 需 要 更 新 的 技 術 來 滿 足 高 接 腳 數 產 品 需 求 。

圖 1.3 薄 型 化 的 小 型 封 裝 示 意 圖

球 閘 陣 列 封 裝 (BGA, Ball Grid Array) -因 之 前 封 裝 後 的 輸 入 輸 出 接 腳 都 分 布 在 積 體 電 路 的 四 周 ， 因 應 接 腳 數 劇 增 而 又 要 考 慮 接 腳 之 間 的 間 距 等 ， 因 而 產 生 出 接 腳 陣 列 封 裝 (PGA, Pin Grid Array)及 球 閘 陣 列 式 封 裝 兩 者 皆 為 在 積 體 電 路 封 裝 後 的 下 方 呈 現 矩 陣 接 腳 排 列 方 式 ， 兩 者 最 大 的 差 異 在 於 接 腳 陣 列 封 裝 的 接 合 點 為 接 腳 方 式 而 球 閘 陣 列 封 裝 接 腳 為 凸 起 球 方 式 ， 如 圖 1.4 所 示 為 球 閘 陣 列 式 封 裝 的 簡 單 示 意 圖 ， 其 中 球 閘 陣 列 的 封 裝 因 其 接 合 點 連 線 的 長 度 比 接 腳 陣 列 封 裝 更 短 ， 故 目 前 較 常 應 用 的 還 是 球 閘 陣 列 的 封 裝 ， 其 中 因 為 此 作 法 可 大 大 增 加 接 腳 的 數 量 ， 而 接 腳 陣 列 封 裝 可 應 用 在 導 孔 焊 接 式 或 表 面 黏 著 技 術 的 印 刷 電 路 板 設 計 使 用 上 ， 而 矩 陣 式 的 接 腳 排 列 目 前 又 可 分 為 矩 形 排 列 式 及 六 角 形 排 列 式 ， 因 在 六 角 形 的 角 度 條 件 限 制 下 會 比 矩 形 排 列 有 更 佳

的 密 度 比 [11]， 故 目 前 產 業 設 計 上 普 遍 採 用 六 角 形 的 排 列 方 式 ， 此 封 裝 優 勢 為 接 腳 數 雖 多 但 是 接 腳 間 間 距 卻 不 過 於 擁 擠 且 保 有 一 定 的 間 距 ， 因 此 在 散 熱 上 及 製 程 良 率 皆 有 顯 著 的 提 升 ， 但 在 封 裝 面 積 上 卻 未 明 顯 縮 小 改 善 ， 故 下 一 代 技 術 便 是 著 眼 在 縮 小 封 裝 面 積 卻 又 能 兼 顧 目 前 既 有 技 術 及 優 點 。

圖 1.4 球 閘 陣 列 封 裝 示 意 圖

覆 晶 型 封 裝 (FCP, Flip Chip Package)， 覆 晶 技 術 的 前 身 為 在 1960 年 代 由 IBM 所 提 出 來 的 C4(Control Collapse Chip Connection)技 術，一 直 在 1980 年 代 由 於 此 技 術 的 相 關 專 利 已 陸 續 到 期，且 封 裝 的 技 術 也 剛 好 日 益 成 熟，因 此 全 球 各 國 大 廠 紛 紛 投 入 C4 技 術 的 發 展 與 研 究 [13]，

覆 晶 封 裝 乃 將 晶 片 最 上 層 植 上 凸 起 球 (Bump Ball)在 反 過 來 覆 蓋 於 基 座 (Substrate)上 來 做 連 接，但 是 晶 片 凸 起 球 與 基 座 接 合 點 之 間 必 須 是 一 對 一 配 對 ， 方 能 保 證 訊 號 能 正 確 無 誤 傳 遞 到 基 座 上 ， 因 其 且 無 須 經 過 傳 統 的 導 線 架 製 程 ， 因 此 覆 晶 型 的 晶 片 封 裝 面 積 的 比 例 已 經 相 當 接 近 於 1:1 的 理 想 狀 況 ， 表 示 在 長 時 間 使 用 時 的 散 熱 狀 況 有 較 佳 的 表 現 、 又 因 縮 短 信 號 傳 送 距 離 而 使 得 抗 干 擾 及 抗 噪 性 大 幅 提 高 、 線 路 較 短 因 此 阻 抗 較 小 ， 因 此 適 用 之 頻 率 亦 可 提 高 ， 為 目 前 高 接 腳 積 體 電 路 的 最 佳 選 擇 。

圖 1.5 所 示 為 目 前 兩 種 常 見 將 封 裝 中 晶 粒 接 腳 拉 出 之 方 式 ， 一 則

利 用 打 線 接 合 的 方 式 將 晶 粒 的 接 腳 拉 出 再 結 合 球 閘 陣 列 格 式 封 裝 ， 另 一 則 是 使 用 覆 晶 (Flip-Chip)方 式 結 合 球 閘 陣 列 格 式 封 裝 將 接 腳 拉 出，從 圖 中 可 看 到 在 相 同 晶 粒 大 小 下 使 用 覆 晶 的 方 式 來 封 裝 可 以 有 較 薄 的 封 裝 厚 度 ， 且 在 相 同 尺 寸 封 裝 中 覆 晶 封 裝 亦 可 放 入 較 大 面 積 的 晶 粒 ， 覆 晶 封 裝 減 少 晶 粒 到 印 刷 電 路 板 之 間 連 線 長 度 ， 讓 功 率 的 節 省 、 效 能 的 提 升 都 有 顯 著 的 改 善 ， 故 現 在 覆 晶 的 方 式 已 為 大 部 分 封 裝 所 普 遍 使 用 ， 而 現 今 大 部 分 關 於 繞 線 (Routing)或 封 裝 都 是 以 這 個 模 式 為 依 歸 ， 而 晶 粒 接 腳 的 方 式 也 由 導 線 架 的 接 腳 方 式 進 化 成 凸 起 球 的 接 腳 方 式 ， 但 由 於 低 階 產 品 對 腳 位 數 量 及 連 線 品 質 要 求 並 不 是 非 常 高 ， 所 以 還 是 可 以 選 擇 比 較 低 成 本 及 較 簡 單 的 打 線 式 的 接 腳 進 行 封 裝 ， 而 覆 晶 式 封 裝 的 方 式 則 應 用 在 比 較 高 階 產 品 ， 例 如 對 腳 位 數 量 要 求 較 高 或 者 是 比 較 在 乎 產 品 本 身 效 能 或 產 品 封 裝 的 面 積、尺 寸 等 才 會 採 用 此 封 裝 方 式。

圖 1.5 打線及覆 晶 封 裝 模 型 示 意 圖

晶 片 尺 寸 封 裝 (CSP, Chip Scale Package)-此 種 封 裝 顧 明 思 意 為 封 裝 後 晶 片 尺 寸 接 近 原 封 裝 前 尺 寸 ， 如 封 裝 後 積 體 電 路 邊 長 為 原 晶 片 邊 長 120%以 內 或 者 是 封 裝 後 積 體 電 路 面 積 為 原 晶 片 面 積 之 1.5 倍 以 內 皆 可 稱 為 晶 片 尺 寸 封 裝 ， 晶 片 尺 寸 封 裝 讓 晶 片 面 積 與 封 裝 面 積 之 比 超 過 1:1.14 而 相 當 接 近 1:1， 約 為 一 般 球 閘 陣 列 封 裝 的 三 分 之 一 ， 因 此 在 相 同 面 積 下 可 增 加 三 倍 的 晶 片 電 路 ， 晶 片 尺 寸 封 裝 不 僅 面 積 變 小 同 時 封 裝 後 的 高 度 也 變 得 較 薄 ， 在 長 時 間 的 運 作 上 散 熱 較 佳 其 電 氣 特 性 及 可 靠 度 也 比 球 閘 陣 列 封 裝 還 要 更 好 ， 能 有 以 上 優 點 乃 是 晶 片 尺 寸 封 裝 採 用 中 心 導 線 的 形 式 ， 直 接 將 輸 入 輸 出 接 腳 由 晶 片 直 接 連 接 到 封 裝 體 ， 不 再 經 由 打 線 接 合 (Wire Bounding)來 連 接 到 封 裝 體 ， 訊 號 傳 遞 距

離 的 大 量 縮 短 有 助 於 減 少 訊 號 衰 減 、 提 高 晶 片 效 能 及 晶 片 存 取 時 間 ， 以 晶 片 存 取 時 間 來 說 較 球 閘 陣 列 封 裝 減 少 10%-20%， 此 封 裝 技 術 未 來 勢 必 逐 漸 取 代 以 往 之 技 術 成 為 市 場 之 新 主 流 技 術 。

1.3 自 動 化 設 計 的 重 要 性

近 幾 年 來 積 體 電 路 的 封 裝 從 原 本 插 入 焊 接 式 的 雙 排 積 體 電 路 封 裝 (DIP, Dual-In-Line Package)、 接 腳 矩 陣 格 式 封 裝 (PGA, Pin Grid Array) 等 類 型 到 新 型 貼 附 在 印 刷 電 路 板 板 面 的 四 周 式 接 腳 封 裝 (QFP, Quad Flat Package)、 球 閘 陣 列 封 裝 (BGA, Ball Grid Array)等 ， 積 體 電 路 面 積 越 做 越 小，但 是 電 路 上 的 線 路 複 雜 度 卻 越 來 越 高，在 小 型 積 體 電 路 (SSI) 時 還 可 以 依 賴 人 手 工 來 規 劃 佈 局 ， 但 進 展 到 大 型 積 體 電 路 (LSI)甚 至 超 大 型 積 體 電 路 (VLSI)時 ， 此 時 已 不 是 靠 人 工 就 能 完 成 佈 局 及 繞 線 。 面 對 這 樣 複 雜 又 龐 大 的 電 路 設 計 ， 人 工 已 無 法 完 全 掌 握 每 一 細 部 連 線 情 況 、 元 件 最 佳 配 置 及 電 路 驗 證 等 ， 因 此 必 須 藉 由 電 子 設 計 自 動 化 工 具 來 協 助 完 成 ， 藉 以 縮 短 產 品 開 發 週 期 ， 提 高 良 率 或 產 品 可 靠 度 、 縮 小 積 體 電 路 或 元 件 的 尺 寸 等 。 在 電 子 設 計 自 動 化 工 具 的 幫 助 下 ， 由 數 個 小 型 佈 局 圖 所 組 合 而 成 較 大 之 佈 局 圖 ， 依 此 方 式 類 推 直 到 完 成 整 個 電 路 設 計 為 止 ， 也 可 使 用 軟 體 程 式 如 硬 體 描 述 語 言 再 經 由 合 成 器 來 做 合 成 成 為 一 完 整 之 電 路 ， 而 使 用 硬 體 描 述 語 言 之 設 計 方 式 為 目 前 積 體 電 路 設 計 在 實 作 最 常 採 用 的 方 式 ， 主 要 是 因 為 此 種 設 計 方 式 能 有 效 降 低 設 計 與 驗 證 之 時 間 ， 進 而 縮 短 產 品 開 發 週 期 ， 藉 以 增 加 產 品 競 爭 力 。

隨 著 製 程 的 改 善 不 僅 產 品 的 尺 寸 上 變 小 連 封 裝 中 的 凸 起 球 也 必 須 隨 之 縮 小 ， 因 體 積 小 、 但 元 件 又 不 斷 的 增 加 而 造 成 每 一 空 間 的 使 用 都 變 的 非 常 重 要 ， 如 圖 1.6 中 所 示 範 例 中 凸 起 球 中 心 點 之 間 的 距 離 皆 為 318um，圖 1.6(b)所 示 因 凸 起 球 的 直 徑 由 原 來 圖 1.6(a)的 183um 縮 小 為

168um 使 得 原 本 凸 起 球 之 間 的 間 距 由 原 來 的 42um 變 成 為 90um， 而 圖 1.6(a)中 原 繞 線 軌 道 為 32um 因 此 最 小 間 距 需 小 於 5um 時 方 可 通 過 一 繞 線 通 過 如 圖 中 虛 線 所 示 ， 圖 1.6(b) 繞 線 軌 道 改 為 28um 就 可 讓 原 本 可 繞 線 的 數 量 變 成 可 以 再 多 增 加 一 條 線 通 過，而 最 小 間 距 則 需 要 10um 即 可 通 過 兩 條 繞 線 ， 也 許 就 可 省 下 一 層 的 材 料 費 用 ， 藉 以 降 低 總 單 位 面 積 之 成 本 增 加 產 品 競 爭 力 。

圖 1.6 凸 起 球 尺 寸 圖

從 原 本 只 有 幾 支 腳 的 積 體 電 路 可 由 人 工 輕 易 的 完 成 繞 線 ， 到 現 今 光 是 一 顆 積 體 電 路 就 有 幾 百 隻 甚 至 上 千 隻 的 接 腳 ， 也 因 為 如 此 所 以 現 今 便 把 積 體 電 路 製 作 的 工 作 分 成 四 個 部 份 來 討 論 即 電 路 分 割 (Partition)、平 面 規 劃 (Floorplan)、配 置 (Placement)、繞 線 (Routing) 等 ， 而 繞 線 (Routing)又 可 細 分 成 兩 個 部 分 乃 是 整 體 繞 線 (Global Routing)與 細 部 繞 線 (Detailed Routing)如 圖 1.7 所 示 ， 而 從 積 體 電 路 安 裝 到 印 刷 電 路 板 上 還 有 印 刷 電 路 板 的 走 線 配 置 等 ， 故 現 今 工 作 都 劃 分 的 相 當 清 楚 ， 所 以 如 果 要 使 用 同 一 套 繞 線 自 動 化 的 工 具 ， 來 完 成 所 有 的 工 作 就 變 的 相 當 的 困 難 ， 必 須 同 時 使 用 到 幾 套 不 同 的 電 子 設 計 自 動 化 工 具 才 行 ， 而 其 中 不 乏 有 需 要 人 工 來 完 成 的 部 份 ， 因 此 本 論 文 便 是 針 對 繞 線

部 份 去 加 以 改 進 ， 使 得 這 些 自 動 化 繞 線 的 部 份 功 能 更 加 完 整 ， 讓 電 子 自 動 化 設 計 更 接 近 完 全 自 動 化 之 設 計 ， 以 期 能 有 效 縮 短 開 發 週 期 ， 提 高 產 品 競 爭 力 。

圖 1.7 積 體 電 路 設 計 流 程 圖

1.4 相 關 研 究

由於製程不斷的在進步，輸入輸出接腳的數量也越來越多，原本使用導線架 封裝的方式未能隨著製程的進步而持續增加，因此有覆晶封裝的方式被發展出 來，因此種封裝的方式為把晶片向下覆蓋的方式，使用到最大的面積為接近封裝 面積的區域，而導 線 架的方式卻只能使用到封裝周邊區域，不僅解決輸入輸出接 腳擁擠的問題更有效大量增加輸入輸出接腳的數量，比起導 線 架封裝的方法有較 短的連線路徑，晶粒上的電源接腳可以以較短路徑連接到封裝上可以較節省電 力，由於連晶粒上的輸入輸出接腳也縮短許多，因此積體電路運作速度及穩定度 也可大大提昇，在 覆 晶 封 裝 與 傳 統 打 線 接 合 封 裝 的 最 後 一 層 皆 是 把 輸 出 輸 入 接 腳 分 散 到 晶 片 的 四 周 ， 打 線 接 合 封 裝 乃 是 透 過 導 線 架 經 過 一 層

電 路 分 割 (Partition)

平 面 規 劃 (Floorplan)

配 置 (Placement)

繞 線 (Routing)

整 體 繞 線 (Global Routing)

細 部 繞 線 (Detailed Routing)

的 重 新 分 配 層 把 接 腳 拉 出 至 封 裝 載 體 的 接 合 球 ， 而 覆 晶 封 裝 乃 是 將 晶 片 覆 蓋 過 來 經 過 一 層 的 重 新 分 配 層 連 接 到 至 封 裝 載 體 的 接 合 球 如 圖 1.8 所示， 因 為 最 後 一 層 的 連 線 方 式 不 同 故 繞 線 的 方 法 也 不 同 ， 覆 晶 技 術 的 重 新 分 配 層 為 從 晶 片 周 邊 的 輸 出 輸 入 接 腳 往 內 連 接 到 凸 起 球 的 接 點 ， 所 以 繞 線 的 演 算 法 有 所 不 同 ， 而 覆 晶 的 重 新 分 配 層 繞 線 也 並 非 為 任 意 角 度 的 連 線 皆 可 接 受 ， 而 且 重 新 分 配 層 的 繞 線 會 面 臨 到 兩 種 問 題 首 先 是 自 由 配 置（ Free-assignment）的 問 題 此 問 題 為 在 完 成 繞 線 之 前 所 有 輸 入 輸 出 接 腳 並 不 會 預 先 分 配 到 任 何 一 顆 的 凸 起 球 ， 因 此 連 線 的 順 序 及 分 配 直 接 會 影 響 到 繞 線 的 結 果 ， 而 第 二 種 問 題 則 是 預 先 配 置

（ Pre-assignment） 的 問 題 ， 在 輸入輸出接腳已預先分配至固定的凸起球位 置後，需 考 慮 凸 起 球 之 間 可 通 過 繞 線 總 數 的 限 制 下，連 線 的 順 序 及 繞 線 分 配 直 接 會 影 響 到 是 否 能 繞 線 成 功 的 關 鍵 ， 因 為 直 接 影 響 繞 線 成 功 與 否 ， 故 比 自 由 配 置 的 問 題 影 響 還 要 重 大 ， 以 下 將 介 紹 應 用 於 重 新 分 配 層 繞 線 的 演 算 法 。

圖 1.8 覆 晶 封 裝 簡 示 圖

首先 Y. Tomioka[1]在 他 們 的 方 法 中提到利用單調（Monotonic）水平與垂 直繞線的方式來完成繞線的工作，而符合單調繞線的方式已被 S. Shibata[20]證明

具備有下列三點優點第一點可使連線長度達到最短、第二點可讓最長連線長度最 短化、第三點可保證每條連線之間不交叉，因為保證連線不交叉故可在一層內即 可繞線完成，因此可使用在覆晶晶片中的重新分配層來做繞線，但是單調水平與 垂直繞線可能會碰到三 個 點 二 選 一 的 限 制，簡 單 來 所 就 是 繞 線 先 後 順 序 的 不 同 會 造 成 不 同 的 繞 線 結 果 ， 雖 然 亦 可 繞 線 成 功 但 卻 無 法 符 合 單 調 繞 線 之 原 則 如 圖 1.9 所 示 ， b1、 b2 為 連 至 下 方 的 接 點 ， l1 為 連 接 至 左 側 的 接 點 ， 唯 有 圖 1.9（ a） 可 符 合 單 調 繞 線 之 原 則 ， 其 餘 圖 1.9（ b） 及 圖 1.9（ c） 只 因 連 線 之 順 序 不 同 即 造 成 截 然 不 同 之 繞 線 結 果 ， 因 此 單 調水平與垂直繞線演 算 法 在 沒 有 限 制 接 合 球 間 通 過 的 連 線 數 時 ， 僅 能 保 證 連 線 成 功 但 卻 無 法 保 證 連 線 最 短，因 此 並 不 適 用 在覆晶晶片中的重新分 配層來做繞線的步驟。

圖 1.9 三 個 點 二 選 一 限 制 範 例 圖

在 Titus[9]所提出的方式為將所有接合球數量而定分成一層或一層以上使用 算迷宮繞線法(Maze Routing)來進行繞線，此演算法如要應用在重新分配層繞線 會產生兩個問題，第一個問題接合球數量有限定因為重新分配層只有一層不能分 層繞線，第二個問題迷宮繞線法將隨著接合球的增加而會花費非常多的時間在計 算方面，故此演算法並不適用在較多連線數量的重新分配層繞線上面，但是他提 到使用狗骨頭通道(Dog-Bone-Vias)連接兩層繞線層的概念卻可以應用在覆晶技 術的重新分配層上面，因為若能把輸出輸入緩衝器連接到重新分配層來，就可以

不用透過由周邊的輸出輸入接腳往內連接到凸起球的路徑，而直接在凸起球的矩 陣範圍內直接繞線連接，如此使用則可縮短原本的繞線長度，也可降低繞線的複 雜度，增加繞線成功的機率。

在 Hama[8] 所 提 出 的 方 式 為 目 前 少 見 的 曲 線 型 繞 線 演 算 法 (Curvilinear Detailed Routing Algorithm)，在此之前僅有 Gao[21]有提出相關之演算法，其方 法乃是採用全面性掃瞄的方式，故其計算時間大部分都消耗在計算每一特徵禁止 區上，而 Hama[8]所提出的方式為局部掃瞄的方式因此能大量減少此一消耗時 間，將可大大減少時間複雜度，進而提高曲線型繞線演算法的實際可行性，因其 演算法在一開始會採用 Chew[22]狄洛尼(Delaunay)三角化，將每個目的點算出特 徵禁止區，再根據每個特徵禁止區內使用 Dai[23]去規劃繞線路徑的軌道分配 (Track assignment)，雖然最後所形成的繞線為曲線並不符合重新分配層繞線規 則，但因其採用的狄洛尼三角化方式對於重新分配層繞線來說為一可參考的配置 演算法。

在 Fang[7]所提出的重新分配層繞線演算法中可區分成兩個部分來說明，第 一 個 部 分 為 全 域 繞 線 (Global Routing) 為 應 用 網 路 流 程 演 算 法 (Network Flow Algorithm)，來處理自由配置(Free-assignment)的問題，使每個輸入輸出接腳皆能 配置到一個凸起球，並產生一個全域繞線路徑，而在細部繞線(Detailed Routing) 中則使用三種方法來完成。這三個方法為跨越點配置(Cross point assignment)、繞 線順序決定法(net ordering determination)、軌道分配(Track assignment)，此演算法 考慮到線與線間擁擠度的問題與線與線之間不相交問題，且保證所有的繞線皆可 在單層內完成繞線，但是這是在凸起球與凸起球間可通過的連線數目無限制下才 能實現，因此有可能無法 100%完成所有的繞線，後來在 Fang[19]中所採用的是整 數線性規劃演算法，此演算法雖然可處理凸起球與凸起球間連線數的控制問題，

但需花費大量的時間來計算，且亦不能保證能 100%繞線成功。

有鑑於上述各個繞線方式皆未能妥善應用在覆晶技術的重新分配層繞線上，

因此本論文提出一個應用於覆晶設計的輸入輸出設定與重新分配層繞線的演算

法，利用在晶片中的輸出輸入緩衝器(IO Buffer)與凸起球在重新分配層作連接，如 此一來不僅可大量降低原本由輸出輸入接腳連接至凸起球的連線長度，達到較短 連線的目的，此演算法不僅可解決自 由 配 置 (Free-assignment) 與 預 先 配 置 (Pre-assignment)的 問 題 ， 亦可在保證 100%繞線成功的前提下，於合理時間內 完成繞線，並可完成一對一或一對多的繞線，如此一來將可有效改善訊號延遲時 間進而提高晶片封裝後的效能及速度。

第 二 章 研 究 動 機 與 問 題 描 述

在 現 代 的 覆 晶 (Flip-Chip) 封 裝 技 術 中 與 原 先 打 線 接 合 (Wire Bounded)封 裝 最 大 的 不 同 處 便 是 最 後 一 層 如 圖 1.5 打線及覆 晶 封 裝 模 型 比 較 圖 所 示 ， 把 晶 片 安 裝 到 封 裝 載 體 時 的 方 式 不 同 ， 因 此 在 晶 片 的 重 新 繞 線 層 繞 線 的 方 式 亦 不 同 ， 之 前 打 線 接 合 技 術 時 乃 是 將 輸 入 輸 出 接 腳 向 晶 片 四 周 拉 出 接 腳 ， 在 經 由 導 線 架 使 用 打 線 接 合 到 封 裝 載 體 ， 而 覆 晶 封 裝 乃 是 將 輸 入 輸 出 接 腳 連 接 到 晶 片 凸 起 球 ， 在 經 由 凸 起 球 結 合 到 封 裝 載 體 ， 如 此 的 改 變 使 的 原 先 封 裝 後 輸 入 輸 出 接 腳 的 連 線 長 度 變 短 ， 我 們 知 道 連 線 上 的 電 阻 大 小 與 電 流 大 小 成 反 比 ， 而 電 流 大 小 與 連 線 延 遲 時 間 成 正 比 ， 因 此 連 線 的 電 阻 大 小 與 連 線 延 遲 時 間 成 正 比 ， 所 以 連 線 長 度 越 短 則 連 線 延 遲 時 間 也 相 對 越 小 ， 如 此 對 晶 片 本 身 的 速 度 及 效 能 皆 能 有 效 的 獲 得 改 善，因 此 覆 晶 封 裝 為 目 前 最 重 要 的 主 流 趨 勢。

2.1 研 究 動 機

在 覆 晶 封 裝 片 的 重 新 繞 線 層 如 圖 2.1 所 示 ， 有 許 多 相 關 的 研 究 例 如 Fang[7] 所 提 出 網 路 流 演 算 法 雖 可 處 理 重 新 繞 線 層 自 由 配 置 (Free-assignment) 的 問 題 ， 但 卻 不 能 保 證 100 ％ 繞 線 完 成 ， 而 後 來 Fang[19] 在 提 出 整 數 線 性 規 劃 演 算 法 雖 能 處 理 預 設 配 置 (Pre-assignment) 所 可 能 產 生 的 問 題 及 保 證 繞 線 成 功 ， 但 其 需 花 費 大 量 的 時 間 用 於 計 算 方 面，因 此 傳 統 的 重 新 分 配 層 繞 線 如 圖 2.2（ a）所 示 ， 當 輸 出 輸 入 接 腳 數 量 越 來 越 多 時 ， 在 晶 片 四 周 的 接 腳 密 度 則 會 越 高 ， 而 線 的 擁 擠 度 也 越 來 越 高 ， 則 繞 線 的 成 功 率 則 會 下 降 ， 因 此 本 論 文 提 出 一 個 輸 出 輸 入 設 定 及 重 新 分 配 層 繞 線 演 算 法 ， 不 僅 能 處 理 自 由 配 置 與 預 設 配 置 所 可 能 造 成 的 繞 線 問 題 ， 且 保 證 100％ 繞 線 成 功 及 在 合 理

的 時 間 內 完 成 繞 線 ， 因 此 我 們 提 出 一 個 不 同 以 往 的 繞 線 連 接 方 式 ， 如 圖 2.1 覆 晶 架 構 圖 所 示 在 圖 中 輸 出 輸 入 緩 衝 器 (IO Buffer)因 為 會 與 晶 片 製 程 層 之 間 相 互 聯 接 ， 因 此 如 果 利 用 輸 出 輸 入 緩 衝 器 直 接 聯 接 到 晶 片 重 新 分 配 層 的 話 ， 即 可 替 代 原 來 由 晶 片 四 周 往 內 拉 至 凸 起 球 的 繞 線 方 式 ， 如 圖 2.2（ b） 所 示 為 輸 出 輸 入 緩 衝 器 位 於 凸 起 球 矩 陣 範 圍 內 進 行 繞 線 ， 此 為 利 用 輸 出 輸 入 緩 衝 器 來 進 行 重 新 分 配 層 繞 線 的 方 式 ， 因 此 必 需 重 新 思 考 輸 出 輸 入 緩 衝 器 的 配 置 問 題 及 繞 線 的 方 式 。

圖 2.1 覆 晶 封 裝 詳 細 架 構 圖

因 為 輸 出 輸 入 緩 衝 器 皆 位 於 凸 起 球 矩 陣 範 圍 內 ， 故 以 輸 出 輸 入 緩 衝 器 的 角 度 來 說 ， 若 能 平 均 分 配 輸 出 輸 入 緩 衝 器 到 距 其 最 近 的 凸 起 球 ， 則 繞 線 總 長 度 為 最 短 ， 因 此 我 們 採 用 兩 個 階 段 來 分 別 完 成 輸 出 輸 入 緩 衝 器 與 凸 起 球 的 配 置 及 重 新 分 配 層 的 實 體 繞 線 兩 個 部 分 ， 在 第 一 個 階 段 輸 出 輸 入 緩 衝 器 與 凸 起 球 的 配 置 若 能 作 到 每 個 輸 出 輸 入 緩 衝 器 皆 配 對 到 最 近 的 凸 起 球 的 話 ， 則 第 二 個 階 段 完 成 後 即 可 得 到 總 連 線 長

度 最 短 ， 因 此 如 何 將 輸 出 輸 入 緩 衝 器 與 凸 起 球 作 最 佳 化 的 配 置 為 本 論 文 的 重 點 。

（ a） 傳 統 重 新 分 配 層 繞 線 圖 （ b） 利 用 輸 出 輸 入 緩 衝 器 繞 線 示 意 圖 圖 2.2 重 新 分 配 層 繞 線 對 照 圖

2.2 問 題 描 述

問題的輸入為一組輸 出 輸 入 緩 衝 器 P={p₁

, p

,…, p

}及 一 組 凸起球 B={b

,

b

,…, b

n，整 組 凸起球之座標位

問題的輸出為每個輸 出 輸 入 緩 衝 器 都 分 別 對 應 到 其 應 對 的 凸 起 球 及 完 成 輸 出 輸 入 緩 衝 器 到 凸 起 球 之 間 的 實 體 繞 線 ， 每 條 實 體 繞 線 相 互 間 不 交 叉 且 總 繞線長度相對最短。

本論文實作共分 為 兩 個 步 驟 ︰

步驟一為輸 出 輸 入 之 連 接 配 置 － 將每個輸 出 輸 入 緩 衝 器 都 配 對 到 凸

起 球

步驟二為重新分配層繞線 － 將步驟一之結果繞線連接完成

在步驟一中可細分成三個部分，分別為初始化輸出輸入配置、配對交換修訂 以及輸出輸入連接合併，而在步驟二中可分成總體繞線演算法及細部繞線演算法 兩個部分，圖 2.3 所示為整個輸出輸入配置及重新分配層繞線演 算 法 的 設 計 流 程 圖 ，各部分詳細作法將於以下章節來做說明與討論。

圖 2.3 演 算 法 設 計 流 程 圖

範例如圖 2.4（a）所示其中圓形圖示代表為一組 16 個為凸起球矩陣陣列，

而方形圖示代表為 16 個輸出輸入緩衝器，其中 4 號輸出輸入緩衝器有兩個，代表 最後完成配對時須配置到同一個凸起球，此為多個輸出輸入緩衝器連接到一相同 凸起球的狀況，因此可在這些連線中試圖找出一史丹爾點(Steiner point)，讓各連 接線有部份可共用的線段讓總連線長度可再進一步縮短，如圖 2.4（b）中所示兩 個 4 號輸出輸入緩衝器與凸起球的連線中即找到可共用線段之史丹爾點，在圖 2.4

輸入一組輸出輸入緩衝器及一 組凸起球

輸出輸入之連接配置 1. 初 始 化 輸 出 輸 入 配 置 2. 配對交換修訂

3. 輸入輸出連接合併

輸入重新分配成層繞線結果 重新分配層繞線

1. 總體繞線演算法 - 總 體 連 接 線 配 置 - 史 丹 爾 點 配 置 2. 細部繞線演算法 - 跨 越 點 的 配 置

- 實 體 路 徑 配 置 使 用 河 流 繞 線

（b）中表示為經過輸出輸入配置及重新分配層繞線演 算 法 後 ， 每一個輸出輸入 緩衝器皆配對到其相對應最佳凸起球且完成實體繞線為最後輸出完成圖。

4 2 3

4 5

6 7

8

9

10 11

12 13

14

15

1

4 2 3

4 5

6 7

8

9

10 11

12 13

14

15

1

（a）初始化分布圖 （b）完成配置及繞線輸出圖 圖 2.4 初始化輸入輸出緩衝器與凸起球分布範例說明圖

在 本 論 文 中 會 使 用 到 的 符 號 定 義 說 明 如 下 ：

„ Pm : 凸 起 球 與 凸 起 球 之 間 距離

„ D : 凸 起 球 直徑

„ W : 繞線線寬

„ Sw : 繞線與繞線之間間距

„ Sp : 凸起球與繞線之間間距

在 此 定 義 相 關 變 數 單 位 皆 為 um， 以 下 的 章 節 將 會 對 這 些 變 數 所 代 表 的 意 義 來 做 討 論 及 說 明 。

第 三 章 重 新 分 配 層 輸 入 輸 出 配 置 演 算 法 設 計

本 章 節 所 討 論 的 是 如 何 將 輸 入 輸 出 緩 衝 器 配 置 到 相 對 應 的 凸 起 球 ， 由 於 凸 起 球 未 限 制 可 連 接 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 個 數 ， 故 完 成 配 對 後 可 能 會 有 多 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 對 一 個 凸 起 球 的 狀 況 產 生 ， 因 此 在 本 章 中 輸 入 為 一 組 輸 入 輸 出 緩 衝 器 和 一 組 凸 起 球 ， 但 凸 起 球 數 量 必 須 大 於 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 數 量 ， 而 輸 出 為 每 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 都 對 應 到 其 相 對 應 的 凸 起 球 ， 但 不 限 制 單 個 凸 起 球 本 身 可 連 接 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 數 量 ， 即 為 多 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 可 配 對 到 一 個 凸 起 球 ， 本 章 設 計 流 程 如 下 圖 3.1所 示，共 分 為 三 個 步 驟，第 一 個 步 驟 階 段 為 初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 配 置 ， 第 二 個 步 驟 為 配 對 交 換 的 置 換 ， 第 三 個 步 驟 為 輸 入 輸 出 緩 衝 器 連 線 合 併 等 ， 在 下 面 的 章 節 一 一 介 紹 。

圖 3.1 重 新 分 配 層 配 置 演 算 法 流 程 圖

3.1 初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 配 置

在 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 初 始 化 配 置 中 ， 我 們 將 一 組 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 和 一 組 的 凸 起 球 個 別 做 配 對 ， 因 每 一 輸 入 輸 出 緩 衝 器 允 許 配 對 到 相 同 的 凸 起 球 ， 所 以 我 們 以 輸 入 輸 出 緩 衝 器 為 基 準 來 找 其 相 對 應 的 凸 起

輸入一組輸入輸出緩衝器及凸起球

輸入輸出連接配置

1. 初 始 化 輸 入 輸 出 配 置 2. 配對交換修訂

3. 輸入輸出連接合併

球 ， 但 若 是 分 別 找 各 別 輸 入 輸 出 緩 衝 器 最 近 的 點 來 連 接 可 能 會 發 生 漣 波 效 應 如 圖 3.2(a)所 示 ， 造 成 某 些 線 段 會 比 較 長 ， 導 致 總 繞 線 長 度 變 長 及 降 低 繞 線 成 功 率 ， 故 在 做 凸 起 球 的 配 置 時 需 考 慮 到 全 部 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 相 互 間 的 連 接 關 係 而 非 個 別 考 慮 ， 若 將 全 部 輸 入 輸 出 緩 衝 器 全 面 性 考 慮 則 可 得 到 如 圖 3.2(b)所 示 較 佳 之 連 線 結 果 ， 在 Hama[8]所提 出繞線演算法中提到使用Chew[22]狄洛尼(Delaunay)三角化的方式來繞線，藉 以 避 開 位 於 三角形頂點上的障礙物， 因 其 可 考 慮 全 部 障礙物的情況與我們情況 相似，故加以研 究 後 發 現 如 將 我 們 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 做 狄洛尼三角化後，

再轉換成其對偶圖沃洛諾依(Voronoi)多邊形， 即 可 得 到 每 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 都 被 分 割 成 擁 有 自 己 私 人 區 域 的 多 邊 形 ， 因 採 用 沃洛諾依多邊形來做分 割，使每一個輸 入 輸 出 緩 衝 器 都 可 形 成 私 人 區域，乃 是 採 用 其 到 相 鄰 輸 入 輸 出 緩 衝 器 做 等 距 分 割，如 此 做 法 才 能 使 區 域 較 均 勻 分 配，只要輸 入 輸 出 緩 衝 器 在 自 己 的 多邊形中尋找凸起球，就不會發生像漣 波 效 應 的 結 果，並 且 可 將 總 連 線 長 度 降 到 最 短 ， 且 相 當 接 近 最 佳 化 ， 因 此 在 初 始 化 輸 入 輸 出 配 置 緩 衝 器 配 置 中 便 是 採 用 狄洛尼三角化加上沃洛諾依多邊形來完成 初步的配置，以下兩小節將介紹狄洛尼三角化及沃洛諾依多邊形應用於本論文詳 細的演算法。

圖 3.2 漣 波 效 應 示 意 圖

初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 配 置 的 演算法：

輸入為一組輸入輸出緩衝器及一組凸起球，輸出為所有輸入輸出緩衝器皆找 到相對映的凸 起 球，演 算 法 流 程 說明如下：

步 驟 0 : 輸 入 所 有 數 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球

步 驟 1 : 用 輸 入 輸 出 緩 衝 器 來 建 立 狄洛尼三 角 形 及 沃洛諾依多 邊 形

步 驟 2 : 在 每 一 個 沃洛諾依多 邊 形 中 分 配 輸 入 輸 出 連 接 點 步 驟 3 : 刪 除 已 使 用 輸 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球

步 驟 4 : 如 果 還 有 輸 入 輸 出 緩 衝 器 未 分 配 則 跳 到 步 驟 1 結 束 : 輸 出 所 有 已 分 配 的 輸 入 輸 出 連 接 點

3.1.1 狄洛尼三角化演 算 法

因為狄洛尼(Delaunay)三角化的特性為在任一三角形的外接圓皆不包含其他 點在內如圖3.3所示，因此在接下來轉換成沃洛諾依(Voronoi)多邊形的步驟後，可 得到一個將所有接點以最均匀的方式劃分成每一各區域的圖形，因此在第一個步 驟的配置演算法中本文中採用的是狄洛尼(Delaunay)三角化的方式，狄洛尼三角化 的方式有許多種，而時間複雜度從O(n²)到O(nlogn)都有，而本論文中所採用的方 法為Guibas 和Stolfi[15]的使用切割與合併的演算法來完成狄洛尼三角化，因為 其切割與合併的演算法為目前最為快速的演算法，其時間複雜度為僅為O(nlogn)，

為目前最快形成狄洛尼三角化的演算法之一，其演算法可分成三個步驟來完成，

第一個步驟為定序此步驟為決定欲三角化各點的順序，也是決定往後分割成所劃 分成群組的依據，通常由該點X座標與Y座標由小到大依序將全部點定序完成範例 如圖3.4(a)，而第二步驟為群組分割在此步驟乃是以二分法將全部的點分成為許多 群組，而每一個群組內點數最大不超過三個點範例如圖3.4(b)，第三步驟為合併以 群組內有三個點的群組優先組成三角形在與其他的群組合併如圖3.4(c)，當有個或 兩個的的群組都合併完成後在將各個以形成三角形網路的群組在兩兩合併，最後 組成單一三角型網路即為狄洛尼三角形，然而在各點合併的過程中必須考慮每一

新增點所形成之三角形是否符合狄洛尼三角形的規則，而在最後三角形網路的群 組在做合併的時候則考慮兩個群組內的所有三角形都必須符合狄洛尼三角形的規 則，最後完成如範例圖3.5為一狄洛尼三角形網路圖形。

圖 3.3 狄洛尼三 角 形 外 接 圓 相 互 關 係 示 意 圖

圖 3.4 狄洛尼三 角 形 做 法 示意圖

4 2 3

4 5

6 7

8

9

10 11

12 13

14

15

1

4 2 3

4 5

6 7

8

9

10 11

12 13

14

15

1

圖 3.5 狄洛尼三角形完 成 範 例 圖

狄洛尼三角化的 流 程 演算法：

輸入為一組輸入輸出緩衝器，輸出為所有輸入輸出緩衝器所形成的狄洛尼三 角形，演 算 法 流 程 說明如下：

步 驟 0 : 輸 入 所 有 輸 入 輸 出 緩 衝 器

步 驟 1 : 將 所 有 輸 入 輸 出 緩 衝 器 依 座 標 大 小 決 定 順 序 編 號 步 驟 2 : 將 輸 入 輸 出 緩 衝 器 一 順 序 大 小 分 成 兩 組 群 組

步 驟 3 : 判 斷 是 否 所 有 群 組 都 擁 有 小 於 等 於 三 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 ， 如 有 大 於 三 個 以 上 的 群 組 則 跳 到 步 驟 2

步 驟 4 : 先 將 有 三 個 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 群 組 組 成 三 角 形

步 驟 5 : 將 未 形 成 三 角 形 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 群 組 與 其 相 鄰 三 角 形 合 併 成 三 角 形 網 路

步 驟 6 : 判 斷 是 否 還 有 未 形 成 三 角 形 網 路 輸 入 輸 出 緩 衝 器 ， 如 有 則 跳 到 步 驟 5

步 驟 7 : 將 兩 個 三 角 形 網 路 合 併 成 一 個 三 角 形 網 路

步 驟 8 : 如 果 還 有 大 於 一 個 以 上 三 角 形 網 路 則 跳 到 步 驟 7 結 束 : 輸 出 為 所 有 輸 入 輸 出 緩 衝 器 所 構 成 的 三 角 形 網 路

3.1.2 沃洛諾依多邊形演 算 法

在 做 完 狄洛尼(Delaunay)三角化演 算 法 後，代 表 所 有 輸入輸出緩衝器皆完 成三 角 化 的 步 驟 如 圖 3.5 所 示 ， 接 下 來 再 進行區域化的步驟，此步驟乃是 採用沃洛諾依(Voronoi)多邊形演算法的方式， 讓每個輸入輸出緩衝器都能夠配置 到一個屬於自己私人的區域，並在該區域中找尋最接近輸入輸出緩衝器的凸起球 並配置給它來作為配對使用，但若在該點所分配到的區域無涵蓋到任何一個凸起 球時就略過此次配對，待下一輪剔除已完成配對的輸入輸出緩衝器及凸起球後，

再重新做沃洛諾依多邊形演算法再次分配，直到每一輸入輸出緩衝器都能就近分 配到一個凸起球的點為止。

當 代 表 輸入輸出緩衝器的 點 做 完 三 角 化 如 圖 3.7(A)所 示 ， 表 示 在 圖 中 的 七 個 點 皆 已 完 成 狄洛尼三角化的步驟， 接 下 來 將 每 一 個 由 輸入輸出緩 衝器構成的三 角 形 的 邊 做 中 垂 線 ， 在 三 角 形 內 會 形 成 一 交 點 可 找 出 其 三 角 形 外 心 O 如 圖 3.6 所 示 ， 接 著 移 除 原 本 三 角 形 的 邊 及 保 留 外 心 O 到 三 角 形 三 邊 所 形 成 的 線 段 ， 依 序 將 每 一 個 三 角 形 都 完 成 這 個 動 作 就 可 得 到 圖 3.7(B)圖 ， 唯 如 果 該 三 角 形 的 邊 並 未 與 其 它 邊 形 成 三 角 形 時 ， 此 邊 上 的 中 垂 線 則 會 延 伸 到 此 圖 形 的 邊 際 為 止 ， 如 圖 3.7(B)範 例 所 示 在 這 沃洛諾依多邊形轉換後共有六個狄洛尼三角化的邊未形成三角形， 故 其 中 垂線都延伸至該圖形的邊際。

圖 3.6 三 角 形 區 域 化 作 法 圖

圖 3.7 狄洛尼三 角 形 及 沃洛諾依多邊形轉 換 示 意 圖

由 圖 3.8(a)範 例 所 示 ， 因 其 有 16 個 輸入輸出緩衝器故當完成沃洛諾依 多邊形演 算 法 後 ， 會 將 全 部 區 域 分 成 16 塊 區 域 讓 每 一 個 輸入輸出緩衝器 都有屬於個 人 的 私 人 區 域，並 在 此 區 域 中 找 到 一 個 最 近 的 凸 起 球 點 做 配 對，在 圖 3.8(a)範 例 第 一 次 的 配 對 中 共 有 十 組 配 對 成 功，剩 下 的 輸入輸 出緩衝器就等 到 配 對 完 成 之 後 扣 除 輸入輸出緩衝器及凸 起 球 後 再 做 一 次 沃 洛諾依多邊形演 算 法 ， 將 此 動 作 不 斷 重 複 直 到 所 有 輸入輸出緩衝器點 皆 已 配 對 完 成 為 止 如 圖 3.8(b)、 (c) 、 (d)所 示 ， 即 完 成 初 步 輸入輸出緩衝 器的配置。

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(a) (b)

4 5

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5

6

(c) (d) 圖 3.8 沃洛諾依多邊形演 算 法 範例圖

沃洛諾依多邊形演 算 法 演算法：

輸入為輸入輸出緩衝器點所形成的三角形，輸出為所有輸入輸出緩衝器點皆 找到其配對的凸 起 球點，演 算 法 流 程 說明如下：

步 驟 0 : 輸 入 所 有 狄洛尼三角形

步 驟 1 : 計 算 出 所 有 狄洛尼三 角 形 三 邊 的 中 垂 線 及 其 交 點 步 驟 2 : 移 除 所 有 狄洛尼三 角 形 的 邊

結 束 : 輸 出 已 轉 換 成 沃洛諾依多邊形的圖形

承上圖 3.8 範例完成狄洛尼三角化演算法及沃洛諾依多邊形演算法後，即可 得到一輸出輸入緩衝器與凸起球初始化配對連線圖如範例圖 3.9 所表示，雖然已 經完成所有輸出輸入緩衝器的配對，但是在配對上後發現有許多的配對線互相交 叉，故需要將這些交叉的配對線做調整使其全部不交叉，還有在較長線段部分亦 可將配對線做調整使總長度可降低外也確保後續的繞線可以成功，下一小節將介 紹如何做交叉配對線的置換。

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1

圖 3.9 初 始 化 輸入輸出緩衝器與凸起球圖

3.2 配 對 交 換 修 訂

經 過 狄洛尼三角化演算法及沃洛諾依多邊形演算法的分配，因為沃洛諾依多 邊形演算法並非一次完成，因此會發生配 對 之 連 線 有 相 互 交 叉 的 問 題 如 圖 3.9 所 示 ， 故 需 經 過 配 對 交 換 修 訂 的 步 驟 來 消 除 此 問 題 ， 因 此 配 對 交 換 修 訂 是 必 須 的 步 驟 ， 良 好 的 配 對 交 換 修 訂 不 僅 提 高 繞 線 的 成 功 率 亦 可 降 低 後 續 繞 線 的 總 長 度，圖 3.10 所 示 共有三種類型的狀態可以應用在配 對 交 換 修 訂 上 ，圖 3.10 的 類 型 A 為 找 到 兩 條 配 對 線 彼 此 相 互 交 叉 ， 將 此 兩 組 輸入輸出緩衝器與凸起球的配 對 交 換 修 訂 ，即 可 解 除 此 兩 組 配 對 點 交 叉 的 問 題，此種類型並非主要為降 低 總 繞 線 長 度 因 此 做 此 類 型 的 配 對 交 換 修 訂 ， 因 此 此 類 配 對 交 換 修 訂 不 保 證 可 減 少 繞 線 長 度 主 要 在 於 解 除 連 線 交 叉 ，而圖 3.10 中 的 類 型 B 為 將 配對線較長的一組藉由配 對 交 換 修 訂 來 降 低 該 線段長度，雖然會造成另一組線的線長增加，但是可藉由降低較長 的線，將使該配 對 線在繞線時阻礙到其他繞線的機率降低，故本類型用意為增加 繞線成功的機率，最後在圖 3.10 中 的 類 型 C 為 找 到 兩 條 配 對 線 如 交 換 彼 此 的 配 對 點 可 分 別 降 低 兩 組 個 別 的 連 線 長 度 ，使兩組間總合連線長度變 短，將所有輸入輸出緩衝器及凸起球的配對相互間兩兩相比較是否符合上述三種 現象，如期符合其中一種情況則作配 對 交 換 修 訂 ，圖 3.11 所 示 為 承 上 節 範

例 之 結 果 ， 且 經 配 對 交 換 修 訂 後 輸入輸出緩衝器及凸起球的配對情況，可看 出已無相互交叉的線段且整體總線段長度已減少，故下一階段作繞線規劃時將可 較容易繞線成功而總體繞線長度亦可有所顯著的減少。

圖 3.10 配 對 交 換 修 訂 三 種 模 式 示 意 圖

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圖 3.11 配 對 交 換 修 改 完 成 示 意 圖

配 對 交 換 修 改 演 算 法，輸入為已配對輸入輸出緩衝器點及其相對映凸起球 點之間的線段，輸出為所有消 除 交 叉 、 最 短 化 後 所 有 輸入輸出緩衝器點及其 相對映凸起球點之間的線段，演 算 法 流 程 說明如下：

步 驟 0 : 輸 入 所 有 已 配 對 的 數 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球 的 配 對 組 步 驟 1 : 每 組 與 其 他 各 組 兩 兩 比 對 是 否 交 叉 ， 如 是 則 將 其 配 對 點 交

類型 C

類型 A 類型 B

換

步 驟 2 : 每 組 與 其 他 各 組 兩 兩 比 對 當 配 對 點 交 換 時 是 否 兩 組 長 度 加 總 變 短 ， 如 是 則 將 其 配 對 點 交 換

結 束 : 輸 出 所 有 已 交 換 完 成 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球 配 對 組

3.3 輸 入 輸 出 緩 衝 器 連 接 合 併

因 為 本 論 文 中 容 許 接 受 一 個 凸 起 球 可 對 應 到 超 過 兩 個 以 上 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 ，在範例開始建立之初雖有 16 個輸 入 輸 出 緩 衝 器，但 其 中 4 號 輸 入 輸 出 緩 衝 器 有 兩 個 故尚需將其配置到相同凸 起 球，並 把 它 合 併 連 接 起 來 ，在圖 3.12(a)中 方 框 中 為 其 中 一 組 之 4 號 輸 入 輸 出 緩 衝 器 ， 方 案 一 將 其 連 接 到 另 一 組 4 號 輸 入 輸 出 緩 衝 器 所 配 對 到 的 凸 起 球 ， 而 方 案 二 則 是 由 另 一 組 4 號 輸 入 輸 出 緩 衝 器 連 接 到 原 本 的 這 一 組 ， 則 兩 組 輸 入 輸 出 緩 衝 器 到 凸 起 球 的 連 接 線 總 長 度 會 比 之 前 所 提 的 方 案 一 合 併 方 式 還 要 長 ，故採用方 案 一 將其合併在一組凸起球如圖 3.12(b)所 示 ，但若是兩個 連接合併的方案其中有一組若是合併後會造成輸 入 輸 出 緩 衝 器 到 凸 起 球 之間 的配對線交叉的話，則不管另外一個方案是否會有較長的連接線總長，都應該選 擇使用另一組連接合併的方式。

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1

圖 3.12 連 接 合 併 完 成 圖

(a)連接合併前圖形 (b) 連接合併後圖形

3.4 重 新 分 配 層 輸 入 輸 出 配 置 演 算 法 之 時 間 複 雜 度

本 章 設 計 流 程 共 分 為 三 個 階 段 故 時 間 複 雜 度 計 算 方 式 也 是 分 別 由 這 三 個 階 段 分 別 計 算 再 算 總 成 之 時 間 複 雜 度 ， 第 一 階 段 為 初 始 化 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 配 置 ， 在 第 一 階 段 中 可 細 分 成 狄洛尼（Delaunay）三角化 [15]及沃洛諾依(Voronoi)多邊形轉換兩個部份，變 數 m 代 表 輸 入 輸 出 緩 衝 器 的 總 數 ， 在 建 構 狄洛尼三角形且轉換成沃洛諾依多邊形時的最差時間複雜度情 況為

O(mlogm)，而 在 使 用 沃洛諾依多邊形將所有輸 入 輸 出 緩 衝 器 配 置 完 成

O(m( logm)

)，第 二 階 段 為 配 對 交 換 的 置 換，因 需 兩 兩 做 比 對 才 能 得 知 是

否 須 交 換 配 對 點 故 其 最 差 的 時間複雜度為 O(m²)，第 三 階 段 為 輸 入 輸 出 緩 衝 器 連 線 合 併 ， 在 剛 開 始 時 已 定 義 容 許 接 受 一 個 凸 起 球 對 應 到 超 過 兩 個 以 上 的 輸 入 輸 出 緩 衝 器 ， 故 其 最 差 的 情 況 為 每 個 都 須 作 此 合 併 動 作，其 時間複雜度為 O(m)，總合計算以上三個階段的時間複雜度可得到

O(m(logm)

2

)，因此重新分配層輸 入 輸 出 配置演算法的時間複雜度為 O(n(logn)

)。

第 四 章 重 新 分 配 層 自 動 化 繞 線 設 計

本 章 節 承 接 上 章 已 分 配 完 成 之 配 對 點 來 進 行 繞 線 設 計 ， 共 分 為 兩 個 階 段 分 別 為 總 體 繞 線 演 算 法 及 細 部 繞 線 演 算 法 ， 其 中 總 體 繞 線 演 算 法 又 可 細 分 為 總 體 連 線 配 置 及 史 丹 爾 點 的 配 置 ， 而 細 部 繞 線 演 算 法 部 分 則 可 細 分 為 跨 越 點 的 配 置 、 河 流 繞 線 演 算 法 實 際 路 徑 之 配 置 及 迷 宮 繞 線 演 算 法，下 圖 4.1為 本 章 之 設 計 流 程，完 成 後 輸 出 為 最 終 實 體 繞 線 之 結 果 ， 以 下 小 節 將 詳 細 介 紹 總 體 繞 線 演 算 法 及 細 部 繞 線 演 算 法 兩 個 階 段 演 算 法 的 做 法 。

圖 4.1 繞 線 設 計 流 程 圖

4.1 總 體 繞 線 演 算 法

在總體繞線演算法這個階段中可區分成兩個步驟， 第 一 個 步 驟 為 總 體 連 接 線 配 置 此 步 驟 為 定 義 繞 線 時 會 經過的路徑及跨越其他凸起球之間的邊，主 要方式為將各個輸入輸出緩衝器與凸起球的配對點所形成的矩形連線範圍內，找

輸入重新分配成層繞線結果 重新分配成層繞線

1. 總體繞線演算法

- 總 體 連 接 線 配 置 - 史 丹 爾 點 配 置 2. 細部繞線演算法 -跨 越 點 的 配 置

-實 體 路 徑 配 置 使 用 河 流 繞 線 -迷 宮 繞 線 演 算 法

出跨越凸起球之間的邊及大致的通過路徑，而如果有兩 個 以 上 的 輸 出 輸 入 緩 衝 器 配 對 到 一 個 凸 起 球 的 情 況 ， 且 各 別 輸入輸出緩衝器與凸起球所形成的 矩形連線範圍有重疊或相鄰的話如圖4.2， 在 圖4.2中A、B兩點皆連接到一相同目 的地點， 圖 4.2(a)、(b)則 分 別 表 示 面 積 重疊及相鄰的情況示意圖， 如 有 此 狀 況 時 則 可 利 用 第 二 個 步 驟 使 用 史 丹 爾 點 配 置 來 減 少 繞 線 的 長 度，因為史 丹 爾 點 (Steiner Point)的 作 用 乃 是 找 出 到 目 的 地 點 可 共 用 的 線 段，藉由史 丹 爾 點 到 目的地點之間的線段共用來減 少 繞 線 的 長 度，以下小節將介紹兩個步驟 的詳細作法。

圖 4.2 可 找 出 史 丹 爾 點 的 範 例 圖

4.1.1 總 體 連 線 配 置

在總體連線配置中本文中採用的方式為將輸入輸出緩衝器與凸起球之配對點 個別做區域化的方式來完成，藉此步驟去估算各配對點可能經過的路徑及跨越其 他凸起球之間的邊，使用此方法來做總 體 連 線 配 置 是 快 速 且 容 易 的 ，如圖 4.3(A)例 子 所 示 A、B、C各 為 一 輸入輸出緩衝器，上述三點皆分別連線到所屬 的個別凸起球，將這三點與其相對應配對凸起球之間的連線當作矩形的對角線，

即可得出A、B、C各 點 與 其 凸 起 球 之 間 可 形 成 的 最 小 矩 形 如圖4.3(B)，在 圖 中 可 看 出 由 C點 所 形 成 之 矩 形 並 無 與 任 何 其 他 矩 形 互 相 重 疊，代 表 在 其 矩 形 範 圍 內 皆 可 作 為 繞 線 的 路 徑 選 擇 ， 但 是 在 A、 B兩 點 與 其 凸 起 球 所 形 成 之 矩 形 有 一 部 份 為 互 相 重 疊 ， 因 此 在 做 A、 B兩 點 的 總 體 連 線 配

(B)相鄰象限鄰邊相接 (A)相同象限內面積重疊

B點

目的地點 目的地點

B點

A點 A點

置 需 考 慮 矩 形 重 疊 的 部 分 是 否 會 影 響 總 體 連 線 的 配 置 ， 以 B點 輸入輸出 緩衝器為 例 即 使 減 去 與 A點 矩 形 重 疊 部 分 ， 剩 餘 區 域 亦 可 供 總 體 連 線 來 使 用 ， 故 其 存 在 與 否 並 不 影 響 B點 的 總 體 連 線 ， 而 A點 輸入輸出緩衝器所 形成的矩 形 區 域 若 減 去 與 B點 所 矩 形 重 疊 部 分 ， 則 將 導 致 A點 輸入輸出緩 衝器無法在與其配對的凸起球所形成的矩形中完成總 體 連 線 配 置 ， 故 此 時 應 先 將 A點 輸入輸出緩衝器完成總 體 連 線 配 置 後，再 來 完 成 B點 的 總 體 連 線 配 置 ， 如 此 一 來 才 能 將 兩 點 的 總 體 連 線 配 置 才 能 順 利 完 成 ， 在 圖 4.3(C) 中 所 表 示 為 完 成 A、 B、 C三 點 之 總 體 連 線 配 置 ， 承 上 章 節 之 範 例 結 果 將 所 有 16個 輸入輸出緩衝器都做區域化後得到如 圖 4.4(A)之 結 果 ， 在 此 範 例 中 有 一 4號 點 因 已 和 另 一 4號 點 合 併 輸 出 到 一 個 凸 起 球 ， 故 其 可 找 出 共 用 之 史 丹 爾 點 ， 進 ㄧ 步 將 其 總 體 繞 線 的 長 度 再 加 以 縮 短 ， 下 一 小 節 將 說 明 如 何 將 多 餘 的 線 段 進 行 合 併 ， 找 出 共 用 之 史 丹 爾 點 來 達 到 總 體 繞 線 最 小 化 的 目 標 。

圖 4.3 找 出 總 體 連 線 配 對 步 驟 說 明 圖

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圖 4.4 範 例 說 明 配 對 點 總 體 連 線 圖

總體連線配置演算法，輸入為已配對輸入輸出緩衝器及其相對映凸起球，輸 出為所 有 完 成 總體連線配置之輸入輸出緩衝器及其相對映凸起球與其總體連線 經過區域及其邊，演 算 法 流 程 說明如下：

步 驟 0 : 輸 入 所 有 數 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球 的 配 對 點 步 驟 1 : 找 出 配 對 點 的 總 體 連 線 路 徑

步 驟 2 : 刪 除 已 找 出 輸 入 輸 出 緩 衝 器 及 凸 起 球 的 配 對 點

步 驟 3 : 如 果 還 有 配 對 點 未 找 出 總 體 連 線 路 徑 ， 則 跳 到 步 驟 1 結 束 : 輸 出 所 有 配 對 點 的 總 體 連 線 路 徑

4.1.2 史 丹 爾 點 的 設 置

因本論文中可容許兩個以上輸入輸出緩衝器對應到一凸起球，因此由輸入輸 出緩衝器連接到凸起球的繞線路徑可做分析，此共用凸起球的部分是否可找到一 史丹爾點(Steiner Point)，可供兩個輸入輸出緩衝器繞線時共用進而達到減少繞線 的長度，如下圖 4.5 所 示 以 對應到的凸起球為基準點可建立一二維座標系統，

可 分 為 兩 大 類 型 來 討 論，第 一 類 型 為 兩個輸入輸出緩衝器繞線到凸起球為同

(A)配對點區域化 (B)總體連線完成