2. 考試時間 100 分鐘。

2018 年 4 月 28 日

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說明:

1. 本試題含封面共 10 頁，8 大題。

2. 考試時間 100 分鐘。

3. 請在每個試題所屬的頁面作答。如欲使用試題背面，請標示清楚。

4. 如果題目附有答案欄，請將答案寫在答案欄上。

5. 清楚地寫出計算及證明的過程，沒有過程的答案將不予記分。

題號 配分 分數 1 20

2 15

3 10

4 10

5 15

6 10

7 10

8 10

總分 100

1. 選擇題 (每題選出一個正確答案)

給定函數 f (x)，(a)、(b) 兩小題考慮其導函數 f^′(x)之圖形如下:

圖形在 0 ≤ x ≤ 2 間為圓弧，在 2 ≤ x ≤ 3 間為直線。另假設 f(0) = 0.

(a) (5 points) f (3) =?

(A) 2π (B) ¹₂ −^π₂ (C) ³₄ (D) 0 (E) ^π₂ − ¹₂ (b) (5 points) 以下何者敘述必定錯誤?

(A) f 在 x = 1 有反曲點。

(B) f 在區間 [0, 3] 上為連續函數。

(C) f 在 x = 1 有局部極小值。

(D) f 在 x = 2 有局部極大值。

(E) f (4) = 0。

(c) (5 points) 以下對瑕積分

∫ _∞

1

f (x) dx

之敘述何者為真?

(A) 若 lim_x→∞f (x) = 0，則積分收斂。

(B) 若 f (x) 為非零多項式，則積分發散。

(C) 若積分發散，則對所有實數 c，∫_∞

1 cf (x) dx 亦為發散。

(D) 若積分收斂，則存在 M > 0 使得對於所有 x > M ，f (x) > 0。

(E) 以上皆對。

(d) (5 points) 假設 P (x) = ∑_∞

j=0a_jx^j 為函數 f (x) 在 x = 0 之泰勒展開式。以下敘 述何者為真?

(A) 若對於所有 j，f^(j)(0) 存在。則在 x = 0 附近，f (x) = P (x).

(B) 對於所有 j，a_j = f^(j)(0).

(C) 對於所有 j，f^′(x) =∑_∞

j=1jajx^j−1。 (D) 存在偶函數 f (x) 使得 a₃ = 1。

(E) 以上皆非。

註: f^(j) 為 f 的 j 階導函數。

2. 計算

(a) (5 points)

tlim→∞

( 1 + 1

4t )t

=?

(a)

(b) (5 points) ∫ 1

0

sin√

x dx =?

(b)

(c) (5 points) ∫

x− 2

x²− 4x + 13 dx =?

(c)

3. (10 points) 描述 a 值範圍，使得曲線

y + y³ − x³ − ax²− x = 0 有水平切線。

3.

4. (10 points) 將一條一公尺長的鐵絲在某點垂直折成 L 型，並將兩端分別固定在 x 與 y 軸且兩邊平行座標軸 (見下圖)。

將鐵絲繞 y 軸旋轉，求形成之旋轉體積的最大值。

4.

5. (15 points) 求

xlim→2

∫x²

−4cos(t⁴+ t²) sin⁷t dt

x− 2 .

列出所有充分理由才給滿分。

5.

6. (10 points) 證明不可能存在可微函數 f (x) 滿足 f (0) = 0、f (1) = 4、且 f^′(x) < e^x 對 於所有 x。

7. (10 points) 求所有 p > 0 使得積分

∫ 1 0

cos^4px + 1 x^2p dx 收斂。列出所有充分理由才給滿分。

7.

8. (10 points) 給定函數

f (x) = e^{cos x}

√e , x∈ (0, 2π). 證明函數在該區間可逆並求 (f⁻¹)^′(1).

8.