勾股定理證明-G183
【作輔助圖】
1. 以 CB 為邊長向內作正方形 CBDE ，再以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH . 2. 連 DK .
3. 過 H 點作垂直 DK 的直線，交 DK 於 F 點。
4. 延長 CA 至 G 點使得 AGBC a，連 GH .
A B
C
D
H K
L
G
F E
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的 CB 為邊長向內作正方形 CBDE ，以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 所切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加 上正方形 EGHF 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形 KBD 全等於三角形 ABC 進而推得 E D K共線：
設 CAB x, CBA y，且已知x y 90。因為 90
KBD ABD CBA ABD
，所以 KBD CBA，又 BD a BC, KB c AB，可推得
KBD
ABC(SAS 全等), 即 BKD BAC x, BDK BCA90，故E D K共線。
2. 證明三角形HKF 全等於三角形 HAG ：
因為HAG CAB90，所以 HAG y CBA，又 AG a BC, HA c AB，可推得
HAG ABC
(SAS 全等),
即AGH 90, GH CAb，又因為BKD HKF 90, BKDx，所以 HKF y ABC
，又HFK 90 ACB, HK c AB，因此 HKF ABC
(AAS 全等), 故
. HKF HAG
3. 證明四邊形 EGHF 是正方形且面積為b ： 2
四邊形 EGHF 中，因為FEG EGH HFE90，所以 四邊形EGHF的四個內角都是直角。
又因為EGEAAG (b a) a b, GH b，所以 EGHF b2
四邊形 是面積為 的正方形。
4. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
) (
ABKH BDL KBD AHFL HKF
BDL ABC AHFL HAG
BDL LBCE ALE
AHFL HAG
正方形 面積 面積 面積 面積 面積
面積 面積 面積 面積 面積 面積 面積
梯形
梯形
梯形
梯形
面積 面積
( BDL LBCE ( ALE
AHFL HAG
CBDE EGHF
面積 面積) 面積
梯形
梯形
面積 面
正方形 正方形 積)
面積 面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍與期刊：
Jury. Wipper(1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen
biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p.23). Leipz.: Friese.
Edwards, George C. (1895). Elements of Geometry (p.155). New York : Macmillan and co.
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1899). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly,6(2), 33-34.
Row, T. S. (1905). Geometric exercises in paper folding (p.14). Chicago, IL:
Paquin Printers.
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 29). Amsterdam: A.
Versluys.
2. 心得：此證明畫的輔助圖並不複雜，整個證明也滿直觀的，就是證明正方形ABKH 所 切割出的所有區塊面積總和等於正方形 CBDE 的面積加上正方形 EGHF 的面 積，就能順利推導出勾股定理的關係式。
3. 評量：
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4. 補充：
(1) 根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中，建議每個幾何老師 都應該要使用這個證明教學。
(2) 此證明為拼圖證明，其拼法可參考下圖：
