行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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3-D 不對稱加勁與自然邊坡之穩定分析
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計畫類別：R個別型計畫 □整合型計畫
計畫編號：NSC 89 － 2211 － E － 006 － 163 －
執行期間：
89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日
計畫主持人：黃景川
共同主持人：
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告一份
□赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：成功大學 土木工程學系
中
華
民
國
90
年
11
月
27
日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
3-D 不對稱加勁與自然邊坡之穩定分析
Stability analyses on r einfor ced and natur al slopes under 3-D and
asymmetr ical conditions
計畫編號：NSC 89-2218-E-006-144 執行期限：89 年 8 月 1 日至 90 年 7 月 31 日 主持人：黃景川 成功大學土木工程學系 一. 中文摘要 本研究發展一新的三度空間不對稱破 壞面之極限平衡邊坡穩定分析法。本方法 可使用於任意形狀之破壞面及統一座標系 統之自動試誤分析。本方法可協助廣域山 坡地潛在破壞危險性邊坡之電腦化篩選分 析。現有 3-D 邊坡穩定分析法僅能處理對 稱破壞面，並且須要針對破壞面之對稱軸 建立局部座標系統等不利於自然或人造邊 坡災害分析之因素，可藉助於本研究之成 果而有所突破。 關鍵詞：邊坡穩定，三度空間，極限平衡， 任意破壞面 Abstr act：
A new 3-D stability analysis method and its computer algorithm were developed. The new method uses ‘two-directional force and moment equilibriums in the stability
analysis of 3-D potential failure mass with arbitrary shapes. The newly developed method has resulted in the novel situation wherein the direction of the resultant shear force (or direction of sliding), generated on the potential failure surface, can now be calculated instead of the guesswork assumptions that were formerly made. This new method eliminates the labor-intensive work for establishing local coordinate systems as performed in the conventional 3-D analysis. Consequently, this new method may facilitate computer-aided 3-D search for the potential failure surfaces in slope areas.
Keywords ： Slope stability analysis, Three-dimensional, Limit equilibrium method, Generdized failure surface
二. 緣由與目的 以往的三度空間(3-D)邊坡穩定分析 法(1)，(2)，(5)，(8)，(10)，(11)，(13)，(14)，(15)皆假設破 壞面為對稱，以簡化分析式之推導。但是， 自然或人造邊坡，由於受到不對稱的外載 重、地質構造或地下水分佈之影響導致破 壞面為非對稱的情況卻是一般常見的。因 此，不對稱(或一般化)任意破壞面之 3-D 穩定分析法之建立自有其必要性。以往的 3-D 邊坡穩定分析法之另一缺點為針對每 一個欲分析之破壞面，必須以對稱軸建立 一局部座標系統，進行土柱之分割。由於 此一限制，廣域之邊坡防災上所需之危險 邊坡篩選，無法以電腦自動化搜尋來提昇 其效率。本研究針對上述兩個 3-D 邊坡穩 定分析之缺點，擴充 Janbu 之分析法(9)建 立一種可以在統一座標系統中搜尋任意不 對稱破壞面之新 3-D 邊坡穩定分析法。 三. 3-D 不對稱任意破壞面穩定分析法之 推導 從不對稱破壞土體所切割矩形(或正 方形)土柱之 x，y 及 z 向之力平衡可得作 用於土柱底部之正向力 Ni,j(圖一)： j i j i j i j yi j xi j vi j i j i g f S X X P W N , 3 , 3 , , , , , , ) ( + −∆ −∆ − ⋅ − = (1) 式中 j i j i j i N U N, = ', + , (2) j i j i N N, , ', ：作用於土柱底部之總正向力及 有效正向力 j i j i j i j i u A u U , (= , ⋅ , , , ：孔隙水壓，Ai,j：土 柱底面積)
Wi,j : self-weight of soil column (positive for
upward force) Pvi,j : 土柱(i，j)上方之鉛直載重 Si,j : 土柱(i，j)底部之發動剪力 g3i,j ,f3i,j : Ni,j,Si,j 之單位向量(詳細推 導參閱參考文獻(6)，(7)) 土柱(i，j)底部之安全係數可表為： j i j i j i j i j i j i j fi j i s S U N C S S F , , , , , , , , ] tan ) ( [ + − ⋅ φ = = (3) Sfi,j :土柱(i，j)之莫爾-庫倫抗剪強度
Ci,j :土柱(i，j)底部之凝聚力 (= ci,j⋅Ai,j，ci,j:
凝聚力，Ai,j : 底面積) φi,j : 土壤內摩擦角 根據圖二及正弦定律，土柱底部在沿 x 及 y 向之安全係數與合力之安全係數有 下列關係： j i j i j i sx sy F F , , , sin ) sin( α α θ − = ,0<αi,j <θi,j (4) j i j i j i sx j i S F F , , , , sin ) sin( θ α θ − ⋅ = ,0≤αi,j <θi,j (5) j i j i sy j i S F F , , , sin sin θ α ⋅ = ,0<αi,j ≤θi,j (6) 自(1)，(3)及(5)式，可得土柱(i，j)底部 之發動剪力：
) tan sin ) sin( ( } tan ] ) ( [ { , 3 , , 3 , , , , , , 3 , , , , , , j i j i j i j i j i j i SX j i j i j i j yi j xi j vi j i j i j i g f F U g X X P W C S φ θ α θ φ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ∆ − ∆ − + − + = (7) 根據 x 向力平衡及(1)式得(圖一)： j i j i j yi j xi j vi j i j xi g g X X P W E 1, , 3 , , , , , ) ( ⋅ ∆ + ∆ + + ∆ = j xi j i j i j i j i j i f Q g g f S 1, , , 3 , 1 , 3 , ( − )− ⋅ ⋅ + (8) ∆Exi,j為土柱(i，j)在 x 向上作用於側面正向 力之差。從(3)，(5)，(8)式，可得： 1 1 , B F A E SX j xi = + ∆ (9) ) , 1 , 3 , 1 , 3 , , , , 1 ( ) sin( sin j i j i j i j i j i j i j i j fi f g g f S A ⋅ ⋅ − − ⋅ = α θ θ i j xi j j i j yi j xi j vi j i Q g g X X P W B 1, , , 3 , , , , 1 ) ( − ⋅ ∆ + ∆ + + = 對於整個破壞面，∆Exi,j 之累加值可 用下式表示： ∑ = ∑ = + ∑ = ∑ = = ∑ =∆ ∑ = n i B m j n i A m j F E n i m j xi j SX 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 (10) 重新安排上式，並導入邊界力條件， 則 x 方向之安全係數可表為： ) 1( 1 1 1 1 , , 1 1 j xn j xo SX E E m j n i B m j n i A m j F − ∑ = − ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = − = (11) 與 x 向相同之推導，可得 y 向之安全 係數如下： ) 1 ( 1 1 1 1 , , 2 2 i ym i yo SY E E n i m j B n i m j A n i F − ∑ = − ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = − = (12) ) , 2 , 3 , 2 , 3 , , , 2 ( sin sin j i j i j i j i j i j i j fi f g g f S A = ⋅ ⋅ − α θ j yi j i j i j yi j xi j vi j i Q g g X X P W B 2, , , 3 , , , , 2 ) ( − ⋅ ∆ + ∆ + + = 對於整個破壞面，其整體安全係數， Fs，可表為： ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = = n i S m j n i S m j F j i j fi s 1 1 1 1 , , (13) 假設土柱側面力著力點位於側面高度 1/3 處 ， 根 據 x 向 力 矩 平 衡 ： j xzi j xi j i j i j xi j xi j xi E B h E X X , , , , , , , tan 2 −∆ ⋅ + ⋅ θ ∆ − = j i j ci j xi B h Q , , , ⋅ − (14) 根據 y 向力矩平衡可得： j yzi yj j i j i j yi j yi j yi E B h E X X , , , , , , tan 2 θ ⋅ + ⋅ ∆ − ∆ − = j i j ci j yi B h Q , , , ⋅ − (15) 電腦程式之計算流程參閱文獻(6)，(7)。 四. 比較與驗證 由於 3-D 不對稱破壞面穩定分析案例 至今尚不存在。本研究為了驗証新分析法 之正確性，以 Baligh and Azzouz (1975) 之 3-D 破壞面分析結果(圖三，四)相互驗証結 果一致性相當高。本研究並對 Hungr (1989) 及 Lam and Fredlund (1993)報告之 3-D 分
析案例進行比較驗証，結果良好。比較案 例之一示於圖五。詳細比較結果參閱文獻 (6)，(7)。 五. 自動化邊坡穩定分析之應用 為了探討本方法在統一座標系統上自 動分析之能力，設定圖六(a)所示之理想化 錐台形邊坡，並任意選訂一破壞面，此一 破壞面可繞圓錐中心軸 360°旋轉，其平面 圖示於圖六(b)。破壞面由兩組正交之二次 曲線所規定(圖七，圖八)。若是程式之推 導與判斷流程正確，則此一破壞面在 360° 旋轉過程之每一位置應產生相同之破壞面 整體安全係數。圖九顯示計算結果完全符 合要求，即，旋轉過程中，Fsx及 Fsy互有 變化，但 Fs始終保持一定值。圖十為旋轉 過程中分析結果之一例，圖中顯示本分析 法亦可計算滑動力作用方向，大略平行於 對稱軸。破壞面上剪力(滑動力)作用方向 之放大圖示於圖十一。 六. 結論 本研究成功地推導一 3-D 不對稱破壞 面之穩定分析法。此一方法可使用於統一 之 3-D 座標系統中進行自動試誤分析，改 良以往 3-D 分析法僅能分析對稱破壞面， 且必須針對每個破壞面建立局部座標糸及 土柱分割系統之缺點。本研究並對以往所 發表之 3-D 分析案例進行詳細的比較驗 証，發現在單純條件下本方法產生相近的 結果。但對於本方法所能分析的不對稱破 壞面是以往分析法所無法勝任的。 七. 成果自評 本研究成果已整理完畢，正投稿於 ASCE 之 Journal of Geotechnical and Geoenvironmental 中。主持人對本研究之 目標達成度甚為滿意。今後目標本研究成 果之程式實用化，以提供邊坡防災領域之 應用。
八. 參考文獻
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slope-stability analysis.” J. Geotech. Engrg., Vol. 118, No.11, pp.1748-1764. 14. Ugai, K., and Hosobori, K. (1988).
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15. Xing, Z. (1987). “Three-dimensional stability analysis of concave slopes in plan view.” J. Geotech. Engrg., 114(6), 658-671. z y x Si, j yzi, j Hx Ex Xx N i, j
Soil column (i, j) -Pvi, j
Qx Qy i, j i, j i, j i, j i, j Exi-1, j Xxi-1, j Hxi-1, j Xyi, j Eyi, j Hyi, j Xyi, j-1 Eyi, j-1 Hyi, j-1 -Wi, j α xz α i, j
72, -65
568, 534
圖一 分割土柱之作用力圖z y x i, j Sxi, j Projection of column base c xzi, j yzi, j i, j S =yz f Si, j Fsy i, j S =xzi, j SF i, j f sx F S i S = s fi, j i, j αi, j (+) c
Cloumn base (i, j)
b' a b a' S yi, j Syzi, j Sxzi, j Ni, j α α'i, j αi, j θ α θ 圖二 土柱底部之剪力與安全係數關係 R = 1. 0 m 2 1 γ = 1.0 γR c = 0.1 φ = 0° 0. 5
圖三 Baligh and Azzouz (1975)之 3-D 破壞 面之中央剖面 0.06 0.056 0.05 0.046 0.04 0.036 0.03 0.025 0.02 0.015 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 0 1,000 2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 Number of soil Columns
Safety factors, F
s Lam & Fredlund (1993), Fs = 1.386
The present study
Baligh and Azzouz's close-form solution (Fs = 1.402)
Fs = 1.386
Size of Columns
圖四 本研究與 Baligh and Azzouz (1975) 分析結果之比較
圖五 Lam and Fredlund (1993)之 3-D 破壞 分析案例 γ = 16.68 kN/m 2:1 slope 6 m High 3 x y z c = 9.81 kPa φ = 20° 圖六(a) 理想化 3-D 邊坡模型 3.0 3.0 5.0 1.0 1.0 1.0 3.0 5.0 1.0 3.0 y x Column size:1 m31m (24.5, 24.5) (75.5, 24.5) (75.5, 75.5) (24.5, 75.5) x' y' 圖六(b) 理想化錐台之平面圖
Z = 2.5m 2 z = 0.03y' z ' = 0.03y'2 failure surface slope surface c z' y'
．
．
圖七 自動化分析所使用之 y’向滑動面中 心剖面及幾何函數 Z = 2.5m slope surface failure surfacecL
c x' z'．
．
z = 0.03x'2 圖八 自動化分析所使用之 x’向滑動面幾 何函數 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360Calculated Safety Factors
Fs Fsx Fsy C (°) 圖九 理想化錐台上 360°旋轉破壞面之滑 動安全係數 x y (24.5, 24.5) (75.5, 24.5) (24.5, 75.5) (75.5, 75.5) R=14.14 Center (50, 50) C = 0° C = 200° Column size: 131 Unit: m C = 200° Number of columns: 256 F = 2.431 F = 2.356 s (Rigorous) s (Simplified) x y
Fig. 18(b) An enlarged view of the calculated direction and intensities of resisting shear force. 3 kN Symmetrical plane ψ =200° Si, j 圖十 3-D 破壞分析之結果一例 x y 3 kN Symmetrical plane ψ =200° Si, j 圖十一 3-D 破壞分析結果之破壞面上抗 剪力方向與大小
