數位化

數位邏輯設計與實習

主講者：杜勇進

教材

„ 數位邏輯設計，劉倫偉、高立圖書公司

„ 數位邏輯設計、江眧皚譯、滄海圖書公司

„ 數位邏輯設計、林銘波、全華圖書公司

„ Verilog FPGA晶片設計、林灶生、全華圖 書公司

課程大綱

„ Ch01數字系統與數碼系統

„ Ch02基本邏輯閘與布林代數

„ Ch03布林函數化簡

„ Ch04組合邏輯電路設計

„ Ch05序向邏輯電路

„ Ch06暫存器與計數器設計

„ Ch07 Verilog語法

„ Ch08實驗室實習

數位化

„ 類比：大自然環境

連續變化。如：壓力、濕度、溫度、電壓、

電流

„ 數位：電腦世界。不連續變化

„ 數位化Î類比量轉成數位量

„ 問題：如何表示?

„ 本章重點：人類的資料在電腦中如何表示

„ 123? -543? John ABC 台灣 ?

R(Radix,Base)進制

R>1

„ R=2進制：0,1

„ R=8進制：0,1,2,…6,7

„ R=10進制：0,1,2,……8,9

„ R=16進制： 0,1,2,……,9,A,B,C,D,E,F

„ R=...

b(R)進制

N a b a b ab a b a b a b a b ab

q q

q q

p p

i i p q

= + + + + + + + +

=

− −

− −

− −

− −

− −

−

∑

1

2 2

1 1

0 0

1 1

2 2 1

L L

各種進制的比較

十進制 二進制 八進制 十六進制

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A (或 a)

11 1011 13 B (或 b)

12 1100 14 C (或 c)

13 1101 15 D (或 d)

14 1110 16 E (或 e)

15 1111 17 F (或 f)

16 10000 20 10

B(R)進制轉成10進制

„ 2Î10進制

„ 8Î10進制

„ 16Î10進制

2->10進制(手算)

„ 1101.01 ₍₂₎ =? ₍₁₀₎

„ Ans:13.25

2->10進制

„

11010101101 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 32 16 4 1 025 0125 003125

5340625

2

5 4 2 0 2 3 5

10

.

. . .

.

= × + × + × + × + × + × + ×

= + + + + + +

=

− − −

6->10進制(手算)

„ ex: 543 ₍₆₎ =? ₍₁₀₎

„ Ans: 207 ₍₁₀₎

8->10進制

„ 展開成8的冪次方

16->10進制(手算)

„ ex: AB.C ₍₁₆₎ =? ₍₁₀₎

Ans:171.75 ₍₁₀₎

16->10進制

„ 展開成16的冪次方

10進制轉成B(R) 進制

„ 10->2進制

„ 10->8進制

„ 10->16進制

„ 方法：整數連除R，小數連乘R

10->2進制(手算)

„ 100.125₍₁₀₎Î?₍₂₎

„ Ans:1100100.001 ₍₂₎

10->2進制

„

„

109 2 54 54 2 27 27 2 13 13 2 6

6 2 3 3 2 1 1 2 0

÷ =

÷ =

÷ =

÷ =

÷ =

÷ =

÷ =

LL LL LL LL LL LL LL

1 0 1 1 0 1

1 MSB

LSB 078125 2 156250

056250 2 11250 01250 2 0250

0250 2 0500 0500 2 1000

. .

. .

. .

. .

. .

× =

× =

× =

× =

× =

= +

= +

= +

= +

= +

1 056250 1 01250

0 0250 0 0500 1 0000

. . . . .

整數

10->8進制(手算)

„ ex: 245.5 ₍₁₀₎ = ? ₍₈₎

„ Ans:365.4 ₍₈₎

10->8進制

„

„

250 8 31 31 8 3

3 8 0

÷ =

÷ =

÷ =

LL ↓

LL LL 2 7 3

餘數

038 8 304 004 8 032 032 8 256 056 8 4 48

. .

. .

. .

. .

× =

× =

× =

× =

= +

= +

= +

= +

3 004 0 032 2 056 4 048

. . . .

整數

10->16進制(手算)

„ ex: 167.0625 ₍₁₀₎ =? ₍₁₆₎

„ Ans: A7.1

10->16進制

„

„

167 16 10 10 16 0

÷ =

÷ =

LL LL

7

10 MSD LSD 整數部分 餘數

045 16 72 02 16 32 02 16 32

. .

. .

. .

× =

× =

× =

= +

= +

= + 7 02 3 02 3 02

. . . 小數部分 整數

167

=A 7

045 .

= 073 .

10->2進制(8421)

„

„

„

„

„

„

„

„

„

„

10,2,8,16進制

十進制 二進制 八進制 十六進制

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A (或 a)

11 1011 13 B (或 b)

12 1100 14 C (或 c)

13 1101 15 D (或 d)

14 1110 16 E (或 e)

15 1111 17 F (或 f)

16 10000 20 10

2,8,16進制互換

„ 2Î8進制

‡

„ 8Î2進制

‡

„ 2Î16進制

‡

„ 16Î2進制

‡

2->8進制

110010101.0110 = 110 010 101.011 000 = 6 2 5.3

8->2進制

4 7 2

= 1 0 0 1 1 1 0 1 0

5 43 1 . ₈ = 101100011 001 . ₂

2->16進制

{ { { { { { 0101 1101 10011011 0100 1110

5 D 9 . B 4 E

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

.

16->2進制

} } } } } } 3 7 C . B 8 6

0111 1000 0110

0011 1100 1011

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

.

8->16進制

„ 方法：8->2->16進制

„ 35 ₍₈₎ =? ₍₁₆₎

„ Ans: 1D

16->8進制

„ 方法：16->2->8進制

„ AB ₍₁₆₎ =? ₍₈₎

„ Ans:253 ₍₈₎

R進制四則運算

„ 四則運算：+ － × ÷

„ + － ×：逢R進位

„ ÷ 先化成10進制，再將結果化成R進制

R進制加法

„ 101.1 ₍₂₎ +011.1 ₍₂₎

„ AB ₍₁₆₎ +CD ₍₁₆₎

„ 123 ₍₈₎ +456 ₍₈₎

„ Ans:1001.0 ₍₂₎ 178 ₍₁₆₎ 601 ₍₈₎

R進制減法

„ 110 ₍₂₎ -011 ₍₂₎

„ 3FB ₍₁₆₎ -1AE ₍₁₆₎

„ 724 ₍₈₎ -156 ₍₈₎

„ Ans:011 ₍₂₎ 24D ₍₁₆₎ 546 ₍₈₎

R進制乘法

„ 101 ₍₂₎ *011 ₍₂₎

„ 2A5 ₍₁₆₎ *34 ₍₁₆₎

„ 45 ₍₈₎ *23 ₍₈₎

„ Ans:1111 ₍₂₎ 8984 ₍₁₆₎ 1277 ₍₈₎

補數

„ R進制有兩種補數

‡

‡

R＇s補數

„ 以R為底的任一正數N，整數部份長度n，小 數部份長度m，

„ 其R＇s補數ÎRⁿ-N if N≠0

„ 543 ₍₁₀₎ Î 457 ₍₁₀₎

„ 123 ₍₈₎ Î 655 ₍₈₎

„ 1AF ₍₁₆₎Î E41 ₍₁₆₎

(R-1)＇s補數

„ 以R為底的任一正數N，整數部份長度n，小 數部份長度m，

„ 其(R-1)＇s補數ÎRⁿ-R^-m-N

„ 543 ₍₁₀₎ Î 456 ₍₁₀₎

„ 123 ₍₈₎ Î 654 ₍₈₎

„ 1AF ₍₁₆₎Î E40 ₍₁₆₎

2補數與1補數

„ N=1011 ₍₂₎

‡

‡

„ N=10000 ₍₂₎

‡

‡

負數表示

„ 符號大小表示法(sign magnitude)

„ 1＇s補數表示法(1＇s complement)

„ 2＇s補數表示法(2＇s complement)

符號大小表示法

„ 最左邊位元當符號用：0：表示正數；1表示 負數

„ 其餘位元表示大小

„ Ex n=8 bit (長度) 9 Î 0 000 1001 -9 Î 1 000 1001

„ n=3 bit (長度) 3 Î 0 11

-3 Î 1 11

1＇s補數表示法

„ 若是負數則取1＇s補數

„ Ex n=8 bit (長度) 9 Î 0 000 1001 -9 Î 1 111 0110

„ n=3 bit (長度) 3 Î 0 11

-3 Î 1 00

2＇s補數表示法

„ 若是負數則取2＇s補數

„ Ex n=8 bit (長度) 9 Î 0 000 1001 -9 Î 1 111 0111

„ n=3 bit (長度) 3 Î 0 11

-3 Î 1 01

N=4 bit 各種表示

十進制 帶號大小 1補數 2補數 十進制 帶號大小 1補數 2補數

+7 0111 0111 0111 -0 1000 1111 0000

+6 0110 0110 0110 -1 1001 1110 1111

+5 0101 0101 0101 -2 1010 1101 1110

+4 0100 0100 0100 -3 1011 1100 1101

+3 0011 0011 0011 -4 1100 1011 1100

+2 0010 0010 0010 -5 1101 1010 1011

+1 0001 0001 0001 -6 1110 1001 1010

+0 0000 0000 0000 -7 1111 1000 1001

-8 (不可能) (不可能) 1000

各種表示法的範圍

„ 符號大小表示法(sign magnitude) - (2^n-1 – 1 ) ~ (2^n-1 – 1 )

„ 1＇s補數表示法(1＇s complement) - (2^n-1 – 1 ) ~ (2^n-1 – 1 )

„ 2＇s補數表示法(2＇s complement) - (2^n-1 ) ~ (2^n-1 - 1 )

„ N=4

符號大小表示法：-7 ~ 7 1＇s補數表示法： -7 ~ 7 2＇s補數表示法 ： -8 ~ 7

各種表示法的範圍

„ N=8

符號大小表示法：-127 ~ 127 1＇s補數表示法： -127 ~ 127 2＇s補數表示法 ： -128 ~ 127

„ N=16

符號大小表示法：-32767 ~ 32767

1＇s補數表示法： -32767 ~ 32767 2＇s補數表示法 ： -32768 ~ 32767

2＇s補數表示法優點

„ 可表示範圍較大(多1個)

„ 零只有一種表示法

„ 運算處理流程較簡單(減法只需加一次)

用加補數代替減法—1＇s

„ 取1＇s補數相加

„ 看結果

‡

‡

1＇s 範例1

„

„ 45=00101101

33=00100001

45-33=00101101 – 00100001 00101101

+ 11011110 (-33的1＇s補數表示)

=========

100001011

=========

00001100Î 12

1＇s 範例2

„ 33-45 (n=8 bit)

„ 45=00101101 ₍₂₎ 33=00100001 ₍₂₎

33 - 45= 00100001 – 00101101 00100001

+ 11010010 (-45的1＇s補數表示)

=========

11110011 Î -12

1＇s 範例3

„ 2-1 (以4bits表示)

„ 0010 - 0001

1＇s 範例4

„ 1-2 (以4bits表示)

„ 0001 - 0010

用加補數代替減法—2＇s

„ 取2＇s補數相加

„ 看結果

‡

‡

2＇s 範例1

„ 45-33 (n=8 bit)

„ 45=00101101 ₍₂₎ 33=00100001 ₍₂₎

45-33=00101101 – 00100001 00101101

+ 11011111 (-33的2＇s補數表示)

=========

100001100 Î 12

2＇s 範例2

„ 33-45 (n=8 bit)

„ 45=00101101 ₍₂₎ 33=00100001 ₍₂₎

33 - 45= 00100001 – 00101101 00100001

+ 11010011 (-45的2＇s補數表示)

=========

11110100 Î -12

2＇s範例3

„ 2-1 (以4bits表示)

„ 0010 - 0001

2＇s範例4

„ 1-2 (以4bits表示)

„ 0001 - 0010

2＇s補數特別數

„ n=4(長度)

„ -1

„ -8

„ n=8 (長度)

„ -1

„ -128

溢位

„ 溢位(overflow)：超出所能表示範圍

„ ex: (0100)₂ + (0100)₂ =?

溢位判斷

„ 方法：

‡

‡

溢位判斷1

„ (0100)₂ + (0101)₂

溢位判斷2

„ (1000)₂ + (1110)₂

數碼系統

„ 加權碼：每一bit有權重

BCD碼、84-2-1碼、2421碼、二五碼

„ 非加權碼：每一bit沒有權重

超三碼(excess-3)、葛雷碼(Gray)、五取 二碼(2 out of 5)

加權碼

w w w w

十進制數字 8 4 2 1 8 4 -2 -1 2 4 2 1 6 4 2 -3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 6 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 7 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 9 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

非加權碼

十進制數字 加三碼 循環碼 十進制數字 加三碼 循環碼

0 0011 0000 8 1011 1100 1 0100 0001 9 1100 1101 2 0101 0011 10 0100 0011 1111 3 0110 0010 11 0100 0100 1110 4 0111 0110 12 0100 0101 1010 5 1000 0111 13 0100 0110 1011 6 1001 0101 14 0100 0111 1001 7 1010 0100 15 0100 1000 1000

BCD碼

„ BCD(Binary Code Decimal)

„ 0~9用4個bit表示

„ (28)

Î (?)

„ (123.4)

Î(?)

„ (10010100.1000)

Î(?)

„ (00111001)

Î(?)

超三碼

„ 38 ₍₁₀₎ = (?)_x＇3

„ 11001000.0101 _(x＇3) = (?)₁₀

葛雷碼(Gray)

互斥或(Exclusive OR)

„ 不一樣為１

„ 一樣為0

„ 0♁0=0

„ 0♁1=1

„ 1♁0=1

„ 1♁1=0

二進制與葛雷碼互換

b ₅ b ₄ b ₃ b ₂ b ₁ b ₀ 二進碼

g ₅ g ₄ g ₃ g ₂ g ₁ g ₀

格雷碼 (a)

所以對應的格雷碼為111011。

1 0 1 1 0 1

1 1 1 0 1 1

b ₅ b ₄ b ₃ b ₂ b ₁ b ₀ 二進碼

g ₅ g ₄ g ₃ g ₂ g ₁ g ₀

格雷碼 (b)

所以對應的格雷碼為111110。

1 0 1 0 1 1

1 1 1 1 1 0

二進制Î葛雷碼(Gray)

„ 方法：由右至左，兩兩互斥(不一樣為1，一 樣為0)

„ 01010110 ₍₂₎ Î? _(gray)

葛雷碼(Gray) Î二進制

„ 方法：由左至右，兩兩互斥

„ 011111101 _(gray)Î? ₍₂₎

ASCII

„ ASCII(American Standard Code for Information Interchange)

„ 每一字(符號)用7 bits表示

„ 0~31沒有字，通訊控制碼

„ ‘A’ Î100 0001 ₍₂₎Î0x41Î65 ₍₁₀₎

„ ‘a’ Î110 0001 ₍₂₎Î0x61Î97 ₍₁₀₎

„ ‘0’Î011 0000(2)Î0x30Î48(10)

ASCII表

錯誤偵測Î同位元

„ 奇同位：訊息與同位元＂1＂的總合為奇數

„ 偶同位：訊息與同位元＂1＂的總合為偶數

„ ex: 採奇同位

„ 1001□Î1

„ ex: 採偶同位

„ 1001□Î0

„

只能偵測奇數個錯誤，且無法更正(correct)