Chap. 2 Series Expansions
§ 2-1 Power Series（冪級數）
定義一個 x 的多項式(polynomial)為
P(x)=anxn +an−1xn−1+...+a1x+a0, an ,an−1,...,a1,a0皆為常數
如果n≥1 且an ≠0，我們稱該多項式的「次數 degree」為 n 次。如果 n = 0 則多項式 P(x)為 0 次多項式。
微積分裡最簡單的函數就是多項式及經由+,−,×,÷幾個多項式或多 項式取次方或跟號所建構的函數，這一類的函數我們稱為「代數函數 algebraic functions」。例如
5 ,
2x 1 3x - x x
f
2 3
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= + )
( g(x)= x3+1. 然而有許多複雜的函數是無法用代數函數表示的，例如
ln x = dt t 1
x
∫
1 , x > 0 與 sin x x(1-t ) dt0
1/2 - 1
- =
∫
, |x|≤1另有一類函數可以經由無一些簡單函數的窮數列或無窮級數來定 義，例如
∑
∞=
=
0 n
n x
n!
e x 與 sin x =
∑
∞=1 n
1 - 2n n
1)!
- (2n (-1) x
時常一個微分方程式的解是必須用冪級數來表示的。
一個（對點 x0）的 power series 是一個函數的級數，寫為
∑
∞=0 n
n 0 n(x-x )
a =a0 +a1(x-x0)+a2(x-x0)2+... （2-1）
上式中 x0為一固定數字，稱為「展開中心 the center of expansion」，
an則為係數。上述的 power series 不一定對每一個 x 值都收斂但是對 x = x0永遠收斂到值 a0.如果一個 power series 不是只收斂到點 x0或對 所有 x 都收斂的話，會存在一個數 R 使得 power series 對所有 x−x0 <R
「絕對收斂」且對 x−x0 > R都發散，這個數 R 稱為該 power series 的
「收斂半徑 the radius of convergence」，而區間 (x0 -R, x0 +R) 稱為該 power series 的「收斂區間 the interval of convergence」。power series 因為包含了無窮多項，所以不能排除發散的問題，所以必須訂出「收 斂區間」,不然，發散的 power series 是沒有意義的。
定理 2-1 power series (2-1)的收斂半徑為 R=
1
lim
∞ +
→ n
n
n a
a ，若 →∞
∞ +
→ 1
lim
n n
n a
a 則 R =∞
本定理我們不在這裡證明，證明請看微積分課本。
Ex. 1.
∑
∞=0 n
n n
n!
1) - (x
2 , x0 =1,
)!
1 ( , 2
!
2 1
1 = +
= + +
a n a n
n n
n n
∞ + → + =
=
=
⇒ →∞ + →∞ + →∞n 1
1)!
/(n /n!
a R a
1 n n
n
n n n
n lim 2
2 lim 2 lim
1
本 series 對所有 x 都收斂。
Ex. 2.
∑
∞=1 +1
n
xn
n
n , x0 = 0,
/n) 1 (1
2/n) (1
1) (n
2) n(n
2) 1)/(n (n
1) n/(n
a
R a 2
2 n n
n n n
n =
+
= + +
= + + +
= +
=
⇒ →∞ →∞ →∞
∞ +
→ lim lim lim 1
lim
1
本 series 對｜x |＜1 收斂，對｜ｘ｜＞1 發散。
一個 power series 可以定義一個以「收斂區間」C 或 C 加上一或 二端點的區間為「定義域」的函數 f。f 在「收斂區間」裡的點 x 的 函數值 f(x)即等於 series 在 x 的值：
∑
∞=
−
=
0
0) ( )
(
n
n
n x x
a x
f , for x∈C
定理 2-2 令 f(x) =
∑
∞=
−
0
0) (
n
n
n x x
a , g(x) =
∑
∞=
−
0
0) (
n
n
n x x
b , for |x− x0 |<r, then for |x− x0 |<r,
c f(x) =
∑
∞=
−
⋅
0
0) (
n
n
n x x
a
c for every real c.
∑
∞=
− +
= +
0
0) ( )
( ) (
n
n n
n b ) x x
(a x
g x
f ，and
∑
∞=
−
=
0
0) ( )
( ) (
n
n
n x x
C x
g x
f ,其中
∑
∑
= ==
= + +
+
= n
0 k
k k - n n
0 k
k - n k 0
n 1
- n 1 n 0
n a b ab ... a b a b a b
C
(證明請見 p. 635, Theorem XVII, Taylor, Advanced Calculus)
ex. 3 令 f(x) =
∑
∞=
+
0 n
1)xn
(n , g(x) =
∑
∞=0 n
xn, find 收斂區間及 f(x)g(x).
=
=
∞ +
→ 1
lim :
) (
n n f n
a R a
x
f lim =1
+ +
∞
→ n 2
1 n
n ， 1
1 R 1
x g
g =n =
∞
lim→
: ) (
, )
( ) (
0
∑
∞=
=
n n nx C x
g x
f
∑
=
+
= + + + + +
= +
= n
0 k
n 2
2) 1)(n 1) (n
n ...
2 1 1)(1) k
- (n
C (
∑
+ +=
∴ xn
2 2) 1)(n (n
f(x)g(x)
定理 2-3 令 f(x) =
∑
∞=
−
0
0) (
n
n
n x x
a , |x− x0 |<R則 f 在(x0 -R ,x0 +R) 可微分
且
∑
∞=
−
− −
=
1
1 0
1( )
n
n
n x x
na (x) '
f |x− x0 |<R。若a andb ∈ (x0-R ,x0 +R) 則
[ ]
∫ ∑
∞=
+ +
= +
b
a n
1 n 0 1
n 0
n (b-x ) - (a-x ) 1
n f(x)dx a
0
. In particular,
∫ ∑
∞ += +
x =
x
1 n 0 0
n n
0
) x - 1(x n
f(x)dx a |x− x0 |<R
ex. f(x) =
∑
= +
+
0 2
1
n
xn
n
n
∑
=
−
+
= +
⇒
1
1
2 ) 1 ) (
( '
n
xn
n n x n
f
∑
=
−
+
−
= +
⇒
2
2
2 ) 1 )(
1 ) (
(
"
n
xn
n n n x n
f
或可以將 index n 的起點都移到 0 開始：令 k = n-1, n = 1 時 k = 0,以 n
= k+1 代入
∑ ∑
∑
∞=
∞
=
=
−
+ +
= + +
+
= + +
= +
0
k n 0
n k
n
n x
3) (n
2) 1)(n x (n
3) (k
2) 1)(k x (k
n n x n
f
1
1
2 ) 1 ) (
(
' .
同樣的，令 n = k+2
∑
∑
∑
= = =−
+ + +
= + +
+ +
= + +
−
= +
0 0
2
2 ( )( 1) ( )( 1)
2 ) 1 )(
1 ) (
(
"
n
n k
k n
n x
4 n
n 3 n 2) x (n
4 k
k 3 k 2) x (k
n n n x n
f .
有些時候當「展開中心」x0 ≠0時，為了方便我們可以改變變數，
令 z = x –x0
∑
∑
∞=
∞
=
=
−
0 0
0) z
(
n n n n
n
n x x a
a
§ 2-2 Taylor series 泰勒級數
令 f 為一個由 power series 在其「收斂區間」所定義的函數
∑
∞=
−
=
0
0) (
n
n
n x x
a
f(x) , |x− x0 |<R
∑
∞=
− −
⋅
=
⇒
1
1 0) (
n
n
n x x
a n (x) ' f
∑
∞=
− −
⋅
−
⋅
=
⇒
2
2 0) ( ) 1 (
n
n
n x x
a n n (x) ' ' f
∑
∞=
− −
⋅ +
⋅⋅
⋅⋅
⋅⋅
⋅
−
⋅
=
⇒
k n
k n n
[k](x) n n (n-k 1) a x x
f ( 1) ( 0) |x− x0 |<R
令x= x0，f' (x0)= a1 , f ' '(x0)=2⋅1⋅a2 ,....., f[k](x0 )=k⋅(k-1)....2⋅1⋅ak ...
0,1,2 k
k!
) (x
a f 0
[k]
k = =
⇒
如此，如果函數 f 在 x0那一點是無窮多次可微，then 函數 f 就可以在 收斂區間以 power series
∑
∞=0 n
n 0 0
] n [
) x - n! (x
) (x
f （2-11）
表示。（2-11）稱為 f 在x0的泰勒級數。在一個 special case 當選 x0 = 0 時，（2-11）也稱為 Maclaurin series for f。
如果 series（2-11）在某個區間(x0−r,x0+r), r>0裡的每一個 x 都 收斂到 f(x)，我們稱函數 f 在 x0那一點是「解析的 analytic」。
Ex. f(x)=ex ⇒ f[n](x)=ex ⇒ f[n](0)=1對所有的正整數 n 都成立。f 的 Maclaurin series 為
∑
∞=
=
0 n
n x
n!
e x 且 = + →∞
+ →∞
∞
→ lim(n 1)
n n
n
n 1/( 1)!
! /
lim 1 ⇒ R→∞
所以
∑
∞=
=
0 n
n x
n!
x
e 對 all x 都成立。
Ex. Find Maclaurin series for cos(x) and sin(x)
Sol. f(x)=cos(x) ⇒f'(x)=−sinx ⇒f ''(x)=(-1)⋅cosx⇒ f' ''(x)=(-1)2sin(x) ....
所以 f'(0)=0,f"(0)=−1,f"'(0)=0...可以歸納出
⎩⎨
=⎧
odd : n 0,
even : n , ) (-1)
0 (
n/2 n]
f[ x
(2n)!
(-1) x cos
0 n
n 2
∑
∞ n=
=
⇒ for all x
請測試收斂半徑R→∞。同樣的也可以得出
∑
∞=
+
+
= −
0
1 2
)!
1 2 (
) 1 ) (
sin(
n
n n
n x
x , for all x.
所以當 x 的值很小時就可以運用 Maclaurin series,省略高次項，來近似
...
...
3!
x x
~ x n i s
..
...
4!
x 2 -x 1
~ x os c
3 4 2
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
+ +
ex. 請自行證明幾何級數 geometric series: x x
- 1
1
0 n
∑
∞ n=
= | x |<1。
Ex. 請自行證明二項式級數 binomial series
∑
∞=
+
⋅⋅
+ ⋅⋅
= +
1 n
n
m x
n!
1) n - (m 1) - 1 m(m
x)
(1 , |x| < 1
如果上式中的 m 是一個非負值的整數，那麼上式的級數就只剩有限 項（成了多項式了），也對所有的 x 成立。
有了泰勒級數（or 泰勒展開）
∑
∞=
=
0 n
n 0 0
] n [
) x - n! (x
) (x x f
f( )
函數 f 在 x0附近的函數值就可以得到近似值：
∑
∑
∞=
∞
=
= +
= +
0 n
0 n ] n [
0 n
n 0 0
0 ] n [
n!
) (x ) f
x - n! (x
) (x x f
f( 0 δ) δ δ
由於δ 是小量，所以上式只要取前幾項即可。
Ex. 求 ln(1+x)的泰勒展開式
1
| x
| , 1x n x) (-1) ln(1
1
| x
| , dt t (-1)
1
| x
| dt, t (-1)
-1 x , tdt 1 x) 1 (1 ln
0 n
1 n n 0 n
x
0 n n x
0 n 0
n n x
0
∑
∑∫
∫ ∑
∫
∞
=
+
∞
=
∞
=
+ <
= +
⇒
<
=
<
= + >
= +
ex. Find the Maclaurin series for
3 ) 2
( = +
x x x f
∑
∑
∞
=
+
∞
=
<
−
=
⇒
<
<
= +
+ + =
=
0
) 1
3 (2 ) 1 2 ( ) 1 ( ) (
n
n n 0 n
n n
3/2
| x
| x
x f
3/2
| x
| or 1
| 3x
| 2 where 3x)
(2 (-1) 3x
1 2 for 1
3x 1 2
1 3 x 3 2x x x f
ex. 當 x<<1, 計算
x x
f = +
1 ) 1
( 的近似值至 2nd order of x.
因為 3/2 5/2 (1 ) 5/2 4
) 3 1 2 (
3 2 ) 1 (
"
, ) 1 2 ( ) 1 (
' − − + − = + −
− ⋅
=
− +
= x f x x x
x
f ，所以
2 2
8 3 2 1 1 2
) 0 (
"
1 ) 0 ( ) ' 0 ( )
( f x x x
f x f
x
f ≈ + + = − + （2-12）
§ 2-3 Physical examples
ex. 電偶極 electric dipole 的電位
考慮一組±q電荷相距 s，試求距離此電偶極「很遠處」的電位。
解：定座標系使原點位於電偶極的中央，+q 位於 z = s/2, -q 位於 z = -s/2, 計算距離電偶極中點rv處的電位(距離 r,與 z 軸夾角θ)。所謂遠距離是
「距離本系統很遠處」i.e., r >> s 或 s/r <<1. 令＋q 到觀測點的距 離為 r+，-q 到觀測點距離 r─,由餘弦定理及（2-12），up to 1st order of s/r
2 0 2
0 0
2 2
2
4 cos 4
cos cos
4
2 2
1 1 2
2 1 1
2 2
1 1 1
1 1
1 1
r P r qs r
s r q
r s r
cos s r
s r
cos s r
4 q
r cos ) s
2r ( s 1 - 1
r cos ) s
2r ( s 1
1 r
4 ) q r -1 r ( 1 4 V q
r s r
cos s r
r cos ) s
2r ( s r 1
cos s r 2) ( s r r
0
2 2
0 -
0 2 2 2
πε θ πε
θ θ
πε
θ θ
πε
θ πε θ
πε
θ
θ θ
=
⎥⎦=
⎢⎣ ⎤
= ⎡
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛ + ⋅
−
⎪⎩ −
⎪⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
− ⋅
−
≈
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
+ ⋅
⋅ +
− +
=
=
∴
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
− ⋅
≈
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ⋅
+
=
⋅
⋅ +
=
+
±
m m m
其中 P＝qs 為電偶極矩。比較單電荷的電位與 r 的一次方成反比（電 場與 r 的平方成反比），電偶極的電位與 r 的平方成反比（電場與 r 的 3 次方成反比）所以電偶極的電場比單電荷的弱，這是因為在遠處 看，電偶極裡的＋、─電荷相互抵銷的效應。
Ex. 單擺
考慮一單擺，擺長l錘質量 m 擺線與鉛直夾角θ，做小角度擺動，求 運動方程式。解：擺錘擺動的弧長為r=l⋅θ ,⇒r&&=l⋅θ&&
0 g sin
sin -g sin
g -m r m
=
⋅ +
⇒
⋅
=
⋅
⇒
⋅
⋅
=
⇒
θ θ
θ θ
θ
&& l
&&
&& l
上式為一個「非線性振子」的運動方程式。然當小角度擺動時
⇒
⇒ θ θ
θ ~0 sin ~ g 0
=
⋅
+ θ
θ&& l ：簡諧運動！
Ex. Debye formula for 固體比熱（T3定律與 Dulong-Petit 定律）
經由量子力學的計算 Debye 算出絕緣體的定容比熱為
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
θ 3RD T CV
其中 R 為理想氣體常數，θ是一特徵溫度常數稱為 Debye 溫度，而函 數 D 為
∫
= t
1
0 x
3
3 dx
1 - e 12t x
D(t) e -1
3/t
− 1/t
在低溫時，i.e., T <<1 θ D ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ θ
T = 3
0 x
3 T 3
0 x /T
3 3
T 1 ~ - e
dx ) x
(T e 12
/T - 3 1 - e
dx x
12⎜⎝⎛Tθ ⎟⎠⎞
∫
θ θθ−1≅ θ∫
∞上式中 → →∞
− asT e
T
T
θ θ
θ 0
1 / 3
/ 。這個低溫的 T3行為與實驗結果相符。
又在高溫時，i.e., T >>1 θ
∫
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ T
0 x
3 3
1dx - e
x 12 T
D T
θ
θ
θ e -1
T/
- 3T/θ θ
上式的積分中由於積分限由 0 到 <<1 T
θ 表示被積分函數中的 x 的可能
值都很小所以被積函數 2
3 x
3
x 1~ - x 1
~ x 1 - e
x
+
1 3 - 4
3 - T ) ( T ) 4(
3 3 - x 12 T
1 - T) / ( 1
T) / - 3(
dx T x
T 12 D
3 3
/T
0 3 3
T 0
2 3
=
=
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⇒ ⎛
∫
θ θ
θ
θ θ θ
θ
θ θ
使得高溫行為CV =3R，與古典的 Dulong-Petit 定律相同也於符合實驗 結果。
＊ 函數的解析性(analyticity) ex. , x (- ,1) (1 , )
x x
f ∈ ∞ ∪ ∞
= − 1 ) 1 (
我們已知
1 | x
| x x
- 1
1
n
n <
=
∑
for這表示當對 x = 0 展開時，級數
∑
n
xn 適用用於 | x |<1。這裡也可以更
清楚的看出「收斂半徑」的意義：因為明顯的 x - 1
1 在 x = 1 這一點發 散，所以若以 x = 0 為準的展開式，其有效性一定到 x = 1「之前」為 止，所以「收斂半徑」R＝1，若「收斂半徑」居然比 1 大，那就表 示從 x = 0 開始的展開式也適用於發散點 x=1 了，這明顯矛盾。但是 這並不表示函數
x - 1
1 只在(-1,1)區間為可解析的。現在嘗試對 x = 3 展 開，由於
1 ]
[
) 2 ( ) ! 3
( +
+ ⇒ = −
= n 1 n n
[n] n
f x)
- (1 (x) n!
f
∑
=∑
⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞ −⇒
+
n 1
n n
n
2 x 1 3) -
- n (x
f ( 2)
! ) 3
](
[
