• 沒有找到結果。

# 並蒂花開-探討母圖所生成子圖軌跡之鑲嵌性質 國

N/A
N/A
Protected

Share "並蒂花開-探討母圖所生成子圖軌跡之鑲嵌性質 國"

Copied!
41
0
0

(1)

## 並蒂花開 -探討母圖所生成子圖軌跡之鑲嵌性質

### 國立新竹高級中學 官顥叡 指導老師 黃文鍾

Abstract

We first drew a moving point on one side of each of the two similar polygons named P and Q. These two points were then connected to form a line, on which a point was drawn.

When we shifted these two moving points up and down, the trace of this point would form a parallelogram. Besides, no matter how the original polygons changed their positions, the created pattern from the trace remained the same. Then by repeating the same process on the other sides of the two polygons we got numerous traces, the union of which we call a generated graph. And we found if we rotated the two equilateral polygons to a certain angle, the generated graph would become a collage graph. What was more surprising, when the sides of the two equilateral polygons changed at a certain rate, the pattern of the generated graph would become a tessellation. Then we could use the same way to find tessellating layers of the graph satisfying the rules. By the way, we also discussed the case where P and Q are parallel polygons with even sides or convex polygons. Furthermore, if we increase the number of two polygons to N , when N was an odd number, the pattern of the generated graph were mostly quasi-tessellation, but when N was an even number, the the patterns of generated graph were tessellation. Finally we expanded our investigation to linear transformations, and a family of linear transformations ensuring the existence of tessellating generated graphs was fortunately found.

## 2 研 研 研究 究 究目 目 目的 的 的

C1D1,←−−→

C2D2, . . .,←−−→

CnDn 上取點 M1, M2, . . . , Mn 使得

t−−−→C1M1= s−−−−→M1D1, t−−−→C2M2= s−−−−→M2D2, . . . , t−−−−→CnMn= s−−−−→MnDn,

(2)





















−−−→OM1= t s + t

−−→OC1+ s s + t

−−→OD1,

−−−→OM2= t s + t

−−→OC2+ s s + t

−−→OD2, ...

−−−→OMn= t s + t

−−→OCn+ s s + t

−−−→ODn, 其中 s, t ∈ R, st 6= 0 且 s + t > 0.

M

−−→OM = t s + t

−−→OCj+ s s + t

−−→ODj

for some Cj∈ AjAj+1, Dj∈ Bj+iBj+1+i

o.

(i = 0 且 θ 為 0 度時)

(i = 1 且 θ 為 0 度時) (i = 0 且 θ 為 −90 度時)

(3)

(0 階) (旋轉 0 度)

(1 階) (旋轉 −72 度)

(2 階) (旋轉 −144 度)

(3 階) (旋轉 −216 度)

(4 階) (旋轉 −288 度)

(4)

(5)

(旋轉 60 度) (以斜角 30 度為鏡射軸) (延 x 軸推移一倍的 y)

## 3 研 研 研究 究 究方 方 方法 法 法與 與 與過 過 過程 程 程

### 一 一 一、 、 、兩 兩 兩母 母 母圖 圖 圖取 取 取分 分 分點 點 點所 所 所生 生 生成 成 成子 子 子圖 圖 圖軌 軌 軌跡 跡 跡之 之 之鑲 鑲 鑲嵌 嵌 嵌性 性 性質 質 質

−−−→OEkl = t s + t

−−→OAk+ s s + t

−−→OBl, ∀ k, l ∈ {1, 2},





−−−−→

E11E21= t s + t

−−−→A1A2,

−−−−→

E11E12= s s + t

−−−→B1B2,





−−−→A1A2 與 s s + t

−−−→B1B2 的夾角,

−−−→A1A2 與 s s + t

−−−→B2B1 的夾角.

←−−→A1A2,←−−→B1B2 上之兩動點, 當固定 D1 時

 M

−−→OM = t s + t

−−→OC1+ s s + t

−−→OD1 for some C1∈ A1A2



−−−−→

E11E12 = −−−−→A1E12−−−−−→A1E11= s s + t

−−−→A1B2− s s + t

−−−→A1B1= s

s + t(−−−→A1B2−−−−→A1B1)

= s s + t

−−−→B1B2= s

s + t(−−−→A2B2−−−−→A2B1) = s s + t

−−−→A2B2− s s + t

−−−→A2B1

= −−−−→A2E22−−−−−→A2E21=−−−−→E21E22, 同理 −−−−→E11E21= t

s + t

−−−→A1A2=−−−−→E12E22,

(6)

∠E11 為 t s + t

−−−→A1A2 與 s s + t

−−−→B1B2 的夾角,

∠E12 為 t s + t

−−−→A2A1 與 s s + t

−−−→B1B2 的夾角.

(圖中的 s : t =

√5 − 1 2 :

√5 + 1 2 )

nM

−−→OM = t s + t

−−→OCj+ s s + t

−−→ODj for some Cj∈ AjAj+1

o

−−→OM = t s + t

−−→OCj+ s s + t

−−→ODj for some Dj ∈ Bi+jBi+j+1

o





−−−−−−−−−−−−−→

Ej(j+i)E(j+1)(j+i) = t s + t

−−−−−→

AjAj+1,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1+i)Ej(j+!+i)= s s + t

−−−−−→

BjBj+1, 而

−−−−−→

AjAj+1 與 s s + t

−−−−−−−−→

Bj+iBj+1+i的夾角, 另一內角 ∠Ej(j+1+i) 為 t

s + t

−−−−−→

AjAj+1 與 s s + t

−−−−−−−−−→

B(j+1+i)(j+i)的夾角,

∀i = 0, 1, 2, . . . , (n − 1), j = 1, 2, . . . , n.

2) 如下圖所示.

(7)

s + t−→a 到 Gi. 證證證明明明. 根據定理 1, 平形四邊形 Gij 的大小及角度由 P 與 Q 的邊長而定, 而此時只是將 Q 平移並沒改變其大小及角度, 因此「Gij 的圖形不變」. 不失一般性, 以下證明若 Q 平 移了 −→a 則 G01 平移了 s

s + t−→a . 若今將 Q 平移了 −→a 則

−−−→C1M1 = s s + t

−−−→C1D1= s

s + t(−−−→C1D1+ −→a ) = s s + t

−−−→C1D1+ s s + t−→a

= −−−→C1M1+ s s + t−→a

M1M1 = s s + t−→a , 所以 G01 也平移了 s

s + t−→a .

2

i種形式的圖形.

n − 180i◦

i種形式的圖形.

(8)

n − 180i◦

, 如下圖所示, 原本為第 i 階的子圖在經過旋轉 k 次後會 全等於第 l 階之子圖, 其中 (i + k) ≡ l (mod n).

n − 180i◦

i 種, 所以階數 i 的概念在角度上會有較廣義的解釋, 當給定兩相似母圖 P 與 Q 為 ”正”

n 邊形, 且不論是平移關係或平移且旋轉關係時, 都會有 hn + 1 2

i 種形式的圖形. 因此在

”正” 多邊形的研究中都可將階數 i 這個變因去除, 即不同的階數可視為是旋轉某特定角 度, 故此時僅討論 0 階的情形.

k180(n − 2)

n − 180i◦

, k 分別為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 時, 分別如下圖所示.

(9)

1. 當 0≤ θ < 180(n − 2)

n 時,

G0(1, 1) 的空缺逐漸縮小(內部的向量夾角變小, 外部的向量夾角變大);

2. 當 θ = 180(n − 2)

n 時, G0(1, 1) 為鑲嵌圖形;

3. 當 180(n − 2)

n < θ < 180(n + 2)

n 時, G0(1, 1) 為拼貼圖形;

4. 當 θ = 180(n + 2)

n 時, G0(1, 1) 為鑲嵌圖形;

(10)

5. 當 180(n + 2)

n < θ < 360 時,

G0(s, t) 的空缺逐漸擴大(原本內部的向量變成在外部且夾角變大, 而原本外部的向 量變成在內部且夾角變小).

n 或「st < 0, 且母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉

±h

180−180(n − 2) n

i」. 當母圖 P 與 Q 的對應邊長比值為 r = s t

,則其子圖 G0(s, t) 為鑲嵌圖形；當母圖 P 與 Q 的對應邊長比值為 r 6=

s t

, 則其子圖 G0(s, t) 為準鑲嵌圖 形.

I、 使−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)Ej(j+1)、−−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2)同向:

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1) = t s + t

−−−−−→

Aj+1Aj,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) = s s + t

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2)同向, 亦即 t−−−−−→Aj+1Aj, s−−−−−−−→Bj+1Bj+2同向時, G0j(s, t) 與 G0(j+1)(s, t) 會鑲嵌接合.

θ =





180(n − 2)

n , st > 0 180−180(n − 2)

n , st < 0.

E(j+1)(j+1)Ej(j+1) = |t|

s + tAj+1Aj, E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) = |s|

s + tBj+1Bj+2, 因此對於 j ∈ {1, 2, . . . , n} 會有 n 條長度同為

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1Bj+2

s + t

(11)

II、 使−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)j、−−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1)同向:

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)j = s s + t

−−−−−→

Bj+1Bj,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1) = t s + t

−−−−−−−→

Aj+1Aj+2,

E(j+1)(j+1)E(j+1)j,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1)同向, 亦即 s−−−−−→Bj+1Bj, t−−−−−−−→Aj+1Aj+2同向時, G0j(s, t) 與 G0(j+1)(s, t) 會鑲嵌接合.

Aj+1Aj+2 與 −−−−−−−→

Bj+1Bj+2 的夾角為 θ (母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 θ), 則 t−−−−−−−→Aj+1Aj+2 與 t−−−−−−−→Bj+1Bj+2的夾角也為 θ, 因為要使 s−−−−−→Bj+1Bj 與 t−−−−−−−→Aj+1Aj+2 同向, 也 就是要使 θ 為 s−−−−−→Bj+1Bj 與 t−−−−−−−→Bj+1Bj+2 的夾角, 所以

θ =





180(n − 2) n , st > 0 180−180(n − 2)

n , st < 0.

E(j+1)(j+1)E(j+1)j = |s|

s + tBj+1Bj, E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1) = |t|

s + tAj+1Aj+2, 因此對於 j ∈ {1, 2, . . . , n} 會有 n 條長度同為

|t|Aj+1Aj+2− |s|Bj+1Bj

s + t



−2√ 2, 3√

3

−2√ 2, 3√

3

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1Bj+2

s + t

or

|t|Aj+1Aj+2− |s|Bj+1Bj

s + t

(12)

s t , r <

s t

,則中空的正 n 邊形之邊長

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1Bj+2

s + t

or

|t|Aj+1Aj+2− |s|Bj+1Bj

s + t

= 0

⇒ 子圖 G0(s, t) 為鑲嵌圖形

7 時, G0(1, 1) 如下圖所示.

(900 7 )

(−900 7 )

(13)

8 ), 且母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 ±



180−900 7

 時, G0(15, −8) 如下圖所示.

s t I、 將

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1Bj+2

s + t

s t

Bj+1Bj+2 判別其正負, 且 Aj+1Aj = rBj+1Bj+2, Aj+1Aj−

s t

Bj+1Bj+2= r −

s t

Bj+1Bj+2> 0

⇔ |t|Aj+1Aj > |s|Bj+1Bj+2,

II、 將

|t|Aj+1Aj+2− |s|Bj+1Bj

s + t

s t

Bj+1Bj 判別其正負, 且 Aj+1Aj+2 = rBj+1Bj, Aj+1Aj+2−

s t

Bj+1Bj= r −

s t

Bj+1Bj > 0

⇔ |t|Aj+1Aj+2> |s|Bj+1Bj,

(14)

s t

7 時, G0(2, 5) 如下圖所示.

7 時, G0(−3, 13) 如下圖所示.

s t 同上之推導得

I、

Aj+1Aj− s t

Bj+1Bj+2= r −

s t

Bj+1Bj+2< 0

⇔ |t|Aj+1Aj < |s|Bj+1Bj+2,

II、

Aj+1Aj+2− s t

Bj+1Bj= r −

s t

Bj+1Bj < 0

⇔ |t|Aj+1Aj+2< |s|Bj+1Bj,

s t

(15)

7 時, G0(10, 7) 如下圖所示.

7 時, G0(13, 7) 如下圖所示.

n 」或「st < 0, 且母圖 Q 為將母 圖 P 平移後旋轉 ±360(i ∓ 1)

n 」, 其中 θ + 180(n − 2)

n i 6= 0, 180. 當母圖 P 與 Q 的 對應邊長比值為

s t

, 則其子圖 Gi(s, t) 為拼貼圖形(含鑲嵌圖形).

E(j+1)(j+1+i)Ej(j+1+i) = |t|

s + tAj+1Aj, E(j+1)(j+1+i)E(j+1)(j+2+i) = |s|

s + tBj+1+iBj+2+i, 因此對於某一階而言, j ∈ {1, 2, . . . , n} 會有 n 條長度為

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1+iBj+2+i

s + t

(16)

II、 使−−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1+i)E(j+1)(j+i)、−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1+i)E(j+2)(j+1+i) 同向:

E(j+1)(j+1+i)E(j+1)(j+i) = |s|

s + tBj+1+iBj+i, E(j+1)(j+1+i)E(j+2)(j+1+i) = |t|

s + tAj+1Aj+2, 因此對於某一階而言, j ∈ {1, 2, . . . , n} 會有 n 條長度為

|t|Aj+1Aj− |s|Bj+1+iBj+i

s + t

t s

a, t s

b, t s

c, 當 i = 0 時:

I:

E22E12= |t|

s + tA2A1= |t|

s + ta, E22E23= |s|

s + tB2B3= |t|

s + tb, 因為 |t|

s + ta 6= |t|

s + tb, 所以不可能為鑲嵌圖形, 但為拼貼圖形, 如下圖所示.

(17)

II:

E22E21= |s|

s + tB2B1= |t|

s + ta, E22E32= |t|

s + tA2A3= |t|

s + tb, 因為 |t|

s + ta 6= |t|

s + tb, 所以不可能為鑲嵌圖形, 但為拼貼圖形, 如下圖所示.

I:

E23E13= |t|

s + tA2A1= |t|

s + ta, E23E24= |s|

s + tB3B4= |t|

s + tc, 因為 |t|

s + ta 6= |t|

s + tc, 所以不可能為鑲嵌圖形, 但為拼貼圖形, 如下圖所示.

II:

E23E22= |s|

s + tB3B2= |t|

s + tb, E23E33= |t|

s + tA2A3= |t|

s + tb, 因為 |t|

s + tb = |t|

s + tb, 所以為鑲嵌圖形, 如下圖所示.

(18)

I:

E24E14= |t|

s + tA2A1= |t|

s + ta, E24E25= |s|

s + tB4B5= |t|

s + ta, 因為 |t|

s + ta = |t|

s + ta, 所以為鑲嵌圖形, 如下圖所示.

II:

E24E23= |s|

s + tB4B3= |t|

s + tc, E24E34= |t|

s + tA2A3= |t|

s + tb, 因為 |t|

s + tc = |t|

s + tb, 所以不可能為鑲嵌圖形, 但為拼貼圖形, 如下圖所示.

(19)

2 時, 不可能為鑲嵌圖形, 但為拼貼圖形.



180 − 360(i + 1) n

◦

.

(共有兩種邊長的 1 階子圖)

(共有三種邊長的 2 階子圖)

s t

s t

,則其子圖 G0(s, t) 為拼貼圖形.

EjjE(j+1)j // AjAj+1, E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) // Aj+1Aj+2, 又 G0j(1, 1) 與 G0(j+1)(1, 1) 交於點 E(j+1)(j+1), 所以當

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1),−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)Ej(j+2) 同向時, G0j(1, 1) 與 G0(j+1)(1, 1) 為拼貼圖形.

(20)

E(j+1)(j+1)Ej(j+2)同向, 必須將其中一個母圖旋轉 ∠AjAj+1Aj+2. 但現在每個內角不全部相等, 因此不可能同時達到鑲嵌, 所以不會有鑲嵌子圖產生.

「θ = min {−θ1, −θ2, . . . , −θn} (而 θj 為 −−−−−→Aj+1Aj 與 −B−−−−−−→j+2Bj+3 的夾角)」或「θ = 180 (此時−−−−−→AjAj+1 與 −−−−−→Bj+1Bj 的夾角為定值 180)」. 當母圖 P 與 Q 的對應邊長比值為

s t , 則其子圖 Gi(s, t) 為拼貼圖形.

(21)

 n − 1 2

 .

n



」或「st < 0, 且母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉

±



180−180(n − 2) n



」. 當母圖 P 與 Q 的對應邊長比值為 s t

,則其子圖的聯集 Gn(s, t) ∪ Gn∓1(s, t) ∪ Gn∓2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn∓([n−12 −1])(s, t)

,則其子圖的聯集 Gn(s, t) ∪ Gn∓1(s, t) ∪ Gn∓2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn∓([n−12 −1])(s, t)

 圈)

I、 st > 0, 母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 − 180(n − 2) n

 : 若第一圈子圖中 G0j(s, t) 與 G0(j+1)(s, t) 的

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1),−−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) 同向

E(j+1)(j+1) E(j+2)(j+1) 與 −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1) 必同向, 所 以要使−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) Ej(j+1) 和 −−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)j 同向.

Gn(s, t) ∪ Gn+1(s, t) ∪ Gn+2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn+(y−1)(s, t) 為準鑲嵌圖形, 平行四邊形 EjjE(j+1)jE(j+1)(j+1)Ej(j+1),

E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1)E(j+2)(j+2)E(j+1)(j+2) 所形 成 的 「 空 缺 」 是 由 有 共 同 起 點 E(j+1)(j+1) 的兩向量 −−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)j, −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1) 所張出的平行四 邊形. 又因為

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1)= t s + t

−−−−−−−→

Aj+1Aj+2,

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)j= s s + t

−−−−−→

Bj+1Bj = s s + t

−−−−−−−−−−−−−→

B(j+2)−1B(j+1)−1,

−−−−−−−−−−−−−→

B(j+2)−1B(j+1)−1 與 t s + t

−−−−−−−−−→

A(j+1)A(j+2) 所形成之 部份子圖 G(n−1)(j+1)(s, t), 則新的空缺是由 G(n−1)j(s, t), G(n−1)(j+1)(s, t) 兩向量

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+1)j , −−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+2)(j+1) 所張出的平行四邊形. 以此類推的操作,

(22)

n , 且每增加一圈就會增加一個 360

n , 因此若 第 y + 1 圈不合, 則



(y + 1) ×360 n



≥ 180



y ×360 n



< 180,

2 ≥ y ≥ n − 2 2 = n

2 − 1. 所以 y = n − 1 2



, 即最多有 n − 1 2

 圈使子 圖的聯集

Gn(s, t) ∪ Gn+1(s, t) ∪ Gn+2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn+([n−12 −1])(s, t) 為準鑲嵌圖形.

II、 st < 0, 母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 −



180−180(n − 2) n

 :

E(j+1)(j+1) E(j+1)j,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+2)(j+1) 所張出的平行四邊形. 所以構成第二圈的向量夾角為 2 × 360

n , 且每增加一圈就會增加一個 360

n , 所以 y = n − 1 2



, 即最多有  n − 1 2

 圈使子圖的聯集

Gn(s, t) ∪ Gn+1(s, t) ∪ Gn+2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn+([n−12 −1])(s, t) 為準鑲嵌圖形.

III、 st > 0, 母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 180(n − 2)

n :

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1), −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) 的夾角 < 180, 則要畫出第二圈子圖與 第一圈子圖鑲嵌即要使旋轉後的第二圈某部分子圖邊長之兩向量與此兩向量同向, 因為是旋轉母圖 Q, 所以部分子圖邊長之兩向量中只會有一向量是可變動的, 又因 為−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) Ej(j+1) 與 −−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)Ej(j+1)必同向, 所以要使−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+1)j

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2)同向. 令第 y + 1 圈不合, 則此子圖的聯集 Gn(s, t) ∪ Gn−1(s, t) ∪ Gn−2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn−(y−1)(s, t)

E(j+2)(j+2)E(j+1)(j+2) 所形成的「空缺」是由有共同起點 E(j+1)(j+1) 的兩向量

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1),−−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2) 所張出的平行四邊形. 又因為

−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1)= t s + t

−−−−−→

Aj+1Aj,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2)= s s + t

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2= t s + t

−−−−−−−−−−−→

B(j)+1B(j+1)+1,

s + t

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2 與 t s + t

−−−−−→

Aj+1Aj 所形成之部份子圖 G(n+1)j(s, t), 則新的空缺是由 G(n+1)j(s, t), G(n+1)(j+1)(s, t) 兩向量−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) Ej(j+1) ,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+1)(j+2) 所張出的平行四邊形. 以此類推的操作, 直到第 y + 1 圈的相

(23)

n , 且每增加一圈就會增加一個 360

n , 因此若第 y + 1 圈不合, 則



(y + 1) ×360 n



≥ 180



y ×360 n



< 180,

2 ≥ y ≥ n − 2 2 = n

2 − 1. 所以 y = n − 1 2



, 即最多有 n − 1 2

 圈使子 圖的聯集

Gn(s, t) ∪ Gn−1(s, t) ∪ Gn−2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn−([n−12 −1])(s, t) 為準鑲嵌圖形.

IV、 st < 0, 母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 180−180(n − 2)

n :

E(j+1)(j+1) Ej(j+1) ,

−−−−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1) E(j+1)(j+2) 所張出的平行四邊形. 所以構成第二圈的向量夾角為 2 × 360

n , 且每增加一圈就會增加一個 360

n , 所以 y =  n − 1 2



, 即最多有 n − 1 2

 圈 使子圖的聯集

Gn(s, t) ∪ Gn−1(s, t) ∪ Gn−2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn−([n−12 −1])(s, t) 為準鑲嵌圖形.

n



= −140, 而 s : t = 1 : 1 時, 此時 G9(1, 1) ∪ G8(1, 1) ∪ G7(1, 1) ∪ G6(1, 1) 為鑲嵌圖形, 如下圖所示.(共 9 − 1

2



= 4 圈)

n



= −140時, G9(2, 3) ∪ G8(2, 3) ∪ G7(2, 3) ∪ G6(2, 3) 如下 圖所示. (共  9 − 1

2



= 4 圈)

(24)



180−180(n − 2) n



= −30 時, G0(−3, 11) ∪ G1(−3, 11) ∪ · · · ∪ G4(−3, 11) 如下圖所示. (共 12 − 1

2



= 5 圈)

n



= 150時, G0(√ 2,√

3) ∪ G1(√ 2,√

3) ∪ · · · ∪ G4(√ 2,√

3) 如下圖所示. (共  12 − 1

2



= 5 圈)

(25)



180−180(n − 2) n



= 180−900

7 時, G7(−3, 13)∪G6(−3, 13)∪G5(−3, 13) 如下圖所示. (共  7 − 1

2



= 3 圈)

,則其子圖的聯集

Gn(s, t) ∪ Gn∓1(s, t) ∪ Gn∓2(s, t) ∪ · · · ∪ Gn∓([n−12 −1])(s, t) 為鑲嵌圖形.

3), 且母圖 Q 為將母圖 P 平移後旋轉 − 180(n − 2) n



= −140 時, G9(2, 3) ∪ G8(2, 3) ∪ G7(2, 3) ∪ G6(2, 3) 如下圖所示. (共 9 − 1

2



= 4 圈)

n 」或「st < 0, 且母圖 Q 為將母 圖 P 平移後旋轉 θ = ±360(i ∓ 1)

n 」, 其中 θ + 180(n − 2)

n i 6= 0, 180, 則 Gi(s, t), Gi±1(s, t), Gi±2(s, t), . . . , Gi±([n−1

2 ]−1)(s, t) 依序互相鑲嵌, 其中 Gi(s, t) = Gl(s, t), i ≡ l (mod n). (共 n − 1

2

 圈)

(26)



180 − 360(1 − 1) 8

◦



180 −360(1 + 1) 8

◦

2



= 3 圈)

### 二 二 二、 、 、多 多 多母 母 母圖 圖 圖取 取 取分 分 分點 點 點所 所 所生 生 生成 成 成子 子 子圖 圖 圖軌 軌 軌跡 跡 跡之 之 之鑲 鑲 鑲嵌 嵌 嵌性 性 性質 質 質

· · · , AN1 , AN2, AN3, . . . , ANn, 且分別在 Ak1Ak2, Ak2Ak3, . . . , AknAk1上取動點 C12k , C23k , C34k , . . . , Cn1k , k = 1, 2, . . . , N . 給定實數 s1, s2, . . ., sN, 使得

s1+ s2+ · · · + sN = 1,

−−−→OMj= ΣNk=1sk

−−−−−−→

OCj(j+1)k , ∀j = 1, 2, . . . , n.

M

−−→OM =

N

X

k=1

sk

−−−−−−→

OCj(j+1)k for some Cj(j+1)k ∈ AkjAkj+1∀k )

, for all j = 1, 2, . . . , n. 且

G(s1, s2, s3, . . . , sN)

= G1(s1, s2, s3, . . . , sN) ∪ G2(s1, s2, s3, . . . , sN) ∪ · · · ∪ Gn(s1, s2, s3, . . . , sN).

(27)













1.N 為奇數: 因為相鄰母圖兩兩不可能全部同時 產生鑲嵌的子圖, 所以最多只能形成 準鑲嵌圖形.

2.N 為偶數: 因為相鄰母圖兩兩有可能全部同時 產生鑲嵌的子圖, 所以有可能形成 鑲嵌圖形.

N, · · · , 1

N) 為準鑲嵌圖形(因為中空了一個正 n 邊形).

3,1 3,1

3), 且其邊與圖形 P1, P2、P2, P3、 P3, P1 之某部分子圖的某個邊平行, 當圖形 P1, P2、P2, P3、P3, P1 的子 圖有一個為鑲嵌圖形時, 則 G(1

3,1 3,1

3) 為準鑲嵌圖形, 如下圖 2所示:

− 180(n − 2) n

◦

= − 180(3 − 2) 3

◦

= −60

(28)

−(180(n−2)n )

−−−−−−−−−→ P2 (180(n−2)n )

−−−−−−−−→ P3 (180(n−2)n )

−−−−−−−−−→ P4 +(180(n−2)n )

−−−−−−−−−→ P5 (180(n−2)n )

−−−−−−−−−→

P6

+(180(n−2)n )

−−−−−−−−−→ P7· · · 例如上面例子, 若

P1

−60

−−−→ P2, P2

−60

−−−→ P3, 則此時 P1 −120

−−−−→ P3, 所以 P1, P3 所生成之子圖重疊, 和條件矛盾. 因此, 若 N 為奇數, 則此規律必被破壞, 所以相鄰母圖兩兩不可能全部同時產生鑲嵌的子圖.

◦

=

−60 時, 則其子圖 G(1

N, · · · , 1

N) 為準鑲嵌圖形(因為中空了一個正 n 邊形).

3,1 3,1

3) 如下圖所示.

(29)

N, . . . , 1

N) 為鑲嵌圖形.

N, . . . , 1

N) 為鑲嵌圖形.

4,1 4,1

4,1

4) 如下圖所示.

### 三 三 三、 、 、兩 兩 兩母 母 母圖 圖 圖線 線 線性 性 性變 變 變換 換 換所 所 所生 生 生成 成 成子 子 子圖 圖 圖軌 軌 軌跡 跡 跡之 之 之鑲 鑲 鑲嵌 嵌 嵌性 性 性質 質 質

Gij(s, t) = (

M

−−→OM = t s + t

−−→OCj+ s s + t

−−→ODj for some Cj∈ AjAj+1, Dj∈ Bj+1Bj+1+i

)

Gij(s, t) =

 M

−−−→CjM = s s + t

−−−→CjDj for some Cj ∈ AjAj+1, Dj ∈ Bj+1Bj+1+i





, 以 Cj 為變換中心, 對 −−−→CjDj 作線性變換 T , 令所形成的部分子圖為

Gij(T ) =n M

∃Cj ∈ AjAj+1, Dj ∈ Bj+1Bj+1+i s.t. −−−→CjM =−−−→CjDjTto , 其中 Tt為 T 的轉置矩陣.

(30)

−−−−→

AkEkl=−−−→AkBlTt, ∀k, l ∈ {1, 2},

E11E21=−−−→

A1A2(I − T )t, −−−−→

E11E12=−−−→

B1B2Tt,

Tt=−−−→B1B2Tt,

−−−−→

E11E21 = −−−−→E11A1+−−−→A1A2+−−−−→A2E21=−−−−→E11A1+−−−→A1A2−−−−−→E21A2

= −−−→B1A1Tt+−−−→A1A2−−−−→B1A2Tt=−−−→B1A1−−−−→B1A2



Tt+−−−→A1A2

= −−−→

A2A1



Tt+−−−→

A1A2=−−−→

A1A2(I − T )t, 同理 −−−−→E12E22=−−−→A1A2(I − T )t, 故得證.

 s s + t 0

0 s

s + t

 時,

I − T =

 t s + t 0

0 t

s + t

, 此時引理 2 即為引理 1.

(31)

−−−−−−−−−−−−−→

Ej(j+i)E(j+1)(j+i)=−−−−−−→AjA(j+1)(I − T )t, −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1+i)Ej(j+1+i)=−−−−−−→BjB(j+1)Tt, 而其一內角 ∠Ej(j+i) 為 −−−−−−→AjA(j+1)(I − T )t 與 −−−−−−→BjB(j+1)Tt 的夾角, 另一內角 ∠Ej(j+1+i)

 時, G0(T ) 如下圖所示.

√5 − 1

2 0

0

√5 + 1 2

), 因為 A1A2, A2A3 中共有一點 A2; B1B2, B2B3 中共有一點 B2, 顯然兩相鄰部份子圖至少有一交點 E22, 所以至少共有 n 個 交點.

T =

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=1 2secφ

2

 cosφ

2 − sinφ 2 sinφ

2 cosφ 2

(32)

(其中 φ = ±180(n − 2)

n − θ )時, 則其子圖 G0(T ) 為鑲嵌圖形.

E22E12=−−−−→

E22E23, 即要使−−−→

A2A1(I − T )t=−−−→

B2B3Tt, 令 −−−→A2A1= (w, z)−−−→B2B3= (x, y), 則

1 − a −c

−b 1 − d

 w z



= (I − T )−−−→

A2A1t

= T−−−→

B2B3t

=a c b d

 x y



−−−→A2A1

=

−−−→B2B3

,所以 φ = −180(n − 2)

n −θ 滿足關係式cos φ − sin φ sin φ cos φ

 x y



=

w z

 , 故

1 − a −c

−b 1 − d

 w z



= 1 − a −c

−b 1 − d cos φ − sin φ sin φ cos φ

 x y



= a c b d

 x y



1 − a −c

−b 1 − d cos φ − sin φ sin φ cos φ



=a c b d



1 − a −c

−b 1 − d

 cos φ − sin φ sin φ cos φ



= cos φ − a cos φ − c sin φ − sin φ + a sin φ − cos φ

−b cos φ + sin φ − d sin φ b sin φ + cos φ − d cos φ



=a c b d

 , 所以

cos φ − a cos φ − c sin φ = a ⇒ a = cos φ − c sin φ 1 + cos φ ,

− sin φ + a sin φ − cos φ = c ⇒ c = sin φ(a − 1) 1 + cos φ ,

(1 + cos φ)a = cos φ −sin2φ(a − 1) 1 + cos φ

⇒ (1 + cos φ)2a = cos φ + cos2φ + sin2φ − a sin2φ

⇒ 2a + 2 cos φ = 1 + cos φ

⇒ a = 1 2, 代回求得 c = − sin φ

2(1 + cos φ), 且同理能求出 b = sin φ

2(1 + cos φ), d = 1 2,

(33)

T = a c b d



=

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=

 1

2 −1 2tanφ 1 2

2tanφ 2

1 2

= 1 2secφ

2

 cosφ

2 − sinφ 2 sinφ

2 cosφ 2

.

T =

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=1 2secφ

2

 cosφ

2 − sinφ 2 sinφ

2 cosφ 2

,

II、 因為要使 −−−−→E22E21 =−−−−→E22E32, 即要使−−−→A2A3(I − T )t=−−−→B2B1Tt, 令−−−→A2A3 = (w, z),

−−−→B2B1= (x, y), 則

1 − a −c

−b 1 − d

 w z



= (I − T )−−−→A2A3t= T−−−→B2B1t=a c b d

 x y

 ,

n − θ 滿足關係式

cos φ − sin φ sin φ cos φ

 x y



=w z

 , 故

1 − a −c

−b 1 − d

 w z



= 1 − a −c

−b 1 − d

 cos φ − sin φ sin φ cos φ

 x y



= a c b d

 x y

 ,

T = a c b d



=

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=

 1

2 −1 2tanφ 1 2

2tanφ 2

1 2

= 1 2secφ

2

 cosφ

2 − sinφ 2 sinφ

2 cosφ 2

.

(34)

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

 (其中 φ = −78) 如下圖所示.

T =

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=

 1 2 0 0 1 2

,

s t , 使 其子圖 G0(s, t) 仍為鑲嵌圖形.

n + 60. 當 T 為旋轉變換矩陣 cos 60 − sin 60 sin 60 cos 60





, 以下圖為例, 令−−−→A2A1= −→u , 則

−−−→E22Q = −→u Tt, −−−→QE12= −→u (−I)t, (

−−−→E21Q =

−−−→QE11

=

−−−→A1A2

) 且令 ϕ = |180− θ|, 因為 △E22QE12為等腰三角形, 所以

∠E22QE12= φ ⇔ ∠E12E22Q = 180− φ 2 ,

(35)

2 + ϕ. 若要鑲嵌, 則 ∠E12E11E21=180− φ

2 + ϕ 要為母圖之 一內角 360

n , 即 180− φ

2 + ϕ = 360

n , 且滿足

E11E21= E21E22= B1B2= A1A2= E11Q = QE12, 即 φ = 60,

I、 使−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)j與 −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+2)(j+1)相等, 即使 −−−−−→Bj+1BjTt與 −A−−−−−−→j+1Aj+2(I−

T )t重合, 故

−−−−−→

Bj+1BjTt=−−−−−−−→Aj+1Aj+2It+−−−−−−−→Aj+2Aj+1Tt. 又因為 T 是旋轉矩陣, 所以

−−−−−→

Bj+1BjTt =

−−−−−−−→

Aj+1Aj+2It =

−−−−−−−→

Aj+2Aj+1Tt

−−−−−→

Bj+1BjTt與 −−−−−−−→

Aj+1Aj+2It 的夾角為 0, 故要將母圖 Q 旋轉 − 360

n − 60



= −360 n + 60. II、 使−−−−−−−−−−−−−→

E(j+1)(j+1)Ej(j+1)與 −−−−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)(j+1)E(j+1)(j+2)相等, 即使 −−−−−−−→Bj+1Bj+2Tt與 −−−−−→Aj+1Aj(I−

T )t重合, 故

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2Tt=−−−−−→Aj+1AjIt+−−−−−→AjAj+1Tt. 又因為 T 是旋轉矩陣, 所以

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2Tt =

−−−−−→

Aj+1AjIt =

−−−−−→

AjAj+1Tt

−−−−−−−→

Bj+1Bj+2Tt與 −−−−−→Aj+1AjIt的夾角為 60, 故要將母圖 Q 旋轉 360

n + 60.

φ = 120⇒ 120= ±180(n − 2)

n − θ ⇒ θ = ∓360 n + 60,

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

 =

 1

2 − sin 60 sin 60 1

2

 = cos 60 − sin 60 sin 60 cos 60

 ,

(36)

sin 60 cos 60



sin 60 cos 60



I、 ∀ 旋轉角 θ, 當 T 或 I − T 為不可逆的線性變換矩陣時, 則其子圖 G0(T ) 不為鑲嵌 圖形. 所以 ∀ 旋轉角 θ,

(1) 當 T 為伸縮變換矩陣 h 0 0 1





(其中 h 6= 1, k 6= 1)時, 則其子圖 G0(T ) 不為鑲嵌圖形;

(2) 當 T 為推移變換矩陣 1 k 0 1





(其中 h 6= 0, k 6= 0)時, 則其子圖 G0(T ) 不為鑲嵌圖形;

(3) 當 T 為鏡射變換矩陣cos 2φ sin 2φ sin 2φ − cos 2φ



(37)

II、 ∀ 旋轉角 θ, 當 T 為伸縮變換矩陣h 0 0 k



(其中 h 6= k)時, 則其子圖 G0(T ) 不為鑲 嵌圖形.

I 的的的說說說明明明:

−−−−−−−→

EjjE(j+1)j=−−−−−−−−−−−−−−→

j(j + 1)E(j+1)(j+1) 或 −−−−−−−→EjjEj(j+1)=−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)jE(j+1)(j+1)

−−−−−−−→

EjjE(j+1)j=−−−−−−−−−−−−−→Ej(j+1)E(j+1)(j+1) 或 −−−−−−−→EjjEj(j+1)=−−−−−−−−−−−−−→E(j+1)jE(j+1)(j+1)

T =

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

=1 2secφ

2

 cosφ

2 − sinφ 2 sinφ

2 cosφ 2

2(1 + cos φ) 6= 0(φ 6= 180), 且

det(I − T ) = det

 1 2

sin φ 2(1 + cos φ)

− sin φ 2(1 + cos φ)

1 2

= det(T ),

cos 2φ sin 2φ sin 2φ − cos 2φ



=

 1

2 − sin φ 2(1 + cos φ) sin φ

2(1 + cos φ)

1 2

,

2 = − cos 2φ, 得到矛盾, 因此鏡射矩陣也不會產生此特定形式的鑲嵌圖形.

 如下圖所示.

(38)

 如下圖所示.

 如下圖所示.

sin 60 − cos 60



You are given the wavelength and total energy of a light pulse and asked to find the number of photons it

Then, we tested the influence of θ for the rate of convergence of Algorithm 4.1, by using this algorithm with α = 15 and four different θ to solve a test ex- ample generated as

volume suppressed mass: (TeV) 2 /M P ∼ 10 −4 eV → mm range can be experimentally tested for any number of extra dimensions - Light U(1) gauge bosons: no derivative couplings. =&gt;

We explicitly saw the dimensional reason for the occurrence of the magnetic catalysis on the basis of the scaling argument. However, the precise form of gap depends

Define instead the imaginary.. potential, magnetic field, lattice…) Dirac-BdG Hamiltonian:. with small, and matrix

incapable to extract any quantities from QCD, nor to tackle the most interesting physics, namely, the spontaneously chiral symmetry breaking and the color confinement.. 

• Formation of massive primordial stars as origin of objects in the early universe. • Supernova explosions might be visible to the most

From all the above, φ is zero only on the nonnegative sides of the a, b-axes. Hence, φ is an NCP function.. Graph of g functions given in Example 3.9.. Graphs of generated NCP