數學作為一種語言
Mathematics as a Language
單維彰‧2021年1月29日
數學是一種語言
shann.idv.tw/Teach/liberal/hansheng 九年一貫數學領域
課程綱要
教育部 97 年 5 月 23 日 臺國（二）字第 0970082874B號令
（100 學年開始實施）
林⻑壽、張海潮、李瑩英、翁秉仁、陳昭地 李錦鎣、柯華葳、張煌熙、陳招池、林淑君
(一)基本理念
數學之所以被納入國⺠教育的基礎課程，有三個重要的原因。
1. 數學是人類最重要的資產之一
（略）
2. 數學是一種語言
簡單的數學語⾔，融合在⼈類⽣活世界的諸多⾯向，宛如另⼀種⺟語。
精鍊的數學語句，則是⼈類理性對話最精確的語⾔。從科學的發展史 來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語⾔。
3. 數學是人類天賦本能的延伸
（略）
語言是學習的基礎
語⾔是所有表達、學習甚至思維的媒介。
正因為數學本⾝就是⼀種語⾔，所以和 自然語⾔ (例如中文和英文) ⼀樣， 是 學校課程的「主科」。數學是…
科學之⺟？
科學之僕？
科學的語⾔
語言都是抽象的
「愛」、「臭」、「椅子」
⼈們常說數學抽象，其實自然語⾔也都是 抽象的， 只是更普遍地訴諸於日常經驗，因習慣而沒有察覺。
譬如『椅子』這個名詞，是否具體地指稱 某⼀類的物體呢？大家都認識椅子 這些是椅子嗎？
那麼這些呢？ 這個是不是椅子？
教電腦辨識「椅子」
試想如何寫⼀份電腦軟體，使得它可以根 據⼀張數位照片判斷那是不是『座椅』？
就更能體會這個名詞的抽象性了。
⼈工智能軟體不採「定義描述」，而採「樣本學習」。
自然語言習得
三⼈成虎：從實例中習得。
有足夠的應用機會。語言都有任意性
是馬還是鹿？
1+1 為什麼等於 2？
這個問題之所以困擾著數學教師，是因為它本質上不是數學問題，
而是語⾔問題。
ㄦˋ two zwei duo
二 貳 Ⅱ數學命題 vs 科學命題
科學命題的對錯，由外部事物決定。
數學命題的對錯，由內部⼀致性決定。
如果有⼈決心要讓 1+1=10 成立，即使固定 了 1、0、+、以及 = 的意思，還是可以把數 字 10 的定義改成二進制，就能讓 1+1=10 在 數學上是對的。語言都訴諸直覺
語言無法自我定義
數學中有些名詞或關係，不能用更基本的 數學詞彙來定義或解釋，所以出現了少數的 未定義名詞、公設或設準，必須訴諸於社會 化過程中獲得的直覺。
集合論研究集合之間的關係，卻不能定義「集合」。
「意義」是什麼意義？
查閱『意義』的文字解釋，將會發現字典要不是刻意 遺漏這個詞，就是它的解釋將會繞⼀圈回到『意義』。
追究英文的 meaning 也會發現⼀樣的結果。
Pending a satisfactory explanation of the notion of meaning, linguists in the semantic field are in the situation of not knowing what they are talking about.
語言都來源不明
上帝創造自然數
自然數是語⾔的⼀部份，而語⾔的理解，幾乎是神秘地內建於我們的大腦。
⾯對無法考察其源也難以⼀⼀釐清的現象，中國文化歸因於「天」，
⻄⽅文化訴諸於「上帝」，
現代科學則說是「基因」 。
數學是人類天賦本能的延伸
每⼀位同學，都在大約三歲學會了唱數：從⼀數到⼗，然後百。
⼀切數學從此開始。
自然數沒有具體對象，只是音節。重要的不是「數是什麼」，
而是用它們來點數。
點數
「點數」：從自然數到物件的⼀對⼀且映成函數。
沿著自然數音節向前數──加，向後數──減。
自始以來，學習數學就是學習語⾔。
直到有⼀天，孩童被要求把這⼀切用符號 寫下來，然後迅速地發展符號，超出了 經驗範圍，才開始了所謂的「數學教育」。
語言都能編撰為辭典
數學家合編一本辭典
古今中外的數學工作者，以他們世代相傳對於證 明的標準和堅持，合⼒編撰⼀本辭典。在這本辭 典裡，他們定義自己的名詞動詞連接詞形容詞和 副詞，然後利用這些經過定義的詞彙，寫出⼀條
⼜⼀條絕對正確或者絕對錯誤或者絕對無法判定 正確或錯誤的敘述句。
數學定理 Theorem
數學的用法
使用者為其關心的對象找對對應的數學名 詞，查辭典找到關心的敘述句（命題）。數學上的結論並非真理，它最多只保證了在此語
⾔系統之內的正確性。還要再將語⾔對應回現實，
才能考核它的實際意義。
蘋果 當作
球
只要使用者認為她所⾯臨的對象可以被視為球，
則數學辭典裡所有關於球的句子都可以帶來推論 的威⼒。例如，⼀個球不可能在其周圍同時碰觸 超過12個同樣直徑的球。
數學「真實」的神秘性
數學辭典裡的大多數名詞，譬如點、直線、平⾯、
圓、球、機率、無理數，在物質世界裡根本沒有 對應的實例。
數學物件之間的結構全是語⾔系統之內的想像，
為何竟然能夠對應自然界的真實？
語言都須記憶
記憶是為了「流暢地思考」
必須具備基本的英文文法與幾千個字彙，才能 流暢地閱讀英文文本，獲得概念或樂趣。
必須具備基本的計算操作能⼒，才能流暢地 閱讀數學文本，獲得概念或樂趣。
熟能⽣巧：流暢有助於產⽣創新的想法或作法。
記憶就像金錢
記憶不是萬能 沒有記憶萬萬不能
字典學習法 vs
脈絡學習法
英語（第二語言）習得
從五年級起傾向於 字典學習法
年級越高越嚴重
數學的教材與教學
語言都會被操弄
但是報數字的人會
數字不會說謊 操弄數學的伎倆
引用數學定理時，忽略或隱瞞前提。需數學素養搭配常識與科學素養
引導讀者「影射」其結論。需數學素養搭配批判思考
數學沒有「標準答案」
數學發展定理，而定理非真理。
語⾔都有被「操弄」的空間，數學也是。只要給了足夠的條件，任何數學命題都可以 是正確的。（此為誇飾修辭。）
例⼀（康⽒家學）：將⼀張正⽅形⾊紙剪下⼀個⾓，
剩下幾個⾓？
一
刀
剪
數學「潛規則」的誤導
例題：1, 2, 6, 42, 1806, ???
很多⼈「秒殺」
只要根據前五項「看出」⼀條規則，所作的第六項都是「對」。
無聊的題目1, 2, 6, 42, 1806, ?
網路答案： 且 所以
另⼀個答案： nextprime( ) 其中 nextprime(n) = 比 n 大的最小質數 例如 nextprime(1)=2,
nextprime(10)=11, 所以 nextprime( )
1 ( 1)
n n n
a+ = ×a a +
1 1
a =
1
n n
a + = ×a
a
n 56 5 ( 1) 1806 1807 326,3442
a = ×a a + = × =
6 5
a = ×a
a
51806 1811 327,0666
= × =
其實有無窮多種答案
六點決定（唯⼀）五次多項式：
5 4
547 407
( ) 40 120 3 8
k k
f x = − x + − + x
3 2
3781 17 2020 15 3237 137
8 24k x 3 8 k x 10 60k x k
+ − + − + + − +
1 2 5
(1) 1, (2) 2, , (5) 1806
f = =a f =a = f =a =
6
(6) 1,0302
a = f = − k
數學「正確性」不假外求
只要給足了條件，任何數學命題 都可以是對的。
數學命題不根據自然或社會現象判定。
根據前提而獲得的內部⼀致結論，就是「正確」的。
數學抗拒語言的流變
自然語⾔會流變
乖
數學辭典維持了 2500 年的 相容性。
數學是「永續經營」企業
數學的創新都是「非破壞性的」，數學 以最高優先維持舊觀念的相容性。
並未違背數，而是擴充了數的觀念。
複數 相容於實數 ( 令 )。Backward Compatibility.
2 1
i =-
z a bi= + b =0
定理 vs 真理
定理（Theorem）恆久不變，但僅限於 約定的條件前提與定義、公設、公理。
真理（Truth）其實隨⼈的意識形態、經常也隨時代而變。
根據前提而獲得的內部⼀致結論，就是「正確」的。
理論、定理、真理
Theory, Theorem, Truth
理論 vs 定理
根據有限次數的觀察而獲得⼀般性的解釋或推論，
即為理論 (Theory)。
⾔談中會說「理論上」(theoretically)，暗示它可能 不靈。
定理以演繹式的「證明」，保證⼈造觀念與觀念之間 的關係。必有前提、所涉觀念皆須定義。
偶數的平⽅仍是偶數。
若 a, b, c 皆為整數且 a < b，則 a+c < b+c。
理論並非僅由歸納
理論也有心智創造的成分。
越不尋常的創造，形成越「偉大」的理論。
牛頓：⼒正比於速度的變化率
愛因斯坦：光速是絕對的，時間和距離反而是相對的
理論：定理＝客體：主體
理論和定理的差異，並不在於歸納與演繹的兩種思考
⽅式，而是在於客體與主體之分。
⼈作為客體：
自然科學（行星的軌跡、⼈的⽣老病死）
社會科學（時尚的流變、金融的漲跌）
⼈作為主體：
藝術 語⾔ 文學 宗教 哲學
可產生定理的文化領域
兩種可以產⽣定理的⼈類創造：
數學
電腦或計算機科學
有⼈揶揄「計算機科學」（computer science）
是矛盾修辭（oxymoron）。何「科學」之有？
程式出錯不會責怪硬體，而會責難其設計者。
由此可見電腦之內應有「定理」。
基於客體和主體的差異：
理論的驗證靠「證據」（evidence）
定理的成立靠「證明」（proof）
（證明是⼀種特殊的文體）
這是數學與科學的基本差異。
客體：主體＝證據：證明
理論「等著備推翻」。
定理（在前提條件下）是絕對正確的。
⾔談之中，有說「理論上」的必要，
卻沒有「定理上」(theoremically) 的說法；
只會說「根據定理」。
理論都是暫時的 定理 vs 真理
定理有前提、依定義，不可影射延伸。
即使「若 a, b, c 皆為整數且 a < b，則 a+c < b+c」
已成定理
不能推論當 a, b, c 為分數且 a < b 時，同樣 a+c < b+c
若認為上述命題成立，需另外證明
⾔談中的「真理」經常不問前提、不查定義。
再也沒有一種人類的發明 能像「真理」這樣 製造那麼多的仇恨 折磨那麼多的心靈 塗炭那麼多的生命
結語
很多人(誤)認為 數學是一種科學 有人說數學是哲學 有人說數學是藝術
數學可以類比於語言，
但數學又都不是。
65 語文
本國語文(國語文) 1-9 年級
語文 國文
本國語文(閩南/客 語/原住⺠)
英語(3-9 年級) 英文
數學 數學
自然與生活科技 (3-9 年級)
生活課程 (1-2 年級)
自然
基礎物理 基礎化學 基礎生物 基礎地球科學 生活
家政 生活科技 資訊科技概論 社會
(3-9 年級) 社會
歷史 地理 公⺠與社會 藝術與人文
(3-9 年級) 藝術
音樂 美術 藝術生活
健康與體育 健康與體育 健康與護理
體育 綜合活動
(包含童軍、輔導、家政、團體活動..等)
綜合活動 (依實際需要，安排各項綜合活動，如 專題演講、社團活動等)
