勾股定理證明-G174
【作輔助圖】
1. 以AB為邊，向外作一正方形ABDE。
2. 以AE為邊，向外作一三角形AEF全等於三角形ABC, 以DE為邊，向外作一三角形 EDG全等於三角形ABC。
（因為GED CAB, AEF ABC, 且CAB ABC 90 , 所以如圖所示，
G E F 三點共線）。
3. 延長BC交EG於H；作一線段DJ ，使DJ垂直BH，形成正方形ACHF與正方形 DJHG（於證明過程第 1 點及第 3 點說明）。
D
A B
C E
F
G H
I
J
【求證過程】
作圖過程將正方形ABDE切割成四個部分，利用這四個部分與其他圖形的全等及共 用關係，可得到正方形ABDE與另外兩個正方形的面積關係，即得勾股定理關係式。
1. 由前述作圖過程說明四邊形ACHF為正方形：
因為AEF ABC, 所以AFE ACB 90 , 同樣原因也可得EAF CAB, 所以 90
CAF CAE EAF CAE CAB
, 因為CAF 90 , 所以推得四邊形 ACHF為矩形，因為四邊形ACHF為矩形且AFAC，所以
四邊形ACHF為正方形。
2. 證明三角形BDJ全等於三角形ABC：
因為DBJ CBA 90 CAB CBA, 所以DBJ BAC, 因為BD AB, BJD=
ACB及前述DBJ BAC所以可得
BDJ ABC
, 進一步得DJ BC.
3. 說明四邊形DJHG為正方形：
因為HGEG EH ACEH FHEFFEBC, 得HGBC，所以由第 2 點結論 可推得HGDJ；因為GHJ 90 , DJH 90 及前述HGDJ 所以DJHG為一平行 四邊形，且因為DGBCHG，所以可推得
四邊形DJHG為正方形。
4. 將正方形ABDE透過圖形之間的全等關係重新拼湊：
由圖形及前述第 1 到 3 點可得
( )
( ) ( )
,
ABDE ACIE ABC BDJ DIJ ACIE EDG AEF DIJ
ACIE EIH DIHG AEF DIJ A
ABDE ABDE
ABDE CIE AB
EIH AEF DIHG DIJ ACHF DJHG
DE
即
. ABDE DJHG ACHF 5. 整理第 4 點的結果，找出直角三角形ABC三邊長關係：
因為正方形ABDE邊長為AB, 正方形DJHG邊長為BC, 正方形ACHF邊長為AC,所 以由第 4 點結論可得
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2 2
c a b .
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍：
Jury. Wipper(1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen
biogr. Mittheilgn uber Pythagoras(p. 22). Leipz.: Friese.
J. Versluys(1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras
(Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem)(p.29). Amsterdam: A. Versluys.
2. 心得：此證明運用圖形的全等，將分割部分用拼圖方式做簡單的移動，即可得到畢 氏定理關係式，作圖類似 G165，差異在於作圖後的分割部分排列；此證明
也可與 G180 作比較，兩者圖形差異僅一條平行線，但證明手法完全不同。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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