中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：連續參考值產生器之線性度分析

Linearity Analysis for Successive Reference Generators

系 所 別：電機工程學系 碩士班 學號姓名：M09101042 黃泓文 指導教授：陳 竹 一 博士 謝 焸 家 博士

中華民國 九十四 年 七 月

I

摘要

此篇論文提出一個電阻串聯排法效能分析法預估最佳排法效 能。在電阻間加入空間相關性模擬不同排法架構的變動，Tango 行軍 式排法(Tango_RM)是最接近預估最佳排法效能。排法效能分析法以 數學運算快速分析排法效能並且在不同製程變動下預估最佳排法效 能。在結合Monte Carlo 分析法的精確數據運算，提昇電阻串聯排法 的研究效率。

II

Abstract

This thesis proposes an analyzing method of Resistor-String permutation effect to predict the best permutation effect. The spatial correlations are considered between resistors to simulate the variation of different permutation structure. The permutation performance of Tango Route March (Tango_RM) can get the most approach effect of best prediction permutation. The method of permutation effect analysis takes the mathematic relation to analyze the permutation effect and predicts the best effect under different process variation. It promote the effectiveness in studying permutation of resistor-string after combining with the preciseness calculation of Monte Carlo analysis.

III

誌謝

本篇論文能順利完成，要感謝指導老師 陳竹一教授這些年來的 照顧，不管是課業上給予的磨鍊挑戰、研究過程中耐心的引領指導與 生涯規畫上的啟發，都讓學生如沐春風、受益良多。

特別感謝賴昱帆學長，讓剛進研究所的我給予詳盡指導，讓我對 往後相關研究課題更得心應手。在實驗室內一同打拼的易書、凱鈞、

智勝、城郁、雅鈴、志和、瑋璿、嘉文與建勳，相互的鼓勵與支持幫 助我度過難關，謝謝你們。也要感謝煌益、久雄、雅雯、鶴齡、國樟

、盈福與華翔等學弟學妹一起討論研究議題，總是會激盪出新的方向 或觀點，突破彼此研究上的難關。

最後感謝給我最大支持的父母親、大姐與二姊，研究期間並非事 事順遂，但家人的關懷與祝福讓我能保持信心，一步步完成各項研究 課題，終能順利完成論文。在此我獻上最深的謝意，謝謝你們的關心 與愛護。

IV

目錄

摘要... I Abstract ...II 誌謝...III 目錄... IV 圖目錄... VII

第一章 簡介...1

第二章 統計分析運用...3

2.1 統計量相關名詞定義...3

2.1.1 平均值（Mean）：...3

2.1.2 變異數（Variance）：...3

2.1.3 標準差（Standard Deviation）：...3

2.1.4 共變異數（Co-variance）： ...4

2.1.5 相關係數（Correlation Coefficient）：...4

2.1.6 變-共變異數矩陣（Variance-Covariance Matrix）：....5

2.2 常態分佈 (Normal Distribution)...5

2.2.1 常態隨機變數機率密度函數...5

2.2.2 常態機率密度曲線...6

2.3 蒙地卡羅分析 (Monte Carlo Analysis) ...7

2.4 電阻匹配特性分析...8

V

2.4.1 影響匹配(Match)的因素...8

2.4.2 匹配(Match)的式子 ...8

第三章 連續參數產生器測試規格分析...10

3.1 架構...10

3.2 各單位定義...10

3.2.1 Full Scale Range (FSR)...10

3.2.2 Least Significant Bit Size (LSB)...10

3.2.3 微分非線性誤差(Differential Nonlinearity Error)...10

3.2.4 積分非線性誤差(Integral Nonlinearity Error)...11

3.3 電路分析模擬方法...11

3.3.1 電路架構...11

3.3.2 模擬方式...12

第四章 排法效應...14

4.1 效應分析模型...14

4.2 排法效應分析因素...15

4.2.1 電阻群變動...15

4.2.2 電阻群之間相關性...16

4.2.3 電阻群匹配平均化...17

第五章 電路模擬與線性度分析...18

5.1 電阻佈局排列分類...18

VI

5.1.1 一維電阻排列方式與TANGO排法 ...18

5.1.2 一維排法線性度分析...20

5.1.3 二維電阻排列方式...25

5.1.4 二維排法線性度分析...29

5.2 一維與二維最佳排法...33

第六章 排法效能分析法...34

6.1 數學預估模型...34

6.2 低變動分析法Low Variation Analysis (LVA) ...34

6.3 預估排法與排法效能結果...35

6.4 一維與二維預估排法...37

第七章 結論...38

參考文獻...39

圖目錄

圖2-1 常態機率密度線………..……...…6

圖2-2 μ =1000Ω ，σ=100Ω的常態分佈圖………..…..7

圖2-3 相關係數 ρ 與不匹配(Match)之關係……….…..9

圖3-1 連續參考值 ...………...…………...…....…...11

圖3-2 一維排法架構...12

圖3-3 二維排法架構...12

圖3-4 一維排法相關性矩陣...12

圖3-5 二維排法相關性矩陣...12

圖4-1 排法隨相關性的 INL 誤差變化………...14

圖4-2 排法效應分析模型...14

圖4-3 排法與變動...15

圖4-4 電組群之間相關性...16

圖4-5 各分壓點 INL 變動...16

圖5-1 Tango 排法...19

圖5-2 一維排法的 INL 誤差(四位元) ...20

圖5-3 一維排法的各分壓點電壓變動(ρ=0.99) ...20

圖5-4 一維排法的各分壓點 INL 變動(ρ=0.99) ...21

圖5-5 一維排法的電壓變動平均值與標準差(ρ=0.99) ...22

VII

VIII

圖5-6 一維排法的電阻群相關性(ρ=0.99) ...22

圖5-7 一維排法的 INL 誤差(八位元)...23

圖5-8 一維排法的各分壓點 INL 變動(八位元)...24

圖5-9 一維排法的電阻群相關性(八位元)...24

圖5-10 RCE@SYM排法...26

圖5-11 RCE@HSYM 排法...26

圖5-12 RCE@SAG 排法...26

圖5-13 RCE@Tango 排法...27

圖5-14 Q²RW排法...27

圖5-15 A4b,transform排法...28

圖5-16 蛇形與螺旋排法...28

圖5-17 各排法 INL 誤差(八位元)...29

圖5-18 各排法電壓變動(八位元)...30

圖5-19 A4b、Q2RW、Tango_RM@Snake 與 Tango@Spiral 電壓變動...30

圖5-20 A4b、Q2RW、Tango_RM@Snake、@Spiral 電阻群相關性...31

圖5-21 二維最佳兩排法 Q2RW 與 Tango_RM@Spiral...31

圖 5-22 二維最佳兩排法的電壓變動Q2RW 與 Tango_RM@Spiral...32

圖6-1 一維架構 Tango_RM 與預估排法 INL 比較(八位元) ...35

圖6-2 一維架構 Tango_RM 與預估排法的電壓變動(八位元) ...35

IX

圖6-3 二維架構三種最佳排法 INL 誤差比較(八位元) ...36

圖6-4 二維架構三種最佳排法的電壓變動(八位元) ...36

圖6-5 一維架構預估最佳排法(由左至右，由上至下) ...37

圖6-6 二維架構預估最佳排法...37

1

第一章 簡介

隨著製程技術不斷提昇，愈做愈小的尺寸使得元件彼此之間的距 離都愈來愈靠近，相對元件彼此之間的變異也愈增大。在相鄰之兩元 件隨著彼此距離變小，使其相關性增加，如何利用元件彼此之間的相 關性強化匹配特性，將電路提昇到更好的性能，是越趨重要的問題。

半導體製程變動使電阻串的排列順序決定電阻串聯式連續參考 值產生器的線性度表現，針對不同製程變動特性尋找最佳排法效能是 曠日費時，經過數年數位學長的努力下得到Tango 行軍式排法，此 排法的匹配特性有效壓制線性度誤差，但對排法產生的效應、壓制線 性度誤差的成因、直接線索不多，因此本論文試圖以排法影響變動與 匹配的觀點來尋找排法良劣的成因、最佳排法效能與重新檢視 Tango 行軍式排法表現。

在電阻彼此之間加入相關性偏移來模擬半導體製程變動，分別以 一維與二維不同架構模擬。過去分析時常利用 Monte Carlo 分析法要 求模擬數據精確，但高位元分析卻相當費時並且佔用計算機大量記憶 空間，衍生出限制最高可分析位元的問題。在高位元多種排法分析、

比較的需求下Monte Carlo 分析法便顯得效率不彰。因應高效率的多 種排法效能分析、比較需求與對應不同製程變動、元件之間數值各異 的條件下尋求最佳排法與最佳排法效能，勢必需要新的分析法解決這

2

些棘手問題。

故本論文提出排法效能分析法期望僅利用元件之間的空間相關 性即決定排法效能的原則，配合所提出數項影響排法效能的觀點，縮 短排法分析、比較時程，預估出最佳排法及最佳排法效能，最後要以 此結果驗證在一維與二維不同架構的變動下，Tango 行軍式排法改善 非線性累積誤差是最接近最佳排列。

電阻串聯排列的不同使各分壓點產生不同電壓變動，以分壓點兩 側電阻群的匹配程度與整體電阻群匹配對應製程變動來觀察排法抑 制變動的能力。提出Low Variation Analysis (LVA)來預估最佳排法效 能。Tango 行軍式排法的匹配關係則利用適當的調整排法來適應不同 變動架構，維持抑制變動的特性，達到有效減少線性度誤差的目的。

電阻串聯排法效能分析法直接以數學運算加速排法效能的分 析、搜尋及比較，配合Monte Carlo 精確數據模擬驗證，提昇電阻串 聯排法的研究效率。在分析與比較排法效能上，Monte Carlo 需花費 兩小時但效能分析法僅需半小時就可完成八位元、二十六種排法及三 種不同調整排法的分析結果。在預估排法效能上，效能分析法在一時 產生兩組八位元的預估最佳排法。

第二章 統計分析運用

2.1 統計量相關名詞定義

本論文主要是利用統計方法，對各種規格變量模擬分析。所以需 要首先對統計量相關名詞定義：

2.1.1

平均值（Mean）：

一群資料的算數平均數（Arithmetic Mean）,就是將 X1‥Xn 等 n 資料求其算數平均。 以 μ 表示 ：

(式 2-1)

3

2.1.2

變異數（Variance）：

是用來測度資料本身分散情況的統計測定數，以 Var（X）或σ2 表示，其定義為：

(式 2-2)

2.1.3

標準差（Standard Deviation）：

變異數的單位與原資料的每個個體單位不同，如此對於處理資料 容易造成混淆，因此定義另一統計測定數來測度資料的分散度，稱為 標準差，以σ_x表示，定義如下：

（式 2-3）

n i=1 i

= n 1 Σ X μ

( )

2

σ

x ⁿ _i

μ

²

i=1

= 1 Σ X - n -1

2

x x

σ = σ

2.1.4

共變異數（Co-variance）：

共變異數就是用來測定兩個隨機變數共同變動之方向的一個統 計測定數，以cov ( x, y )或是σxy表示，定義為：

(式 2-4)

( ) ( ) ( )

,

1

n

i x i y

i xy

x y

C ov x y

μ n

μ

σ

⁼

− −

= = ∑

2.1.5

相關係數（Correlation Coefficient）：

若x、y 為兩個隨機變數，我們可以用共變異數來測定 x 與 y 同 時變化的相對應關係（相同或相反），然而如我們想進一步知道x、y 兩變數共同變化的密切程度有多高，就必須以兩變數的相關係數測 量。兩變數的相關係數定義如下：

(式 2-5) y

x

σ

xy

xy

σ σ

ρ ⁼

⋅

其中ρxy 為兩變數的相關係數，σxy 為兩變數的共變異數，σx、σ y 分別為兩變數的標準差。相關係數的值在 1 和-1 之間，當值愈接近 1 時，表示兩變數愈正相關，當值愈接近-1 時，表示兩變數愈負相關，

當值等於0 時，表示兩變數不相關。若用向量來表示的話，共變異數 就是兩個向量的內積，而相關係數是指兩個向量a 與 b 所形成θ角的 cosθ值。

4

5

n n

n n n

Var x Cov x x Cov x x Cov x x Var x Cov x x

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

"

# % #

2.1.6

變-共變異數矩陣（Variance-Covariance Matrix）：

(式 2-6)

⎢ Cov x x ( , ) Cov x x ( , ) Var x ( ) ⎥

"

變異數共變異數矩陣是將各變數的本身變動與對應其他變數的 相對變動關係集合用矩陣描述整體變數的變動關係。此矩陣可作為變 數統計運算，直接觀察整體變動關係。

1 1 2 1

2 1 2 2

2 2

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , )

2.2 常態分佈 (Normal Distribution)

常態分佈是連續隨機分配中最重要的分配，在統計上佔有重要的 地位。依據中央極限定理，很多樣本統計量(像樣本和、樣本平均數) 的分佈，在樣本數夠大的情況下都趨近於常態分佈，且很多的分配(如 二項分配)，均以常態分佈為其漸近分佈。故本論文以常態分佈來描 述變數變動狀態。

2.2.1

常態隨機變數機率密度函數

一個連續隨機變數X，若其平均數為μx，變異數為σx^２，且其機 率密度函數:

(式 2-7)

0 -

, X

-

2 e

1

2 ⁾

=

^{− σ}

) x ( f

X X

u (x 1

x

2 x

x

>

σ

∞

≤ μ

≤

∞

∞

≤

≤

∞

π σ

−

且

而

6

x x

2.2.2

常態機率密度曲線

是一以μx 為中心，向左右對稱延伸的鐘形曲線，如圖2-1 所示，

其曲線在平均數μ 為最高點，在距離μ 左右各 1σ處各有一個轉折點 (Inflection-point)。

圖2-1 常態機率密度曲線

在標準常態分佈中，各標準差區間所佔有的百分率為：

在 之間 → 68.26%

在 之間 → 95.44%

在 之間 → 99.73%

一般將其表示為：

X

X ±σ

μ

X X±2σ μ

X X±3σ μ

( , 2) N μ σ

2.3 蒙地卡羅分析 (Monte Carlo Analysis)

蒙地卡羅分析(Monte Carlo Analysis)使用亂數產生器(Random Number Generator)來模擬大量的測試條件，常用於多變量分析。蒙地 卡羅分析使用的亂數分佈一般分為兩種形式：分別為常態分佈

(Normal Distribution)與均勻分佈(Uniform Distribution)，本論文中所採 用的常態分佈為N(μ, )分佈，其中μ為平均值，σ 為標準差。亂數 產生器所產生的亂數必須將這些亂數對應到元件參數。如圖 2-2 所示 是常態分佈亂數產生器產生一萬筆亂數所統計出的結果，我們將亂數 的期望值對應到元件的理想值，將亂數的正負三倍標準差對應到元件 的容忍度(Tolerance)。如電阻 X 理想值為 1kΩ，而容忍度(Tolerance) 為正負30%也就是正負 300Ω。電阻 X 理想值為亂數的平均值 (Mean)，正負 300Ω為亂數的正負三倍標準差。

σ2

圖2-2 μ =1000Ω ，σ =100Ω的常態分佈圖

7

2.4 電阻匹配特性分析

在類比電路中，電路要有較高的準確度及性能通常依賴元件的匹 配是否良好，所以利用佈局的技巧，以提高電路的性能。

2.4.1

影響匹配(Match)的因素

隨機的匹配(Match)因素可能是由於元件尺寸上微小的變動及其 它元件參數影響元件的值，這些變動可藉由選擇適當元件值及合適的 尺寸來降低。系統的匹配(Match)多寡可能是由於製程偏移、連接點 阻值、氧化物摻雜厚度、不均勻的電流、擴散的互相影響、物理壓力、

溫度斜率及一些其它的原因。

2.4.2

匹配(Match)的式子

元件的匹配(Match)如式子(2-7)所示:

¹

2

Matching_Factor =1- x -1

x

(式 2-7) x1、x2代表兩個元件的實際值。在式子(2-7) 中只是一個各別的值，而 實際上做分析時必須量測較多的元件值，並將這些值做統計分析，求 出匹配(Match)之值，採用相關性去分析元件之匹配度，如圖 2-3 所 示。

8

圖2-3 相關係數 ρ 與不匹配(Match)之關係

橫軸為相關係數ρ，ρ=0，ρ=0.1，ρ=0.2‧‧‧ρ=0.9，ρ=0.99，相關係 數ρ 值越大也就是縱軸為匹配(Match)之值，不同曲線顏色代表元件 不同的容忍度(Tolerance)。由圖中觀察得知隨著相關係數 ρ 值增加，

匹配(Match)效應會上升，也就是元件會趨近匹配。且元件的容忍度 越小時，匹配(Match)效應也會降低。但是當製程技術越來越進步時，

IC 的尺寸會越做越小，而元件之間相關性會變大，因此使得元件間 匹配度變高。如何在元件彼此之間匹配性變高的情況下，使電路有較 高的準確度及性能，是值得研究的課題。

9

第三章 連續參數產生器測試規格分析

3.1 架構

本論文採用電阻串聯的連續參考值產生器(Successive Reference Generation)的電路架構。由理想轉換曲線與實際轉換曲線來探討連續 參考值產生器之線性度誤差分析，分別是微分非線性誤差(Differential Nonlinearity Error)及積分非線性誤差(Integral Nonlinearity Error)。

3.2 各單位定義

3.2.1

Full Scale Range (FSR)

FSR 為連續參數產生器之輸入電壓的最大振幅，如果其範圍沒有 跨越零點稱為單極(Unipolar)，反之稱為雙極(Bipolar)。

FSR=

V

_RT−

V

_RB (式 3-1)

VRT: 高位參考電壓，V_RB: 低位參考電壓

3.2.2

Least Significant Bit Size (LSB)

LSB 為輸入碼轉換輸出值最小單位量。

LSB = FSB 2

_n n : 位元數 (式 3-2)

3.2.3

微分非線性誤差(Differential Nonlinearity Error)

微分非線性誤差(DNL)是指某一數位碼寬度 (Code Width)的誤 差，可視為小訊號時的誤差。理想的數位碼寬是一個LSB，因此微分 非線性誤差(DNL)就等於實際碼寬度減去理想碼寬一個 LSB。

10

DNL(i) = ΔV(i)-1, i = 1...(2 -1)n

1LSB (式 3-3)

3.2.4

積分非線性誤差(Integral Nonlinearity Error)

積分非線性誤差(INL)是指每一個轉換點之實際值與理想值間的 差值。 INL 的誤差來自於 DNL 累積的結果，因此另一種簡單的算法，

是把在此轉換點之前的所有DNL 相加結果，即是 INL。如式 3-4

i=2 -1 ∑ N

INL(i) = DNL(i)

i=0

(式 3-4) 當DNL 小於 0.5LSB，則此連續參數產生器符合單調(Monotonic)的特 性；若小於1LSB，則保證不會發生缺碼(Missing Code)。一個好的連 續參數產生器它的誤差(INL)不會累積。

3.3 電路分析模擬方法

電路分析模擬方法是採用電阻串電路架構並加入相關性偏差來 做蒙地卡羅分析，對不同的排列方法以精確數據進行模擬，得到連續 參數產生器的線性誤差與其他相關數據，作為判斷排法良劣的依據。

3.3.1

電路架構

電阻串電路架構是由測試位元大 小決定電阻數量，如圖 3-1 所示。此電 路產生連續性的參考值可為電壓值、

DNL 與 INL 誤差，這些數據會顯示出

R e fe re n c e V o lta g e

R R R R

V V V

11

排法改善線性度誤差的效果。

圖 3-1 連續參考值產生器

3.3.2

模擬方式

整體元件之間的變動關係以相關性矩陣形式加入隨機亂數產生 器而產生符合整體變動關係的亂數。相關性矩陣用來模擬製程變動。

元件之間的相關性依據彼此之間的距離，如圖 3-2，圖 3-3 所示。

圖 3-2 一維排法架構 圖 3-3 二維排法架構 在不考慮電阻長度影響元件之間相關性的關係，分別提出一維與 二維兩種不同的排法架構，模擬兩種不同變動關係。如圖 3-4、3-5。

12

13

圖3-4 一維排法相關性矩陣 圖 3-5 二維排法相關性矩陣

相關係數為 ρ=k^d (k為單位相關性係數，k=0~0.9、0.93、0.96 與 0.99。d為兩電阻之距離)。取得電阻整體的相關係數矩陣後，接著必 須設定電阻之理想值與容忍度(Tolerance)作為變動範圍。電阻的理想 值為1KΩ，電阻的容忍度(Tolerance)為正負 20%。隨機亂數產生器依 照設定值、相關性矩陣，分析的取樣數量後產生電阻參數之亂數，最 後蒙地卡羅分析 (Monte Carlo Analysis)模擬，取得 95%分位數的DNL 與INL作為排法在該設定條件與單位相關係數下最壞的表現(Worst Case)。由過去經驗得知，電阻串順序排法的佈局方式，DNL會隨著 位元數的增加，趨近於定值，不會造成電路設計上的瓶頸。但INL的 值卻會隨著位元數的增加而增大，因此INL會是在設計連續參數產生 器時的挑戰。

第四章 排法效應

不論是一維或是二維排法架構所模擬的製程變動，真正影響電阻 匹配程度、電壓變動、INL 變動、線性度誤差與排法效能的表現，都 起因排列方式的不同。如圖 4-1 所示，好的排法隨著相關性提昇則線 性度誤差下降，如實線表示。壞的排法隨著相關性提昇則線性度誤差 上昇，如虛線表示。故不同排法對電阻串之間的匹配多寡、電壓變動 情況與整體抑制變動的一致性等因素如何影響線性度誤差的現象，稱 為排法效應。在本論文提出三個影響排法效應的因素。

0

圖4-1 排法隨相關性的 INL 誤差變化

4.1 效應分析模型

為了分析電壓變動能更簡單化，在觀察每個 位置的分壓點時就該分壓點將整個電阻串分開 成兩串電阻，都稱為電組群。如圖4-2 所示。

R eference V oltage

Y

X V

14

圖 4-2 排法效應分析模型

4.2 排法效應分析因素 4.2.1

電阻群變動

從圖4-2 中得知電壓 V 只會受到 X 與 X+Y 的影響，在 X 與 Y 為定值狀態，V 也為定值。當製程變動導致 X 與 Y 不再固定，相對 X+Y 也會隨之而變，此時電壓 V 就會在變動的 X 與 X+Y 的雙重影 響下也產生複雜變動關係。對電壓V 的變動來說，X 電組群變動有

絕對的影響，而X 電阻群變動也因所組成的電阻與電阻之間的相關

性隨排法的不同有著關鍵性的影響。

Var(α + β) = Var(α) + Var(β) + 2 Cov(α,β) ×

(式 4-1) 先前提過電阻的變動皆以常態分佈描述。兩電阻之間變動具有相 關性的情況下，變動的因素除了本身變異數以外，還必須考量電阻兩 兩之間的共變異數。各元件的變異數在本論文模擬的條件中是不變 的，影響變動的關鍵就在電阻之間共變異數。如圖4-3 所示。

Var(3 1) Var(3) Var(1) 2 Var(3 2) Var(3) Var(2) 2 Var(3 4

Cov(3,1) Cov(3,2) Cov

) Var( 3) Var(4) 2 (3,4)

+ = + + ×

+ = + + ×

+ = + + ×

圖4-3 排法與變動

由此可知要有較小的電壓V 變動，電阻群勢必也要較小變動，

15

在排法順序的選擇上就必須找彼此距離較遠的電阻3 與電阻 1

4.2.2

電阻群之間相關性

由分壓點分開兩邊電阻群相互之間的相關性，表示兩邊變動的關 連程度，越高的相關性標示分壓點處在較匹配的電阻群之間，匹配的 電阻群會抑制分壓點的電壓變動，甚至是 INL 變動。如圖 4-4,5 所示。

圖4-4 電組群之間相關性

16

17

圖 4-5 各分壓點 INL 變動

換個角度來說，相關性由兩電組群的共變異數除以兩電組群各自標準 差的乘積，較高的共變異數與各自較小的標準差皆可造成電組群之間 較高的相關性，高共變異數表示變動一致性以及較小標準差如同先前 所提較小電組群變動會降低電壓變動，這兩項因素結合起來就會突顯 相關性的高低。故此相關性觀察排法的匹配程度是排法效應中最關鍵 的一個因素。圖4-5 兩個排法的 INL 誤差為 0.394 與 0.642。

4.2.3

電阻群匹配平均化

電阻群之間的相關性影響電壓變動，整體匹配的考量決定排法效 能。較高的INL 誤差容易出現於低相關性的電阻群之間，使該位置 與鄰近位置的電壓連帶產生較大變動。為了避免產生較高INL 誤差，

就必須確保整個電阻串的分壓都是低電壓變動，而此低電壓變動並非 為最低電壓變動，而是要使平均化整體匹配狀況，使得整體電壓變動 的平均值越小越好，也就是壓制整體電壓變動。隨著位元數的增加，

判斷出該架構最適當的低電壓變動與排法相當不易，故這個排法效應 因素運用於觀察排法良劣為主。

綜合以上三個重要的排法效應因素，運用這些原則推演出預估最佳排 法以及最佳排法效應表現的分析法：排法效應分析法。

18

第五章 電路模擬與線性度分析

由本論文第三章所提出電路模擬架構、變動條件作為線性度分析 的基本設定，分析不同電阻佈局排列的方式，觀察改善電路的線性度 誤差的表現。

5.1 電阻佈局排列分類

1. 一維電阻排列方式與 TANGO 排法 2. 一維排法線性度分析

3. 二維電阻排列方式與 TANGO 行軍式排法 4. 二維排法線性度分析

5.1.1

一維電阻排列方式與 TANGO 排法 1.對稱性(SYM)排法(Symmetrical Sequence)：

15 13 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 14 16

2.階層式(HSYM)排法(Hierarchical Symmetrical Sequence)：

14 10 6 2 1 5 9 13 15 11 7 3 4 8 12 16 3.SAG順序排法(Sort and Group Sequence)：

2 6 10 14 4 8 12 16 13 9 5 1 15 11 7 3 4.擬似隨機(RAN)排法(Pseudo-Random Sequence):

16 1 2 15 7 6 4 11 10 12 13 9 14 3 5 8 5.順序(SEQ)排法(Sequential Sequence):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

6.Tango順序排法(T^Tango Sequence)：

11 3 15 7 9 1 13 5 12 4 16 8 10 2 14 6

Tango 順序排法是一個有規則的排法，首先以電阻 R1 R2 順序為 基礎，而2 Bit R-String 轉換器的電阻有四個，以 R1 R2 為基礎，分 別向左加二，即得到順序為 R3 R1 R4 R2 的排法。3 Bit R-String 轉換 器電阻的排法，是以2 Bit R-String 轉換器之電阻排列方式 R3 R1 R4 R2 為基礎，分別向右加四，便得到順序為 R3 R7 R1 R5 R4 R8 R2 R6 的排法。4 Bit R-String 轉換器之電阻的排法，是以 3 Bit R-String 轉 換器之電阻排列方式R3 R7 R1 R5 R4 R8 R2 R6 為基礎，分別向左加 八，以得到順序為R11 R3 R15 R7 R9 R1 R13 R5 R12 R4 R16 R8 R10 R2 R14 R62 的排法。以此種有規則性的推導方式，可以求得更多位 元數之電阻排列。如圖5-1 所示。

圖5-1 Tango 排法

19

5.1.2

一維排法線性度分析

由圖5-2 中說明單位元件相關性與 INL 誤差的關係，了解各排法 抑制INL 誤差的表現。

圖 5-2 一維排法的 INL 誤差(四位元)

SEQ 排法表現為一維排法的對照組參考，Tango_RM 隨著相關性 的增加都有最低線性度誤差的表現。

20

圖5-3 一維排法的各位置電壓變動(ρ=0.99)

圖5-4 一維排法的各位置 INL 變動(ρ=0.99)

在相關係數高達0.99 時排法效達到最大影響。如圖 5-3 所示。以 RAN 與 SYM 來說，電壓變動由一開始不斷往上增加，對照 SEQ 後

21

發現改善電壓變動的效果有限。以RAN、HSYM 與 SAG 來說，整體 排法的電壓變動波動起伏劇烈，較高電壓變動的位置帶動提升附近位 置的電壓變動，RAN 的情況最顯著，其次是 HSYM，SAG 是三者中 起伏較小的，圖5-5 的電壓變動平均值與標準差來比較各排法表現。

Tango 排法有著最低的電壓變動平均值與標準差，在各相關性有 最低INL 誤差，是表現最好的排法。故無法由一開始的分壓位置就 將電壓變動控制在較小的幅度與範圍內，漸增的電壓變動將導致高 INL 誤差。經過運算驗證後得知電壓變動除以 VLSB 電壓為 INL 變 動，而排法的 INL 變動就是觀察 INL 誤差的最好方式之ㄧ。如圖 5-4 所示。

圖5-5 一維排法的電壓變動平均值與標準差(ρ=0.99)

22

圖5-6 一維排法的電阻群相關性(ρ=0.99)

以電阻群相關性直接觀察排法匹配狀況，單位相關性經過不同排 法順序組合電阻，使得電阻群之間相關性產生高於或低於單位相關 性，若是高於則表示排法的電阻群之間變動較趨一致，反之則是變動 關聯性較低，在同電壓位置的比較下，兩電阻群之間的變動越趨一 致，相關性越高，該電壓變動相對也較低。由圖5-6 的看出 SYM 與 SEQ 排法並無法越過單位相關性的標準，Tango、SAG、HSYM 與 RAN 的電阻群相關性最快越過單位相關性的位置，是排法優劣的觀 察重點之ㄧ，相關性表現是否符合匹配平均化也可由此圖觀察得知。

23

圖 5-7 一維排法的 INL 誤差(八位元)

圖5-8 一維排法的各分壓點 INL 變動(八位元)

24

圖5-9 一維排法的電阻群相關性(八位元)

由圖5-8，9 一維排法(八位元)電壓變動與電阻群相關性的觀察後 就更了解Tango 排法在高位元依然保持低電壓變動與高度匹配。如圖 5-4，6 所示。所以 Tango 排法是一維架構下表現最好的排法。

5.1.3

二維電阻排列方式

1.行列式擴展結構(Row-Column Extension Scheme) 2.階層式擴展結構(Hierarchical Extension Scheme) 3 行軍式架構(Route March Scheme)

I. 行列式擴展結構(Row-Column Extension Scheme)

我們以對稱性順序排法(15 13 11 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 14 16) [1][3][5]來介紹這結構的排列方式，如圖 5-10 所示。我們沿著以下的 行和列的選擇依序排列：

25

1 電阻佈局排列位置(列 1 行 1) 2 電阻佈局排列位置(列 1 行 2)

…

16 電阻佈局排列位置(列 1 行 16) 17 電阻佈局排列位置(列 2 行 1) 18 電阻佈局排列位置(列 2 行 2)

…

254 電阻佈局排列位置(列 16 行 14) 255 電阻佈局排列位置(列 16 行 15)

圖5-10 RCE@SYM 排法

26

圖5-11 RCE@HSYM 排法

圖5-12 RCE@SAG 排法

圖5-13 RCE@Tango 排法

27

行列式擴展結構(RCE)下，排列的方法有：RCE@SYM [1][3][5]、

RCE@HSYM [1][3]、RCE@SAG [1]、RCE@Tango。如圖 5-11~13。

II. 階層式擴展結構(Hierarchical Extension Scheme)

階層式擴展結構如圖5-14 所示，是利用兩個方陣以一方陣為底，

另一方陣疊放在為底的方陣上。

圖5-14 Q²RW排法

圖5-14是Q RW(Q Random Walk)[2]所提出的排法。^{2 2} 圖5-15 所

示，這A4b,transform的排列[6]是利用 4 位元矩陣，將一個電阻切割成 16

個，就有16*16 個電阻，重新計算電阻佈局的位置。

28

圖5-15 A4b,transform排法 III. 行列式排法(Route March Scheme)

Tango_RM 是以 Tango 一維排列以特定的行軍路徑排列成二維矩 陣。圖5-16 所示， Tango_RM@Snake (Tango_Route March Snake) 利 用我們Tango_RM 的結構以蛇形的路徑依序排放。Tango_RM@Spiral 是利用我們Tango_RM 的結構以螺旋的路徑依序排放。

圖5-16 蛇形與螺旋排法

5.1.4

二維排法線性度分析

圖5-17 比較所有二維架構排法的 INL 誤差，由於 RCE 展開式的 方式表現較不理想，故選定表現最好的四種排法：A4b、Q2RW Tango_RM@Snake 與 Tango@Spiral 來觀察其電壓變動與電阻群相關 性的表現。圖 5-18 列出所有排法 INL 變動，圖 5-19 列出表現較佳的 上述四種排法INL 變動。藉此兩圖説明出現較高 INL 變動會深深影

29

響INL 誤差的表現。

圖5-17 各排法 INL 誤差(八位元)

圖5-19、20 看出 Tango_RM@Snake 的電壓變動最高，而

Tango_RM@Spiral 電壓變動得波動最小，在電阻群相關性就看出兩者 相關性的變動情況。Tango_RM@Snake 無法如 Tango_RM@Spiral 可 以維持在小變動內，較大匹配狀況變動就會容易出現較高INL 變動，

所以Tango_RM@Snake 比起 Tango_RM@Spiral 在各相關性下容易出 現較大INL 誤差。

30

圖5-18 各排法電壓變動(八位元)

圖5-19 A4b、Q2RW、Tango_RM@Snake 與 Tango@Spiral 電壓變動

31

圖5-20 A4b、Q2RW、Tango_RM@Snake、@Spiral 電阻群相關性 最後我們挑出二維架構表現最好的Q2RW 與 Tango_RM@Spiral 兩種排法，兩排法在INL 誤差下表現相當接近。在圖 5-22 兩排法電 壓變動中能清楚發現Q2RW 出現較多較高 INL 變動，圖 5-20 中 Q2RW 有較多處低於Tango_RM@Spiral 群相關性，因此 Q2RW 容易出現較 高INL 誤差。

圖5-21 二維最佳兩排法 Q2RW 與 Tango_RM@Spiral

32

圖5-22 二維最佳兩排法的電壓變動 Q2RW 與 Tango_RM@Spiral

5.2 一維與二維最佳排法

以一維架構來說，經過驗證發現Tango 表現相當優異。此排法有 最低的電壓變動與最高的電阻群相關性，是一維最佳排法，故吾將以 Tango 排法與下一章節提到預估最佳排法的效能做比較。

以二維架構來說，Tango_RM@Spiral 適應二維架構的變動，依舊 表現出較低的電壓變動與較高的電阻群相關性，排法表現略優於 Q2RW 排法，所以吾將以 Q2RW 與 Tango_RM@Spiral 排法與下一章 節提到預估最佳排法的效能做比較。

33

第六章 排法效能分析法

排法效能分析法是利用數學關係直接運算排法彼此關聯的特 性，免去模擬所需要的大量取樣數據運算的時間，加速分析效率並更 進一步利用前面章節的觀點提出一個新的Low Variation Analysis (LVA)來預估最佳排法效能，以此新分析法得到的新排法與排法結果 來與各種排法效能比較來驗證排法表現。

6.1 數學預估模型

由圖4-2 的架構來模擬每個電壓變動。將電壓位置所分開的兩邊 電阻串視為兩個電阻群，利用預估公式來預估電壓變動。

⎛ ⎞ ⎛

≈⎜⎜⎝ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎠ ⎝×

X ×

=

x+y x x+y x× x+y

2 2

Var (V) x μ Var (x) Var (x + y) 2 Cov (x,x + y)

Var ( ) + -

VLSB x + y μ μ μ μ μ

2 ⎞

⎟⎟⎠(式 6-1)

X 與 Y 分別由其電阻組成，各電阻群的組成影響 X 與 Y 的狀態 並影響該電壓點的變動情況。

6.2 低變動分析法 Low Variation Analysis (LVA)

此分析法運用各種架構來模擬變動的相關性矩陣，將圖 4-2 的排 法效能架構、第四章所提出的排法效應與式 6-1 結合來尋找較低的電 壓變動。在不同元件規格要求與架構的設定進行低變動量分析來尋求 預估最佳排法，最後還會以 Monte Carlo 的分析法來驗證 INL 誤差判 斷排法良劣。

34

6.3 預估排法與排法效能結果

圖6-1 一維架構 Tango_RM 與預估排法 INL 比較(八位元) 由預估排法與Tango_RM 排法比較可知各個相關性的 INL 誤差 都相當近似，所以Tango_RM 排法的效能表現與預估排法效能相當相 近來肯定Tango_RM 排法的表現。

圖 6-2 一維架構 Tango_RM 與預估排法的電壓變動(八位元)

35

圖6-3 二維架構三種最佳排法 INL 誤差比較(八位元) 由圖6-3 可知 Tango_RM in Spiral 的排法效能表現相當接近 Q2RW，在單位相關性 0~0.3 與 0.9~0.99 時 Tango_RM in Spiral 排法 略優於Q2RW 排法的表現，兩排法也相當接近預估排法效能的表現。

由圖6-4 的電壓變動表現也可看出三種排法的整體趨勢亦趨接近。

圖6-4 二維架構三種最佳排法的電壓變動(八位元)

36

6.4 一維與二維預估排法

圖 6-5 一維架構預估最佳排法(由左至右，由上至下)

圖6-6 二維架構預估最佳排法

37

38

第七章 結論

在多種不同排法比較線性度誤差的表現下，與本論文提出排法效 應的檢驗與預估最佳排法效應對照，Tango 行軍式排法的確具有高度 匹配的架構與低電壓變動的表現，簡單的推算架構可迅速產生不同位 元的排法順序，在不同架構下還可以利用調整排法適應不同變動以維 持低線性度誤差的表現，可說是的相當好的排法。

排法效應分析法在分析與預估排法效能上有著高度效率，可以精 確的分析電壓變動、電阻群之間的相關性與近似的INL 誤差。在分 析方面，由兩種架構、十三個不同單位相關性係數、八種排法與三種 不同調整排法的比較下，每種架構分析時間由原先需要三十分鐘減少 至僅需十分鐘，省下數據運算所需的大量計算機記憶體空間，提昇整 體分析的效率。

在預估排法效能方面，需花費約一小時產生兩組八位元的預估最 佳排法。在初步改良後，可設定不同條件的元件規格、相關性變動條 件與電路佈局架構等，預估設定規格的最佳排法與最佳排法效能。最 後能與結合蒙地卡羅分析法分工合作，由排法效應分析法尋找排法與 效能。配合蒙地卡羅分析法做精確數據模擬來確實驗證預估分析的結 果，完成以相關性矩陣的分析就可以判斷排法優劣的最終目的。

39

參考文獻

[1] Yonghua Cong and Randall L. Geiger, “Switching Sequence Optimization for Gradient Error Compensation in Thermometer-Decoded DAC Arrays,” Circuits and Systems II, Analog and Digital Signal Processing, IEEE Transactions on,VOL.

47, No. 7, July 2000, pp.585-595

[2] Geert A. M. Van der Plas, Jan Vandenbussche, Willy Sansen, Michel S. J. Steyaert and Georges G. E. Gilen, “A 14-bit Intrinsic Accuracy Q2 Random Walk CMOS DAC,” IEEE J. Solid-State Circuits, VOL.

34, No. 12, Dec. 1999, pp 1708-1718.

[3] Y. Nakamura, T. Miki, A. Maeda, H. Kondoh and N. Yazawa, “A 10-b 70-MS/s CMOS D/A Converter,” IEEE J. Solid-State Circuits, VOL. 26, Apr. 1991, pp. 637-642.

[4] Chunlei Shi, James Wilson, and Mohammed Isamail, “Design Techniques for Improving Intrinsic Accuracy of Resistor String DAC’s,” Circuits and Systems, 2001. ISCAS 2001. The 2001 IEEE International Symposium on , Volume: 1, 6-9 May 2001, pp 400-403.

[5] Yonghua Cong and Geiger, R.L., “Optimal switching sequences for one-dimensional linear gradient error compensation in unary DAC arrays,” Circuits and Systems, 2000. Proceedings of the 43rd IEEE Midwest Symposium on, VOL. 3, 8-11 Aug. 2000. pp. 1320 –1323 [6] Jurgen Deveugele, Geert Van der Plas, Michiel Steyaert, and Willy

Sancen, “A Gradient Error and Edge Effect Tolerant Switching Scheme for a High Accuracy DAC,” Circuits and Systems I, Regular Papers, IEEE Transactions on, VOL. 51, NO. 1, Jan. 2004, pp.191-195

[7] Latinus E. Boylston Jr., Kenneth Brown, and Randall Geiger,

“Enhancing Performance in Interpolating Resistor String DACs,”

Circuits and Systems, 2002. MWSCAS-2002. The 2002 45th Midwest Symposium on , VOL. 2 , 4-7 Aug. 2002, pp.541-544

[8] Horsky, P., ” A 16 bit +Sign Monotonic Precise Current DAC for Sensor Applications,” Design, Automation and Test in Europe Conference and Exhibition, 2004. Proceedings , VOL. 3 , 16-20 Feb.

2004, pp.34-38

40

[9] G.M.P. van Kempen, L.J. van Vliet, “Mean and Variance of Ratio Estimators Used In Fluorescence Ratio Imaging,” Cytometry, VOL.

39, No. 4, 2000, pp.300-305

[10] 王生勳，“EMN-RNG：用於電路分析的加強化多維常態隨機向 量產生器”，中華大學電機工程學系碩士論文 2001

[11] 藍東鑫, “元件匹配特性在空間上的相關分析,” 中華大學電機工 程學系碩士論文 2002

[12] 呂元戎, “連續參考值產生器之空間相關分析,” 中華大學電機工 程學系碩士論文 2003

[13] 林智勝, “Tango_RM : 一個電阻串聯連續參考值產生之強化排 列結構,” 中華大學電機 工程學系碩士論文 2004

[14] Richard A. Roberts ， “An Introduction To Applied Probability, ”Addison-Wesley Publish 1992.

[15]Robert R. Boyd, “Tolerance Analysis of Electronic Circuits Using Matlab,” 1999 .

[16]Richard A. Johnson, Dean W. Wichern ,” Applied Multivariate Statistical Analysis,” 4th Edition ,1998.

[17]Alan Hastings, “The Art of Analog Layout,” Prentice Hall ,2001.