凝固微結構之模式分析（I）

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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告

凝固微結構之模式分析（I）

計畫類別：個別型計畫計畫編號： NSC91-2212-E-006-148- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 92 年 07 月 31 日執行單位：國立成功大學工程科學系（所）計畫主持人：趙隆山計畫參與人員：謝定華、孫憲琪報告類型：精簡報告處理方式：本計畫可公開查詢

中華民國 92 年 10 月 22 日

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行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

5 成果報告

□期中進度報告

凝固微結構之模式分析（I）

計畫類別：5 個別型計畫 □ 整合型計畫

計畫編號：

NSC

91-2212-E-006-148

執行期間： 91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日

計畫主持人：趙隆山

共同主持人：

計畫參與人員：

謝定華、孫憲琪

成果報告類型(依經費核定清單規定繳交)：5精簡報告 □完整報告

本成果報告包括以下應繳交之附件：

□赴國外出差或研習心得報告一份

□赴大陸地區出差或研習心得報告一份

□出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份

□國際合作研究計畫國外研究報告書一份

處理方式：除產學合作研究計畫、提升產業技術及人才培育研究計畫、列

管計畫及下列情形者外，得立即公開查詢

□涉及專利或其他智慧財產權，□一年□二年後可公開查詢

執行單位：

國立成功大學工程科學系

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1 摘要於凝固的過程中，溫度與濃度場之變化會直接影響到凝固材料之顯微結構，而此顯微結構與凝固材料之品質與物理特性有著很密切的關係。所以本計劃之研究目的是希望藉用模擬網狀晶，來瞭解凝固時顯微結構之變化。首先建立一簡化模式，此模式是以含向前擴散之謝荷方程式為基礎，來建立包含表面能效應之濃度場模式，接者進一步建立包含溫度與濃度場、表面能效應及原子附著效應之完整成長模式。在液固界面上，使用直接法來調整液固界之位置，以疊代方式來求得自我滿足之網狀晶形狀。最後以此模式來探討在不同初始濃度、溫度梯度、成長速率及網狀晶間距對網狀晶的影響。期望本計劃之分析結果可作為進一步研究之參考。關鍵字：網狀晶、凝固微結構 Abstract

In the process of solidification, the variations of the temperature and concentration fields will directly affect the microstructures of materials, which have very close relations with the qualities of materials. This paper is to build two models to study the cellular shape of constrained growth. The first model, based on the Scheil equation with forward diffusion, was set up by adding the capillarity effect. The second model is a complete one, which consists of the concentration and temperature fields, and the effects of capillarity effect and atom attachment. In the second model, the shape of the solid/liquid interface of cellular growth is not known a priori, rather it is calculated as part of solution to the field problem. The direct iteration method was used to compute the self-consistent cellular shape. With these models, the effects of different control parameters, which are growth rate, temperature gradient and the initial concentration, were investigated. It is hoped that

the results of this study can be referred to for the further study.

Keyword：cellular solidification microstructure

一、緒論 於凝固的過程中，溫度與濃度場之變化會直接影響到凝固材料之顯微結構（microstructure），而此顯微結構與凝固材料之品質與物理特性（如機械、光、電等特性）有著很密切的關係。因此在凝固領域的研究中，最希望的是能瞭解（於凝固時）溫度與濃度場之變化，凝固顯微結構及材料性質之間的關聯性，期望藉由凝固工作條件之改變來掌握凝固顯微結構，進而能控制凝固後的材料性質，減少材料於凝固時缺陷之產生[1, 2]。對於合金之單相凝固，束縛成長可能為平面式、網狀晶（cell）及枝狀晶（dendrite），如圖1 所示，非束縛成長亦為枝狀晶；本計劃即針對單相束縛成長之網狀晶來做探討。有關網狀晶與枝狀晶之研究，最簡單之研究模式為半球針狀之近似（Hemispherical Needle Approxim- ation），即假設網狀晶或枝狀晶之頂部（tip）為半圓球，其後為圓柱形[3]。 Ivanstov [4]則以拋物面體（a paraboloid of revolution）來模擬網狀晶或枝狀晶。此兩者均假設液固界面是等溫的（isothermal），其模式是建立在溶質守恆的基礎上，而後者之（溶質擴散方程式的）解可寫為 1 exp( ) ( ) e e e P × P ×E P = Ω (1) 1( ) t z e E z dt t ∞ − =

∫

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其中，Pe （= VR/2D）是 Peclet number，R 是頂部之半徑（tip radius），D 是擴散係數，V 為成長速率，Ω 是一無因次過冷（dimensionless undercooling）。這兩個模式所獲得之結果只決定 RV 與過冷之關係，直接加入表面能之效應，使得在V 對 R 的曲線上存在一個極大值，選擇此點為操作狀態（operating state）即是以此點來決定 V 與 R 的值，此方法稱為極值選擇法[2]。不過根據 Glicksman 之實驗結果，發

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2 現極值選擇法所得之操作狀態與實際情形的差異不小[5]，然而此方法適用於雙相之共晶結構。Langer 等人[6]以穩定性分析（stability analysis ） [7] 所得之臨界穩定點（ marginal stability）作為操作點，這與實際情況較接近。在此之後的研究，都是以此為基礎，考慮溶質守恆、表面能之效應、原子附著（atom attachment）效應等，同時以過冷為很重要的分析參數，尤其是頂部的過冷[5, 7]。此問題較完整的描述是液、固界面之形態與凝固時之溫度與濃度場（甚至流場）有關，於液固界面需滿足熱量與質量不滅之定理。 Dantzig 與 Chao [8]探討流場效應對凝固微結構之影響。Han 與 Hunt [9]針對二元合金之不同成分，使用有限差分法分析網狀晶與枝狀晶的成長。Brown [10]使用 CAFD（combined cellular finite difference）近似來描述在三維中一對網狀晶的成長。Yu 等人 [11] 利用相場法來模擬過冷的純金屬溶液中，枝狀晶的成長過程研究界面動力學、熱擴散和表面能對枝狀晶成長之影響。本計劃針對束縛成長之單相網狀晶來做探討，一開始建立一簡化模式，此模式是以含向前擴散之謝荷方程式（Sheil equation with forward diffusion）[12]為基礎，來建立包含表面能效應之濃度場模式，接者進一步建立包含溫度與濃度場、表面能效應及原子附著效應之完整成長模式。當上述兩個模式分析建立後，本計劃以錫鉛合金為主要研究對象，針對不同之溫度梯度 G、成長速率 V 及初始濃度 C0，來作比較分析。 二、理論與數值分析 2.1 含向前擴散之謝荷方程式與網狀晶形狀對束縛成長之單相網狀晶，考慮一陣列之網格晶於液體中成長，液體之初始濃度為C0，網格晶之成長速率V 為一固定值，作用在整個考慮範圍為一固定溫度梯度（G），其物理模型如圖2 所示。假設此成長是在穩定狀態，忽略固態之擴散且不考慮表面能效應，在液固共存之區域考慮一微小控制體積，如圖2 中的小長方形，於此體積中有部分為固體，部分為液體。對於此微小體積之溶質平衡，僅考慮成長方向之擴散作用，其濃度控制方程式可推得為

(

1 0

)

L L L L L L L f C C C k f D f t t z z ∂ ∂ ∂  ∂  − + = _ _ ∂ ∂ ∂  ∂  (3) 其中，CL為液體之濃度，k0為分佈係數，fL 是控制體積中液體之比率，DL為液體擴散係數。其解求得為

(

)

(

)

( 0 ) 1/ 1 0 0 0 0 0 1 1 k L L k C aC f C k ak −  − −  =_ _ − −   (4) 這就是所謂的含向前擴散之謝荷方程式[1, 12]。其中，a = DLG/(mLVC0)，mL 是液相線（liquidus）的斜率。液相線與固相線均假設為線性，因此其斜率與k0均為固定值。此外，fs 是控制體積中固體之比率，其值為1 - fL。以此方程式來建立網狀晶之形狀，即是將溫度與濃度之關係式 ( ) / L m L C = T −T m (5) 與溫度場之表示式 base T =T +Gz (6) 將上二式代入(4)式可得

(

)(

)

(

)

0 1/( 1) 0 0 0 0 0 1 / 1 1 k base m L s k T Gz T m aC f C k ak −  − + − −  = − _{− −}    (7) 其中，Tm是C0 = 0時之凝固溫度，z是成長方向之座標，Tbase為z = 0時之底部溫度。垂直於成長方向之平面與網狀晶之交集為一圓形截面，此圓形面積與網狀晶根部面積比即為 fs(z)，因此 fs(z)之表示式與網狀晶根部之排列方式有關。又網狀晶底部以正六方形排列，fs(z) 之表示式則為

( )

2 3 s /(3 ) r =λ f z π (8) 其中，r 是徑向之座標，λ是網格晶之間距。如此，由（7）與（8）式即可得到網狀晶之粗估形狀，可作為進一步模式之初始猜測形狀。

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3 2.2 含表面能效應之簡化模式前段所述之粗估網狀晶形狀並沒有包含表面能效應，本計劃針對此，建立一簡化模式，以（4）式為基礎，加入表面能效應。若考慮表面能效應之影響，(5)式可改寫為 ( ) / L m L C = T−T + ΓΚ m (9) 其中，Γ 是吉布士-湯森係數（Gibbs-Thomson

coefficient）， K是平均曲率（mean curvature）。

其表示式可寫為[13, 14]

( )

" 1/ 2 3/ 2 2 2 ' ' 1 1 1 r z K r z r z r z = +  ₊   ₊      (10) 由（4）、(6)、(8~10）式可得一非線性之微分方程

( )

_{( )}

( )

2 2 _{3/ 2} 2 2 1 1 1 r z d r g r G z r z dz r z ′ +  _′  = _ − _{ } + _ − Γ (11)

( )

( 0 ) 0 0 0 0 1 2 2 1 1 1 1 ( / 2) L k m base ak a g r m C k k r T T λ −    = _ + −_ _ − _ − _      × −_ _ + −    _ (11)式即為簡化模式之控制方程式，本計劃以郎奇-庫達（Range-Kutta）法求解此微分方程，而可獲得此簡化模式之網狀晶形狀。 2.3 網狀晶之完整模式接者本計劃進一步建立包含溫度與濃度場、表面能效應及原子附著效應之完整成長模式。為了建此模式，先做下列之假設: 1. 不考慮對流效應。 2. 忽略固體之擴散。 3. 分佈係數 k0 為常數。 4. 穩態成長。由上述之假設，此問題之控制方程式可寫為（一）濃度場 2 L ₀ L L V C C D z ∂ ∇ + ⋅ = ∂ (12) （二）溫度場 2 L ₀ L L V T T z α ∂ ∇ + ⋅ = ∂ (13) 2 S ₀ S S T V T z α ∂ ∇ + ⋅ = ∂ (14) 其中，CL與TL 為液體之濃度與溫度，TS為固體之溫度。DL、αL與為液體之擴散係數與熱擴散係數，αS為固體之熱擴散係數。由於對稱的原因，考慮之計算範圍包含半個網狀晶，其示意圖如圖3所示。此模式之座標系統是以成長速率V沿者正z方向移動，而計算範圍之大小是取決於希望液體濃度在 EF 與CD是均勻的，於此BC之長度取為3DL/V，這是因為取此距離CD受網狀晶頂部凝固之影響將會很小，同樣地AB也可取3DL/V，不過這些長度可由數值實驗來做調整。在邊界條件方面，於AC和ED為對稱邊界，AC 是對稱軸，ED 是與鄰近網狀晶之邊界。CD原本應為遠離液固界面之邊界，即CD 應在z 在無窮遠處，其溫度為一已知溫度，濃度為C0。如今BC距離取為3DL/V[8]，溫度邊界條件可定為一已知溫度梯度G，而此處濃度應很接近於C0。但是為更嚴謹些，不令此處濃度為C0，而從（12）式來推導此處之濃度邊界條件。從CD 至

z

= ∞

，假設濃度僅隨著 z座標變化，則可推得在CD之邊界條件

( )

0 L L atCD L C V C C z D ∂ _{= −} _ ₋ _   ∂ (15) AE邊界，溫度之邊界條件可定為一已知溫度 Tbase，且液體濃度在EF是均勻混合的，濃度之邊界條件可定為[8] L L dC G dz =m (16) 在BF液固界面上，其溫度與濃度之界面條件為 * L S T =T =T (17) S L n f S L T T V L k k n n ρ = ∂ − ∂ ∂ ∂ (18)

(

1 0

)

L L n L C C V k D n ∂ − = − ∂ (19) (18)式為史蒂芬條件（Stefan condition）。其中，

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4 T*為液固界面之溫度，n為液固界面之法線方向，kL與kS為液、固體之熱傳導係數，Lf為潛熱。此外，在液固界面，溫度與濃度尚有一連接之關係式 * m L L n/ T =T +m C − ΓΚ −V µ (20) 這包含了濃度、表面能及原子附著之動力學

（the kinetics of atom attachment）效應，其中µ

是動力係數（kinetic coefficient）。 2.4 數值方法本計劃採用有限差分法作為溫度場與濃度場的數值解法，配合適當的邊界條件，將控制方程式化為有限差分形式，而液固界面之處理是讓液固界面經過網格點，來處理此界面條件。由於在網狀晶頂部附近的變化非常顯著，所以使用非等距網格的方式，來推導溫度與濃度場之差分方程。在液固界面，溫度與濃度還有一連接之關係式，即是（20）式，於此是用來檢驗液固界面之位置是否正確，也就是以溫度差e 之方式來計算，即是

(

)

* _m _L _L _n/ e=T − T +m C − ΓΚ −V µ (21) 計算時以含向前擴散之謝荷方程式作為網狀晶之初始形狀，於迭代中，如果液固界面上每一格點之 e 值為零或其絕對值小於一很小值（本研究設為 10-5），即是得到自我滿足（self-consistent）之液固界面形狀。若不滿足此條件，則需改變液固界面之形狀，重新迭帶直到滿足此條件。由於主要之擴散方向在z方向（即成長方向），故液固界面形狀之修正是將其格點位置沿著z方向移動，本計劃以直接調整的方式來作調整，即位移之大小與e成正比，此為較簡單之方式。當e值為正時，表示實際溫度大於凝固溫度，此格點應處在液體區，所以液固界面之格點為向負z方向移動；反之，e值為負，則處在固體區，液固界面之格點往正z方向移動。移動之大小取決於e/G 值。 三、結果與討論 本計劃針對束縛成長之穩態單相凝固之網狀晶來做探討，以錫鉛合金為對象，其材料性質請參看表1，而其成長條件為初始濃度C0 為1.5wt%，溫度梯度G為2 K/mm，成長速率 V為0.05 mm/s，網狀晶之間距為17.5μm，此值是取自參考文獻[1]。網狀晶之模式分析中，首先以郎奇-庫達法求解考慮表面能之簡化模式，再以有限差分法求解完整模式，並用直接法來調整網狀晶液固界面之位置，以求得網狀晶自我滿足之形狀。此外，針對後者，探討各種不同成長條件對網狀晶形狀之影響，考慮之控制變因有成長速率、溫度梯度、初始濃度，及網狀晶間距。圖4顯示簡化模式之計算結果，可以看出考慮與不考慮表面能之差異。圖中不考慮表面能的曲線是以含向前擴散之謝荷方程式所算得之網狀晶形狀，考慮表面能的曲線是郎奇 -庫達法求解簡化模式所得之結果。由圖4觀察可知，加入表面能效應後，使得液固界面會往內收縮，且頂部會變得較為圓滑，這是因為加入考慮表面能的效應後，由於在網狀晶頂部的曲率變大，會產生明顯的表面能過冷，而使得網狀晶形狀頂部變得較為圓滑。圖5顯示完整模式之計算結果，可以清楚地看出初始猜測形狀與最後收斂形狀之差異。圖中初始猜測形狀的曲線是以含向前擴散之謝荷方程式所算得之網狀晶形狀，最後收斂形狀的曲線是完整模式之計算結果。比較圖 4 與圖 5，可發現完整模式所得之自我滿足的網狀晶形狀比簡化模式所得之結果，對初始形狀作更大的修正，由此可知簡化模式之修正還不足夠，因此以下之結果以完整模式之探討為主。圖6為得到自我滿足之網狀晶時之溫度場分布。由圖中可看出，在此區域內等溫線分佈幾乎與成長方向垂直。雖然在液固界面有潛熱釋放，由於網狀晶間距很小，使得徑向之溫差不明顯，因而不易由此看出潛熱效應。從圖中

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5 也可看出網狀晶頂端（cell tip）之下的溫度梯度大於頂端之上的溫度梯度，這是由於固、液體熱傳導係數之差異與潛熱效應。圖7為沿中心軸（即圖3 之AC）與另一對稱邊界（即平行於中心軸之邊界，即圖3之 ED）的位置與溫度關係圖。由圖7(a)，也可觀察到主要溫度變化在軸向，除了網狀晶頂端附近，其他地方徑向之溫度差異很小，若進一步觀察網狀晶頂端附近之溫度變化，則需將圖 7(a)於頂端（z = 0.27 mm）附近放大，即圖 7(b)。由圖 7(b)觀察可知，對稱邊界溫度比中心軸溫度略低，這是由於潛熱釋放所造成的影響，如果不考慮潛熱，兩者幾乎是沒有差異。由圖中又可看出在網狀晶頂端附近，兩者之溫差最大，往上下兩端走其差異漸小。為了更清楚來了解上述之潛熱效應，以不考慮潛熱效應之溫度分布來作比較。圖8為得到自我滿足之網狀晶時不考慮潛熱的溫度場分布。由圖中可看出，在此區域內等溫線分佈完全與成長方向垂直，乃因在液固界面無潛熱釋放。從圖中也可看出網狀晶頂端之上的溫度梯度約略等於頂端之下的溫度梯度。圖9為沿中心軸（即圖 3之 AC）與另一對稱邊界（即圖3之ED）的位置與溫度關係圖。由圖9(a)，也可觀察到主要溫度變化在軸向，若進一步觀察網狀晶頂端附近之溫度變化，則需將圖9(a) 於頂端附近放大，即圖9(b)。由圖9(b)觀察可知，對稱邊界溫度比中心軸溫度幾乎一樣，與圖7(b)在頂端比較，可發現潛熱效應所造成的影響。圖 10 為得到自我滿足之網狀晶時之液體濃度場分佈圖。由圖觀察可知，在計算區底部濃度最高，濃度值隨著z方向而下降，在計算區頂部之濃度相當接近初始濃度。由於在液固界面，會有多餘之溶質擴散到液體區，且溶質擴散方向與液固界面垂直，又液固界面在頂部之曲率較大，因此在這附近之等濃度曲線放大看會有些微撓曲之現象，而濃度梯度在離開計算區底部，往+z方向逐漸變小。圖11為沿中心軸（即圖3之AC）與另一對稱邊界（即圖 3 之 ED）的位置與濃度關係圖。由圖 11(a)，也可觀察到主要濃度變化在軸向，除了網狀晶頂端附近，其他地方徑向之濃度差異很小，若進一步觀察網狀晶頂端附近之濃度變化，則需將圖11(a)於頂端附近放大，即圖11(b)。由圖11(b)觀察可知，兩者之差異不是很大，不過對稱邊界之濃度比沿著液固界面到中心軸位置之濃度較低，這主要是因為於凝固時在液固界面會有多餘之溶質吐出，因而有較高之濃度。在網狀晶頂端之上的中心軸部分則受下部網狀晶之影響，有較高之濃度，不過由網狀晶頂端往上走，其差異則逐漸變小，也就是受網狀晶凝固的徑向影響隨之變小。在固定溫度、濃度及表面能過冷的條件下（C0=1.5wt%, G=2 K/mm, V=0.05 mm/s），考慮原子附著效應對網狀晶形狀之影響。由圖 12 觀察可知，考慮與未考慮原子附著效應，對網狀晶形狀的影響不大，此乃因為金屬在凝固過程中，原子附著效應所產生之過冷不大。由此結果，所以本計劃在以下之探討，忽略原子附著效應之影響。圖 13 為與圖 5 相同條件下，考慮不同初始濃度對網狀晶形狀影響之比較圖。由圖觀察可知，當初始濃度逐漸增加時，網狀晶頂部之曲率半徑會相對減小，此時網狀晶徑向之大小亦會隨著初始濃度增加而變小，此變化趨勢與參考文獻[2, 8]一致。圖 14 為與圖 5 相同條件下，考慮不同溫度梯度對網狀晶形狀之影響比較圖。由圖觀察可知，當溫度梯度逐漸增加時，網狀晶徑向之大小亦會隨之變大，此變化趨勢與參考文獻[2] 一致。圖 15 為溫度梯度與網狀晶頂部過冷之關係圖，由圖可知，當溫度梯度增加時，網狀頂部之過冷亦隨之變大。圖 16 為與圖 5 相同條件下，考慮不同成長速率對網狀晶形狀之影響比較圖。由圖觀察可知，當成長速率增加時，網狀晶會隨之變得比較瘦小，此變化趨勢與參考文獻[2]一致。圖 17為在相同條件下，成長速率與網狀晶頂部過冷之關係圖，由圖可知，當成長速率增加時，

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6 網狀頂部之過冷亦隨之變小。圖 18 為考慮在相同條件下，不同之網狀晶間距對網狀晶形狀影響之比較圖，圖中之 RI為網狀晶間距λ之一半。由圖可觀察知，網狀晶間距愈大，其徑向大小愈大。這是由於與旁邊另一網狀晶相距越遠，使得網狀晶有足夠的成長空間，因此徑向距離會隨著網狀晶間距增加而增大。圖 19 為在相同條件下，網狀晶間距與頂部過冷之關係圖。由圖觀察知，網狀晶間距對頂部過冷值之影響較不顯著，尤其當網狀晶間距愈大時，過冷值會趨近某一定值。 四、結論 本計劃針對束縛成長之單相網狀晶，以數學模式來做探討，在液固界面上，需滿足熱量與質量守恆及過冷之關係式，以求得自我滿足之網狀晶形狀，且考慮初始濃度、溫度梯度、成長速率及網狀晶間距對網狀晶的影響。由前述之結果，可以得到以下之結論： 1. 簡化模式之計算結果，可以看出考慮與不考慮表面能之差異，不過其對不考慮表面能之網狀晶形狀的修正，沒有完整模式來得大，由此可知簡化模式之修正還不足夠。 2. 網狀晶穩態成長時，主要溫度與濃度變化在軸向，徑向之差異較小。不過放大看，徑向溫度與濃度之差異在網狀晶頂端附近最大。濃度由計算區底部隨著 z 方向而下降，在計算區頂部之濃度相當接近於初始濃度。 3. 原子附著效應對網狀晶形狀之影響不大，可以忽略原子附著效應之影響。 4. 當初始濃度或成長速率增加時，網狀晶形狀會成長得較為細小；而溫度梯度或網狀晶間距增加時，網狀晶形狀會成長得較為粗大。 5. 頂部之過冷主要是與溫度梯度成正比，成長速率成反比，而網狀間距對過冷影響變化不大。經由這些結果，可知本計劃模式之探討，能模擬穩態成長中之網狀晶形狀，並能配合凝固成長之各項參數來作分析，期望本計劃之分析結果可作為進一步研究之參考。以上為本計畫之精簡報告，詳細內容可參看參考文獻[15]。本計畫之結果擬先發表於第二十七屆之力學會議。 五、參考文獻

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(9)

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plane front

cells

dendrites

圖1 液固界面型態示意圖 S L V G z λ 圖2 網狀晶成長之示意圖 A B C D E Solid Liquid z r F 圖3 網狀晶成長之計算模式示意圖 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 without capillarity with capillarity r (mm) z (mm) 圖4 簡化模式之計算結果，表面能效應對網狀晶之影響比較圖（C0=1.5wt%, G=2 K/mm, V=0.05 mm/s） 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 finial shape initial shape r (mm) z (mm) 圖5 完整模式之計算結果，網狀晶初始與最後收斂形狀之比較圖（C0=1.5wt%, G=2 K/mm, V=0.05 mm/s） z (mm) r( m m ) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.005 0.01 0.015 0.02 圖6網狀晶之溫度分佈

(10)

8 226 227 228 229 230 231 232 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 centre edge T （℃） z (mm) (a) 整個計算區域 229.8 229.9 229.9 230 230 0.24 0.245 0.25 0.255 0.26 0.265 0.27 0.275 0.28 centre edge T （℃） z (mm) (b)網狀晶頂端（z = 0.27 mm）附近之放大圖圖7 沿中心軸（即圖 3 之 AC）與另一對稱邊界（即平行於中心軸之邊界，即圖 3 之ED）的位置與溫度關係圖 z (mm) r (mm) 0 0.2 0.4 0 0.005 0.01 0.015 0.02 圖8無潛熱時，網狀晶之溫度分佈 227.8 228 228.2 228.4 228.6 228.8 229 229.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 centre edge T( ) ℃ z (mm) (a) 整個計算區域 228.4 228.5 228.5 228.6 228.6 0.25 0.255 0.26 0.265 0.27 0.275 0.28 centre edge T( ) ℃ z (mm) (b) 網狀晶頂端（z = 0.27 mm）附近之放大圖圖9 不考慮潛熱時，沿中心軸與另一對稱邊界（即平行於中心軸之邊界）的位置與溫度關係圖 z (mm) r (mm) 0 0.2 0.4 0 0.005 0.01 0.015 0.02 圖10 網狀晶成長時液體之濃度分佈 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 edge centre C ( w t% ) z (mm) (a) 整個計算區域 1.6 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 0.266 0.268 0.27 0.272 0.274 edge centre C ( w t% ) z (mm) (b) 網狀晶頂端（z = 0.27 mm）附近之放大圖圖11 沿中心軸與另一對稱邊界（即平行於中心軸之邊界）的位置與濃度關係圖

(11)

9 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

with atom attachment

without atom attachment

r (mm) z (mm) 圖12 原子附著之動力過冷對網狀晶之影響比較圖（C0=1.5wt%, G=2 K/mm, V=0.05 mm/s） 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 C=0.5 C=1.0 C=1.5 C=2.0 r (mm) z (mm) 圖13初始濃度對網狀晶之關係圖 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 G= 1 K/mm G= 2 K/mm G= 4 K/mm G= 6 K/mm r (mm) z (mm) 圖14溫度梯度對網狀晶之關係圖 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∆ T （℃） G( K/mm) 圖15 溫度梯度與過冷之關係 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 V=0.03 mm/s V=0.05 mm/s V=0.08 mm/s r (mm) z (mm) 圖16成長速率對網狀晶之關係圖 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 ∆ T （℃） V (mm/sec) 圖17成長速率與過冷之關係 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 RI =15. micro-meter RI =20.0 micro-meter RI =27.5 micro-meter RI =32.5 micro-meter RI =39.9 micro-meter r (mm) z (mm) 圖18網狀晶間距與網狀晶之關係 0.3 0.305 0.31 0.315 0.32 0.325 0.33 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 ∆ T ^ （℃ RI(mm) 圖19不同網狀晶間距之頂部過冷

凝固微結構之模式分析（I）

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告