利用溫度量測值預測板鰭管式蒸發器之鰭片於結霜狀態下的熱傳係數(1/2)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 期中進度報告

利用溫度量測值預測板鰭管式蒸發器之鰭片於結霜狀態下 的熱傳係數(1/2)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號： NSC92-2212-E-006-052-

執行期間： 92 年 08 月 01 日至 93 年 07 月 31 日 執行單位： 國立成功大學機械工程學系（所）

計畫主持人： 陳寒濤

計畫參與人員： 吳信毅&王益彤

報告類型： 精簡報告

處理方式： 本計畫可公開查詢

中 華 民 國 93 年 5 月 28 日

利用溫度量測值預測板鰭管式蒸發器之鰭片 於結霜狀態下的熱傳係數 (1/2)

Estimation of the heat transfer coefficient on the fin of the plate finned-tube evaporator under frosting conditions using experimental data (1/2)

計畫編號：NSC92-2212-E-006-052

執行期限：92 年 8 月 1 日至 93 年 7 月 31 日

主持人：陳寒濤 國立成功大學機械工程學系教授 中文摘要

本年度之研究內容為探討在強迫對流 下橢圓管之幾何形狀對板鰭管式蒸發器之 鰭片於結霜狀態下之熱傳係數的影響。本 研究以主持人自行發展之混合拉氏轉換法 (Laplace transform technique)和有限差分法 (Finite-difference method)之數值逆算法來 解析二維暫態熱傳導問題，以預測鰭片於 結霜狀態下之熱傳係數。在進行逆運算的 過程中，以最小平方法(Least-squres scheme) 來修正預測值，直至於量測位置之計算溫 度值與其所對應位置之量測溫度值的差小 於某一容許誤差為止。一般而言，熱傳係 數預測值的精度對量測溫度的誤差極為敏 感。但，經過多年的研究發現，本計畫中 所使用之混合數值方法並無此現象。本計 畫並自行設計能配合相關實驗設備的板鰭 管式蒸發器之鰭片組，以量取於結霜狀態 下之鰭片溫度與管壁溫度數據，而後根據 這些實驗數據，配合數值逆算法來估算鰭 片於結霜狀態下之熱傳係數。

關鍵詞：逆算法，橢圓管，板鰭管式蒸發 器，熱傳係數

Abstract

The purpose of the present study is to investigate the effects of the elliptical tube geometry on the frosted heat transfer coefficient of the plate finned-tube evaporator under force convection. In present study, the Laplace transform technique and the finite-difference method are applied to solve the 2-D inverse heat conduction problem in order to predict the frosted heat transfer coefficient on the fin. The least-squares scheme is applied to minimize the sum of the squares of the deviations between the calculated and measured temperatures in order to correct the estimated values. In

measured temperatures can affect the accuracy of the estimated results for most of the previous inverse scheme. However, it can be found from the results of present study that the estimated values are not very sensitive to the measurement errors of the temperature using the present inverse scheme. A plate finned-tube evaporator is set up in conjunction with the experimental equipments for measuring the fin temperature.

The frosted heat transfer coefficient can be predicted by using the present inverse scheme according to the temperature measurements on the fin.

Keywords: inverse scheme, elliptical tube, plate finned-tube evaporator, heat transfer coefficient

一、前言

有鑑於我國加入 WTO 國際貿易組織 後，國內消費市場將面臨開放性的全球競 爭，節省成本以增加競爭力成了企業因應 之道，而能源使用效率為產業競爭力之關 鍵，如何運用現代科技，改善能源使用效 率，實為產業降低經營成本、提昇整體競 爭力的前提。對於位處亞熱帶的台灣來 說，近年來冷凍空調系統需求日益增加，

已造成夏季供電吃緊常常影響到工業及民 生用電，其主要肇因於熱交換器效率問 題。因此，如何減少解決冷凍空調系統能 源浪費問題，提升熱交換器效率便成為重 要課題。熱交換器已廣泛的被使用在冷 凍、空調、電廠及石化工業的裝置，其中 氣冷式熱交換器是以空氣代替冷卻水用作 冷卻流體，在傳熱管外側利用風扇方式迫 使空氣流動，使內部流體冷卻的熱交換 器。由於此型熱交換器不須用冷水，無須 顧慮確保水源，故近年來使用量已急遽上 升。因為空氣的熱傳遞係數很小，因此傳 熱管上可使用鰭片附在管上增加冷卻效

片。板鰭管式熱交換器主要是應用在冷凍 空調系統和除濕方面，因而冷凍空調系統 中的板鰭管式蒸發器的熱傳係數是設計上 一項重要因素。

二、研究目的

目前熱交換器發展趨勢是朝著高效率 小管徑方向發展，以縮小體積，提高熱傳 能力，降低冷媒充填量為目標。由於蒸發 器經常在低溫的環境中使用，加上台灣地 區氣候潮濕的環境條件，只要蒸發器表面 低於露點溫度，便會有水滴凝結的現象發 生;若溫度低於 0℃，則會有結霜的情形發 生，若霜的厚度很薄，則會增加管路表面 的粗糙度，增加空氣的對流效應，對蒸發 盤管的熱傳會有所助益，但霜層若逐漸增 厚，則猶如在蒸發器表面覆上一層絕緣材 料般，對熱傳有很大的阻礙。流經板鰭片 的流場通常相當複雜，因為空氣流體繞著 圓管流動時，在橢圓管後面會形成尾渦區 (Wake region)，加上管與管之間的流場會 相互干擾，以致欲以理論模式來描述該區 域之流動現象並不容易。因此如何精確預 估出空氣側之熱傳係數實為設計熱交換器 的一項重要課題，故本研究的目的即為提 出一可以精確求得鰭片於結霜狀態下之熱 傳係數的方法。

三、文獻探討

結霜的研究早在 60 年前就已經受到許 多國外專家學者的重視。但對於在結霜狀 態下之鰭片效率的研究並不多[1-10]，且這 些研究主要是著重在理論方面，至於實驗 方面則是比較少見。Sanders[1]首先探討霜 層對矩形鰭片效率的影響，他雖然引進濕 鰭片效率(Frosted fin efficiency)的觀念，但 並 沒 有 考 慮 空 氣 濕 度 對 鰭 片 效 率 的 影 響;Barrow[2]也以簡單的分析推導出結霜狀 態下的鰭片效率公式;Hosoda 和 Uzhashi[3]

則探討結霜對熱傳係數的影響;Kondepudi 和 Oneal[4-7]以理論模式預估在結霜狀態 下之板鰭管式熱交換器的性能。在他們的 研究裡，仍沿用 Sanders[1]之鰭片效率公 式;Oskarsson[8]等人也以理論和實驗來探 討在結霜狀態下之板鰭管式熱交換器的性 能，其乃引用 McQuiston[9]之濕鰭片效率公 式。由於欲計算板鰭片的效率，需先求出

熱傳遞係數之值，因此 Kern 和 Kraus[10]

便在假設熱傳係數為常數的前提下去求鰭 片效率。然而早從 1945 年起，Gardner[11]

便已著手研究，證明出流體流經板鰭時，

其熱傳係數並非常數，而是一位置函數。

隨後，Saboya 和 Sparrow[12]更以實驗方 法，企圖求得熱傳遞係數和位置函數關係。

四、研究方法

過去幾十年來，有不少的學者致力於 逆向熱傳問題的研究，至今已有不少數學 方 法 被 提 出 來 解 析 這 類 問 題 。 Chen 和 Lin[13-14]曾經應用混合拉氏轉換法解析暫 態線性與非線性之熱傳導與熱對流問題。

結果發現此混合數值方法不僅收斂快，精 確度高，而且數值的穩定性佳。有鑑於此，

本 研 究 將 採 用 一 種 混 合 拉 式 轉 換 法 (Laplace Transform Technique)和有限差分 法(Finite Difference Method)的數值方法，並 配合最小平方法(Least Squares Scheme)來 預測二維鰭片上之熱傳係數。首先利用拉 氏轉換法處理系統的時間域，而後再以有 限差分法處理空間域，因而可以得到在拉 氏轉換領域內的差分方程式，最後再以高 斯消去法與數值逆拉氏轉換法來求解系統 真正的溫度值。

由於板鰭片上之熱傳係數應為位置與 時間的函數，為了便於分析，本研究將鰭 片劃分成八個區域，每個區域之熱傳係數 假設僅為時間的函數。逆算法運算過程如 下所述：首先給定一組起使猜測值，接著 以本研究之混合數值方法求出鰭片上之溫 度分佈，然後將此計算溫度與量測溫度比 較，其差值若大於容許誤差，則以最小平 方法來修正起使猜測值直至計算溫度值和 量測溫度值的誤差小於某一容許值為止。

數學模式的建立

本研究主要是預估蒸發器板鰭片於結 霜狀態下的熱傳係數，由於板鰭片之厚度 很薄，故本研究所探討之問題可簡化為二 維的熱傳導問題，並以直角座標系統來描 述。

根據以上假設，本問題之統制微分方程 式可表示為：

1

δ ρ

f f a

f k

t Y X h T T t T k

c Y

T X

T ( ) ( , , )

2 2

2

2 −

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂

∂ (1)

其對應之邊界條件為：

= 0

∂

∂ Y

T 0<X≤L Y =0 (2)

= 0

∂

∂ Y

T 0<X≤L Y =L (3)

=0

∂

∂ X

T X =0 ^{0≤Y ≤L} (4)

=0

∂

∂ X

T X =L ^{0≤Y ≤L} (5)

Tr

t Y X

T( , , )= 在S_c1上 (6) 初始條件為

a

in T

T Y X

T( , ,0)= = (7) 其中T 為鰭片溫度、X 和Y 為直角座標、t 為時間、T 為環境溫度、_a δ 為鰭片厚度的一

半； 為板鰭片結霜時之熱傳係

數、 為鰭片的長與寬、T 為初始溫度、T

為管壁溫度以及 和 為橢圓管的管壁。

) , (X,Y t h_f

L _{in r}

1

Sc S_c2

為了消去方程式中與時間有關的項，

故對這些方程式取拉氏轉換，轉換後之系 統方程式可寫為：

q T T Y s

T X

T

in

~ ~

~

~

2 2 2

2 = − +

∂ +∂

∂

∂ (8)

0

~ =

∂

∂ Y

T 0<X≤L Y =0 (9)

0

~ =

∂

∂ Y

T 0<X≤L Y = L (10)

0

~ =

∂

∂ X

T X =0 0≤Y ≤L (11)

0

~=

∂

∂ X

T X =L 0≤Y ≤L (12)

Tr

T~ = ~ 在 S 上 _c1 (13)

其中 _fδ

f a

k

t Y X h T

q (T− ) ( , , )

= 及s=v+iw

(t

。 為 拉 氏 轉 換 參 數 （ Laplace transform parameter）， 和 均為實數。函數

s

v w φ )之

拉氏轉換為：

∫^{∞ −}

= 0 ( ) )

~(

dt e t

s φ ^st

φ (14)

接著利用中央差分法來處理整個系統 的空間域，可得內部格點之差分方程式如 下：

q T T y s

T T T x

T T T

in i j i j i j i j i j i j

i ~ ~ ~ ~

~ 2

~ 2~

~

2 1 , , 1 , 2

, 1 , ,

1 = − +











∆ + + −













∆ +

− _{− + −}

+

(15)

再配合邊界上之格點方程式可整理成：

[ ]

{ }

上式中

[ ]

{ }

之格點溫度所構成的矩陣， 為強迫矩陣。 f 接著以高斯消去法求解(16)式，並以數值逆 拉氏轉換處理，即可求得鰭片上的溫度分 佈。

預測鰭片上之熱傳係數的流程如下所 述：先將整個鰭片劃分成 8 個小區域，在 每個小區域內之 視為僅是時間的函數，在 進行反算法之前，吾人先假設一組起使猜 測值，接著利用上述之混合數值方法求出 鰭片上之溫度分佈，然後將此計算溫度與 量測溫度比較，其差值若大於容許誤差，

則以最小平方法來修正起使猜測值直至計 算值和量測溫度值的誤差小於某一容許 值，本研究設定為10 。

q

−3

實驗設備與數據分析

本研究在實驗部分設計了一單橢圓管 之板鰭管式蒸發器，管內之工作流體為低 溫滷水(水+乙二醇)，空氣流經鰭片側，板 鰭片材質為編號 SC-304 之不銹鋼，尺寸為

mm D W

L) 100( ) 2( ) (

100 × × ，其熱物理性質

分別為：k_f =13 W/mK、 及

/ 3

7900 kg m ρ =

kgK kJ

c_p =477 / 。霜層厚度可由數位相 機拍攝鰭片上之霜層的成長過程，而後以 影像處理的方法求得霜層厚度。同時在不 同的操作環境下(如表(一) 所示)，利用 T-type 之熱偶計量取不同時間鰭片上八個 不同位置之溫度，鰭片之幾何示意圖及熱 偶計安裝的位置如圖(一)∼圖(三)所示。

五、結果與討論

為了驗證本逆算法的精確性，故先以 多種不同長短軸比(Ar，axis ratio of elliptic tube)之單橢圓管進行數值模擬，並假設鰭 片 上 之 表 面 熱 通 量 為 以 下 形 式 ：

，外界溫度及管壁溫度分別為

及 。接著以本研

究之混合數值方法求得鰭片上之溫度分 佈，如圖(四)∼圖(六)所示。圖(四)，圖(五) 及 圖 ( 六 ) 分 別 為

( q=t x+y

283.15 Ta = K

)

K 258.15 Tr =

500

t= s 時 ， 長 短 軸 比 的假設條件下所求出的 溫度分佈圖。由圖(四)，圖(五)及圖(六) 可以發現，管鰭片的溫度分佈和長短軸有 關。長軸區域的溫度斜率比短軸區域的溫 度斜率大，而此現象會隨著長短軸比的增 加，而愈趨明顯。

1.33 ,

Ar= 1.5 , 2.0

而後再利用此溫度量測數據配合本研 究之數值逆算法，即可求出鰭片上的熱通

量 及熱傳係數 ，結果如

表（二）所示。由表（二）可以發現，預

測結果與假設值間的誤差以 時最

大，其次為 ，誤差最小為

) , , (X Y t

q h_f(X,Y,t) Ar=

Ar 1.33 2.0

Ar= =1.5。

由以上結果，可以發現管壁面積越大者，

鰭片上的溫度變化越劇烈，相對的，其熱 傳係數隨位置的變化也更為明顯，此時，

若只用八個區塊來模擬整個鰭片的熱傳係 數稍嫌不足，導致預測結果的誤差變大。

綜合以上結果可以發現，當Ar=2.0及 時，本研究之預測結果準確性相當 高。而且不論熱傳係數隨位置及時間變化 的關係為何，皆可利用本文之混合數值方 法求出鰭片上的熱傳係數，因此接下來的 研究將把本研究之方法應用於實驗上。

1.5 Ar=

六、參考文獻

1. C. T. Sanders, The influence of frost formation and defrosting on the performance of air coolers, Ph. D.

Dissertation, Technishe. Mogeschool, Delft University, the Netherlands,1974.

2. H. Barrow, “A note on the frosting of heat pump evaporator surfaces,” J. Heat

Recovery System, Vol. 5, 1985.

3. T. Hosoda and H. Uzahashi, “Effect of frost on the heat transfer transfer coefficient,” Hitachi Review, Vol. 16, 1967

4. S. N. Kondepudi and D. L. O’Neal, “The effect of frost growth on the performance of louvered fined tube heat exchangers,”

Int. J. Refrig., Vol. 12, pp. 151-158, 1989.

5. S. N. Kondepudi and D. L. O’Neal, “The effects of frost growth on extended surface heat exchanger performance, a

review,” ASHRAE Trans., Vol. 93(2), pp.

258-274, 1987.

6. S. N. Kondepudi and D. L. O’Neal, “Performance of finned tube heat

exchangers under frosting condition : I.

Simulation model,” Rev. Int. Froid., Vol.16, pp. 175-180, 1993.

7. S. N. Kondepudi and D. L. O’Neal, “The performance of triangular spine fines under frosting conditions,” J. Heat Recovery Systems, Vol. 7(1), pp. 1-5, 1987.

8. S. P. Oskarsson, K. I. Krakow and S. Lin, “Evaporator models for operation with

dry,wet and frosted finned surfaces- Part 1 and 2,” ASHRAE Trans., Vol. 96, pp.

373-392, 1990.

9. F. C. McQuiston, “Fin efficiency with combined heat and mass transfer,”

ASHRAE Trans., Vol. 93(1), 1975.W.

M. Kays and A. L. London, Compact Heat Exchangers, McGrawHill, 2^nded, New York, 1964.

10. D. Q. Kern and A. D. Kraus, Extended Surface Heat Transfer,

McGrawHill, New York, 1972.

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621-631, 1945.

12. F. E. M. Saboya and E. M. Sparrow, “Local and average coefficients for

one-row plate fin and tube heat exchanger configurations,” ASME J. Heat Transfer, Vol. 96, pp. 265-272, 1974.

13. H. T. Chen and J. Y. Lin, “Hybrid Laplace transform technique for non-linear transient thermal problems”,

Int. J. Heat Mass Transfer 34, 1301-1308, 1991.

14. H. T. Chen and J. Y. Lin, “Numerical analysis for hyperbolic heat conduction”, Int. J. Heat Mass Transfer 36, 2891-2898, 1993.

15. Chien-Nan Lin and Jiin-Yuh Jang, “A

3

two-dimensional fin efficiency analysis of combined heat and mass transfer in elliptic fins”, Int. J. Heat and Mass Transfer 45, 3839-3847, 2002.

16. 林倫慶，2001，以逆算法配合實驗數據 預估於各種環境條件下板鰭管式熱交 換 器 結 霜 時 之 二 維 鰭 片 的 熱 傳 遞 係 數，碩士論文，國立成功大學機械工程 研究所。

17. 許永毅，2002，根據實驗數據預測於結 霜時板鰭管式熱交換器之鰭片上熱傳 遞係數，碩士論文，國立成功大學機械 工程研究所。

18. 吳國文，2003，利用逆算法配合實驗數 據預測橢圓鰭管式熱交換器之鰭片於 結霜狀態下的熱傳遞係數，碩士論文，

國立成功大學機械工程研究所。

七、計畫成果自評

本年度之研究為先以數值模擬確認研 究方法，由研究結果可以發現，運用本研 究之混合數值方法求得之預測結果準確性 相當高。因此，接下來的研究將引入實驗 量測之溫度數據，以相同之研究方法進行 分析，以求得板鰭管在實際操作過程中之 熱傳係數，並對鰭片的效率進行分析討論。

V

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圖(一) Ar=1.33之鰭片幾何示意圖及熱電偶的擺設位置

V

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圖(二) Ar=1.5之鰭片幾何示意圖及熱電偶的擺設位置

V

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圖(三) Ar=2.0之鰭片幾何示意圖及熱電偶的擺設位置

圖(四) t=500s^時，Ar=1.33 條件下之溫度分佈圖

圖(五) t=500s時，Ar=1.5條件下之溫度分佈圖

圖(六) t=500s時，Ar=2.0條件下之溫度分佈圖 表(一) 各組實驗的操作條件

組別 T_a (K)

T_r (K)

FS (cm)

V (m/s) A 283.15 258.115 1 1 B 283.15 258.115 1 2 C 283.15 258.115 1 3 D 283.15 258.115 1 4 E 283.15 258.115 1 5 F 283.15 258.115 2 1 G 283.15 258.115 2 2 H 283.15 258.115 2 3 I 283.15 258.115 2 4 J 283.15 258.115 2 5

表(二) 鰭片表面熱傳量之預測結果與假設值的比較

Ar 位置 Q 假設 Q 預測 誤差 mp1 0.017 0.011 mp2 0.055 0.047 mp3 0.054 0.048 mp4 0.029 0.023 mp5 0.061 0.051 mp6 0.051 0.043 mp7 0.102 0.101 1.33

mp8 0.088 0.081 11.33﹪

mp1 0.026 0.019 mp2 0.044 0.042 mp3 0.072 0.068 mp4 0.024 0.018 mp5 0.046 0.039 mp6 0.068 0.064 mp7 0.080 0.089 1.5

mp8 0.114 0.115 3.85﹪

mp1 0.021 0.014 mp2 0.060 0.057 mp3 0.063 0.058 mp4 0.020 0.015 mp5 0.041 0.032 mp6 0.057 0.051 mp7 0.109 0.119 2

mp8 0.099 0.097 5.45﹪

5