I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/21523

不確定超混沌系統的控制器策略及同步化設計

Control Strategy and Synchronization of Uncertain

Hyper-chaotic Systems

研究生：吳瑾祈 撰

指導教授：孫永莒 博士

義守大學

電機工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis Submitted to the

Department of Electrical Engineering

of I-ShouUniversity

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Master Degree

with a Major in Electrical Engineering

July 2017

Kaohsiung Taiwan

Republic of China

致謝

由衷感謝我的指導教授 孫永莒教授這兩年在碩士論文以及學業上的教導、 指正及協助，在面對論文上的疑問及困境時，他總是不厭其煩的幫助解答學生的 疑惑。在學期間，不僅由孫老師身上學到許多電機領域創新的知識，也在其身上 學到諸多待人處事的道理。 再者，特別感謝 鄭竣安教授以及 張恩誌教授抽空撥冗擔任我的口試委員， 並針對碩士論文，提出多項中肯且精闢的建議，使我的碩士論文能夠更臻完善。 在即將完成碩士學業的同時，我要萬分感謝家人在背後默默的支持與鼓勵， 有了你們無私的關愛及協助，方能讓我在這兩年能夠無憂無慮的學習，在此表達 誠摯的謝意。 謹致於 義守大學電機工程研究所 中華民國106 年 7 月

I

摘要

在本篇論文中，首先提出實用指數穩定化的觀念，緊接著針對一類超混沌 控制系統，結合類里亞普若夫理論及微分積分不等式，提出兩套線性控制器，促 使上述系統達成全域指數穩定的標的。由於所設計的控制器為線性控制器，故其 可經由電子電路來實現。另一方面，吾人擬提出εδ同步化的概念﹝註：ε為收 歛半徑，δ為收斂速率﹞，並針對一類具混合式不確定項之主僕控制系統，利用 微分及積分不等式，設計一套保證上述不確定主僕系統達成εδ同步化之新型追 蹤控制器。此控制器不僅指數收斂速率及收斂半徑可事先安排，亦能克服系統外 在之混合式不確定項。最後將提供多個數值範例，來驗證及說明主要定理的正確 性。 關鍵字：超混沌系統、全域指數穩定化、實用指數穩定化、追蹤控制、  同 步化

II

ABSTRACT

In this thesis, the concept of practical exponential stabilizability is introduced

and the stabilization for a class of hyperchaotic systems is investigated. Based on

Lyapunov-like Theorem with differential and integral inequalities, two linear

feedback controllers are proposed to realize the global exponential stabilization of

such systems. Besides, the proposed control can be directly and efficiently realized by

easy-implemented electronic circuits. On the other hands, the concept of   synchronization is introduced and the   synchronization for a class of uncertain master-slave systems with mixed uncertainties is investigated. Based on the

differential and integral inequalities methodology, a tracking control is proposed to

realize the   synchronization for such uncertain systems. Not only the guaranteed exponential decay rate and convergence radius can be pre-specified, but

also the mixed uncertainties can be simultaneously conquered by the proposed control.

Finally, numerical simulations will be given to demonstrate the feasibility and

effectiveness of the obtained results.

KEY WORDS: Hyperchaotic system, Global exponential stabilizability, Practical

III

目錄

中文摘要 I 英文摘要 II 目錄 III 圖目錄 IV 第一章 導論 1 第二章 超混沌系統之線性控制器設計 3 第三章 不確定超混沌主僕系統之追蹤控制器的設計 20 第四章 結論及未來研究方向 33 附錄 34 參考文獻 53 已刊登的文章 60

IV

圖目錄

圖2.1：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖 3 圖 2.2：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖 4 圖 2.3：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖 4 圖 2.4：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖 5 圖 2.5：超混沌控制系統(2.2),(2.7),(2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 9 圖 2.6：超混沌控制系統(2.2),(2.7),(2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 9 圖 2.7：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 10 圖 2.8：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 10 圖 2.9：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之控制器的時域訊號響應圖 11 圖 2.10：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之控制器的時域訊號響應圖 11 圖 2.11：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 16 圖 2.12：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 16 圖 2.13：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 17 圖 2.14：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 17 圖2.15：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 18 圖2.16：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 18 圖2.17：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 19 圖2.18：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 19

V 圖3.1：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 26 圖3.2：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 27 圖3.3：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 27 圖3.4：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 28 圖3.5：不確定主僕系統(3,8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 28 圖3.6：不確定主僕系統(3,8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 29 圖3.7：不確定主僕系統(3,8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 29 圖3.8：不確定主僕系統(3,8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 30 圖3.9：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖 30 圖3.10：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖 31 圖3.11：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖 31 圖3.12：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖 32

1

第一章 導論

關於混沌系統的研究、分析、探討及應用，一直都是從事非線性系統的研究 學者及專注系統應用之相關工程師所關注的課題。在過去的十年，混沌系統的相 關理論已成功且廣泛的應用在各類實際系統中；例如：訊號處理[32]、混沌通訊 保密[16, 30]、雷達系統[19, 22]、雷射物理[20]、電力系統[18, 21]、影像處理[3, 13, 14] ．．．等等[1-2, 4-12, 15, 17, 23-29, 31]。由過去的研究得知，系統當中的混 沌現象，通常是造成系統震盪或不穩定的主因；此外，吾人亦可結合混沌系統的 相關理論，從事各類混沌系統的控制器設計及主僕混沌同步化的追蹤控制器設 計。 誠如我們所知，混沌系統不僅是一類不穩定系統，甚者為一類複雜且非線性 的動態系統，其具有下述四項特性：難以預測的特質、具有大於零的 Lyapunov exponent、寬廣的 Fourier 頻譜及對初始值相當敏感。混沌控制系統的穩定化控 制器設計與主僕混沌控制系統的同步化控制器設計，在近年來尤其受到學者所關 注及探討。特別是在主僕混沌控制系統的同步化設計方面，其應用於保密通訊技 術方面更是不可言喻；原因在於主僕混沌保密通訊系統具有混沌系統的四項特 性，使其保密性增高且破解率大大降低，有效提高系統的安全性。如何在混沌保 密的基礎上，更進一步強化保密通訊系統的功效，著實是從事此方面研究學者的 重要課題。近年來，有關混沌系統的各類型控制器設計，已經有許多方法論被提

2 出，例如：可變結構方法論、倒傳遞方法論、 H方法論、投影同步化方法論、 適應性控制方法論、可變適應性方法論、時域方法論．．．等等。 在本篇論文中，首先提出實用指數穩定化的觀念，同時針對一類超混沌控制 系統，提出兩套線性控制器，運用類里亞普若夫理論及微分積分不等式之理論， 證明上述閉迴路控制系統，必能達成全域指數穩定的目標。另一方面，吾人將提 出 同步化的新思維，並針對一類具混合式不確定項之主僕控制系統，搭配 微分及積分不等式，設計一套保證上述不確定主僕系統達成 同步化之新型 追蹤控制器。值得一提的是，此控制器不僅收斂半徑及指數收斂速率可事先安 排，同時也能克服系統外在的混合式不確定項。在各個主要定理之後，我們將提 供多個數值範例及電腦模擬，來說明及驗證主要定理的效能及正確性。 本篇論文之規劃如下：第一章為混沌系統之導論，第二章為超混沌系統的線 性控制器設計，第三章為不確定超混沌主僕系統之追蹤控制器的設計，第四章為 結論及未來研究方向。

3

第二章 超混沌系統之線性控制器設計

在本章節中，我們考慮下述超混沌系統，其動態方程式如下所示：



2 1



1 a x x x   , (2.1a) , 4 3 1 1 2 bx xx x x    (2.1b) , 3 2 1 3 xx cx x   (2.1c) , 2 4 dx x  (2.1d) 這 裡 的





4 1 4 3 2 1 : x x x x T  x 代 表 狀 態 變 數 ， 並 伴 隨 著 參 數 a0 且 0  c 。誠如我們所知，系統 (2.1) 在某些參數值之下，會表現出混沌行為﹝如 10 , 3 8 , 28 , 10     b c d a ﹞ 。 而 上 述 系 統 (2.1) 之 狀 態 訊 號 時 域 圖 ， 詳 見 圖 2.1-2.4，其程式檔詳見附錄一。 0 10 20 30 40 50 60 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 t (sec) x 1 (t ) 圖 2.1：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖

4 0 10 20 30 40 50 60 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 t (sec) x 2 (t ) 圖 2.2：超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 60 t (sec) x 3 (t ) 圖 2.3： 超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖

5 0 10 20 30 40 50 60 -50 0 50 100 t (sec) x 4 (t ) 圖 2.4： 超混沌系統(2.1)之時域訊號響應圖

6 超混沌控制系統：型式一 吾人考慮下述超混沌控制系統：



2 1



1 a x x x   , (2.2a) , 1 4 3 1 1 2 bx xx x u x     (2.2b) , 3 2 1 3 xx cx x   (2.2c) , 2 2 4 dx u x   (2.2d) 其中





4 1 4 3 2 1 : x x x x T  x _{代表狀態變數，}u:



u₁ u₁



T21_{代表輸入訊} 號，a,b,c,d代表系統參數，並伴隨著參數a0且參數c0_。 在介紹我們第一個主要定理之前，首先提供一個定義如下。 定義 2.1. 茲考慮系統(2.2)，如果存在一個控制器 u ，以及兩個正的參數k 及₁ ，促使下述不等式滿足

 

t k₁e , t0 x t . 則吾人稱系統(2.2)為全域指數穩定，在此狀況之下，參數 稱為指數收斂速率。 本章節之目標係針對系統(2.2)，試圖尋求一個線性控制器 u ，促使上述系統 能達成全域指數穩定之標的。 以下我們針對系統(2.2)提出保證能達成全域指數穩定之主要定理。 定理 2.1 系統(2.2)搭配下述線性回授控制器





1 1 2 1 a b x rx u    , (2.3a)





2 2 4 2 d 1x rx u    , (2.3b)

7 必能達成全域指數穩定，其中參數 r₁0且參數r₂0。在此狀況之下，上述系 統之指數收斂速率可計算為



, , 1, 2



min : a c r r  . (2.4) 證明：由(2.2)及(2.3)吾人可得狀態方程式如下所示：



2 1



1 a x x x   , (2.5a) , 4 3 1 2 1 1 2 ax rx xx x x     (2.5b) , 3 2 1 3 xx cx x   (2.5c) . 4 2 2 4 x rx x   (2.5d) 令

 

 

x t x

 

t x

 

t x

 

t x

 

t V  ₁2  ₂2  ₃2  ₄2 . (2.6) 由(2.6)及(2.5)從而可得

 

 





















 

 

, 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 4 2 2 3 2 2 1 2 1 4 2 2 4 3 2 1 3 4 3 1 2 1 1 2 1 2 1 4 4 3 3 2 2 1 1                               t t x V x x x x x r cx x r ax x r x x cx x x x x x x x r ax x x x ax x x x x x x x x dt t x dV       這意味著

 

 

_{ }

_{ }

. 0 , 0 2     V xt t dt t x dV _ 因此我們可以獲得

8

 

 

_{ }

_{ }

 

 





 

 





0 0 0 2 0 2 2 2 2      



t t t t t dt dt t x V e d dt t x V e d t x V e dt t x dV e     _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 2 2 2 x V e t x x V e t x V t x x V t x V e t t t              得證之。 範例 2.1：考慮超混沌系統(2.2)，並伴隨著下述參數 10 , 3 8 , 28 , 10     b c d a . (2.7) 由(2.3)及搭配r₁ r₂ 3，吾人可得控制器如下所示： 2 1 1 38x 3x u   , (2.8a) 4 2 2 9x 3x u   . (2.8b) 因此，由主要定理 2.1，我們可知系統(2.2)伴隨著參數(2.7)及使用的控制器(2.8) 將能達成全域指數穩定之標的。在此同時，其指數收斂速率可計算為 3 8   。 上述回授控制系統之狀態變數時域訊號圖，請參閱圖 2.5-2.8；其程式碼請參 閱附錄二。再者，回授控制系統之輸入訊號時域訊號圖，請參閱圖 2.9-2.10；其 程式碼請參閱附錄三。

9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (sec) x 1 (t ) 圖 2.5：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1 0 1 2 3 4 5 t (sec) x 2 (t ) 圖 2.6：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖

10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t (sec) x 3 (t ) 圖 2.7：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 t (sec) x 4 (t ) 圖 2.8：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之加控制器後的時域訊號響應圖

11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 t (sec) u 1 (t ) 圖 2.9：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之控制器的時域訊號響應圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t (sec) u 2 (t ) 圖 2.10：超混沌控制系統(2.2), (2.7), (2.8)之控制器的時域訊號響應圖

12 超混沌控制系統：型式 II 吾人考慮下述另一種形式的超混沌控制系統：



2 1



1 1 a x x u x    ， (2.9a) 2 4 3 1 1 2 bx xx x u x     ， (2.9b) 3 3 2 1 3 xx cx u x    ， (2.9c) 4 2 4 dx u x   。 (2.9d) 這裡的





4 1 4 3 2 1 : x x x x T   x _{代表狀態變數，而} :



1 2 3 4



41     T u u u u u 代表輸入向量，並伴隨著參數a0及c0_。 在介紹下一個主要定理之前，我們下述定義。 定義 2.2. 茲考慮系統(2.9)。如果存在一個控制器u

 

 ，其中0，且存在一個正 數k ，促使下列不等式滿足 ₁

 

t k₁e , t0 x t . 則我們稱系統(2.9)為實用型指數穩定。 附註 2.1. 從上述定義吾人可知，實用型指數穩定之收斂速率 ，可以任意事先 安排。 本章節的目標係針對系統(2.9)，嘗試尋找一個線性控制器u

 

 ，促使系統能 達成實用指數穩定的標的。 以下針對系統(2.9)，我們提出保證能達成實用指數穩定的第二個主要定理。

13 定理 2.2. 若系統(2.9)採用的控制器如下所示：





1 1 a x u   , (2.10a)





1 2 2 a bx x u    , (2.10b) 3 3 x u  , (2.10c)





2 4 4 d 1x x u    , (2.10d) 其中 0，則必能達成實用指數穩定。 證明. 由(2.9)及(2.10)，閉迴路之狀態方程式可表示成 2 1 1 x ax x   , (2.11a) , 4 3 1 2 1 2 ax x xx x x     (2.11b)





₃, 2 1 3 xx c x x    (2.11c) . 4 2 4 x x x   (2.11d) 令

 

 

x t x

 

t x

 

t x

 

t x

 

t V  ₁2  ₂2  ₃2  ₄2 . (2.12) 經由(2.12)及(2.11)，我們可得

 

 





























 

 

, 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 4 2 3 2 2 2 1 4 2 4 3 2 1 3 4 3 1 2 1 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1                                  t t x V x x x x x x c x ax x x x x c x x x x x x x ax x ax x x x x x x x x x x dt t x dV              這意味著

14

 

 

_{ }

_{ }

. 0 , 0 2     V xt t dt t x dV _ 由此吾人可推得

 

 

_{ }

_{ }

 

 





 

 





0 0 0 2 0 2 2 2 2      



t t t t t dt dt t x V e d dt t x V e d t x V e dt t x dV e     _

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 0 0 0 2 2 2 x V e t x x V e t x V t x x V t x V e t t t              得證之。 範例 2.2: 考慮系統(2.9)之超混沌控制系統並伴隨著如下參數 10 , 3 8 , 28 , 10     b c d a . (2.13) 由於(2.10)，我們可獲得控制器如下所示





1 1 10 x u   , (2.14a) 2 1 2 38x x u   , (2.14b) 3 3 x u  , (2.14c) 4 2 4 9x x u   . (2.14d) 因此，由主要定理 2.2，我們可獲知系統(2.9)搭配參數(2.13)，並輔以線性控制器 (2.14)，將可達成實用指數穩定之標的，其中指數收斂速率為。

15

上述加了控制器之後的系統，並伴隨著參數8的狀態變數時域訊號圖，

請參閱圖 2.11-2.14；其程式碼請參閱附錄 4。再者，上述系統之輸入訊號時域訊 號圖，請參閱圖 2.15-2.18；其程式碼請參閱附錄 5。

16 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 t (sec) x 1 (t ) 圖 2.11：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 0 1 2 3 4 5 t (sec) x 2 (t ) 圖 2.12：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖

17 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 t (sec) x 3 (t ) 圖 2.13：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 t (sec) x 4 (t ) 圖 2.14：超混沌控制系統(2.9), (2.13), (2.14)之加控制器後的時域訊號響應圖

18 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 t (sec) u 1 (t ) 圖 2.15：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 t (sec) u 2 (t ) 圖 2.16：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖

19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 t (sec) u 3 (t ) 圖 2.17：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 t (sec) u 4 (t ) 圖 2.18：(2.9), (2.13), (2.14)之控制器的時域訊號響應圖

20

第三章 不確定超混沌主僕系統之追蹤控制器的設計

本章節中，首先提出 同步化之概念，緊接著針對一類具有不確定參 數及不確定外來雜訊之主僕系統的  同步化做討論。結合微分不等式及積分 不等式的技巧，針對上述系統，提出一套保證達成 同步化之追蹤控制器設 計。最後，我們提供多個數值範例，來說明本篇主要定理的實用性及有效性。 本章節考慮的不確定主系統如下：



x x



f

 

x t a x₁ ₂ ₁ ₁ , , (3.1a)

 

, , 2 4 3 1 1 2 bx x x x f x t x     (3.1b)

 

, , 3 3 2 1 3 x x cx f x t x    (3.1c)

 

, , 4 2 4 dx f xt x   (3.1d) 其中a,b,c,dR代表系統參數， :



1 2 3 4



41     T x x x x x _{為狀態變數，另外}



1,2,3,4



,  f_i i 代表不確定系統參數及外來雜訊。 附 註 3.1 ： 誠 如 我 們 所 知 ， 超 混 沌 潘 系 統 [1] 為 上 述 系 統 3.1 於 下 述 參 數 10 , 3 8 , 28 , 10     b c d a 及 f_i 0,i



1,2,3,4



之特例。 本章節所考慮的不確定僕系統如下：



2 1



1

 

1 1 a z z g z,t u z     , (3.2a)

 

, ₂, 2 4 1 2 bz z g z t u z     (3.2b)

 

, ₃, 3 3 3 cz g z t u z    (3.2c)

21

 

, ₄, 4 2 4 dz g z t u z    (3.2d) 這裡的a,b,c,dR為系統參數，





41 4 3 2 1 : z z z z T  z 為僕系統的狀態變 數，





41 4 3 2 1 : u u u u T u 為輸入訊號，以及g_i,i



1,2,3,4



代表系統的 不確定參數及外來雜訊。此外，為了保證(3.1)及(3.2)兩系統之解的存在性，我們 假設所有的不確定項都為平滑函數。為了簡化起見，我們定義如下的同步化誤差 向量：



1,2,3,4



. ,   z x i e_{i i i} (3.3) 本章節的標的為設計一個追蹤控制器 u ，促使僕系統(3.2)之狀態變數 z ， 能追蹤到主系統(3.1)之狀態變數 x 。 以下針對不確定項做以下的假設； (A1) 假設存在一個連續函數 f_i

 

x,t 0及g_i

 

z,t 0，促使對所有的自變數而 言，滿足以下不等式：

 

x t f

 

x t fi ,  i ,  及 gi

 

z,t gi

 

z,t , i



1,2,3,4



。 有關  同步化之定義介紹如下。  定義 3.1. 茲考慮(3.1)及(3.2)之主僕超混沌系統，給定任意的 0及 0，如 果存在一個追蹤控制器u : u

 

, ，促使同步誤差能滿足以下之不等式：

 

t  e

 

0 e  ,i



1,2,3,4



ei i t   及 t 0，

22 則我們稱上述主僕系統達成  同步化。在此同時，參數 稱作收斂半徑，而 參數 稱作指數收斂速率。由上述定義我們可以知道，系統如果能達成 同 步化，則其暫態響應及穩態響應均足夠好。如e_i

 

t 會是有界的，以及ess 。換 言之， 同步化將會促使僕系統的狀態變數 z

 

t ，能以事先任意安排的指數收 斂速率及收斂半徑，去追蹤主系統 (3.1)的狀態變數x

 

t 。 以下我們提出保證主僕系統(3.1)及(3.2)達成 同步化之主要定理。  定理 3.1. 茲考慮主僕系統(3.1)及(3.2)。若設計的追蹤控制器如下所示：





_



_



₂ , 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1  _         e g f e g f e e e a u (3.4a)









2, 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 2  _          e g f e g f e x x e be u (3.4b)









2, 3 3 3 3 2 3 3 3 2 1 3 3  _        e g f e g f e x x ce u (3.4c)









2 , 4 4 4 4 2 4 4 4 2 4  _       e g f e g f e de u (3.4d) 其中 0以及 0。則我們保證上述主僕系統必能達成   同步化的標的。  證明：由文獻 [1]可知，系統(3.1)及(3.2)，搭配控制器(3.4)之解將會存在。由 (3.1)-(3.4)，我們可得誤差動態方程式如下：





_



_



₂ 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1  _                  e g f e g f f g e u f g e e a e , (3.5a)









2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 4 1 2  _                   e g f e g f f g e u f g x x e be e , (3.5a)

23









2 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 3 3  _                   e g f e g f f g e u f g x x ce e , (3.5a)









2 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 4  _                  e g f e g f f g e u f g de e , (3.5a) 令

 



e t



e

 

t V _i  _i2 . (3.6) 由(3.5)及(A1)，我們可得V

 

e_i

 

t 對時間之導數如下：









_              ₂ 2 2   i i i i i i i i i i e g f e g f f g e e dt dV





_



_



2 2 2 2 2 2 2             i i i i i i i i i i e g f e g f f g e e









2 2 2 2 2 2 2             i i i i i i i i i e g f e g f f g e e





_



_



2 2 2 2 2 2 2           i i i i i i i i i i e g f e g f g f e e









2 2 2 2          i i i i i i e g f e g f V . 2 2  2   V (3.7) 由(3.6)及(3.7)，我們即可獲得 2 2 2    V dt dV t t t e V e dt dV e2  2 2  22 2 





t t e dt V e d  _2 2_ 2 2   

24









   t t t t dt e dt dt V e d 0 2 2 0 2 2   

 







 





t



t i i t e e e V t e V e2   0 2 2 1 2 2 

 

2 2

 

 

 



 



2 2 0         t i i i i t e t V e t V e e e

 



 



 





 

0 ,



1,2,3,4



. 0 0 2 2 2 2                i e e e e V e e V t e t i t i t i i       得證之。 附註 3.2. 由(3.4)我們可以獲得輸入訊號之上下界如下所示：

 





1

 

2

  

1 1



, 1 t a e t ae t f g u     

 

1

 

4

 

1 3 2

  

2 2



, 2 t be t e t xx e t f g u      

 





3

 

1 2



3 3



, 3 t c e t xx f g u     

 

2

 

4

  

4 4



. 4 t d e t e t f g u     這意味著u_i 之上界與參數a,b,c,d,及 息息相關。 附註 3.3. 由主要定理可知，不僅指數收斂速率及收斂半徑可以事先安排，而且 我們所提供的控制器，可以同時克服不確定的系統參數及不確定的外來雜訊。 以下提供一個範例來說明上述主要定理。 範例 3.1 考慮的不確定主系統如下：



x x



f

 

xt x₁10 ₂ ₁ ₁ , , (3.8a)

 

, , 28 _{1 1 3 4 2} 2 x xx x f x t x     (3.8b)

25

 

, , 3 8 3 3 2 1 3 xx x f x t x    (3.8c)

 

, , 10 _{2 4} 4 x f x t x   (3.8d) 其中 fi

 

x,t 0.1, i



1,2,3,4



. 考慮的不確定僕系統如下：



2 1



1

 

1 1 10 z z g z,t u z     , (3.9a)

 

, , 28 _{1 4 2 2} 2 z z g z t u z     (3.9b)

 

, , 3 8 3 3 3 3 z g z t u z    (3.9c)

 

, , 10 _{2 4 4} 4 z g z t u z    (3.9d) 其中 gi

 

x,t 0.1, i



1,2,3,4



. 本範例的標的為針對系統(3.8)及(3.9)之主僕系統，擬設計一套回授控制器，促使 上述系統能達到  同步化；在此同時，我們擬設計的指數收斂速率為  2及 指數收斂半徑為 0.01。比較(3.8)-(3.9)並搭配(3.1)-(3.2)，我們可獲得如下之 參數： 10 , 3 8 , 28 , 10     b c d a . 如果我們令 f_i

 

x,t g_i

 

x,t 0.1, i



1,2,3,4



，則條件(A1)自然會滿足。由 (3.4)，吾人可得設計的控制器如下所示：





, 10 4 2 . 0 04 . 0 2 10 ₄ 1 1 1 1 2 1     _{ }  e e e e e u (3.10a) , 10 4 2 . 0 04 . 0 2 28 ₄ 2 2 2 3 1 4 1 2      _{ }  e e e x x e e u (3.10b) , 10 4 2 . 0 04 . 0 2 3 8 4 3 3 3 2 1 3 3     _{ }  e e e x x e u (3.10c)

26 . 10 4 2 . 0 04 . 0 2 10 ₄ 4 4 4 2 4    _{ }  e e e e u (3.10d) 由定理3.1，我們即可獲得主僕系統(3.8)及(3.9)並搭配追蹤控制器(3.10)，將能達 成  同步化之標的。此外其保證的指數收斂速率為  2，而收斂半徑為 01 . 0   。 不確定超混沌主系統(3.8之狀態變數時域訊號圖，請參見圖3.1-3.4 (其程式碼 請參考附錄6)。此外，有關於主僕系統(3.8)及(3.9)搭配控制器(3.10)之同步誤差時 域訊號圖，請參見圖3.5-3.8 (其程式碼請參考附錄7)。由上述電腦模擬結果，我 們可得知主僕系統(3.8)及(3.9)搭配控制器(3.10)，確實能達成 同步化之標的。  再者，本範例之控制輸入訊號時域圖，請參見圖3.9-3.12(其程式碼請參考附錄 8)。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 t (sec) x 1 (t ) 圖3.1：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖

27 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -30 -20 -10 0 10 20 30 t (sec) x 2 (t ) 圖3.2：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 10 20 30 40 50 60 t (sec) x 3 (t ) 圖3.3：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖

28 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 t (sec) x 4 (t ) 圖3.4：不確定超混沌系統(3.8)之時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 t (sec) e 1 (t ) 圖3.5：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖

29 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t (sec) e 2 (t ) 圖3.6：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 t (sec) e 3 (t ) 圖3.7：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖

30 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 t (sec) e 4 (t ) 圖3.8：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之加控制器後的誤差時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t (sec) u 1 (t ) 圖3.9：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖

31 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -1000 -500 0 500 t (sec) u 2 (t ) 圖3.10：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -100 0 100 200 300 400 500 t (sec) u 3 (t ) 圖3.11：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖

32 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t (sec) u 4 (t ) 圖 3.12：不確定主僕系統(3.8)-(3.10)之控制器的時域訊號響應圖

33

第四章 結論及未來研究方向

4-1 結論 在本篇論文中，我們首先針對一類超混沌控制系統，利用微分積分不等式 及類里亞普若夫理論，分別提出兩套線性控制器，促使上述系統達成全域指數穩 定的目標。再則，我們提出 同步化的新概念，針對一類具有混合式不確定 項之主僕控制系統，運用微分及積分不等式，設計一套保證上述不確定主僕系統 達成  同步化的新型控制器。此追蹤控制器不僅指數收斂速率及收斂半徑可 事先任意安排，同時也能克服系統外在的混合式不確定項。最後我們也提供多個 數值範例，來驗證及說明主要定理的正確性。 4-2 未來研究方向 一： 針對更高階的超混沌控制系統，設計線性控制器，促使閉迴路系統達成全 域指數穩定的目標。 二： 針對更廣義的不確定主僕式混沌系統，設計另類新型追蹤控制器，促使閉 迴路系統能達成性能更優質的同步化標的。

34

附錄一

clc;clear; t0=0;tf=60;x0=[10 15 20 30];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; %plot(t,p(:,1)); %plot(t,p(:,2)); %plot(t,p(:,3)); plot(t,p(:,4)); xlabel('t (sec)'); %ylabel('x1(t)'); %ylabel('x2(t)'); %ylabel('x3(t)'); ylabel('x4(t)');

35 function xdot=odef(t,x); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2); xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4); xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3); xdot(4)=-10*x(2); xdot=xdot';

36

附錄二

clc;clear; t0=0;tf=10;x0=[2 5 -2 -5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; u1=-af1*p(:,1)-af2*p(:,2); u2=af3*p(:,3)-af4*p(:,4); plot(t,p(:,1)); %plot(t,p(:,2)); %plot(t,p(:,3)); %plot(t,p(:,4)); xlabel('t (sec)'); ylabel('x1(t)'); %ylabel('x2(t)'); %ylabel('x3(t)'); %ylabel('x4(t)');

37 function xdot=odef(t,x); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; u1=-af1*x(1)-af2*x(2); u2=af3*x(3)-af4*x(4); xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2); xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+u1; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3); xdot(4)=-10*x(2)+u2; xdot=xdot';

38

附錄三

clc;clear; t0=0;tf=10;x0=[2 5 -2 -5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; u1=-af1*p(:,1)-af2*p(:,2); u2=af3*p(:,3)-af4*p(:,4); plot(t,u1); %plot(t,u2); xlabel('t (sec)'); ylabel('u1(t)'); %ylabel('u2(t)');

39 function xdot=odef(t,x); af1=38; af2=3; af3=9; af4=3; u1=-af1*x(1)-af2*x(2); u2=af3*x(3)-af4*x(4); xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2); xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+u1; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3); xdot(4)=-10*x(2)+u2; xdot=xdot';

40

附錄四

clc;clear; t0=0;tf=10;x0=[2 5 -2 -5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af=8; plot(t,p(:,1)); %plot(t,p(:,2)); %plot(t,p(:,3)); %plot(t,p(:,4)); xlabel('t (sec)'); ylabel('x1(t)'); %ylabel('x2(t)'); %ylabel('x3(t)'); %ylabel('x4(t)');

41 function xdot=odef(t,x); af=8; u1=-(af+10)*x(1); u2=-38*x(1)-af*x(2); u3=-af*x(3); u4=9*x(2)-af*x(4); xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)+u1; xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+u2; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3)+u3; xdot(4)=-10*x(2)+u4; xdot=xdot';

42

附錄五

clc;clear; t0=0;tf=10;x0=[2 5 -2 -5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af=8; u1=-(af+10)*p(:,1); u2=-38*p(:,1)-af*p(:,2); u3=-af*p(:,3); u4=9*p(:,2)-af*p(:,4); plot(t,u1); %plot(t,u2); %plot(t,u3); %plot(t,u4); xlabel('t (sec)'); ylabel('u1(t)'); %ylabel('u2(t)'); %ylabel('u3(t)'); %ylabel('u4(t)');

43 function xdot=odef(t,x); af=8; u1=-(af+10)*x(1); u2=-38*x(1)-af*x(2); u3=-af*x(3); u4=9*x(2)-af*x(4); xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)+u1; xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+u2; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3)+u3; xdot(4)=-10*x(2)+u4; xdot=xdot';

44

附錄六

clc;clear; t0=0;tf=50;x0=[1 0.5 0 -0.5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); plot(t,p(:,1)); %plot(t,p(:,2)); %plot(t,p(:,3)); %plot(t,p(:,4)); xlabel('t (sec)'); ylabel('x1(t)'); %ylabel('x2(t)'); %ylabel('x3(t)'); %ylabel('x4(t)');

45 function xdot=odef(t,x); df1=0.1; df2=0.1; df3=0.1; df4=0.1; xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)+df1; xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+df2; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3)+df3; xdot(4)=-10*x(2)+df4; xdot=xdot';

46

附錄七

clc;clear; t0=0;tf=5;x0=[1 0.5 0 -0.5 2 1 -0.5 -1.5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); e1=p(:,5)-p(:,1); e2=p(:,6)-p(:,2); e3=p(:,7)-p(:,3); e4=p(:,8)-p(:,4); plot(t,e1); %plot(t,e2); %plot(t,e3); %plot(t,e4); xlabel('t (sec)'); ylabel('e1(t)'); %ylabel('e2(t)'); %ylabel('e3(t)'); %ylabel('e4(t)');

47 function xdot=odef(t,x); af=2; as=0.01; df1=0.1; df2=0.1; df3=0.1; df4=0.1; dg1=0.1; dg2=0.1; dg3=0.1; dg4=0.1; e1=x(5)-x(1); e2=x(6)-x(2); e3=x(7)-x(3); e4=x(8)-x(4); k1=abs(dg1)+abs(df1); k2=abs(dg2)+abs(df2); k3=abs(dg3)+abs(df3); k4=abs(dg4)+abs(df4); r1=(k1*k1)/(k1*abs(e1)+af*as*as); r2=(k2*k2)/(k2*abs(e2)+af*as*as); r3=(k3*k3)/(k3*abs(e3)+af*as*as); r4=(k4*k4)/(k4*abs(e4)+af*as*as); u1=-10*(e2-e1)-af*e1-r1*e1; u2=-28*e1-e4-x(1)*x(3)-af*e2-r2*e2; u3=(8/3)*e3+x(1)*x(2)-af*e3-r3*e3; u4=10*e2-af*e4-r4*e4; xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)+df1; xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+df2; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3)+df3; xdot(4)=-10*x(2)+df4;

48 xdot(5)=-10*x(5)+10*x(6)+dg1+u1; xdot(6)=28*x(5)+x(8)+dg2+u2; xdot(7)=-(8/3)*x(7)+dg3+u3; xdot(8)=-10*x(6)+dg4+u4; xdot=xdot';

49

附錄八

clc;clear; t0=0;tf=5;x0=[1 0.5 0 -0.5 2 1 -0.5 -1.5];[t,p]=ode15s('odef',t0,tf,x0); af=2; as=0.01; df1=0.1; df2=0.1; df3=0.1; df4=0.1; dg1=0.1; dg2=0.1; dg3=0.1; dg4=0.1; e1=p(:,5)-p(:,1); e2=p(:,6)-p(:,2); e3=p(:,7)-p(:,3); e4=p(:,8)-p(:,4); k1=abs(dg1)+abs(df1); k2=abs(dg2)+abs(df2); k3=abs(dg3)+abs(df3); k4=abs(dg4)+abs(df4); r1=(k1*k1)/(k1*abs(e1)+af*as*as); r2=(k2*k2)/(k2*abs(e2)+af*as*as); r3=(k3*k3)/(k3*abs(e3)+af*as*as); r4=(k4*k4)/(k4*abs(e4)+af*as*as); u1=-10*(e2-e1)-af*e1-r1*e1; u2=-28*e1-e4-p(:,1).*p(:,3)-af*e2-r2*e2; u3=(8/3)*e3+p(:,1).*p(:,2)-af*e3-r3*e3; u4=10*e2-af*e4-r4*e4;

50 plot(t,u1); %plot(t,u2); %plot(t,u3); %plot(t,u4); xlabel('t (sec)'); ylabel('u1(t)'); %ylabel('u2(t)'); %ylabel('u3(t)'); %ylabel('u4(t)');

51 function xdot=odef(t,x); af=2; as=0.01; df1=0.1; df2=0.1; df3=0.1; df4=0.1; dg1=0.1; dg2=0.1; dg3=0.1; dg4=0.1; e1=x(5)-x(1); e2=x(6)-x(2); e3=x(7)-x(3); e4=x(8)-x(4); k1=abs(dg1)+abs(df1); k2=abs(dg2)+abs(df2); k3=abs(dg3)+abs(df3); k4=abs(dg4)+abs(df4); r1=(k1*k1)/(k1*abs(e1)+af*as*as); r2=(k2*k2)/(k2*abs(e2)+af*as*as); r3=(k3*k3)/(k3*abs(e3)+af*as*as); r4=(k4*k4)/(k4*abs(e4)+af*as*as); u1=-10*(e2-e1)-af*e1-r1*e1; u2=-28*e1-e4-x(1)*x(3)-af*e2-r2*e2; u3=(8/3)*e3+x(1)*x(2)-af*e3-r3*e3; u4=10*e2-af*e4-r4*e4; xdot(1)=-10*x(1)+10*x(2)+df1; xdot(2)=28*x(1)-x(1)*x(3)+x(4)+df2; xdot(3)=x(1)*x(2)-(8/3)*x(3)+df3; xdot(4)=-10*x(2)+df4;

52 xdot(5)=-10*x(5)+10*x(6)+dg1+u1; xdot(6)=28*x(5)+x(8)+dg2+u2; xdot(7)=-(8/3)*x(7)+dg3+u3; xdot(8)=-10*x(6)+dg4+u4; xdot=xdot';

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