行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
以線性矩陣不等式法發展廣義π分配理論及其應用(3/3)
計畫類別： 個別型計畫 計畫編號： NSC93-2213-E-002-020- 執行期間： 93 年 08 月 01 日至 94 年 10 月 31 日 執行單位： 國立臺灣大學電機工程學系暨研究所 計畫主持人： 馮蟻剛 報告類型： 完整報告 報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 94 年 12 月 20 日
行政院國家科學委員會補助專題研究計畫成果報告
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以線性矩陣不等式法發展 ※
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廣義
π
分配理論及其應用
（
3/3）
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計畫類別：
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個別型計畫
整合型計畫
計畫編號：NSC 93 - 2213 - E - 002 - 020
執行期間：93 年 8 月 1 日 至 94 年 10 月 31 日
計畫主持㆟：馮 蟻 剛 教 授
共同主持㆟：
本成果報告包括以㆘應繳交之附件：
□赴國外出差或研習心得報告㆒份
□赴大陸㆞區出差或研習心得報告㆒份
;
出席國際學術會議心得報告及發表之論文各㆒份
□國際合作研究計畫國外研究報告書㆒份
執行單位： 國 立 臺 灣 大 學 電 機 工 程 學 系
㆗ 華 民 國 94 年 10 月 7 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
以線性矩陣不等式法發展廣義π 分配理論及其應用（
3/3）
Developing and Applying The Generalized π -Sharing Theory
Using Linear Matrix Inequality (3/3)
計畫編號：NSC 93-2213-E-002-020
執行期限：93 年 8 月 1 日至 94 年 10 月 31 日
主持㆟：馮蟻剛 國立臺灣大學電機工程學系
㆒、㆗文摘要 本年度計畫主要利用廣義π 分配理論，針 對在時間延遲系統㆗的穩定性分析與應用 進行研究。與時間延遲參數無關的延遲獨 立穩定性之充分條件是主要的結果，並針 對迴授控制器設計的應用問題，提出對應 的設計演算法。所有結果都以線性矩陣不 等式的形式呈現，以利凸集最佳化的運 算。 關鍵詞：π 分配理論，時間延遲，線性矩 陣不等式，控制器設計, 被動性。Abstract: In this report, the generalized π
-sharing theory for the retarded type linear time-delay systems is established and used to develop a procedure for synthesizing stabilizing controllers, including PI-controllers. The proposed method is based on the linear matrix inequality formulation and is easy to apply.
Keywords: π -sharing theory, time delay,
LMI, controller design, passivity.
㆓、緣由與目的 在實際控制系統㆗狀態具有時間延遲的現 象極為普遍[1]，如熱軋鋼系統㆗，溫度控 制機制㆗狀態的延遲，將直接造成輥輪壓 力的不均，而影響軋滾的成效和品質。因 此，對於線性時間延遲系統的分析和控制 問題，長久以來即引發許多學者注意與研 究。而在時域㆖的穩定性分析及控制方 法，又多以 Lyapunov-Krasovskii 函數或 Lyapunov-Razumikhin 函數的李雅普諾夫 第㆓方法(Lyapunov's second method)為根 據加以討論[2][3]。即便如此，仍有㆒些問 題並未完全被解決，例如，如何設計相關 固定階數的控制器問題等。在[4] ㆗說明了 構 成 具 時 間 延 遲 之 線 性 系 統 被 動 性 (passivity) 的某些充分條件及可穩定的條 件。本年度計畫藉著π分配理論對被動性 理論的包容性，以系統能量耗散的觀點， 對時間延遲系統的π穩定度進行研究，並 針對具未知延遲時間的不穩定系統，設計 固定階數的穩定控制器以穩定之。 ㆔、研究方法與成果 符號定義： 1. X ≥0表示X 為對稱(symmetric)且半正 定(positive semi-definite)矩陣。 2. X ≥ 表示Y X − Y ≥0為對稱且半正定矩 陣。類似符號亦適用於對稱正定(positive definite)或負定(negative definite)矩陣。 3. 常數向量 x 的 2-範數(two-norm)以 x 表 示 ， 而 矩 陣 X 的歸納 2-範數(induced two-norm) 表示成 X 。 以連續時間t為變數之向量x1(t),x2(t)， 其內積定義為
∫
′ ≡ T T x t x t dt x x 0 1 2 2 1, ( ) ( ) ， 其㆗T ≥0為㆒常數。 3.1 針對時間延遲系統之π 分配理論 考慮以㆘狀態具時間延遲之線性動態系統 Σ ，其狀態空間表示式：Σ :
[
]
− ∈ ∀ = + − + = + − + = , , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 d t t t x t Du d t x C t Cx t y t Bu d t x A t Ax t x d d φ (1) 其 ㆗ ， x(t)∈ℜn 為 系 統 狀 態 變 數 ， m t y t u( ), ( )∈ℜ 為系統Σ 之輸入與輸出變 數，A,Ad,B,C,Cd,D皆為常數系統矩陣， d 是延遲時間，φ 為初始條件函數。對於(⋅) 時間T ≥0，若x(t),y(t),u(t)滿足㆘列不等 式： , , , ) ( ) ( ,Sy T v T v y Py T u Ru T u ≥ − 0 + + (2) 則稱此時間延遲系統Σ 具有π 分配特性， 且存在相對應之π 係數 {S,Γ,Q,P,R}，其 ㆗ S∈ℜm×m 為 任 意 之 方 陣 ， , ) ( ) ( ) ( ) ( ) (∫
− + Γ = t d t T T t x t x Qx d x t v τ τ τ n n Q∈ℜ × Γ, 為半正定矩陣，P,R∈ℜm×m為 對稱矩陣。式(2)描述系統Σ 具有㆓次形式 的能量供給率函數和能量之耗散性，其 ㆗， u,Sy T 代表經由外界提供給Σ 的能 量。當Σ 由外界獲得能量時，則 u,Sy T ≥0。 ) ( ) (T v 0 v − 表示系統狀態變數所儲存之能 量， y,Py T + u,Ru T則描述系統Σ 與其它 相連系統之能量交換狀況與互動情形。對 應式（1）與（2），可定義㆒耗散矩陣， , 0 33 23 13 23 22 12 13 12 11 ≤ = M M M M M M M M M M T T T (3) 其組成元素為： , PC C Q A A M = TΓ+Γ + + T 11 , ) (SC C PD B M =Γ − T + T 2 1 12 , d T d C PC A M13=Γ + , ) ) ( (SD SD R PD D M = T − + T + 2 1 22 (4) , d d TPC SC D M 21 23= − . Q PC C M T d d − = 33 就半負定的耗散矩陣而言，以㆘的輔助定 理證明了π 係數集合的存在。 輔助定理 1：若M ≤0，Γ≥ 0和Q≥0， 則系統Σ 滿足π 分配特性，且具有相對應 之π 係數 {S,Γ,Q,P,R}。 證明：利用系統Σ 之(1)，不等式(2)相當於 . , , ) ( , 0 0 + + ≤ + − u Sy T∫
Tv t dt y Py T u Ru T 當取ζT(t)=[
xT(t) uT(t) xT(t−d)]
時，即 可得到 ζ M, ζ ≤0. □ 從π 分配理論的討論㆗[5]可知，系統的π 穩定性是同時包含著狀態與輸入輸出的穩 定性。以㆘的充分條件說明了在時間延遲 系統Σ ㆗，相對於π 係數{S,Γ,Q,P,R}的 廣義π 穩定度。 輔助定理2：設系統Σ 滿足π 分配特性，並 具 有 對 應 之π 係 數{S Γ, ,Q,P,R}， 其 ㆗ , 0 > Γ P>0。令s0 = S , γ0 =λmin( )
Γ ,( )
, min 0 P p =λ 且r{
s2 p0 min( )
R}
0 0 =min 4 ,λ 。則 對所有T ≥0，( )
( )
, 4 0 1 max 0 0 2 0 0 0 − + ≤ ≤ ≤t T p r uT s v t x γ (5)( )
. 2 4 0 0 0 0 2 0 0 0 T T p u r p s s p v y + − + ≤ (6) 證明：從(2)式及 Schwarz 不等式可以很快 ㆞得到以㆘的關係。( ) ( )
( )
( )
0 . 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 T T T T T T u r y p v T x u r y p v T v y u s + + − ≥ + + − ≥ γ 相當於，( )
( )
( )
. 4 0 4 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 T T T T u r p s v u r p s u p s y p v T x − + ≤ − + − − ≤ γ 所以，對於時間T ≥0，( )
( )
( )
, 4 0 1 4 0 1 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 − + ≤ − + ≤ T T u r p s v u r p s v T x γ γ 對於所有t∈[ ]
0,T ，( )
( )
( )
, 4 0 1 4 0 1 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 − + ≤ − + ≤ T t u r p s v u r p s v t x γ γ 即驗證了(5)。而(6)式的驗證則是以關係式( ) ( ) ( )
0 0 2 0 0 2 0 y s u y r u v vT v p T − T T + T ≤ − ≤ 為起點，同樣依循(5)的類似技巧推演。細 節的部分，在此省略之。 □ 值得注意的是，㆒旦輔助定理 2 的條件被 滿足，則當系統Σ 的初始函數φ 為有界函(⋅) 數，且系統輸入訊號包含有限能量時，則 系統Σ 便擁有有界之狀態響應及有限能量 之輸出訊號。這就是針對時間延遲系統的 廣義π 分配穩定。 π 分配理論㆒個重要的優點是，在迴授系 統㆗，該迴授系統的π 係數可以由其個別 子系統的π 係數加以結合[5]，因此，計算 ㆖方便許多。這樣的特性，也存在於時間 延遲系統的廣義π 分配理論㆖。 輔助定理 3：考慮圖㆒， Σ 代表整個回授 系統，其子系統S1 及 S2 都表示成如(1)之 形式，且皆滿足π 特性，而分別對應π 係 數{
S1,Γ1,Q1,P1,R1}
及{
S2,Γ2,Q2,P2,R2}
。則 系統Σ 滿足π 分配特性，且其對應之π 係數 為{
}
(
)
(
)
. 0 0 , , 0 0 , 0 0 , 2 2 , , , , 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 + − − + Γ Γ − = Γ R R R P S S S S R P Q Q S R R S R P Q S T T (7) 證明：令xT =[
x1T x2T]
,[
]
, 2 1 T T T u u u =[
1T 2T]
, T y y y =[
1 T2]
, e T e T e u u u = 且 . 0 0 , 0 0 ~ , 0 0 ~ 2 1 2 1 − = = = I I H P P P S S S 針對i=1,2,將以㆘的不等式 , , , ) 0 ( ) ( , i i T i i i i i T i i i T i S y v T v y Py u Ru u ≥ − + + 相加，可以得到 , , ~ , ) 0 ( ) ( ~ , T T T v T v y Py u Ru y S u ≥ − + + 其㆗ ( ) ( ) ( )∫
( ) ( ) . − + Γ = t d t i i T i i i T i i t x t x t x Qx d v τ τ τ 由 圖 ㆒ ， 將u=ue−Hy 帶 入 ㆖ 述 不 等 式 ㆗，可得到 , , , 2 , ~ , ) 0 ( ) ( ~ , ~ , T T T e T e e T T T T RHy H y RHy u Ru u y P y v T v y S H y y S u + − + + − ≥ − 這相當於 . , , ) 0 ( ) ( , T T e e T e Sy v T v y Py u Ru u ≥ − + + □ 由 以 ㆖ 的 輔 助 定 理 ， 若 S1T =S2, , 0 1 > Γ Γ2 >0,P1+ R2 >0, 及 P2+ R1 >0, 則 系統Σ 便滿足輔助定理 2 之條件。3.2 π 分配理論應用 — 控制器設計 考慮㆒線性非時變之方陣系統，如圖㆓所 示，希望透過控制器的設計，使得整個回 授系統能達到π 穩定。其㆗，r 為外部輸入 訊號。假設不考慮干擾訊號 w 的影響。受 控體表示成： ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 t u D d t x C t x C t y t u B d t x A t x A t x p p d p p p p d p p p + − + = + − + = (8) 其㆗， ( ) n, p t x ∈ℜ u1(t),y1(t)∈ℜm,且 d d p p p p B C D A C A , , , , , 為已知的常數矩陣。 欲設計之控制器表示成: ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t u D t x C t y t u B t x A t x c c c c c c + = + = (9) 其㆗， xc(t)∈ℜl,u2(t), y2(t)∈ℜm, , , c c B A c c D C , 為 欲 求 之 常 數 矩 陣 ， 假 設 系 統 , m n≥ l≥ 。m 儘管輔助定理 3 是針對迴授系統之子系統 皆包含時間延遲狀態的情況的結果，但對 於㆖述迴授系統控制器的設計，仍是㆒體 適用的。只需將欲設計之控制器，視其㆗ 對應延遲狀態的系統矩陣為 0 之特例即 可。因此，對應於π 係數
{
S2,Γ2,Q2,P2,R2}
之 π 穩 定 控 制 器 應 該 滿 足 不 等 式 , 0 2 > Γ Q2 ≥0和(
)
(
)
[
]
0. 0 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ≤ − + + − + − Γ + − Γ + + Γ + Γ Q R D S D S D P D C P D C S B C P D C S B C P C Q A A T c c c T c T c T c c T c c T c c T c c T c c T c 所以，結合此㆒不等式和輔助定理2，3 的 結果，可以知道當存在{
Ac,Bc,Cc,Dc}
,{
Γ1,Q1,P1,R1}
,和{
Γ2,Q2,P2,R2}
，滿足㆘列 的條件 (10)-(14)， , 0 2 1+ R > P P2 + R1>0, (10) , 0 1> Γ Q1≥0 (11) , 0 2 > Γ Q2 ≥0, (12)(
) (
)
[
]
(
)
(13) , 0 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ≤ − − − + + − + Γ + − Γ + Γ + − Γ + + Γ + Γ = Q C P C C D P C C D P C R D D D P D C P C A C P D C B C P C A C P D C B C P C Q A A M d T d T d p T d T T d p T d T p p p T p T p T d T d T p T p p T p p T d T d p T p p T p p T p p T p(
)
(
)
0. 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ≤ + + − + − Γ + − Γ + + Γ + Γ = R D D D P D C P D C B C P D C B C P C Q A A M T c c c T c T c T c c T c c T c c T c c T c c T c (14) 則所設計的控制器將滿足所要求的目標， 其㆗利用近似轉換讓S1 =S2 =Im。為了獲 得㆒個合適的解集合，我們提供了㆒個求 解的流程，摘要如㆘： 1. 忽略不等式 (12) (14)，增加P2 >0,配合 不等式(10) (11) (13)，以求解{
P2, R2}
和{
Γ1,Q1,P1,R1}
。 2. 增加㆒目標函數4λmax( )
P2 +λmax( )
R2 ，並 配合㆖述不等式，求其最小化解。 3. 取M2 =0,求解{
Ac,Bc,Cc,Dc}
。分別為(
)
(
)
(
)
, , , 1 2 2 1 2 / 1 2 1 2 4 1 2 / 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 − − − − − + − = Γ − − = + Γ − = P R P P D B I P D C C P C Q A c T c m T c c c T c c (15) 而 B 允許設計者自由選擇。c 此外，相對於[6] ，對於系統(8)，也可 進㆒步利用π 穩定的條件，設計 PI 控制 器。對於PI 控制器，可以描述成 ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 t u D t x C t y t u B t x c c c c c + = = (16) 不等式(10)-(14)仍需要，唯(14)需修改為(
)
(
)
0. 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ≤ + + − + − Γ + − Γ + R D D D P D C P D C B C P D C B C P C Q T c c c T c T c T c c T c c T c c T c c T c 同時因應PI 控制器，P2 <0必須加入求解過程㆗。更詳細的相關推導、說明及數值 範例，請參考[7]。最後得到
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
, , 1 2 2 1 2 / 1 2 1 2 4 1 2 / 1 2 2 1 2 1 2 − − − − − − + + − − = Γ + − = P Z R P P D B I P D C c T c m T c c 而 Bc,Γ2,Z 允 許 設 計 者 依 照 需 求 自 行 調 整 。 ㆒ 般 我 們 選 擇 B 為 I ， 同 時 選 擇c , 2 =gI Γ 其㆗g>0,為與I-增益C 有關的調c 整參數。 ㆕、結論 承接前兩年度的基礎，本年度我們針對線 性系統建立了與時間延遲相關的π 分配特 性與π 穩定性條件，並討論相關控制器的 設計，包括㆒般穩定控制器和PI 控制器兩 種。所有的條件與結果都能以矩陣不等式 的形式呈現，並提供有用的求解程序。 五、計畫成果自評 本年度計畫之報告內容係以具時間延遲之 線性系統為討論對象，雖暫時未將系統不 確定性因素考量進來，然所呈現的結果， 仍可參照㆖㆒年度所提及之討論方式，非 常容易㆞，就可將之延展到強健穩定性的 討論範疇。本年度計畫成果仍屬豐碩，以 ㆖的相關內容已發表於 SICE 2005 [7] 研 討會㆖，並以此為基礎，繼續以時間延遲 現象相關的領域進行更進㆒步的研究。 六、參考文獻[1] Mahmoud, M. S., Robust Control and
Filtering for Time-Delay Systems, Marcel
Dekker Inc., New York, NY, 2000.
[2] Niculescu, S. I., E. I. Verriest, L. Dugard, and J. M. Dion, “Stability and robust stability of time-delay systems: A guided tour,” Stability and Robust Control of
Time Delay Systems, Springer-Verlag, New
York, NY, 1997, pp. 1-71.
[3] Verriest, E. I. and A. F. Ivanov, “Robust stability of systems with delayed feedback,”
Circuits, Syst. Signal Processing, Vol. 13, pp.
213-222, 1994.
[4] Niculescu, S. I. and R. Lozano, “On the passivity of linear delay systems,” IEEE
Trans. Automat. Contr., Vol. 46, pp.
460-464, 2001.
[5] Hu, S. C., I K. Fong, and T. S. Kuo, “Multivariable pi-sharing theory and its application on the Lur’e problem,” IEEE
Trans. Automat. Contr., Vol. 43, pp.
1501-1505, 1998.
[6] Fong, I K., J. K. Horng, and C. C. Hsu, “PID-type controller synthesis via
−
π sharing theory,” European Control
Conference, Cambridge, UK, 2003.
[7] Horng, J. K. and I K. Fong, “The π sharing theory for retarded type linear time-delay systems and a stabilizing controller synthesis procedure,” SICE Annual
Conference, Okayama , Japan,2005.
圖㆒ 圖㆓
