第6章天線 (Power Point 2003, ppt檔, 1,506 KB)

(1)

6- 6- 11 第 6 章天線 (Antennas) 電磁波 1

第 6 章

天線

(2)

綱要

• 6-1 輻射功率場型、增益、波束 (Radiation Power Pattern, Gain, and Beams)

• 6-2 Hertz 偶極天線 (Hertz Dipole

Antenna)

• 6-3 遠場近似法 (Far-Field Approximation) • 6-4 半波長偶極天線

• 6-5 天線陣列 (Antenna Arrays)

• 6-6 八木天線 (Yagi-Uda Antennas) • 6-7 孔口天線 (Aperture Antennas)

(3)

電磁場的產生

• Maxwell 方程式 • 電流和電荷產生電磁場 • 電荷守恆定律 – 配合起始條件 (Initial Condition) ，可以由電流決定電荷 • 產生電磁場的只是電流             E H    0 0 ＝＋ t J      

(4)

輻射

_(Radiation)

• 考慮空間中電流分佈 • 電流改變時，週遭的磁場會發生改變 • 磁場改變時，電場也跟著變 • 電磁場的強度便因此傳播出去 ( 輻射 ) • 即使沒有特殊的構造來傳導它，電磁場也能夠傳開電流變化產生電磁場變化

(5)

破壞導波系統結構的輻射

• 切斷無窮長導波管，裏頭傳播的電磁能量被釋放出來 • 導波管中的電場變化，在開口外的空間中引起了磁場變化 • 而這些磁場變化又影響了電場 • 形成輻射切斷導波管造成輻射

(6)

天線

_(Antennas)

• 產生輻射的裝置

– 例如時變電流，或開口導波管

(7)

綱要

Antenna)

(8)

輻射特性

• 輻射功率在各方向的相對比例

– 瞭解天線在各方向輻射的相對比例，便利接收 – 把大部份功率送到所希望的方向上 – 節約功率，並避免干擾到其他的電磁波系統

• 輸入功率用於輻射的比率

– 可以知道輻射系統是否有效率

(9)

輻射功率場型

(Radiation Power Pattern)

• 球座標系中 (



_，



) 方

向，每單位立體角分到

功率

_p(



，



₎

• 3D 場型

– 同時考慮 ( _， ) – 較難掌握

• 2D 場型

– 和 2D 輻射功率場型的直角座標表示圖 2D 輻射功率場型的極座標表示圖      _，_ 2 p

p

(



，

0 )

(10)

波瓣

_{(Lobe) 或波束 (Beam)}

• 輻射功率場型中一瓣

一瓣的叫做波瓣

(Lobe) 或波束

(Beam)

• 最大的稱主波瓣

(Main Lobe)

• 其餘為次要波瓣，或

副波瓣

_(Side-Lobe)

2D 輻射功率場型的直角座標表示圖 2D 輻射功率場型的極座標表示圖

(11)

3D 輻射功率場型

• p( _， ) 比較簡單時可繪出其立體圖形 • p 為常數的曲面和平面 的交線就是的極座標圖形 • 曲面和平面_{＝ 0 的交線則} 成為的極座標圖形輻射場型的立體圖形表示一例 2  ＝ _     _，_ 2 p

)

0 (



，

p

(12)

無向性天線

_{(Isotropic Antenna)}

• 由天線功率對角度的分配 p(



_，



) 可大致

明瞭其集中功率於某一方向的能力

• 通常，可以拿它來和無向性天線比較

• 無向性天線 ( 並不存在，只是一種理想 )

均勻向四面八方輻射，沒有特別強或特別

弱的方向

• 無向性天線 p(



_，



) ＝

– Pr 是總輻射功率



4 r P

(13)

指向性

_{(Directivity)}

• 天線集中功率的能力

• 定義為天線功率輻射最大方向的 p(



_，



)

＝ P

max

與無向性天線輻射相等功率的

p(



，



) 之比值

• 無向性天線之指向性為 1

  4 4 max max 輻射功率立體角輻射功率＝＝                 P_r P D

(14)

增益

_(Gain)

• 假設天線之效率為 ef，即輸入的功率為 P 時，有 ef P 的功率輻射出去 • 天線增益定義為輻射最大方向的 p( _， ) _{＝ P}max 與把輸入功率全部輻射出去之無向性天線的 _p( _， ₎ 之比值 • 當天線效率百分之百時 G _{＝ D} • 通常天線的金屬不是完全導體，或者介質部份有損 耗，造成 P 無法完全輻射轉為 Pr，所以 ef < 1 D e P P G _f t          ＝＝  4 max

(15)

集中能力強的理想天線之指向性

• 只在某個很小的立體角範圍輻射功率，其餘方向均無功率 • 沒有損耗 • 增益和指向性均可近似為 • 此亦為實際窄波瓣 (Beam) 天線指向性的良好近似式 – B此時指由最大輻射功率之半的點所圍成的立體角範圍 ( /Ω) 4 ( / 4 )Ω t B t B P G D P



 ＝＝窄波束天線之輻射場型

(16)

窄波束天線計算例題

₁

• 某窄波束之天線的增益為 44(dB)

• 令其主要波束之截面為圓形，求其波束之

夾角

(17)

窄波束天線計算例題

_{1 解答}

44 4 10 10 2.51 10 G＝   4 4 Ω5 10_B G  _    B B Ω 4      (steradian) 0.025(rad) 1.43° 窄波束天線之近似輻射場型

(18)

窄波束天線計算例題

₂

• 有人想過在地球外的同步軌道上建立發電

廠，收集太陽能後以微波傳送地球，稱為

SPS (Solar Power Satellites)

• 假設所用天線的波束夾角為



_B

_{＝ 0.1}

o

• 距離地球 36000 公里

• 假設波束為圓形截面

(19)

窄波束天線計算例題

_{2 解答}

窄波束天線之近似輻射場型 B 



B Ω



2 4 B 



r

Ω

B 2



1.75×10-3_(rad) 2.41×10-6_(steradian) 3.12×109_(m2₎ 照到的區域面積

(20)

綱要

Antenna)

(21)

Hertz 天線

• 構造和分析最簡單的

天線

• 一小段正弦狀波形的

電流

_{( 其長度 dz <<}



₀

₎

在無邊界之自由空間

( ) 中輻射

自由空間中的 Hertz 偶極天線 ,  _o  

(22)

Hertz 天線電磁場分析：步驟 1

恆成立，故可假設自由空間中的 Hertz 偶極天線 0

H



 



A



＝ 0 [ 附錄 B 向量恆等式 : ( , , ) 0 V x y z     ] 為向量位 0

H

A





＝＝

 



(23)

Hertz 天線電磁場分析：步驟 2

• 若是靜磁場問題，電流不 隨時間而變，令 I = I0 ，則有自由空間中的 Hertz 偶極天線

z

r

dz

I

A

ˆ

4

0 0











(24)

Hertz 天線電磁場分析：步驟 3

• 令電流 I = I0cost ，其瞬間 電流大小產生之效果應經過 r/v_p,0 的延遲才扺達 _{P 點} • 換成相量即自由空間中的 Hertz 偶極天線 z r dz v r t I t r A p ˆ cos 4 ) , ( ,0 0 0           －      z r dz e I r A r jk ˆ 4 ) , ( 0 0 0         0 , 0 p v k ＝ 

(25)

Hertz 天線電磁場分析：步驟 4

自由空間中的 Hertz 偶極天線 z r e r r jk dz I z A z A H _z _z 1 jk r ˆ ˆ 4 ˆ 1 ) ˆ ( 1 ₀ 2 0 0 0 0            _＝ _＝＋  ＝        ˆ 1 sin 4 2 0 0 0         r r jk e dz I _jk _r ＋ z r dz e I r A r jk ˆ 4 ) , ( 0 0 0        

(26)

Hertz 天線電磁場分析：步驟 5

0   j H E     ＝          H r r r r r r j E sin 0 0 ˆ sin ˆ ˆ sin 1 2 0        ＝           3 2 0 , 0 0 _cos 1 1 2 ) ( 0 r j r v e dz I E p r jk r    ＋＝         3 0 2 0 0 0 0 _sin 1 1 4 ) ( 0 r jk r r k j e dz I E r jk ＋＋＝      所求為外界之電場，該處無電流

(27)

Hertz 天線電磁場場線分佈

Hertz 偶極天線瞬間之電磁場場線示意圖

(28)

輻射電磁場

• Poynting 向量包含 r-2 、 r-3 、 r-4 、 r-5 等項 • 在無窮遠處的球面算積分 時，只有 r-2 項的能夠使積分不在時消失 • 媒質沒有損耗，在無窮遠球面上通過的總功率等於天線輻射的總功率也不應是零 • 在中只有 r-1 項可以輻射功率，稱為輻射電磁場 da n H E



   *  ˆ * H E   r   H E＝  r jk dze I E r jk 0 0 0 0 rad sin 4 ˆ_  0 _      ＝  r jk e dz I H_rad 0 jk r sin 0 4 ˆ 0    _  ＝ 

(29)

輻射總功率與輻射電阻

• 輻射總功率 • 輻射電阻 – 輻射出去的功率，相當於電流接上一個電阻，在電阻中消耗掉的功率 – 此一等效電阻，稱為輻射電阻 0 0 2 0 2 2 0 2 * 0 2 0 rad av, 3 ) ( | | sin 2 1 lim            _I _dz d d r H E P r ＝＝



   2 0 , rad | | 2 1 I P R ＝ av rad 2 0 2 0 0 2 2 0 80 ) ( 3 2             dz dz 

(30)

平面波為球面波近似的驗證

rad 0 rad

120 E

H

 







，，

＝

• 對小範圍的



_,



變化來說，、

可當作平面波

– 平面波可視為為球面波近似 rad

E



H



_rad

(31)

輻射電場與磁場之等效傳輸線線路

輻射電場與磁場之等效傳輸線線路 r jk e E rE 0 0 rad  ＝ r jk e E rH 0 0 0 rad＝_  ) ( sin 4 0 0 0 0 _  jk  dz I E       ＝

(32)

完整電磁場的另一表示法

• r

-1

項形式為輻射場

(E

_rad

,H

_rad

)

• r

-2

項形式與電荷造成之靜電場

(E

_{static charge}

) 或

靜電流造成之磁場

_(H

_{static current}

_{) 相同}

• r

-3

項形式與電偶極矩造成之靜電場

(E

_{static dipole}

) 形式相同

dipole static charge static rad

E

_

＝

＋

current static rad

H

_

＝

＋

(33)

完整電磁場對應的等效傳輸線電路

與對應的等效傳輸線電路_ E H ) ( 1 rad 0 0 current static rE r jk rH  ＝ 1 ( rad ) 0 rE r j ＝ ) ( 1 ) ( 0 0 0 dipole static charge static  _   rH r j rH r jk rE rE _        ＝＝＋

(34)

近場

_{(Near Field) 與遠場 (Far Field)}

• r 值小時，電感有如短 路而電容有如開路，複數功率大半變成無效功率，補充所貯存的電能和磁能之差 • r 值大時，電感有如開 路，電容有如短路，功率可以很容易地送出去，且等效阻抗為 ₀ • r-2， r-3 項的場只在 r 小時有影響 – 稱為近場 • r-1項主要影響遠距離的場 – 稱為遠場與對應的等效傳輸線電路 E H_ r 0



r 0  r 0  r 0



(35)

天線電流所見的等效電路

• 天線電流送出的功率有效部份成為輻射功率，可以 由輻射電阻 Rrad 表示 • 無效功率成份提供近場的貯存電能、磁能變換之差 ，可以用一個電抗 XA表示 • Z_A 稱為天線阻抗 – 電阻成份即為 Rrad – 電抗 XA總結其近場效果天線的等效電路

(36)

天線電流等效電路推導

   J d E s v ( ) ( ) 2 1  _ * 



           H nda E d j H B E D d E _v _v s



      _ _ _        ( ) ( ) 4 1 ) ( ) ( 4 1 2 ) ( 2 1 ˆ ) ( ) ( 2 1    2    



   * * 2 1 ) ( ) ( 2 1 o o S v E  J  d V I   o o A I V Z       H nda j H E d E Z I_o _A _S _V _o       _    



  2 2 2 4 1 4 1 2 ˆ ) ( * ) ( 2 1 2 1       A o o V S A R jX I d E H j da n H E Z         _    







 _rad 2 2 2 2 1 4 1 4 1 2 ˆ ) ( * ) ( 2 1  _  _ _ _   _   rad R _S_ A jX 來自上的遠場積分主要來自近場上的磁能電能密度差之體積分

(37)

接收天線及接收器的等效電路

• 天線 #1 發射的電磁波到達天線 #2 ，激發起天線 #2 上的電流流動，在天線 _{#2 的輸出} 端產生電壓 • 電壓大小應該就是天線 #1 造 成的電場沿 dz 得到的電位差 ，即 • 整個天線 #2 對接收器可看成 一個有內阻抗 ZA’的波源，其信號送入接收器處理 – 例如將信號解調，再用來推動喇叭讓我們聽到信號 – 接收器電路亦可看成一個等效的阻抗 ZT 發射與接收天線接收天線及接收器的等效電路 dz E v_oc＝ i

(38)

接收天線等效電路的內阻抗

• 移走天線 #1 • 沒有入射場， Ei = 0 ，所以 v_oc = 0 • 另將 Z_T改為一個電壓或電流源，變成由天線 #2 輻射 • 其輻射阻抗就正好等於 Z_A’ • 可知天線的輻射阻抗 Z_A 等於同一天線作為接收天線時， 等效電路的內阻抗 ZA’ 接收天線及接收器的等效電路

(39)

有效接收面積

_{(Effective Area)}

• 定義 – 相同的入射功率通量密度下，接收到的功率如果均勻分佈，應該分佈在多大的面積裏 • 接收的能力愈強，收到的功率愈多，有效接收面積也愈大 • 通常以有效接收面積為天線接收能力的指標接收天線有效接收面積的概念入射波的功率通量密度接收到的功率＝ e A

(40)

Hertz 天線的有效接收面積

• 為得到最大的功率傳輸，令 Z

_T

=Z

_A

*

• Z

_T

接收到的功率為

0 2 rad 2 2 rad 2 oc | | 4 ) ( | | 2 | | 2 1  i e i R E A R dz E R V P _       ＝＝＝ 2 2 rad ( ) 3 2 o o dz R    ＝ 2 3 8 o e A   ＝

(41)

有效接收面積與指向性的關係

• Hertz 偶極天線的指向性 • 這個結果雖是由 Hertz 偶極天線得到，事實上對所有天線都成立 – 只要所接的接收器 ZT=ZA* – 大天線可能有大的 A_e，但其指向性和增益還要看波長 2 3 4 2 4 2 1 rad av, 2 2 0 2 ＝＝      P r dz I r D o o                 2 4 e o D A   ＝ 2 4 o e A  D  ＝ 2 3 8 o e A   ＝

(42)

接收天線應用例

• 兩平行 Hertz 偶極天線 ( 效率 100%) 立於

真空

• 其中之一發射頻率為 200MHz 之電磁波，

給相距

_{500(km) 遠外的另一天線}

• 兩天線連線與天線垂直

• 假設送進發射天線的功率為 1kW

• 令接收器阻抗與天線阻抗匹配

• 求接收天線收到的功率

(43)

接收天線應用例題解

1.5 _R D_＝＝ D 2 2 8 2 0 8 1.5 3 10 0.269(m ) 4 4 2 10 R e R D A  A      _ _     ＝＝＝ 2 4 r A G P P_R T T R  ＝  3 10 5 2 10 1.5 0.269 1.28 10 4 (5 10 )   _ _ _   收到的功率 (W)

(44)

接收功率公式之物理意義

• P_T 為輸入功率， PT/4 為使用無向性天線時，每單位立體角的輻射功率 • 使用偶極天線時要乘上增益，得到輻射最強方向的每單位立體角輻射 功率 (PT/4) GT • 輻射功率最強方向的功率通量密度 • 利用相當於面積 AR 的孔穴接收入射功率 2 4 r A G P P_R T T R  ＝ 2 1 4 G r P T T _       R T T _A r G P             2 1 4

(45)

Friis 公式

• 假設兩天線沒有損耗

• 對所有形式的天線，在自由空間且

相隔甚遠時都成立

2 2

4

R o T R T

P

G G

P

r





＝

2 4 r A G P P_R T T R



＝ 2 4 o e A  D  ＝

(46)

綱要

Antenna)

• 6-3 遠場近似法 (Far-Field Approximation)

• 6-4 半波長偶極天線

(47)

遠場近似法

• 天線產生的電磁場有遠場、近場之分

• 遠場與功率的傳播相關，較受重視

• 可以在解出全部電磁場分佈以後再求遠場

• 但是其實可以不經這一步，直接由電流分

佈找出遠場來，即遠場近似法

(48)

距離的近似

• 觀察點位在遠方，可以用

r 來近似 R

• 對相位來說不

夠準確

– 例：令 r _{為 100 km ， R} 為 100.03 km ， 0( 波長 ) ＝ 60 m – _{用 1/r 代替 1/R 誤差不過約} 0.03 ％ – 可是相位差竟達到了 180o 遠場近似法的幾何關係     _ _



e d R r J r A ( ) jk0R 4 ) ( 0     ＝向量位公式 R jk

e

 0

(49)

較準確的近似

遠場近似法的幾何關係     _ _



e d R r J r A ( ) jk0R 4 ) ( 0     ＝向量位公式

r

R



＝







ˆ

) ( 4 ) ( 4 ) ( 0 0 ˆ 0 0        ，＝０ _e _f r d e r J e r r A   jk r



  jk rr  jk r  z y x

rˆ_＝sin cos ˆ_＋sin sin ˆ_＋cos ˆ

 



_J _r _e  _d

f＝ ( ) jk0r rˆ

(50)

磁場遠場近似式

) ( 1 0 r A H      ＝ f e r f e r f e r r jk r jk r jk  _  ___                        ₀  ₀  ₀ 4 4 4 0 0 0       ＝＝ ) ( 4 ) ( 0 0     ， f e r r A   jk r  f   得到的全是 r2 _，r3 項，不是所要找的遠場 r e r jk r e r r jk r jk ₍₁ ₎ _ˆ 4 4 0 0 0 2 0 0  _        _＝－ _＋     項只剩下 1  r e r f r jk _jk _r    _ˆ 4 0 0 0   ＝ 0 0 0 _ˆ 0 ₍ ˆˆ ₎ 4 4 jk r jk r jk jk H e r f e f f r r            ＝ _－＝＝  f ， f 分別是 f 在和方向的分量

(51)

遠場近似式中的算符代換

) ( 1 0 r A H      ＝ 0 0 0 _ˆ 0 ₍ ˆˆ ₎ 4 4 jk r jk r jk jk H e r f e f f r r            ＝ _－＝＝







－

jk ˆ

₀

r

) ˆ ˆ ( 4 ) ˆ ( ˆ 4 0 0 0 0 0 0 0          r e f f jk f r r e r jk j H E jk r _＝－ jk r _＋－＝－  －         f r f r f r rˆ _(ˆ _ )＝ (ˆ _ )ˆ＝    _  ˆ ˆ ˆ f f r f f_＝ _r _＋ _＋

(52)

遠場之近似平面波關係

0 0 0 _ˆ 0 ₍ ˆˆ ₎ 4 4 jk r jk r jk jk H e r f e f f r r            ＝ _－＝＝ ) ˆ ˆ ( 4 ) ˆ ( ˆ 4 0 0 0 0 0 0 0          r e f f jk f r r e r jk j H E jk r ＝－ jk r ＋－＝－  －    _ _ _  0      _＝－ _＝ H E H E  E E_ E e jk0r 0 －、都是形式在場觀察點附近可以當成平面波來看待

(53)

遠場近似法

• 由已知的電流分佈找出遠場

– 和平面波的關係式一樣 J ] ˆ ) ˆ ( [ 4 0 0 0 rad e f f r r r jk E ＝＝ jk r ＝     0 rad rad ˆ  E r H    ＝ 0 ˆ ( ) jk r r f＝



J r e   d H E＝ 

(54)

實際天線問題解法

• 實際的問題真正的困難不在由電流求電磁

場分佈，而在如何解出電流分佈來

• 通常都需要用計算機來算數值解

– 1968 年左右 Harrington 提出動差方法 (Method of Moment) 可用計算機求天線上的電流分佈，風行一時

• 近年也有其他的數值方法如有限元素法

(Finite Element Method) 、時域有限差分法

(Finite-Difference Time-Domain

_{， FDTD)}

等提出，可解天線附近的電磁場分佈，進

而求輻射場

(55)

綱要

Antenna)

• 6-3 遠場近似法 (Far-Field Approximation)

• 6-4 半波長偶極天線

(56)

線形天線

• Hertz 偶極天線外，

顯然以線形天線外形

最為簡單

• 如天線長度不是波長

的整數倍，而且天線

也夠細，則天線上的

電流可以用傳輸線的

想法近似

同軸電纜饋入線形天線

(57)

傳輸線的輻射可忽略的原因

• 兩條線上的電流一去

一返，而且其大小呈

正弦狀分佈

• 在遠處，因兩線的距

離很近，它們產生的

輻射效果差不多

• 電流方向相反，兩線

的輻射遂互相扺銷

• 輻射可以忽略

末端開路之一段傳輸線

(58)

線形天線上的電流近似

• 傳輸線豎起來，線上的電流大小，大致說來，仍然維持正弦狀分佈 • 上下兩段線的電流流向相同，其輻射的效果不再互相扺銷，輻射的效率提高 • z _{＝ 0 時} • h 為波長的整數倍時 I0＝ 0 ，與實際情況不符 – 若天線長為波長整數倍，不宜假設電流呈正弦狀分佈線形天線作為豎起來的傳輸線             _| _| 2 sin ) (z I k₀ h z I ＝ _m － 2 | | z ＜h 2 sin 0 0 h k I I I＝＝ _m

(59)

半波長奇數倍之線形天線

• 實際使用常把 h 取為半波長的奇數倍 • 原因是根據較進一步的計算，發現天線長度落在半波長整數倍的附近時容易發生“共振” – 天線外所貯存的電能和磁能可以互相變換，不需補充 – 亦即，饋入天線處的阻抗沒有電抗成份 • 共振情況使天線和傳輸線的匹配比較容易進行 • 真正的共振點未必正在半波長整數倍的地方 • 但在半波長奇數倍的附近，天線輸入電抗隨 h/0 的變化較為緩慢，可以用簡單的電路補償，消去電抗的成份，故仍可以半波長奇數倍的線形天線近似共振天線

(60)

半波長線形天線遠場近似

同軸電纜饋入線形天線 2 / 0  ＝ h z k I z I ( )_＝ ₀ cos ₀ 是欲求電磁場的所在 (Field Point) ，是線上電流所在 (Source Point) 是由原點向望去的單位向量 z d e z k I z r f



4  jk zzˆrˆ  4 0 0 0 0 0 cos ˆ ) (   －＝  



   4  4 cos 0 0 0 0 0 cos ˆ    － k z e dz I z jk z r z z r＝ ˆ z y x

rˆ_＝sin cos ˆ_＋sin sin ˆ_＋cos ˆ

(61)

半波長線形天線之輻射電場

同軸電纜饋入線形天線 2 / 0  ＝ h z k I z I ( )_＝ ₀ cos ₀    2 0 0 sin cos 2 cos ˆ 2 ) ( k I z r f         ＝  



   4  4 cos 0 0 0 0 0 cos ˆ ) (    － k z e dz I z r f  jk z                    cos 2 cos sin 2 ˆ ) ˆ ˆ ( 4 0 0 0 0 0 0 rad r e jI f f e r jk E r jk r jk －－＝＋－＝ 

(62)

每週期平均之輻射功率及輻射電阻

• 藉計算每週期平均通過一半徑為 r 之球面 ( ) 的功率而求得 • 通常要轉化為正弦積分和餘弦積分的和，再查表始可積出 • 利用數值方法 ( 如 Simpson’s Rule) 由計算機或計算器求出較簡單，最後可化得





r

            d I d d r r H E P_av sin cos 2 cos 4 | | sin ˆ 2 1 2 0 0 2 0 2 * rad rad 0 2 0        



＝＝   rad 0 rad ˆ 1 E r H    ＝ * 2

rad (ˆˆ rad) | rad | E  r E ＝ E r 2 0 0 | | 4 218 . 1 I P_av    rad 2 1.218 120 73(Ω) 4 R      

(63)

半波長線形天線之天線阻抗

• 更深入一點的計算，可發現，此種假設的電流形式之下，天線輸入阻抗的虛數部份約為 42.5(Ω) ，即 Zin=73 ＋ j42.5(Ω) • 此處電抗成份不為 0 • 由圖知共振時天線長與 0.5₀ 相去不遠，故共振時天線電阻必在 _{73Ω 左右} • 這也是有些常用電纜的特性阻抗要做成的原因之一典型的線形天線入電抗相對於天線長度的變化示意圖

( 採自 W. L. Stutzman and G. A. Thiele, Antenna Theory and Design, p.200. Wiley, 1981)

Ω 75

(64)

半波長線形天線之指向性

• 每單位立體角輻射出去的功率 • 最大值發生在處 • 當 0 時利用 L’Hospital Rule 可求出 • 指向性 – 比 Hertz 偶極天線的 1.5 稍大      2 2 2 0 2 0 * rad rad 2 sin 8 cos 2 cos | | 2 1 ˆ                   I H E r r   _＝  90 ＝ 





0 sin cos 2 cos 2 2           2 0 0 2 2 0 0 | | 8 1.218 1 | | 4 4 I D I              _1.64

(65)

Hertz 偶極與半波長天線場型之差異

Hertz 偶極與半波長偶極天線場型之差異

(66)

正弦狀分佈電流為近似：說明

₁

• 線形天線電流說是正弦狀分佈，完全是一

種近似

• King 曾利用一種疊代 (Iteration) 的方法證

明出來正弦狀分佈電流是一串近似式中的

第一階近似

• 可以利用假設的正弦狀分佈電流，解

Maxwell 方程式，得出天線表面的電場，

算出其切向分量，檢查是否為

₀

(67)

正弦狀分佈電流為近似：說明

₂

• 如果正弦狀分佈電流恰好正是天線表面電流 • 天線假設由完全導體做成 – 表面的電場切向分量應當是零 • 由圖可看出，假設的正弦狀分佈電流所解出之天線表面切向分量電場並沒有完全為 ₀ – 原先假設的電流形式一定不完全正確 • 大部份表面地區算出的切向分量很接近 _{0 ，只有兩端偏} 離得比較厲害 – 假設電流必定相當接近真正的電流分佈正弦狀電流假設求出的平行於天線表面之電場分量大小

(68)

綱要

Antenna)

(69)

兩個

_{Hertz 偶極天線構成的陣列}

• 令兩天線接到同一波源 • 用一樣長，一樣特性的傳輸線來饋入功率 • 假設天線電流方向也一致 ( 定為 z 方向 ) ，都擺放在 xy 平面 • 假設兩天線的耦合可忽略 • 天線 #1 和 #2 的輻射特性和並不相干 • 各自的輻射功率場型在 xy 平面上都是圓形兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列

(70)

兩個

_{Hertz 天線之陣列遠場推導：步驟 1}

• 單一 Hertz 天線遠場決定因素 – 到偶極的距離 – 與天線電流方向的夾角 – 電流的大小、相位 • _{在 xy 平面上都有}₌/2 • 饋入兩天線的電流都相同 • 只有到各天線的距離會導致總輻射場不同兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列   ˆ ₀ ₀ 0 0 sin rad r dze I jk E r jk －＝  

(71)

兩個

_{Hertz 天線之陣列遠場推導：步驟 2}

• 對輻射場而言，距離的變化，幾乎不影響輻射場大小，但是卻嚴重影響相位 • 天線 #1 _{， #2 到與 x 軸成} 角之遠處的距離差約為 d sin • 這誤差對 1/r 來說，不算什 麼 • 但對來講，已足夠造成相當大的差別兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列 r jk

e

－ 0

(72)

兩個

_{Hertz 天線之陣列遠場推導：步驟 3}

• 令由天線 #1

_{、 #2 所}

輻射之電場為

兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列 2 0 1 0 0 0 1 ˆ r jk e r dz I jk E    － 2 0 2 0 0 0 2 ˆ r jk e r dz I jk E    － 2  _＝ _ˆ _{ }_ˆz

(73)

兩個

_{Hertz 天線之陣列遠場推導：步驟 4}

由距離造成的相位差兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列 2 1 1 1 r r  



j r jk d r jk r jk

e

1 0 1 0 2 0 ( sin ) －－－－

＝

 



_E

_e

j

E



₂



₁  sin 0d k ＝ 

(74)

兩個

_{Hertz 天線之陣列遠場推導：步驟 5}

• 總輻射電場

兩個 Hertz 偶極天線構成的陣列 ) 1 ( 1 total rad, E e j E ＝  ＋ 2 sin sin | | 2 cos | | 2 | 1 || | | | _rad,_total ₁ ₁ ₁     _E _E e E E ＝  ＝ j ＝  ＝ 

(75)

陣列因數

_{(Array Factor) 場型}

• _{令 d=}₀/2 • 在 =90o及 270° 處，路徑差正好是  0/2 ，兩天線的輻射場正好扺銷 • 在 =0o及 180° 處，路徑差為 0 ，兩天線造成之輻射場正好相加 2 sin sin | | 2 cos | | 2 | 1 || | | | _rad,_total ₁ ₁ ₁     _E _E e E E ＝  ＝ j ＝  ＝  兩天線構成之陣列的陣列因數場型隨角變化示意圖 2 cos 2 2 sin sin Factor Array     

(76)

兩天線有相位差時的陣列因數

• 令饋入天線 #2 的電流比饋入天線 #1 的電流領先 180° 相角 • 除了路徑差造成的相位差之外，尚須考慮天線相位的差別 • 仍有 – 但 • 情況恰與先前相反，_{= 90}o 及 270o 時反而成了極大，而_{= 0}o 及 180o 反成了極小

)

1 (

1 rad  j

e

E



＝



＋





＋

d

sin

＝



(77)

兩天線之陣列因數計算例

• d =



₀

• I

₁

領先 I

₂

之相角差為 90

o

• |I

₁

| = |I

₂

|

• _求



_{= 90}

o

平面上總輻射場型的無效角

(Nulls)

– 無效角即總輻射場為 0 的角度

(78)

兩天線之陣列因數計算例題解

• 無效角方向上，和必差 _{180° ，即}        _odd 0 0 2 ) sin ( 2－  ＝ n ＝ 4 1 4 3 2 2 1 sin _＝ odd＋ _＝ _，－ n    _－14.48  _{， 194.48° ， 48.59° ， 131.41°} 輻射場型 1 E E₂

(79)

一維天線陣列

• 如果每個天線的相位都相同，則由及等比級數公式可得

N 個天線構成的陣列 | 1 || | | | E_rad,_total ＝ E₁ ＋e j＋e2j＋e3j＋__＋e j(N1) 2 sin 2 sin | | 1 1 | | ₁ ₁ Ψ NΨ E e e E _jΨ jNΨ _  ＝＝＝ 





＝k₀d sin

(80)

一維天線陣列之陣列因數討論

• 陣列因數場型對 =0 成對稱 ( 因和代入結果相同 ₎ • 無效角由決定 即， n ＝ 0 ， 1 ， 2 ， . . . ，須保持 1 • 最大值　　　　　　 0 2 sin sin 0 _       Nk d  Nd n ₀ null sin ＝  o n Nd   N N    2 sin 2 sin 0_時＝  2 sin 2 sin Factor Array   N ＝  

(81)

一維天線陣列計算例

• N=80

• d =



0

/2

• 求第一個無效角及波束夾

角寬度

_{(Beam Width)}

– 波束夾角寬度即波束最大功率之半處的兩個角度差距天線陣列輻射場場型之波束夾角寬度

(82)

一維天線陣列計算例題解

     43 . 1 80 2

sin_null_＝ 0 _＝ _，_null

d N 2 ) 2 / ( sin 2 ) 2 / ( sin 707 . 0 B B N N _  ＝             2 2 2 2 B B B B      至由－對應之至令波束夾角由－ B  可解出  | 20 sin | _B 2 sinB B B      sin 2 2 ₀ 0  ＝   271. B



( 第一個無效角 ) 0.0696 (rad) ，再利用圖解法畫出及 80 × 0.707 × 的圖形，求交點，並由得出即波束夾角寬度。

(83)

扇形波束

_{(Fan Beam) 與筆形波束 (Pencil}

Beam)

• N 值越大，波束夾角寬度愈小

• 上例在



=90

o

的平面上操作，所以在



為定

值的平面上，波束的夾角仍不小

• 這種波束有如薄扇，所以稱為扇形波束

• _{取 80 個一模一樣的上例一維陣列排成}

80×80 的方陣，可預期波束在方向和方向

的夾角都差不多只有

_1.27°

• 這種波束，稱為筆形波束，定向性極佳

(84)

天線電流的相位與波束指向

• 可使每個天線電流的相位不相同 – 只須把饋到每個天線的傳輸線長短做得不一樣，但仍用同一個波源 – 也可以每個天線用一個波源來饋入功率，比較不好控制 • 設天線 #i 的電流比天線 #(i － 1) 的電流慢的相角，則 • |sin(N/2)/sin(/2)| 之最大仍在 =0 ，亦即之處 • 波束之指向轉到角度 _m



sin

0

d

k

Ψ

＝

＋

d k m 0 sin ＝－

(85)

相位陣列天線

_{(Phased Array Antenna) 與}

微帶天線

_{(Microstrip Antenna)}

• 連續改變天線間相位差 ，可使波束在空間中掃過某個角度範圍，稱為相位陣列天線 • 如果雷達使用這相位陣列天線，雷達本身不必旋轉，只要改變，便可以偵測各個角度的敵機 – 變換的速度要比用馬達來轉動雷達快得多多 • 現代無線通信也常利用這種天線 • 通常相位陣列天線都是由槽縫或微帶天線構成 – 容易製作，也比較容易控制饋入訊號的相位 • 微帶天線為在印刷電路板上製作的一種天線，為目前應用最廣的天線 – 但其原理不適合於本課程討論

(86)

綱要

Antenna)

• 6-6 八木天線 (Yagi-Uda Antennas)

(87)

八木天線：說明

₁

• 手機與有線電視普及前，最常見到的無線電視天線 • 天線陣列每個天線都必須饋入訊號，饋電線路可能極端複雜 • 八木天線只將訊號饋入其中的一根線形天線，稱為激勵器 (Driver) • 由激勵器所產生的電磁場又激發其餘線形天線上的電流產生類似陣列的效果，稱為寄生陣列 (Parasitic Array) 八木天線示意圖

(88)

八木天線：說明

₂

• 具有高指向性、低成本、構造簡單的特性 • 廣泛運用於 HF-VHF-UHF 的頻率範圍 • 研究始於 1926 年，由 Uda 在日本 Tohoku 大學完成 – 1928 年由 Uda 的老師八木 (Yagi) 寫成英文論文發表 • 八木天線的結構一般包括三種元件 – 是激勵器，反射器 (Reflector) ，導向器 (Director) 八木天線示意圖

(89)

等長之激勵器與反射器形成之輻射場

• 令激勵器是半波長的偶極天線，反射器大小也相同 • 設激勵器單獨存在時產生的電場為 • 碰到反射器後產生反射電場 • 兩天線連線之中線處＋＝ ₀ – 由反射器產生的電場必與激勵器產生的電場等值反號 • 整個系統相當於由兩個反相電流天線構成的陣列 • 兩天線連線方向的輻射較強激勵器 (#2) 和反射器 (#1) 等長激勵器與反射器形成之輻射場場型 drive E drive E parasitic E drive E E_parasitic

(90)

反射器與導向器

• 反射器的長度稍比激勵器的長度長一些時，反射會更強 • 往 ₌ 方向傳送的功率就更少 • 由輻射場場型可看出反射器的作用 • 如果反射器比激勵器短，可預見其作用相反 • 在＝ 0 方向放比激勵器要短的寄生天線，得到的將不是反射器而是導向器反射器較長時之輻射場場型導向器與激勵器形成之輻射場場型

(91)

三元件之八木天線

• 把反射器和導向器併在一塊 • 在 _{＝ 0 方向的輻射必更加強而}  =  方向的輻射必定減弱 • 三元件的八木天線，所能達到的最大指向性約為 _9dB • 此時各元件距離在 0.15 _{到 0.25 波} 長之間，反射器比激勵器約長 _{5 ％} ，而導向器則比激勵器約長 _{5 ％} – 利用動差方法，以計算機求出結合反射器和導向器的輻射場場型

(92)

八木天線的基本研究結果

• 增加反射器數目對提

高增益並無太大幫助

。

• 增加導向器的數目有

效，但超過

_{5 個時增}

益的增加有限

八木天線增益與元件數之典型關係

( 取自 W. L. Stutzman and G. A. Thiele, Antenna Theory and Design ， p.225, Wiley, 1981)

(93)

八木天線的實作

• 實際應用中，八木天線都是架在一個桅杆上 – 桅杆可用鋁製作，對反射器和導向器並沒有什麼影響，但激勵器則須與之絕緣，以免饋入端短路 • 激勵器多半用摺疊式的半波長偶極天線 – 可提高輸入阻抗，配合平行二線式的傳輸線 – 穩定性也比較高 • 文獻上也有人在印刷電路板上製作相似的天線摺疊式半波長偶極天線

(94)

綱要

Antenna)

• 6-6 八木天線 (Yagi-Uda Antennas)

(95)

孔口天線：導波結構開口

• 將導波結構截斷變形，造成

開口，則電磁波可經由此開

口漏出，向外輻射

• 這種天線以其開口為特徵，

稱為孔口天線

• 最具代表性的有槽孔天線

(Slot Antenna) 和號角天線

(Horn Antenna)

槽孔天線的幾個例子號角天線一例

(96)

孔口天線：等效孔口

• 利用光學反射原理，以反射物或類似透鏡之類，將電磁波整頓後再輻射出去 • 代表天線即熟知之拋物面反射天線 • 反射天線由小偶極或號角天線饋入訊號，經反射器反射使其波前形狀改變 • 由外界看來可認為是由碗面形成之開口處電場造成的輻射拋物面反射天線拋物面反射天線之等效孔口

(97)

孔口天線原理

• Huygens 原理

– 波前上的點可認為是波源

• 可將開口上的電磁場分佈視為等效波源

• 形成了一個由無窮多波源形成的陣列

• 如果開口上的電磁場分佈均勻，可認為是

N 個同相天線構成陣列的極限情況

(98)

N 天線一維陣列的極限情況

• 正規化陣列因數

• d 是天線間距離，顯然，時

_{( 開口的寬度 )}

sin sin sin 1 ₂ 1 ( ) sin sin _sin 2 o o Nd N F N N d      _                 ＝   N

_Nd

_

_w

sin sin lin ( ) | sinc( ) | sin sin o N o w F ws w                      ＝ sin o s   ＝

(99)

sinc 函數

• 通訊理論中常用到的一

種函數

x x x   sin ) ( sinc ＝ ) ( sinc x 之函數圖形示意圖

(100)

孔口天線之波束夾角估計

• _{從 sinc 函數表中發現：時} ws 大約為 0.443 • 可由求出波束夾角寬度



B • 檢驗： N = 80 _{， d =}



o/2 ， w = Nd = 40



o – 與陣列例題結果相符 2 1 ) ( sinc ws ＝ 0.443 ＝ 0 sin 2 B w   2 sin 0 B w   ＝ 0.443 可得　



B

 269

1 .



(101)

孔口天線之波束夾角估計結果討論

• 寬度 w 愈大，



_B

愈小，即波束夾角寬度愈

小

• 指向性自然愈大

• 這個性質，即使開口處電磁場並不太均勻，

也還是對的

B D Ω 4





(102)

號角天線原理

• 如沒有號角，電磁波仍會輻射出去，但開口處的電力線，磁力線較不規則，輻射定向的能力不很理想 • 使用號角，則電力線磁力線逐漸由導波管中分佈的形態轉移為能在無窮大空間中輻射的形態，因而有比較好的指向性 • 進一步的分析和計算發現，指向性隨號角長度而增加 – 號角太長實用上頗有困難，因此常配合拋物面來使用號角天線的電力線與磁力線

(103)

拋物面式天線原理

• 通常需要一個基本輻射器和一個旋轉拋物面或拋物柱面 • 基本輻射器可能是 Hertz 偶極天線，也可能是號角天線，放在拋物面的焦點上 • 從拋物面的數學性質可知由拋物面再反射出去的電磁波，其傳播方向都一致，使它的功率更能集中 • 40 _{至 50dB 的指向性很普遍} 拋物面天線的架構與反射原理

第6章 天線 (Power Point 2003, ppt檔, 1,506 KB)

第 6 章

天線

綱要

Antenna)

電磁場的產生

輻射

(Radiation)

破壞導波系統結構的輻射

天線

(Antennas)

• 產生輻射的裝置

綱要

Antenna)

輻射特性

• 輻射功率在各方向的相對比例

• 輸入功率用於輻射的比率

輻射功率場型

(Radiation Power Pattern)

• 球座標系中 (



，



) 方

向，每單位立體角分到

功率

p(



，



)

• 3D 場型

• 2D 場型

p

(



，

0

)

波瓣

(Lobe) 或波束 (Beam)

• 輻射功率場型中一瓣

一瓣的叫做波瓣

(Lobe) 或波束

(Beam)

• 最大的稱主波瓣

(Main Lobe)

• 其餘為次要波瓣，或

副波瓣

(Side-Lobe)

3D 輻射功率場型

)

0

(



，

p

無向性天線

(Isotropic Antenna)

• 由天線功率對角度的分配 p(



，



) 可大致

明瞭其集中功率於某一方向的能力

• 通常，可以拿它來和無向性天線比較

• 無向性天線 ( 並不存在，只是一種理想 )

均勻向四面八方輻射，沒有特別強或特別

弱的方向

• 無向性天線 p(



，



) ＝



指向性

(Directivity)

• 天線集中功率的能力

• 定義為天線功率輻射最大方向的 p(



第6章天線 (Power Point 2003, ppt檔, 1,506 KB)

_(Radiation)

_(Antennas)

_，

_p(

₎

_{(Lobe) 或波束 (Beam)}

_(Side-Lobe)

_{(Isotropic Antenna)}

_，

_，

_{(Directivity)}

_，

_(Gain)

₁

_{1 解答}

₂

_{＝ 0.1}

_{2 解答}

_{( 其長度 dz <<}

₎