三份 HPM 教案反思與比較：

(1)

HPM 通訊第十五卷第五期第一版

發行人：洪萬生（台灣師大數學系教授）

主編：蘇惠玉（西松高中）副主編：林倉億（台南一中）

助理編輯：黃俊瑋（台灣師大數學所研究生）

編輯小組：蘇意雯（台北市立教育大學）蘇俊鴻（北一女中）

黃清揚（福和國中）葉吉海（陽明高中）

陳彥宏（成功高中）陳啟文（中山女高）

王文珮（青溪國中）黃哲男（台南女中）

英家銘謝佳叡（台北醫學大學）

創刊日：1998 年 10 月 5 日每月 5 日出刊網址：http://math.ntnu.edu.tw/～horng

三份 HPM 教案反思與比較：

 三份 HPM 教案反思與比較：

「圓錐曲線雜談」、「無理數」、「餘弦定理」

 Information: ICME-12 TSG 20 論文時 間表

 推薦《1, 2, 3 和＋－×÷的數學旅行》

 HPM 教室：

單元八：解方程式的線性思維—試位法與雙設法

「圓錐曲線雜談」、「無理數」、「餘弦定理」

黃俊瑋

台灣師範大學數學系博士生

一、前言

數學的學習與訓練目的一方面引領我們看穿事物的本質，看見抽象的過程中看見不變性，同時也強調知識的結構與知識之間的連結。然而，數學知識的抽象本質，往往是學生學習障礙的來源，如何賦予抽象知識更直觀的意義以促進理解，或者建立數學知識 之間的連結，皆是教學過程中的一大難題與挑戰。

蘇俊鴻老師關於「餘弦定理」、「無理數」、「圓錐曲線」三份教案中，有效地融入數 學史元素，以勾股定理的面積證法連結了勾股定理 (畢氏定理) 與餘弦定理；以「公度 量」的概念連結了有理數和無理數，並以「正焦弦」(latus rectumin) 連結了三類圓錐曲 線。這三個教案依序於 2006、2007 和 2008 年榮獲思源科技基金會的教案金獅獎。

以下，筆者便從閱讀這三份教案，以及反思中學教材與數學教學的過程，進一步比 較三者之異同。

二、「正焦弦」教案

高中教材的幾何相關單元，由於引入了具有強大威力的解析法，從而代數式與代數演算反成為教學與評量的主幹，不重視幾何關係的瞭解，反而著重在以代數形式來講述幾何內容，掩蓋住原始的幾何味，無論是課程或考題，代數化地處理幾何問題，往往流 於代數方程的應用以及符號操作，反而失去原始的數學之美。

(2)

HPM 通訊第十五卷第四期第二版

以高中圓錐曲線單元為例，教材著重於從定義演繹出圖形的方程式。再利用代數方程處理各類問題，雖然簡單討論了準線、焦點、對稱軸、長短軸、中心、弦、正焦弦與對稱性等幾何元素和性質，但對於一些相關幾何性質反而甚少著墨。而其中，學生或老師們也許會懷疑為何教材中特別交代「正焦弦」的公式或相關計算長度的問題，卻無從理解此一幾何量的意義所在。的確，以正焦弦在目前的高中教材的定位中，似食之無味，

棄之可惜的「雞肋」，然而，從 HPM 以及知識結構的縱深統整等角度來看，反而突顯了

「正交弦」的地位與重要性，從古代阿波羅尼斯的命題中，引入正交弦，一方面不止幫我們進一步了解圓錐曲線拋物線、橢圓與雙曲線之所以得其命名，另一方面，當我們架上坐標之後，利用這些命題，我們可以進一步演繹出這三類圖形的代數方程式，同時，

這三類方程式可合而為一以正焦弦 p 為參數的通式：

2 2

( )p

y px x

  d

此通式中，取正項時為雙曲線，負項則為橢圓，若我們將拋物線的長軸長視為無窮 大，即 d→無窮大，便可得拋物線的方程式。另一方面，若從橢圓退化為圓的情況來看，

當正焦長為圓的直徑，即 p=d 時，即可得圓的方程式。利用正焦弦以及相關面積的比較，

進而得到此一通式，反過來再從「代數形式上」統整連結了拋物線、橢圓、雙曲線圓錐曲線。同時，三類圓錐曲線皆為此通式的特例，而其中的 ^{( )}^p ^x²

 d 便為區分三者差別的面 積「修正項」。

否則，若以圓錐曲線相關的二次方程ax²bxy cy ²dx ey  f 0及其圖形來看，隨著其係數的不同，分別可代表圓、拋物線、橢圓、雙曲線，乃至於其它的退化圖形。就現今 高中教材而言，若二次方程之中的 b=0 時，即交叉項不存在時，我們尚可以輕易地判別 原二次方程的圖形為何。麻煩的是，倘若交叉項 b 不為 0 時，要嘛必需進一步利用坐標 軸的旋轉或圖形的旋轉等變換，並花費九牛二虎外加兩隻象的力量，大費周張地進行一連串的代數操作與運算，方能對該二次方程所形成的圖形加以判別與分類，否則就得記誦依前述過程可得的複雜判別式，而在過去，這也曾是困擾許多高中學生的困難單元之一。

然而正如同蘇俊鴻老師的教案，在引入正焦弦這一幾何元素之後，非但可用以分類三類圓錐曲線，同時，原本高中課程中需要記頌三類圓錐曲線的不同定義以及不同的標準方程式，現在，經過「正焦弦」此一拱心石的連結之後，便可以得到一簡單而明瞭，

並可與幾何意義連結的代數方程式，同時從幾何面向與代數「形式」連結、一般化了原 本孤立的三個錐曲線。

(3)

HPM 通訊第十五卷第五期第三版

三、「餘弦定理」教案

再看看餘弦定理的例子。在中學教科書中，餘弦定理的意義一開始往往被定位為補 正弦定理的不足，處理正弦定理所無法處理的解三角形問題(包含測量)。因此，學習者 容易地因「正弦」與「餘弦」的名稱而將「正弦定理」與「餘弦定理」視為「好朋友」，

卻忽略了兩者代數形式上的差異，以及「餘弦定理」和「勾股定理」之間的連結以及更 深一層的關係。

蘇俊鴻老師關於餘弦定理的教案中，強調餘弦定律的發現脈絡，並使其與畢氏定理的連結能更加深入與自然，其目的是希望讓學生對餘弦定律的了解能更為深入且多元，

不至於僅僅流於單調的公式推導或計算。至於如何強調餘弦定律的發現脈絡，並且與畢氏定理的連結呢？還是必需回到數學史的反思上。或許教科書或教師手冊中給出了許多關於餘弦定理的證法，然而，無論是投影證法、坐標式解析證法等，皆只停留在核證數學知識的層次，並沒有辦法跟幾何概念作連結，只是讓學生從代數式子理解定理為真而已。證明過程中的代數運算就像黑盒子，無從引導學生，甚至是教師們對於數學知識的 本質有更深一層的了解。也因此，餘弦定理在幾何上的意義在教學時卻常被忽略。

部份聰明的學生在學習或觀察了餘弦定理的數學式之後，或許會對餘弦定理的「樣 式」感到熟悉，它與「勾股定理」的樣式頗為相似，乍看之下，兩者之間僅差了一項「修 正項：2abcosC」，而這樣的關係便為往後的發現脈絡預埋下種子。至於此「修正項」又有什麼重要意義呢？若不從歐幾里得在對於勾股定理提出的「風車證法」或曰「戰士證 法」談起，恐怕一般人難以得其門而入。

因此，蘇俊鴻老師的教案中，從《幾何原本》(The Elements) 第一卷之中的勾股定 理證法出發，再連結到餘弦定理的證明，比對兩者證明過程中的異與同之後，答案呼之 欲出，原來修正項 2abcosC 亦非憑空而來，其具有關鍵性的幾何意義。當我們把證明直 角三角形勾股定理的面積證法，搬到銳角三角形餘弦定理的證明過程中，很快地就會發現，夾銳角兩邊的正方形與對邊正方形之面積差異，而此面積差異正是餘弦定理修正項的幾何意義。從此證明的過程中，我們更進一步洞見餘弦定理與勾股定理本質上的異 同。經此連結，當角 C 為 90 度時，即原三角形為直角三角形時，「勾股定理即為餘弦定理的特例」，同時「餘弦定理亦為勾股定理的推廣或通例」。當然無論角 C 是直角、銳角 或鈍角時，都可以從幾何面向來解釋修正項「2abcosC」的意義，如此，透過此一圖形 證明過程，不但達到知識核證的效果，同時也引導發現「修正項」的意義，以及當角 C 分別為直角、銳角或鈍角時差別。縱深連結了國中與高中教材的兩個定理。而從教案中，

我們也發現作者不斷地利用「由特例到通式」的過程，在同樣的形式之下，逐步抽象化，

建立學習者的典範例概念心像，這也值得數學概念教學仿效與學習。

(4)

HPM 通訊第十五卷第四期第四版

四、「無理數」教案

最後，再來看看「無理數」教案。高中教材中，將可以寫成「b/a」型式的數定義為 有理數，其中，a 與 b 皆為整數，且 b 不為 0。反之，無法表示成此型式的數則為無理 數，為什麼「可表達」(logos) 即「有理」(rational)，不可表達便為「無理」(irrational) 呢？聰明的學生也許尚能從課本的定義中「意會」此差異，然而冷冰冰的有理數身份證

「b/a」，以及非我族類的「無理數」，帶給多數學生的恐怕只有「記下來」的低階認知層 次與疑惑不解。

然而，當我們懷抱數學史，從古希臘「公度量」的概念與意義著手，隔閡住無理數 與有理數之間的神秘面紗，便豁然而開。利用公度量，將無理數從「數字共和國」解放出來，進而從「幾何度量」的角度賦與「數字」意義，這樣的數形結合的例子，不正是 開展於古希臘畢氏學派的傳統。

而公度量的過程，亦離不開與輾轉相除法之間的連結，教案中，再次以幾何量之間 的輾轉相減以及求兩長度的公度量單位為橋，幫助我們連結並洞悉輾轉相除法代數化的 程序性過程與幾何意義。並利用正方形邊長與對角線長為例，說明了 1 與根號 2 之間的 不可公度量性，也論證了與 1 不可公度量實數的存在，即無理數的存在。

從教案中的比較連結中，不僅整個輾轉相除法的代數操作幾何直觀化，同時，從公 度量的操作過程中，更有助於學習者從數學本質上區分「有理數」與「無理數」之間的 差異。而這樣的認知歷程正也呼應了數學教育家 A. Sfard 關於數學概念對偶性的理論，

其認為操作性 (operational) 與結構性 (structural) 是數學概念的一體兩面，多數時候 操作性的發展先於結構，而從公度量的操作歷程中，慢慢經過內化與壓縮的過程，最後 有理數與無理數的概念物化為一抽象的結構 - 數學物件，從而理解兩類的本質與差異。

五、結論

幾何代數化的結果固然發展出解析幾何等強大工具，代數化地處理幾何問題，也成 為現今高中數學課程的主流，然而，幾何知識的「意義」與「圖形直觀面向」卻從繁雜的代數式與演算中退下舞台。然而，數與形的結合，由形更直觀地反思、理解數，不正 是兩千年前畢氏學派所依循的進路。

從蘇俊鴻老師這三份教案的設計中，我們可以發現，作者同樣從數學史上尋找靈感 與素材，透過數學發展史的反思與融入，也同樣地回過頭利用幾何上的意義，利用「數形」的結合，更直觀而本質地連結了冰冷的數學知識，幫助學習者建立更完整的認知基模，以達到更加「有意義的學習」。對中學數學知識進行縱深統整，重新賦予現今課程 中，只具代數「形式」的「有理數 a/b」，以及被當作代數化解題實用工具的「餘弦定理」

更深一層的意義，也連結了看似彼此孤立的三大圓錐曲線。

(5)

HPM 通訊第十五卷第五期第五版

「圓錐曲線雜談」教案中，利用正焦弦以及相關面積的比較，了解拋物線、橢圓與 雙曲線的差異，不但水平地統整、連結了孤立的三者，更得到以正焦弦 p 為參量的一般 化通式： ² ( )p 2

y px x

  d ，反過來再從「代數形式上」連結了三者的共通性，同時，三類圓錐曲線皆為此通式的特例，而其中的 ( )p ²

d x

 便為區分三者差別的面積修正項。

至於「餘弦定理」教案中，則是以歐基里得的面積證法出發，利用相同的證明方式 (勾股定理)，由特例到一般化，營造出可以讓學生參與的發現脈絡，縱深統整了勾股定 理與餘弦定理，並賦與了餘弦定理修正項「2abcosC」幾何上的意義，引領學習者從面 積比較的幾何本質，重新認識餘弦定理。同時，不只從代數式來看兩者之關連，更從幾何的意義中理解為何「勾股定理是餘弦定理在夾角為直角時的特例」，並且「餘弦定理 是勾股定理的推廣」。

上面兩個例子中分別先從特例「直角三角形」與「拋物線」出發，再推廣到其它情 況，從而引出面積修正項「2abcosC」與 ^{( )}^p ^x²

 d ，而此修正項，正能幫助我們從幾何面 向來比較並認識不同特例(三類圓錐曲線以及直角、銳角與鈍角三角形)之間的關係與差 別。

最後的「無理數」的教案中，以公度量的概念與意義出發，輔以輾轉相除法，透過 具幾何意義的度量過程，比較並連結了有理數與無理數，而可否與 1 公度量，便是這區 分兩類實數的本質上的差別。

這三份教案同樣地師取古希臘數學家的想法，同樣利用「幾何」意義，連結了原本孤立的數學知識，從而發現數學知識本質上的共通性與差異，也讓我們更加深刻地重新認識過去習以為常的數學知識。數學史融入教學，並不單只是說故事與動機的引發為目的，更能有助於學習者對於數學概念的理解以及概念之間的連結與統整，從而建立更完 善的認知基模與相關知識結構。而三份 HPM 教案也給了上述論述最好的示例。

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HPM 通訊第十五卷第四期第六版

ICME-12 TSG 20 論文時間表

TSG 20 主題: The Role of History of Mathematics in Mathematics Education Co-chairs: R. Chorlay (renaud.chorlay@paris.iufm.fr),

W.-S. Horng (horng@math.ntnu.edu.tw)

Team Member: Manfred Kronfellner (Austria), Cathy Clark (USA), Abdellah El Idrissi (Morocco), Hyewon Chang (Korea)

Tuesday, July 10

10h30:

General introduction to TSG20

10h40 - 11h05: Paper #0166

Lawrence, Snezana (Bath Spa University, United Kingdom)

The historical thread - enhancing subject knowledge with history of mathematics in Newly Qualified Teachers

11h05 - 11h30: Paper #0484

Smestad, Bjorn (Oslo and Akershus University College of Applied Sciences, Norway) Not just "telling stories". History of mathematics for teacher students ? what is it and how to teach it?

11h30 - 12h00: Paper #0250

Kjeldsen, Tinne (Roskilde University , Denmark)

Genuine history and the learning of mathematics: The use of historical sources as a means for detecting students' meta-discursive rules in mathematics

Wednesday, July 11

10h30 - 10h55: Paper #0875

Wanko, Jeffrey (Miami University, United States)

Understanding Historical Culture Through Mathematical Representations

10h55 - 11h20: Paper #0860

Cauty, Andre (Universite Bordeaux 1, France)

Lab work of epistemology and history of sciences: How to transform an Aztec xihuitl (a 18 periods year) into a calendar?

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HPM 通訊第十五卷第五期第七版

11h20 - 11h45: Paper #1208

Bonilla Maria del Carmen (Sociedad Peruana de Educacion Matematica , Peru)

Visualization of the Archimedes mechanical demonstration to find the volume of the sphere using 3D dynamic geometry

11h45 - 12h00: Short introduction to Posters affiliated with TSG20

Friday, July 13

10h30 - 10h55: Paper #0523

Alpaslan, Mustafa (Middle East Technical University , Turkey)

"History of Mathematics" Course for Pre-service Mathematics Teachers: A Case Study

10h55 - 11h20: Paper #0326

Luo Xinbing (Shannxi Normal University,Xi'an,China)

Character and Model of Distribution of Mathematics History in the High School Mathematics Textbook (paper)

11h20 - 11h45: Paper #0837

Sun Xuhua (Faculty of Education, University of Macau, China)

The systematic model of JiuzhangSuanshu and its educational implication in fractional computation

11h45 - 12h00: Short introduction to Posters affiliated with TSG20

Saturday, July 14

10h30 - 11h00: Paper #0225

Lodder, Jerry (New Mexico State University, United States)

Primary Historical Sources in the Classroom: Discrete Mathematics

11h00 - 11h30: Paper #0874

Michel-Pajus Annie (IREM, Universite Paris Diderot, France) Historical algorithms in the classroom and in teacher-training

11h30 - 12h00: Paper #0868

Jakobsen, Arne (University of Stavanger, Norway)

Mathematical Knowledge for Teaching in Relation to History in Mathematics Education

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HPM 通訊第十五卷第四期第八版

單元八：解方程式的線性思維—試位法與雙設法

蘇惠玉 台北市立西松高中

適用課程單元：99 課綱數學 I，多項式方程式

一、試位法

不管對哪一個文明而言，數學的發展一開始通常都來自於現實世界的需求。這些現實的問題，包含了稅收、分糧食、面積測量等等問題形式，通常可以歸類成解線性的一次方程或非線性的一元二次方程式問題。要解決這些問題並不須要複雜的數學知識，即使像古埃及的書記官或是中國的官吏們，儘管沒有現代便利的符號，用文辭敘述的方式 依然可以將問題解決。

在古埃及的蘭德紙草文書中，記載了許多關於一次方程式的問題，例如 有一個量，它的一半和它的三分之一與它加在一起後變成 10。

受訓練的埃及書記官學習和我們現今一樣的方法來解這個線性方程：用 10 去除以 1+1 1

2 。在紙草書的許多問題中，顯示了許多這樣的除法技巧訓練。然而在紙草文書3 中，還提供了另一種解線性方程的方法。譬如在蘭德紙草文書中的第 26 個問題：「一個量，它與自身的1

4相加結果為 15」，書記官寫下的解題步驟如下：

假設解答為 4，將 4 加上它的1

4等於 5，…找一個乘 5 能得到 15 的數，這個數是 3，

用 4 乘 3，答案是 12。

這個問題所用的方法，稱為試位法(false position，或稱單設法)。假定一個答案，儘管可 能不是真正的解答，但是會使得計算容易一點，然後使用這個猜測去得到一個倍數，使 得猜測的數乘上這個倍數會得到真正的答案。

所謂試位法，就是利用兩個量之間的線性關係，當我們所解的方程式為

Ax=B 時，將 B 乘上 k 倍，x 也會變成 k 倍：A(kx)=kB。雖然在紙草文書中沒有去討論 這個方法為何有效，但是顯然地，書記官們曉得兩個量之間的線性關係的這個基本觀 念。再舉一個試位法的例子，下面的這個問題來自蘭德紙草文書的問題 24，解法中涉及 到分數的計算，我們也可從這個例子中一窺埃及數學在計算方面的特徵：

(13)

HPM 通訊第十五卷第五期第一三版

問題某數與他的1

7相加得 19，求該數。假設該數為 7

＼1 7

＼1

7 1

和數 8

然後計算何數乘以 8 能得 19 （計算 19÷8）： 1 8

＼2 16

1 2 4

＼1 4 2

＼1 8 1

和數 1 1 24 8 再將該數乘以 7 就得到所求數 （計算 1 1 24 8×7）：＼1 1 1 24 8 ＼2 1 1 42 4 ＼4 1

92 驗證如下：所求數 1 1 162 8 1

7 1 1 24 8 和數 19

(14)

HPM 通訊第十五卷第四期第一四版

二、雙設法

當線性方程的問題變成稍微複雜一點的形式時，延伸試位法而來的一種方法稱為雙 設法(double false position)，在中國的古算學中，則稱這種算法為盈不足術。盈不足術首 見於 1984 年在湖北張家山墓地中出土的竹簡《筭數書》，《筭數書》的成書年代不晚於 西漢呂后二年（公元前 186 年），其中第 51 題如下：

分錢分錢人二而多三，人三而少二，問幾何人、錢幾何？得曰：五人，錢十三。

贏（盈）不足互乘母為實，子相從為法。接贏（盈）若不足，子互成母而各異直（置）

之，以子少者除子多者，餘為法，以不足為實。

同樣類型的題目也出現在《九章算術》的第七章「盈不足」中，譬如：

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？

答曰：七人、物價五十三。

這個問題若以現在的符號代數解法，可以假設人數為 x，物價為 y，因此得到兩個二元 一次方程式，聯立解之，則可得人數與物價。但在《九章算術》中，則以所謂的盈不足 術來解決：

盈不足術曰：置所出率，盈、不足各居其下。另維乘所出率，并，以為實。并盈、

不足為法。實如法而一。有分者，通之。盈、不足相與同其買物者，置所出率，以 少減多，餘，以約法實。實為物價，法為人數。

也就是說，假設兩次付款數（所出率）分別是 a1、a2（a1＞a2），盈、不足數分別是 b1、 b2，所謂「置所出率，盈不足各居其下」，即將已知四數排成下圖：

a₁ a₂

b₁ b₂

「維乘所出率，并，以為實」即是將上圖中四數交叉相乘後相加，得 a₁b₂+a₂b₁後作為被除數；「并盈、不足為法」即以 b₁+b₂為除數；「實如法而一」即可得每人應出錢數＝

1 2 2 1

1 2

a b a b

b b



 。另外，「置所出率，以少減多」，即 a₁-a2；「餘、以約法（b₁+b2）、實（a₁b2+a2b1）。 實為物價、法為人數」即得物價及人數為

物價＝ ^{1 2} ^{2 1}

1 2

a b a b

a a



 ，人數＝ ¹ ²

1 2

b b

a a





(15)

HPM 通訊第十五卷第五期第一五版

因此在「共買物」這一題中，可得每人應出錢數=3 8 4 7 3 4

  

 ，而物價＝3 8 4 7 8 7

  

 ＝ 53 錢，人數＝3 4

8 7



 ＝7 人。

盈不足的公式從何而來？為什麼這個方法有效？當然中國的傳統算法自有其整個算學文化傳承的脈絡，在此略過不談，我們只專注在其線性思維的部分。以現在我們所學的觀念來理解，因為人數多少是固定的，而每人所出 的錢數與總錢數之間有一線性關係存在，設總錢數為 y，

每人所出的錢數為 x，那麼 y 與 x 的線性關係可設為

，圖形如右。共買物的問題可以轉換成當 y=物價

（設為 B）時，每人所出錢數 x＝？而現已知此直線上兩 點(a2, B－b2)與(a1, B+b1)，利用斜率相等

ymx

可知

2

2 1

b b₁

x a  a

  x，因此 ^{1 2} ^{2 1}

1 2

a b a b

x b b

 

 。

在「盈不足」這一章中，將盈不足術分為盈不足、兩盈、兩不足、盈適足、不足適 足等五種情形，當然這五種情況以現在的直線理論來看，都在相同的概念架構之下。

由於在解決線性方程式的問題上，雙設法是一個相當有效率的方法，因此即使在符號代數發明之後很長一段時間裡，雙設法還持續被使用著。譬如在十九世紀早期出版的 一本書《校長的好幫手 Daboll’s Schoolmaster’s Assistant》中有這樣一個例子：

將一袋錢中的 100 美元分給 A、B、C 和 D 四個人，如果 B 要比 A 多 4 元，C 比 B 多 8 元，而 D 所得是 C 的兩倍，那麼每一個人可以分得多少錢？

在此書中即用了雙設法來解決這個問題。雖然符號代數為我們帶來了解方程式的快捷與 便利，然而卻也因為代數符號的操弄，容易失去對圖形直觀所帶來的洞察力。

Exercise

1. 在巴比倫的泥版上有這樣一個問題：

我找到一塊大石，但沒有秤它，在我給它加上總重的七分之一以後，又加上(後來總 重的)十一分之一，其重量為 1 米拉(mina)（＝60 斤(gin)），這塊石頭原重多少斤?

(1) 列出一個符合敘述的代數關係式。

(2) 利用試位法解這個問題。

2. 在蘭德紙草文書的問題 24 的解法計算過程中，你覺得埃及的計算方式有何特殊的地 方？

(16)

HPM 通訊第十五卷第四期第一六版

問題某數與他的1

7相加得 19，求該數。假設該數為 7

＼1 7

＼1

7 1

和數 8

然後計算何數乘以 8 能得 19 （計算 19÷8）： 3. 下面是《九章算術》「盈不足」章中的雙盈問題： 今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數、金價各幾何？ (1) 用現代的符號代數解決這個問題。 (2) 改用雙設法解決這個問題。 4. 下面是 19 世紀《校長的好幫手》中的問題： 將一袋錢中的 100 美元分給 A、B、C 和 D 四個人，如果 B 要比 A 多 4 元，C 比 B 多 8 元，而 D 所得是 C 的兩倍，那麼每一個人可以分得多少錢？ (1) 用現代的符號代數解決這個問題 (2) 改用雙設法解決這個問題。 5. 如果要解決一個線性方程式（x 的一次方程式）的問題，你會優先選擇用符號代數的 方法，或是雙設法（或試位法）？為什麼？ 參考文獻 Katz, V.J. (1993). A History of Mathematics—an Introduction. New York: HarperCoollins College Publishers. 比爾‧柏林霍夫/佛南度‧辜維亞著，洪萬生、英家銘暨 HPM 團對譯（2008），《溫柔數 學史》，台北：博雅書屋。 黃清揚（2008），〈單設法及其演變〉，《HPM 通訊》第十一卷第一期。 李繼閔 (1998).《《九章算術》及其劉徽注研究》，台北：九章出版社。 1 8

＼2 16

1 2 4

＼1 4 2

＼1 8 1

和數 1 1 24 8 再將該數乘以 7 就得到所求數 （計算 1 1 2 ×7）： 4 8 ＼1 1 1 24 8 ＼2 1 1 42 4 ＼4 1

92 驗證如下：所求數 1 1 162 8 1

7 1 1 24 8 和數 19

三份 HPM 教案反思與比較：

三份 HPM 教案反思與比較：

「圓錐曲線雜談」 、「無理數」、「餘弦定理」

ICME-12 TSG 20 論文時間表

推薦《1, 2, 3 和＋－×÷的數學旅行》

教室

單元八：解方程式的線性思維—試位法與雙設法

「圓錐曲線雜談」、「無理數」、「餘弦定理」