§11.9 Representations of Functions as Power Series

1      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

§11.9 Representations of Functions as Power Series

 源頭函數：

1 ... , | | 1.

1 1

0

2   





 



^



x x x

x x n

n

(i). 直系函數：

Example 1：

     

1 , 1 | | 1. 1

1 1

1 _{2 2}

0 0

2 2

2       



 



 

^







x x

x x x

x

n n

n n

n

Example 2：

2.

|

| 2 , 2

2 1 1 2

1 2 1 2

1

0 1 0



 



 



 



 

 

^

 





x x x

x x _n ⁿ

n

n n

Example 3：

  , | | 2 . 1 2

2 2

1 2 1 2

2

₀ ¹

3

0 3 3

3

   



 

 



 

 

 



   

^

 

 



x x x

x x x

x x

n

n n n n

n

(ii). 旁系函數：(related to 直系函數 by 微分和積分)

＊註記：

1. Power series 在絕對收斂的範圍(即收斂區間)可作逐項微分或積分

的動作。

2. 有時須微分或積分不只一次才到直系。

2      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Example 4：

(i). Find the power series representation of ln ( 1- x ).

(ii). Express ln 2 as a convergent infinite series with all positive terms.

Solution：

 

. 1

|

| ..., 1 1

1

... 1 3 1 2

ln

2 0

0 1 3

2















 



 































 

x x

x x x

n c x x

x x c x

n n

n n

dx

d 





Let x = 0 ⇒ ln 1 = 0 = c.

 

. 1

|

| ,

1

|

| 1 , 1

ln

1 0

1







 





















n x x n x x x

n n n

n

Example 5：

(i). Find the power series representation of

f(x)tan^1x.

(ii). Let  

^



 



0 0

tan 1

) (

n n n

x tdt a x

x

f

. Then

a₈ ?

Solution：

 

  1 , | | 1 . 1

1

. 1

|

| 1 tan

0

2 2

0

2 1







 























 



x x x

x x c

x

n

n n n

n n

dx

d

       





Let x = 0 ⇒ tan

^-1

0 = 0 = c + 0 ⇒

c

0.

 

1.

|

| 1 , 2 tan 1

0

1 2

1





 

 

^



 

n x x x

n

n n

Example 6：

Find the power series representation of



1



^.

) 1

( ₂

x x

f  

3      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Solution：

 

. 1

|

| 1 ,

1

. 1

|

| , 1

1

0 1

1 2



 



























x x x

x nx x

n n dx d n

n





 





Example 7：

Evaluate  _{1 } ¹

_x^{7 dx}

as a power series.

Solution：

 

 

  | | 1 . 1

1 7 1 1 1

1

0

1 7 0

7 7 0

7



 



 





 



































x n c

x dx x

dx x x dx

n

n n n

n n n n

n

Example 8：

1.

?, | | 1.

1

1  



^



 x

nx

n n

2. (i)

?, | | 1.

1





^ 



x nx

n n

(ii)

?

12



^ 

 n

n

n

3. (i) 

1



?, | | 1.

2







^ 



x x

n n

n

n

(ii)

?

2 2

2  



^

 n

n

n n

(iii)

?

12

2 



^

 n

n

n

4      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Solution：

1. For |x| < 1, we have

  _{ } ^.

1 1 1

1

2 1

1 1

1

x x dx x d

dx x d dx nx d

n n n

n n

n

 

 

 





 

 

 



 

  



^













2. (i) For |x|<1, we have

 

²

1 1

1 1 x

nx x x nx

n n n

n

 







^



 



(此例子為旁系+直系)

(ii) 2 .

2 1 1

2 1

2

²

1



 

 

  



^



 n

n

n

3. (i) For |x|<1, we have 

^

 





2

1

n

xn

n n

      _{ } ^.

1

1 2

₃

2

2 1 2

2

1 2

2

2 2

x nx x

dx x d dx nx

x d x n n x

n n n

n n

n

 

 

 



 



  



^



 



 





(ii) 4 .

2 1 2 2 1

2

³

2

2

2



 

 





 

 





 



^

 n

n

n n

(iii)

4 2 6.

2 2

2 2

2 2 1

2

1 1

2

1

2 



 







 



  



^

















 n

n n

n n

n n

n n

n

n n

n n

n n n