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行政院國家科學委員會專題研究計畫成果報告
水文系統之碎形分析與渾沌預測 (III)
Fr actal Analysis and Chaotic Pr ediction in Hydr ologic Systems (III)
計畫編號： NSC 89-2211-E-006-067
執行期限：88 年 8 月 1 日至 89 年 7 月 31 日
主持人：劉長齡 國立成功大學水利及海洋工程學系
協同主持人：李宗仰 國立成功大學衛星資訊研究中心
一、中文摘要 依據上一年度所解析得諸水文系統中 水文量(如降雨、逕流等)之渾沌行為，採用 所萃取之資訊來建立各種以相空間重構為 基礎的非線性模式，此包括局部域近似法 及類神經網路學習法，並進而給予其未來 觀測值之預測及解析其預測之限制性。 關鍵詞：相空間、渾沌吸子、非線性模式、 類神經網路 Abstr actThe works used the chaotic characteris-tics of hydrological system (such as rainfall and runoff) to build the non-linear model based on the concept of phase-space recon-struction. Two methods, the local approxi-mation and the artificial neural network, are used for modeling and the purpose is to pre-dict the unknown observations, meanwhile, to detect the limit of predictability.
Keywor ds: Phase Space, Chaotic Attractor,
Nonlinear Model, Artificial Neural Network 二、緣由與目的 水 文 系 統 為 大 自 然 複 雜 現 象 中 之 一 環，其觀測資料經常以時間序列之形態出 現，且往往具有非線性的本質。傳統上， 為分析此一水文時間序列，經常以線性過 濾(Linear Filter)的方法來構建模式，然新近 所發展的渾沌理論認為非線性動態系統應 以其原有的本質來看待之，亦即非線性問 題應以非線性模式來解析，而非以簡化的 線性模式來逼近之。至於水文歷程之非線 性模式的構建，將採用兩種方式(鄰近狀態 量個數法及鄰近半徑法)的局部域近似法 外，因非線性模式可能具有非常複雜之結 構，為能提供最佳化或較精確之預測，研 究中更導入類神經網路學習模式來達成上 述目的。 三、非線性模式之基礎與推演 1. 導入渾沌動力性之模式建立 導致(長期)預報不準確的因素有三，分 別是：模式系統與實際系統之間存在著差 異、計算誤差與初始條件的不準確。然而， 尚有兩個關鍵的因素，分別是：狀態量的 離散化與非線性系統的內在隨機性。因此 從本質上而言，長期預報的可行與否，將 取決於後兩者。若一動態系統被驗証為渾 沌過程，則線性模式將無法擷取奇異吸子 的動力性。因此必需採用另一種方式，以 克服其非線性的特質。設於m維相空間下， 觀測值xt在目前t 時刻的狀態為 Xt ，即 ) , , , ( −1 − +1 = t t t m t x x x X Λ ；而未來t T+ 時刻的 狀 態 為 Xt T+ ， 即 Xt+T =(xt+T,xt+T−1, ) ,xt+T−m+1 Λ 。於是可使用函數 ft來表示其 間的關係： ) ( t T T t f X X+ = (1) 式中，表達了從目前時刻t 對未來的 T 超前 時刻給予狀態X 之預測。由於渾沌過程對 於初始條件極為敏感且不可能產生完美的 量測值，故有一限制性的預測能力；或說 一動態過程可能因種種因素，將會有干擾 的引入，因此(1)式較適切的表達應為： t t T T t f X N X+ = ( )+ (2) 式中，N 為干擾狀態。由於一水文時間序t 列若是渾沌的，則表示其為一非線性的機 制，且其短期的演化行為是指數發散的(或 收斂)。於是吾人必需對函數 f 選擇或推求T 出屬於全域非線性的函數 fˆ ，以符合其內T 在本質並進而給予接續行為的預測。然而 對於相空間中的很短演化過程，局部域的 線性模式則可能會有較好的近似。 2. 非線性函數之選定與處理
2 決定 fˆ 的方式，一般均採用局部域近T 似法，該法是由Farmer與Sidorowich[1,2]所 推薦，其基本觀念是將整個範圍化成分鄰 近狀態(Nearby State)，然後對每一鄰近區 予以各別處理。至於其處理方式，又可區 分 成 兩 種 ， 分 別 是 鄰 近 狀 態 量 個 數 法 (Neighbor Number Method, NNM)及鄰近半 徑法(Neighbor Radius Method, NRM)。
首先，介紹NNM方法[3,4,5]，假設狀態 Xt 之 鄰 近 有 K 個 狀 態 量 ， 分 別 是 X Xt1′, t2′, ,L XtK′ ， 其 中 tk′ <t ) , , 2 , 1 (k= Λ K ， 於 是 狀 態 Xt T+ 可 由 Xt T1′+ ,Xt T′ +2 , ,L XtK′ +T來構成。於是(1)式成為 ) , , , ( 2 1 T t T t T t T T t f X X XK X+ = ′+ ′+ Λ ′+ (3) 若此處函數 f 以權重平均表之，則從目前T 時 刻t 對未來時刻 T 超前時刻的預測值 ) ( ˆ T xt 為 ∃( ) x T K x t t T k K k = ′ + =
∑
1 1 ) 4 ( 接著，說明NRM法之求算，係假設在 狀態Xt取一超半徑為r之超球體，則於此一 超球體內之狀態量有 Xt1′, Xt2′,Λ ,Xt′Kt ，其 中tk′t <t(kt =1,2,Λ ,Kt)，而Kt是在時間t 以 狀態量Xt為超球心且於超半徑r之超球內 的 狀 態 量 總 數 。 於 是 狀 態 Xt T+ 可 由 Xt T Xt T Xt T Kt ′+ ′ + ′ + 1 , 2 ,L, 來構成。於是(1)式成 為 ) , , , ( 2 1 T t T t T t T T t f X X XKt X+ = ′+ ′+ Λ ′ + (5) 3. 最佳化預測－類神經網路學習法[6] 神經網路是一個具有高度非線性之大 規模的動力系統，其主要的特點在於能夠 呈現出網路的全域作用，並對複雜性給於 大規模的平行分佈處理。因此在模擬或預 測方面，為能進一步提昇其整體效能，本 研 究 擬 導 入 類 神 經 網 路(Artificial Neural Network, ANN)模式。近年來，由於類神經 網路在許多領域受到重視，更由於計算機 領域的發達與效能的提升，因此使得其應 用範圍快速地擴大。而於一系列的類神經網路架構中，倒傳遞神經網路(Backpropa-gation Neural Network, BPNN)是最具有代 表性，而且是目前應用最普遍的類神經網 路學習模式，它是一個多層、前向式並俱 有監督學習功能的網路架構。假設一個前 向式三層的神經網路，該網路包含一個輸 入層、一個隱藏層及一個輸出層，又輸入 層包含I個單元數目、隱藏層包含J個單元數 目 及 輸 出 層 包 含 K 個 單 元 數 目 ， 故 為 K J I× × 之網路型態。若x 是表示為輸入i 狀態的第 i 個分量，於是定義zk為輸出狀態 的第 k 個分量，因此輸出量zk可表為 + ⋅ ⋅ + =
∑
∑
= = J j I i i ij j jk k k f b b f a a x z 1 1 0 0 (6) 式中， f(⋅)為傳輸函數。而xi為輸入量、 ij a 及bjk(i=1,2,Λ ,I;j=1,2,Λ ,J;k=1,2,Λ ,K) 為權重值，以及a0k及b0k為偏差量。 4. 模式效能比較準則 選取最常用的 8 種指標來做為評鑑模 式優劣與差異之標準，其可區分成兩大 類：第一類為統計指標，計有 4 個，是以 統 計 學 為 觀 點 ， 依 序 為 平 均 絕 對 偏 差 (MAE)、均方根誤差(RMSE)、修正 Theil 不等係數(RTIC)、相關係數(CC)；第二類 為水文指標，亦有 4 個，是以水文學為觀 點，依序為效率係數(CE)、尖峰量誤差百 分比(EX )、尖峰時刻到達誤差( ETp p)、總 體積誤差百分比(EV)。 四、河川逕流歷程之非線性模擬與預測 資料係取自淡水河流域拉號測站所觀 測得之日流量值，資料起點是 1940 年 1 月 1 日，共 8 年，總資料數為 2922。又前 7 年資料數(2557 筆)作為模擬用途，而最後 1 年資料數(365 筆)則作為預測用途。除本研 究所強調之結合相空間理論與神經網路架 構的模式構建之外，為能比較於先前理論 章節中所提之模式的各種變化型式，同時 與傳統的線性模式來相互驗證，於是共選 用了 8 種型態之模式。 茲將 8 個模式的模擬值及預測值，分 別計算評鑑指標值與轉成效能分數，計算 結果詳如表 1 及表 2 所列。在此，吾人僅3 以 最 佳 模 式 NNM(ANN) 及 較 次 佳 模 式 NAR(p)為例，並選用最差模式 NNM(1)來做 為比較用，圖 1 顯示了該等模式之模擬值 與預測值對觀測值的點繪情況，檢視圖中 點位與 45 度之完美線的離散趨勢，可知 NNM(1)在數值增大時，變異 性(誤差)增 大，而 NAR(p)及 NNM(ANN)並不十分顯 著，特別是在吾人所關注的預報方面。又 NNM(MLR)雖然使用線性迴歸方式來求取 權重值，然整體上是屬於非線性模式，是 一種不需導入類神經網路而欲獲取一定效 能所可採行的較佳方式。 因此可總結得：結合相空間理論與類 神經網路架構之 NNM(ANN)為一個整體效 能最高的模擬/預報模式，至於傳統上使用 Markov 鏈(時間延滯法)的自迴歸線性模 式，若也能結合類神經網路架構來導入非 線性的效應，則亦能獲致不差的整體效 能。 五、集水區雨量歷程之非線性模擬與預測 研究區域選擇在台灣北部淡水河溪流 域之橫溪集水區，該集水區之雨量資料係 採用水利處(原水利局)所屬之三峽及大豹 兩個自計雨量測站所得者。 預報結果以八種指標量來進行效能比較， 整個計算結果列如表 3 及表 4 所示。由表 中各項指標值的相互比對，吾人發現大多 數的情況均顯示 NNM(PROB)比 AR(p)為 佳。若將鄰近狀態轉移機率法視為非線性 模式，而自迴歸方法視為線性模式，則非 線性的預報能力遠優於線性者。為能進一 步 比 較 非 線 性 NNM(PROB) 模 式 與 線 性 AR(p)模式對各超前時刻預報的差異，吾人 使用累積雨量來檢視，圖 2 顯示了一場暴 雨事件與一場颱風雨事件之兩個模式在各 超前時刻的累積預報值對累積觀測值之圖 繪。當圖中的累積曲線愈接近對角直線 時，表示預測愈趨近完美。隨著延時的增 長而累計得雨量曲線，若該曲線愈偏離對 角直線，則表示預報模式愈不穩健，同時 呈現出連續的高估或低估之現象。今由圖 得 NNM(PROB)模式遠比 AR(p)模式在任何 超前時刻的累積預報曲線更接近對角直 線，隨著延時的增加，前者的累積曲線並 無明顯偏離對角直線的現象，但後者似乎 相形漸遠。 。 六、結論與建議 1.若驗證得一時間序列為渾沌過程，則 資料在本質上是屬於非線性，因此應以非 線性觀點為出發。在所採用的諸多非線性 預報模式裡，係架構在相空間與渾沌特性 的基礎上，優點是模式本身的可調性與變 化性，且該等模式兼具動力性及統計性之 特色。 2.以所選取選取的日流量資料而言，在 多個模式的比較當中，以結合相空間及類 神經網路之時序建模方式，有較佳的整體 效能，顯見類神經網路所展現在學習非線 性行為的適應能力。 3.針對集水區的時降雨歷程，經實證分 析可得架構在渾沌動力的非線性模式優於 採用時間稽延式的線性模式。又當預報的 超前時刻增加時，非線性模式明顯地展現 出其特性且能維持一定的穩健性。 4.在鄰近態的處理上，若採用局部域的 線性方法，則它猶如一種繁中化簡的做 法。再者，該模式除可提供點預報的能力 外，因基於鄰近態特性的緣故，亦可建立 預測值的包絡區間，藉以提供更彈性之實 用能力。 七、參考文獻
[1]Farmer, J. D. and J. J. Sidorowich (1987). Predict-ing Chaotic Time Series, Physics Review Letters, 59(8), 845-848.
[2]Farmer, J. D. and J. J. Sidorowich (1988). Predict-ing Chaotic Dynamics, In: Dynamic Patterns in Complex Systems, Edited by J. A. S. Kelso, A. J. Mandell and M. F. Schlesinger, World Scientific, Singapore, 248-264.
[3]Karlsson, M. and S. Yakowitz (1987). Nearest Neighbor Methods for Nonparametric Rainfall-Runoff Forecasting, Water Resources Research, 23(7), 1300-1308.
[4]Jayawardena, A. W. and F. Lai (1994). Analysis and Prediction of Chaos in Rainfall Stream Flow Time Series, Journal of Hydrology, 153, 23-52. [5]Shamseldin, A. Y. and K. M. O'Connor (1996). A
Nearest Neighbour Linear Perturbation Model for River Flow Forecasting, Journal of Hydrology, 179, 353-375.
[6]Smith, M. (1993). Neural Networks for Statistical Modeling, Van Nostrand Reinhold, New York.
4 表 1 日流量模擬模式之評鑑指標值一覽表 表 2 日流量預測模式之評鑑指標值一覽表 Simulation Observation S im u la ti o n (a) NNM(1) Observation S im u la ti o n (b) NAR(p) Observation S im u la ti o n (c) NNM(ANN) Forecasting Observatio F o re ca st i n g (a) NNM(1) Observation F o re ca st in g (b) NAR(p) Observation F o re ca st in g (c) NNM(ANN) 圖1 NNM(1)、NAR(p)及NNM(ANN)之模擬值與預測值對觀測值的點繪比較 表 3 暴雨事件之預報模式的效能評鑑 表 4 颱風雨事件之預報模式的效能評鑑 Storm Event 0 50 100 150 200 250 300 350 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 300 350 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=1 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e 0 50 100 150 200 250 300 350 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 300 350 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=2 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e 0 50 100 150 200 250 300 350 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 300 350 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=3 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e Typhoon Event 0 50 100 150 200 250 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=1 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e 0 50 100 150 200 250 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=2 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e 0 50 100 150 200 250 Observation (mm) 0 50 100 150 200 250 P re d ic ti o n (m m ) Lead time=3 hr. AR(p) model NNM (PROB) model Perfe ctlin e 圖 2 AR(p)模式與 NNM(PROB)模式在橫溪集水區的超前時刻預報之總累積雨量對 實際總降雨量的比較圖
