以概念構圖為基礎探討學習補救路徑之研究

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以概念構圖為基礎探討學習補救路徑之研究

陳榮昌

朝陽科技大學資訊管理系

rcchen@cyut.edu.tw

陳伸豐

朝陽科技大學資訊管理系

s9214616@cyut.edu.tw

摘要

線上測驗(On-line testing)不僅能夠快速的提供受測者的學習評量，更能透過相關的分析來幫助受測者找出學習補救路徑(Enhanced learning path)，作更進一步的學習。利用概念圖(Concept mapping)可以作學習概念診斷(Learning diagnosis) 並建立學習補救路徑，然而目前概念圖的建立大多由教師主觀構圖，雖然已有學者利用過去受測者的資料，以統計理論和灰關聯分析的方法較客觀地來找出概念與概念之間的關係，但這些方法仍存在著概念影響訊息(Concept effect information)不足以及僅能表示難易度等不足之處。因此本計畫提出概念相關指標法(Concept Independence Indexing)來重新探討在學生的答題中概念與概念之間的相關性程度。概念相關指標法詳細的分析概念錯誤率與概念相關性之間的關係，

我們更提出一個概念相關指標來表示概念與概念之間的相關性，並提供一建立學習補救路徑之演算法來改善傳統學習概念診斷的尋找方式。

關鍵字：學習補救路徑、概念圖、概念影響訊息、概念相關指標法、概念錯誤率

壹、引言

傳統的學習評量測驗通常只是在學生測驗後給予一個評量分數或標準參照，但每一個學生的學習能力與學習速度皆不同，如果學生的學習能力較低，使用難度高的測驗題目將較難測驗出其真實程度。因此，適性化測驗(Adaptive test) 逐漸受到大家的重視，其中以試題反應理論(Item response theory)較具代表性，他根據受測者在上一題的答題結果，依其能力與題目難度，在下一次的出題中選擇

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適合該受測者測驗之題目[王寶墉 1995]。

在1981 年開始有了概念構圖(Concept mapping)的想法[Novak1981]，他把每個片段的知識當成單一概念來學習，如此可以幫助學生依靠圖形化的記憶來加強理解。概念圖是由學習者個人主觀認知與經驗，將之繪製出來而形成一張概念與概念間彼此影響關係存在的網狀結構圖[余民寧 1996]，然而概念圖雖然可以幫助學生記憶與學習，但它也存在著學生必須自我建構能力、構圖時間不足的困境、

教師花費許多時間評量學生概念圖與主觀評量等問題[McClure1999 ， Novak2003，林達森 2003]，Novak 與 Gowin 於 1984 年提出了以概念構圖的策略來比較學生在學習上與傳統教學法的差異[Novak1984]，經過了許多實驗證實，

使用概念構圖的教學法在學習成效上確實比傳統教學法優異許多[Suber1981，林達森2003]。然而概念構圖不但不易應用於評量測驗且容易受到專家主觀因素的影響，故相關的發展如McClure 的整體性計分法[McClure1999]、McClure 與 Bell 的相關性計分法[McClure1999]、Novak 與 Gowin 及 Stuart 的結構性計分法 [Novak1984，Stuart1985]，這些研究雖然貢獻良多但概念構圖的評量至今仍然一直未盡完善。

近年來，在探討概念構圖的應用領域上，如林義益[林義益 2001]、黃國禎 [Hwang2003]等學者已不再著墨於評量階段，他們以較客觀的方式將概念構圖推廣至探討學習者學習概念的迷思、學習補救路徑以及如何進行補救教學，然而這些方法仍存在著概念影響訊息的不足、只能建構出單一固定模式之概念圖、無法適用於不同學習能力的學習者以及需要大量資料分析建構概念圖等不足之處。

學習補救路徑是可以讓學生有學習順序的依據，因為迷失在概念裡的學生是無法擁有學習順序的自覺，此時如果有一條良好的建議學習路徑將更能幫助學生進行補救教學以達到最大的學習成效。陳榮昌[陳榮昌 2004]利用整體性灰關聯分析的關聯序列特性來建構概念圖以保留所有概念影響訊息、不受樣本限制及依班級學生能力不同建構概念圖來改善條件機率的缺失。但以統計理論或灰關聯分析的概念關係程度計算並不能真正代表概念與概念的關聯性，只能表示概念與概念之間難易差距，在探討學習補救路徑時若單以概念的難易來決定哪個概念該進行補救，將造成跳躍式的學習，若要將相關性高的概念一起學習，則必須找出概念與概念間的相關性。故本計畫提出概念相關指標法來建構概念關係圖來當做學習補救路徑的參考依據，經實驗證明本研究的方法除了可以解決條件機率與灰關聯分析所無法解釋的特殊狀況，也較能說明概念與概念的相關性。另外我們也提出一學習補救路徑的演算法，利用灰關聯分析法與概念相關指標法所得的概念相關

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性程度為基礎探討哪些概念是必須一起學習的，以期找出更適合的學習補救路徑。

貳、相關文獻一、概念構圖

概念圖的組成元素包含了概念、階層、聯結線、聯結語、交叉聯結線及聯結兩個概念而成的有意義命題。概念表示單一知識的片段並且存在階層的特性，概念間是依靠註記名稱(聯結語)所表示的聯結線來維繫，進而形成一張網狀結構圖。學習者經由自己的回憶來辨識概念間的關係而慢慢建構出概念圖，此一過程稱之為「概念構圖」，隨著學習者的思考模式與認知程度的不同也會產生相異的

概念構圖是以建構主義為理念，Novak 與 Gowin 說明了以概念構圖的策略來比較學生在學習上與傳統教學法的差異，並經多年研究實驗證實，使用概念構圖的教學法經由概念的圖形化，學習者可產生聯想的方法來幫助學習與記憶、利於教學者瞭解學生的認知結構以及適用於日後在測驗題庫上的應用。Surber 與 Smith 更提出以概念圖為工具來研究學生在學習上的迷思概念[Surber1981，余民寧1996]。

依據所述理論，概念圖至今約略可分為實驗研究的工具、發展課程的設計、

評量學習者概念的認知以及調整教學上的策略等用途，經多位學者實證也確實大大提升了概念圖在教育、教學上的應用，但其中評量部份卻礙於無客觀標準因素而滯於發展。

二、主觀式概念構圖

概念圖常被利用來加強學生的記憶與學習，但如何建構以及構圖後的評量卻是極艱深的難題。最常見的方法是由教師與學生各自建構出自己心中的概念圖之後，再由教師自行決定採用何種概念圖評分法加以評量，但這種方法必須先讓學生具備建構概念圖的能力，也表示將花費更多心力與時間且效用有限，另外如果測驗概念過於繁複將造成學生構圖上的困難以及教師評量的困擾[Franca2004，

Mary2004]。爾後學者如 McAleese、Eric 等人均針對節省構圖時間、便利構圖等問題開發出許多工具來解決手畫概念圖的問題[Eric2000，McAleese1999]，他們利用事先定義的 pattern 表示學生的學習概念以及選單使用介面，讓學生能夠透過滑鼠輕易的建構出自己心中的概念圖，同時也透過系統比較教師與學生各自概

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念圖的差異，提供教師一個易於評量的環境。

概念構圖的方法與環境雖然趨於改善，卻仍存在於主觀意識的介入，所以在發展概念構圖相關工具的同時，另一批學者試著利用比較客觀的方式來進行概念圖的修正及建構。Chang、劉湘川&蕭維仁皆利用多專家決策的方式進行整合式的概念圖建構。整合式建構方法意謂採取多領域專家的意見並利用層級分析法 (Analytical Hierarchy Process, AHP)或模糊決策(Fuzzy decision)等方式加以整合以求得出較佳的概念圖[Chang2001，蕭維仁 2004]。

然而至目前的發展尚有許多改進的空間，例如每次在測驗前必須花費許多時間先讓學生瞭解建構概念圖的觀念以及意義，所以Gamboa[Hugo Gamboa2001]、

黃國禎[Hwang2003]等學者也慢慢往是否能以學生的答題結果來自動建構概念圖此一方向研究，他們認為概念構圖的本質是要幫助學生來達到容易學習的目的，

更希望能透過概念圖來傳達學生在學習上不足的地方，而主觀式的構圖方式並無法完全有效掌握學習狀況，所以在下節中我們將介紹一些更為客觀的概念構圖方法，這些方法均有一個共通點，那就是由學生的答題結果來當成測驗中概念的訊息，藉由這些訊息來瞭解概念與概念間彼此的關係程度並建構出概念圖，且可利用此圖來瞭解每位學生在學習概念上的不足以尋求該學生之學習補救路徑。

三、客觀式概念構圖

(一)以條件機率建構概念關係圖

廖浚宏[廖浚宏 2003]提出概念錯誤率與條件機率，他提供客觀的統計方法以及學生受測結果，經由系統自動建構概念影響關係圖，此方法避免了專家主觀的介入。其中重要觀念分述如下：

1)概念錯誤率：以累積學生的測驗結果來得知個別學生對某概念的錯誤率。

如果學生對此概念有學習成長的傾向，則此一概念錯誤率會隨著時間的增加而降低，故概念錯誤率可用來代表學生對單一概念的學習狀況。

2)條件機率：概念錯誤率只能用來表示學生對單一概念的學習狀況，卻無法指出學生對此一概念關係其它概念的學習狀況，所以再利用條件機率的運算方法來探討概念影響間的關係。機率論裡的條件機率定義，P(A|B)為已知發生事件B 之後再發生事件A的機率，稱為事件A的條件機率。若以P(Ci)代表對Ci概念的錯誤率，則P(Ci|Cj)代表了Cj概念錯誤的情況下，Ci概念也錯誤的機率，所以P(Ci|Cj)

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可指為Cj概念對Ci概念的影響程度，公式(1)為代表條件機率之概念錯誤率。

∑∑

=

= = t

S

k

k t j t

S

k

k t j

i _t

t ij

EC EC C

C P

1 ,

1

,

) (

) ( )

|

( (1)

ij

：

EC

概念Cj錯誤題數包含Ci的題數

：

_j

EC

概念Cj的錯誤題目

其中以同時答錯概念Cij的題數除以包含概念Cj的總錯誤題數求出在概念Cj

錯誤時又答錯概念Ci的條件機率為何。依式(2)，即可根據建構概念圖之演算法將學生受測結果建構成概念影響關係圖，透過最小平方迴歸分析可以求得出學生對其它未受測概念之影響程度。

雖然條件機率的方法避免了許多人為主觀因素的介入，但從構圖結果而論，

此方法所建構的概念圖僅為單一固定模式，即是在該次測驗裡，只能呈現單一個概念圖，但是學習者存在著經驗、認知與學習能力的落差，單一固定的概念圖並無法適用於每一學習者，此即無法達到有效的學習補救路徑以及適性化的學習。

所以在建構概念圖時教學者可依學習者學習能力的不同彈性的調整其門檻值，以期建構出適合每位學習者的概念圖。

(二)以整體性灰關聯分析建構概念關係圖

陳榮昌[陳榮昌 2004]應用概念答錯率與整體性灰關聯分析的方法建構出概念圖。整體性灰關聯分析裡任一個序列均可做為參考序列，再進行灰關聯分析方法即能保留每一個概念間影響程度的資訊以有利於建構不同學習能力的學生概念關係圖。假設某次測驗包含了n個概念(C

) (k

x

_i

1, C2, C3, … , Cn)，我們先以C1為參考序列，來比較C2, … , Cn序列；再以C2為參考序列，C1, C3, … ,Cn為比較序列，

以此類推將每一概念當為參考序列以得到整體性灰關聯分析的結果。且研究中採用翁慶昌[翁慶昌 2001]的灰關聯係數來決定概念關係程度，如式(2)：

ς

γ

⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

∆

−

∆

−

= ∆

min max

max

( )

)) ( ), (

( k

k x k

x

_i _j ^ij (2) 其中，ς 採傳統方法為 0.5，i = 1, 2, 3, … , m， k = 1, 2, 3, … , n，辨識係數

] 1 , 0

∈ (

ς 是為了加大灰關聯係數的差異，可視情況調整，辨識係數只會影響其計算結果大小，灰關聯度的排序則不會產生變化。∆_oi(

k

)=|

x

_o(

k

)−

x

_i(

k

)|為

x

_o(k)與

(6)

) (k

x

_i 之間差的絕對值，且

| ) ( ) (

| min min ) ( min

min

min k x

_o

k x

_i

k

k oi i

k

i

∆ = −

=

∆

∀ ∀ ∀ ∀

| ) ( ) (

| max max ) ( max

max

max k x

_o

k x

_i

k

k oi i

k

i

∆ = −

=

∆

∀ ∀ ∀ ∀ ，

另外在研究中假設每一概念預設重要程度均相同，所以若取灰關聯係數的平均值為灰關聯度計算，則

k

m

= 1

β ，k=1, 2, … ,m，如式(3)，

∑

=

ⁿ

k

j i j

i

x k x k

x n x

1

)) ( ), ( 1 (

) ,

(

γ

γ (3) 上式結果可得到該次測驗中全部概念間的灰關聯度數值，此一數值即表示概念與概念之間的關係程度，藉以建構出概念關係圖。

四、學習診斷

Novak[Novak2003]以視覺化操作介面的概念構圖工具雖然提升了便利性，但卻無法進行客觀式的評量以及建立學習補救路徑。Rosic[Rosic2000]依個人化學習瀏覽路徑的診斷方式則受制於學習者可能進行無意間的路徑瀏覽導致診斷結果產生偏差，故以學習歷程的診斷方法發展甚緩。而將學習者的個人測驗結果進行診斷是近幾年堀起的方法，測驗診斷的建立基礎是學習者對測驗的答題結果，

這種方法除了可以反映出學習者本身對概念的瞭解程度外，也有利於評量的客觀性以及容易建立學習補救路徑[Reynolds1992，Broeck2002]。測驗診斷為基礎的學習概念診斷方法很多，雖然各有其特性及優劣，但是大多均可以避免工具建構與學習歷程等診斷方法的缺點，足以說明利用學習者的測驗結果來當成學習概念的診斷是較能廣被接受的方式，所以本研究將以測驗診斷的方法進行概念關係圖的建構來診斷學習者的學習概念，並且建立一學習補救路徑幫助學習者進行概念的補救學習與提供教學者進行補救教學的依據。

另外從文獻整理中我們瞭解到如何建立一有效的學習補救路徑是重要的議題，目前眾多的方法裡又以選擇題的測驗方式來建立該路徑最廣為應用 [Hwang2003，廖浚宏 2003，蕭維仁 2004]，因為簡單的測驗方式可以快速地建立，

並且經由學習者本身的答題結果來探討學習補救路徑也較為客觀，但是截至目前的學習補救路徑相關研究充其量只能算是線性概念的補救，這種單以概念答錯率來決定概念的補救順序是不夠的，因為概念的學習是具有包容性，換言之相關性較高的概念是必須要一起學習的，本研究也將對於此一問題提出改善的方法。

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參、研究方法一、概念相關指標法

條件機率與灰關聯分析雖然可以建構概念關係圖以求出學習補救路徑，但其計算結果只能表示概念與概念之間難易差距，所以採用這兩種方法來當作概念之間的關係計算不盡理想。當學生答對某個出現在每一測驗題的概念時，它代表著學生的程度比較好或是該概念比較簡單兩種意義；反之當學生答錯時即表示該學生的程度比較差或概念比較困難，所以當我們要探討概念與概念之間的相關性時是無法從這種同時答對與答錯的情況下得到結果，比較有意義的反而是對概念有答對與答錯的情況，換言之當一位學生答對Cx概念而答錯Cy時，我們可以簡單假設對這位學生而言Cx相對於Cy是比較簡單的概念；當然也很可能對另一位學生而言Cy反而較Cx是簡單的，但是如果大部份的學生都呈現Cx相對於Cy是比較簡單的概念這樣的情況時，我們即可以較客觀的認定在該次測驗中Cx是比Cy較容易學習的概念，而且在這種一致性的狀況下我們可以說明Cx與Cy兩概念具有部份程度的相關性，所以在進行學習補救順序時，應該先學習概念Cx再學習Cy較具合理性，

我們即是從這個角度為出發點來更深入說明難易度計算中可能包含的概念相關性。我們定義了概念相關指標法來加強統計理論與灰色理論在解釋概念間關係程度的不足之處，期望以學生對於概念答錯率的結果關係來表達概念與概念之間在學習補救路徑上的相關性程度，並發展一公式來說明其關係：

∑ ∑

−

= −

|

) (

ik ij

jk

E E

E

R E

(4)

Eij：第i位學生第j個概念的答錯率 Eik：第i位學生第k個概念的答錯率 Rjk：概念j與概念k的相關性程度

其中Rjk為表示-1~1 之間的值，當結果為 0 時代表這兩個概念彼此之間沒有相關性，因為在兩個概念的被答錯率相同時正說明著學生對於概念學習順序的支持並不一致，而支持度達到混沌無法辨識時我們可以把這兩個概念當成彼此無相關處理，換句話說，愈無法得到兩概念間明確的學習順序支持，此兩概念的相關性程度就愈趨近於0；當Rjk為1 時即表示學生對於兩概念的學習順序是達到完全一致的支持，所以在這種情況下兩個概念的學習順序即會是完全的正相關，正相關是表示全部學生對於概念Cj的答錯率總和大於Ck的答錯率總和，更代表著Ck相對於Cj來說是比較簡單的概念，而我們探討的是學習概念補救的順序，所以應該

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從較簡單的概念開始進行補救，故如果採用本公式的結果為正相關，則概念的學習順序為CkÆCj，同理當Rjk為-1 時，即是學習順序為CjÆCk的完全負相關。另外我們發現條件機率與灰關聯分析方法有著無法解釋的情況發生，表一為十位學生對八個概念的答題狀況，假設該次測驗包含八個概念，並且討論條件機率、灰關聯分析與概念相關指標法不同之處，

表一學生答題狀況 (○：答對為 0，X：答錯為 1)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10

C1 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

C2 X X X X X X X X X X

C3 ○ X ○ X ○ X ○ X ○ X C4 X ○ X ○ X ○ X ○ X ○ C5 X X ○ X X X ○ X ○ X C6 X ○ ○ X X ○ X X X X C7 ○ ○ X ○ X X X ○ X X C8 ○ X X X ○ X X ○ ○ ○ (1) 情況一，概念答錯率發生極值

C1與C2所示在概念答錯率產生極值的情況下(答錯率為 0 或 1) ，條件機率呈現絕對無相關性(P(C1|C2)=0、P(C2|C1)=0)，但以我們的方法而言，這代表所有人完全支持學習順序是由C1ÆC2(R1,2 = -1)，因為對學生來說C1是極端的容易；而 C2是極端的難，所以我們的方法在這裡可以合理的解釋這種情況，也說明這樣情況是具有存在意義的。

(2) 情況二，概念答錯率相同

C5與C6所示該兩概念的答錯率均相同(答錯率各為 7/10=0.7)，當兩概念的答錯率相同時我們並無法明顯的判別出該如何進行學習的順序，且從學生的答題結果而論，學生對這兩概念均有同時答對或答錯的情況，也有部份學生各自認為的難易不相同，所以在這種兩概念答錯率相同且學習難易混沌不明的情況下，實在無法判斷此兩概念的關係存在(R5,6=0)，在無法判斷的情況下該兩概念之間的相關性程度也應無法比較才是，但是條件機率的方法卻得到相當高的關係程度 (P(C5|C6)=5/7、P(C6|C5)=5/7)，也失去了學習方向性，故使用條件機率、灰關聯分析的方法在概念答錯率發生相同時是不合理的。

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(3) 情況三，概念答錯率不同

C7與C8表示當兩概念呈現不同的概念答錯率時，依其計算條件機率為 (P(C7|C8)=3/5、P(C8|C7)=3/6)，但我們從答題結果看出，其實C7與C8所呈現是類似情況二的結果，也就是大部份的資訊是混沌不明的，所以從理論上來看此兩概念如果存在著相關性必然也是偏低，而不應該像條件機率一樣可以得到高相關程度，依本研究的方法計算此情況可以得到兩概念的相關性程度為 1/5(R7,8=1/5)，

相對於條件機率來說我們得到相關性較低的計算結果也較具合理性。

在簡單的測試中可以發現我們的方法除了可以表示補救的學習順序，還存在一般情況及特殊情況下均較合理且能解釋條件機率與灰關聯分析無法表達的情況，表二為三種方法的比較。

表二三種方法在不同情況下之比較

條件機率灰關聯分析概念相關指標法

概念呈現無法判斷 X X X

概念答錯率發生極值 X X ○

概念答錯率相同時 X X ○

概念答錯率一般情況

(接近無法判定時) 高度相關中度相關低度相關(較合理) 概念相關性分布容易產生極值過於集中較平均

二、以概念相關指標法建構概念關係圖

此節我們將應用概念相關指標法來探討概念與概念之間的相關性程度並建構其概念關係圖。另外我們設計共10 個概念與 10 位學生的答題結果來討論概念相關性結果與說明，並利用研究中所提出的建議學習補救路徑演算法來尋找出該次測驗中的學習補救路徑。

下列我們將針對建構概念關係圖的過程依步驟說明，首先於測驗前決定每一測驗題包含的概念，然後計算每一單一概念錯誤率來當作學生答錯概念的訊息量，接著以本研究所提出之方法計算出概念之間的相關性程度，最後建構出該圖。

Step1 測驗題所包含的概念

此時教師並不需要知道概念與概念的存在關係，只需指定測驗題目應包含哪些概念，試題包含概念如表三所示：

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表三概念被包含於測驗題題數 (Ci：概念；Qj：測驗題數)

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 SUM

C1 1 1 1 1 4

C2 1 1 2

C3 1 1 1 1 4

C4 1 1 2

C5 1 1 1 1 4

C6 1 1 1 3

C7 1 1 1 3

C8 1 1 1 3

C9 1 1 2

C10 1 1 2

教師可以數值”1”或勾選方式來表示該題的測驗題目Qi是否包含概念Cj，”0”

則表示該概念未包含於該題測驗中，最後則統計每一概念在該次測驗裡總共被包含在幾題測驗題中。本研究有別於一些教師主觀認定概念權重的方法，所以我們採用與廖浚宏[廖浚宏 2003]”是否有關係”來表示題目中包含哪些概念。

Step2 概念錯誤率

在步驟2 裡我們利用傳統方法[Hwang2003，廖浚宏 2003]計算每一概念在該次測驗中每一位學生答錯的錯誤率。概念錯誤率範例如表四所示：

表四概念答錯率 (Ci：概念；Sj：學生)

S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 CRj

C1 0.25 0.25 0.5 0.5 0 0.5 1 0.5 0.75 0 0.425 C2 0 1 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.300 C3 0 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.325 C4 0 0.5 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0.150 C5 0.25 0.5 0.75 0.25 0 0.75 0.75 0.5 0.5 0.25 0.450 C6 0.33 0.33 0 0 1 0.33 0 0.33 0.33 0.67 0.332 C7 0.67 1 0.33 0 0.33 0 0.67 0.33 0 0.33 0.366 C8 0 0 0.33 0.33 0.33 1 0.67 0.67 0.67 0 0.400 C9 0 0 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0.5 0 0.200 C10 0 0 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.200 表中有數值的部份即為學生於該次測驗中，對單一概念的答錯率。假設學生 S1答錯了包含概念題目Q1與Q4，則該學生在概念C4的答錯率為，

25 . 4 0 ) 1 (

C

₁ _S₁ = =

P

此一計算方法可以保留所有學生對所有概念的答錯率，而不只是探討單一概

(11)

念在該次測驗中被答錯的總錯誤率。

Step3 計算概念間的相關性程度

這個步驟裡我們將應用本研究所提出的公式(5)以概念答錯率為基準來計算兩兩概念間的相關性程度，首先計算概念C1與C2之間的相關性，

333 . 5 0 . 0 0 0 75 . 0 5

. 0 5 . 0 1 25 . 0 0 25 . 0

) 5 . 0 ( 75 . 0 5 . 0 5 . 0 0 0 5 . 0 0 ) 75 . 0 ( 25 . 0

2 ,

1

=

− +

… +

− +

−

+ +

+ + + + + +

= + R

R1,2=0.333 表示C1與C2此兩概念在該次測驗中依據學生的答題結果是有達到 0.333 的相關性程度，因為在扣除學生同時答對與答錯的情形下我們依原始數據可以知道比較多的學生認為C2相對於C1是較容易的概念，而且依概念答錯率的差距可以知道這些學生對此兩概念的瞭解程度，我們即是以這種學生支持度的計算下當成兩概念之間具有一定程度的相關性，如果有多位學生支持這樣的結果則概念學習順序的條件就會成立。當計算完C1與C2概念後再計算C1與C3 之間的相關性，當依序計算完C1與C10的概念時則再從C2與C3概念的計算開始，依此類推我們即可以得到這10 個概念之間的相關性程度，結果如表五所示。

表五兩概念之間的相關性程度

R1,2 R1,3 R1,4 R1,5 R1,6 R1,7 R1,8 R1,9 R1,10

0.333 0.333 0.846 -0.143 0.203 0.139 0.111 1.000 0.529 R_2,3 R_2,4 R_2,5 R_2,6 R_2,7 R_2,8 R_2,9 R_2,10 R_3,4 -0.091 1.000 -0.500 -0.080 -0.282 -0.230 0.333 0.333 0.636

R_3,5 R_3,6 R_3,7 R_3,8 R_3,9 R_3,10 R_4,5 R_4,6 R_4,7 -0.455 -0.031 -0.114 -0.290 0.556 1.000 -1.000 -0.520 -0.684

R4,8 R4,9 R4,10 R5,6 R5,7 R5,8 R5,9 R5,10 R6,7

-0.714 -0.333 -0.200 0.282 0.240 0.200 0.833 0.625 -0.092 R6,8 R6,9 R6,10 R7,8 R7,9 R7,10 R8,9 R8,10 R9,10

-0.145 0.330 0.660 -0.078 0.356 0.382 0.855 0.599 0.000 接著我們將此方法計算的結果做更進一步的討論，

當Rjk出現小於0 的結果表示補救學習的方向為由左至右的概念學習，如R1,5

即說明應該先學習概念C1再學習C5，其相關性程度達到0.143；反之如R1,2即表示應該先學習C2再學習C1。我們從這個結果再來討論原始數據中顯示學生對概念的難易支持度表現與概念答錯率的計算均可以得到相同學習順序的結果，也說明這個公式表示學習順序的合理性。

我們可以發現當學生對兩概念的答錯率一樣時其相關性等於0，如R9,10，原

(12)

始數據顯示出10 位學生對於概念C9與C10的支持度沒有明顯的結果，甚至加總起來的支持度結果為0，所以在這種混沌不明的情況下，我們可以說明概念C9與C10

是無法判定學習順序的狀況，在概念構圖上的表示為C9跟C10是沒有連結關係存在的。

R1,9、R2,4、R3,10與R4,5均顯示其概念相關性程度為1，表示所有學生對兩概念之間的學習難易度完全支持，這樣的資訊對我們來說是最珍貴的，因為這也表示兩概念之間的相關性非常大，是最被需要保留的資訊。

另外我們再針對R3,5與R4,5的結果來做更詳細的說明，所有學生對概念C3、 C5與C4、C5的學習順序支持度一樣，均是認為應該先學習C3再學習C5及先學習 C4再學習C5，但我們可以看出R3,5與R4,5的相關性結果卻不相同，R4,5的相關性程度會較高(1.000)是因為概念C4與C5是存在著很明顯的學習關係，也就是學生對於此兩概念的答對答錯關係很明確；而對於C3來說，學生幾乎都是部份答錯該概念，所以在相關性的結果上C4與C5會表現出較明顯的相關性。

Step4 繪製概念圖

依步驟3 的計算方式我們就可以得到該次測驗中所有概念之間的相關性，並依其結果建構出概念關係圖，如圖一。

C₁₀ C₃

C₄

C₇

C₈

C₅

C₆

C₁

C₂

C₉

C₁₀ C₃

C₄

C₇

C₈

C₅

C₆

C₁

C₂

C₉

圖一概念關係圖

(13)

肆、學習概念診斷與學習補救路徑一、學習概念診斷

由圖二我們可以知道當測驗的概念個數愈多時其構圖結果將更趨於複雜，且由公式所計算結果顯示概念與概念是具有一定的相關性程度，所以並不是所有概念間的相關連結都是我們需要的，當兩概念之間的相關性低於某一程度時我們甚至可以當成這兩個概念是沒有關係的，也就是不必納入補救的學習過程，換言之當學生確定要補救某概念時，與其相關性程度高的概念必然要加入學習當中，我們在研究中將採用一門檻值，當概念相關性程度高於此一門檻值時即代表必需進行補救的概念，假設我們採用門檻為 0.6，則圖一中概念之間的相關性低於 0.6 時將會去除該連結，結果如圖二所示，

C₁₀ C₃ C₄

C₇

C₈

C₅

C₆ C₁

C₂

C₉

C₁₀ C₃ C₄

C₇

C₈

C₅

C₆ C₁

C₂

C₉

圖二欲參與補救學習之概念關係圖

二、學習補救路徑

截至目前在尋找學習補救路徑的研究均是單以概念答錯率來決定該進行補救學習的概念，這樣呈現線性學習的結果將會失去原有的意義，因為學習補救路徑必須擁有相關概念學習的特性，也就是說相關性程度愈高的概念是必須一起學習的，而不是跳躍式的學習補救方式。本研究提出一學習補救路徑演算法來探討哪些概念在進行補救學習時是必須要共同學習的。首先假設一root概念Ci，這個概念表示為根節點的概念，也就是沒有其它預先學習的概念(pre-learning concept)，接著與之連結的子概念(Cj)則為下一個進行補救的學習概念，但是當Cj

有其它預先學習的概念時(Ck)則必須先加入在子概念之前學習(learning Ck before Cj)，依這樣的尋找方式即可依序得到學習的補救路徑，其演算法說明步驟如下。

(14)

學習補救路徑演算法：

令 R (Ci,Cj)為概念Ci影響概念Cj之有向邊，即Ci Æ Cj，0≦ R (Ci,Cj) ≦1 令 Ck為非學習補救路徑上之概念節點

令 ∃_C_i

R

(

C

_j,

C

_i) 為至少存在一個概念Cj指向Ci

令 _C

R ( C

_i

, C

_k

)

為存在C

∀

i i指向所有Ck的概念令 α為R (Ci,Cj)之門檻值

Step1

Find !∃_C

R

(

C

_j,

C

_i) >

α

i //找出所有 root 的 node Step2

Add

∃

_C

R ( C

_i

, C

_j

) >

α

i //針對Ci新增與其有關的node Step3

if ∃_C

R

(

C

_k,

C

_j) >

α

k then add Ck before Cj

//如果Cj有需先學習的node則先加入路徑中 Step4

Delete ∀_C

R

(

C

_i,

C

_k) >

α

i //刪除非路徑上與概念Ci連結的其它node Step5

Repeat step1 ~ step4 until visit all node then stop

我們依所提出之學習補救路徑演算法可得以下學習補救路徑，

C₄ C₂

C₁₀ C₃

C₉ C₈ C₁ 、 C₆ 、 C₇ 、 C₅

C₄ C₂

C₁₀ C₃

C₉ C₈ C₁ 、 C₆ 、 C₇ 、 C₅

圖三建議學習補救路徑

由圖三可以知道概念C4與C2、C10與C3、C9與C1是必須要一起學習的，而C6、C7、 C8、C9等四個概念再個別進行補救學習即可。

伍、研究實驗與討論

我們設計一測驗卷分別以條件機率、灰關聯分析法與概念相關指標法進行實驗，並探討這三種方法不同之處，實驗環境如下，

實驗對象：嘉義市私立東吳高級工業家事職業學校，綜二甲共32 人實驗科目：電腦網路與通訊

測驗題數：40 題

測驗包含概念數：測驗卷共包含15 個概念，C1 ~ C15，其對應之概念如表六。

(15)

表六概念表

代碼中文概念名稱代碼中文概念名稱 C1 網路協定的種類 C9 網際網路的種類 C2 網路安全概念 C10 搜尋引擎的功能

C3 網域名稱 C11 網路犯罪

C4 網路連線 C12 網路拓樸型態 C5 電子郵件 C13 免費軟體(freeware)的概念 C6 網路連線設備 C14 共享軟體(shareware)的概念 C7 瀏覽器功能 C15 自由軟體(free software)的概念 C8 通訊軟體

我們將概念相關性程度門檻值訂定為0.85，意即表示兩概念相關性程度大於 0.85 時的概念資訊才是我們所需要的，其得到結果如表七，

表七概念相關性程度(門檻值>=0.85)

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15

C1

C2

C3

C4

C5

C6

C7 0.944 0.984 0.875 0.934 0.947

C8 1.000

C9

C10 0.889

C11 0.851 0.979 0.875

C12 -0.929

C13 -0.972 -0.979 -0.867 -0.977

C14 -0.981 -0.957 -0.964

C15 -0.971 -0.978 -0.857 -0.976

表七指出概念C1影響概念C7、C11，其相關性程度各為0.944、0.851，學習順序為C7Æ C1、C11Æ C1；概念C2影響概念C7、C8、C10、C11，相關性程度各為0.984、

1、0.889、0.979…依此類推，接著我們將上述之概念影響訊息繪製成該次測驗的概念關係圖，概念C1在門檻值>=0.85 時與概念C7、C11有相關性且呈現由右至左的學習順序，故將概念C7、C11之有向邊指向C1，依此類推即可建構出概念關係圖，構圖結果如圖四所示。

(16)

C₁₀

C₃

C₄ C₇

C₈

C₆ C₁

C₂

C₁₁

C₁₂

C₁₃

C₁₄ C₁₅

C₁₀

C₃

C₄ C₇

C₈

C₆ C₁

C₂

C₁₁

C₁₂

C₁₃

C₁₄ C₁₅

圖四概念關係圖

我們可以發現概念C5、C9並沒有在該圖當中，那是表示此兩概念在門檻值 0.85 的情況下與其它概念的相關性程度太低，所以並不需要納入在學習補救的概念當中。

我們依本研究所提出之學習補救路徑演算法來尋找出該次測驗中建議之學習補救路徑，其結果如圖五，

C₇ C₆

C₃ C₁₁

C₈ C₁₄

C₁₀ C₂

C₄

、

C₁

、

C₁₂

、

C₁₅

、

C₁₃

C₇ C₆

C₃ C₁₁

C₈ C₁₄

C₁₀ C₂

C₄

、

C₁

、

C₁₂

、

C₁₅

、

C₁₃

圖五建議學習補救路徑

圖六表示建議一起學習的概念為C7ÆC6、C11ÆC3、C8ÆC14、C10ÆC2，另外概念C4、C1、C12、C15、C13則為個別進行學習補救即可。

接著我們將本研究的方法與灰關聯分析、條件機率等三種方法所計算的概念相關性程度做一比較並進行相關討論，圖六是將此三種方法的計算結果以折線圖表示。

(17)

-1.500 -1.000 -0.500 0.000 0.500 1.000 1.500

兩概念影響關係程度

概念相關指標法灰關聯分析條件機率

圖六三種方法之概念相關比較圖

我們從圖六的結果來進行以下的討論：

(1) 條件機率的概念相關性只取決於題目所包含的概念。從圖七我們可以看出條件機率只有在設定題目包含哪些概念時才具有相關性，如Q1包含概念C1與C2，故可以探討C1與C2的相關性結果，但是C1和C3此兩概念在測驗題目裡均沒有共同出現，所以在條件機率的計算方式上其相關性即為0，這種以教師完全決定概念相關性程度的結果是令人不滿意且不合理的，條件機率強調是以較客觀的方式來建構概念關係圖，但是一開始教師所決定題目的包含概念即已代表哪些概念具有相關性存在，沒有被同時包含在題目裡的概念其相關性將會一直為0，但是依文獻探討中我們知道兩概念的相關性為0 時應該是代表學習順序支持不明顯，而不是表示兩概念未同時出現在試題中即為沒有相關性。

(2) 灰關聯分析的相關性程度計算雖然也是以兩概念之間的差值當成難易度的支持計算，但圖七的結果呈現以灰關聯分析的計算方式其分布大多集中於0.5 左右，但在測驗題Q6 與 Q10 應該呈現混沌不明的學習順序，而灰關聯分析卻是表現出完全相關程度為1；另外也從圖可以看出灰關聯分析的相關性程度偏高，這對於只存在些微關係的概念來說似乎太牽強，這也說明了第三章我們所探討灰關聯分析的問題是實際存在的，而以灰關聯分析的計算方法在這種條件下是不合理的。

(18)

(3) 概念相關指標法與條件機率、灰關聯分析法的計算結果呈現較合理的分布。

除了避免第 1 點中條件機率的主觀決定概念相關性外也改善了灰關聯分析可能產生的問題。

經實驗證明本研究所提出之方法的確可以更清楚解釋概念與概念之間的相關性程度，包括了概念答錯率發生極值、概念答錯率相同、概念答錯率接近無法判定時與概念相關性程度的分布等狀況皆顯示本研究的方法較優於灰關聯分析與條件機率的方法呈現。

陸、結論

本計畫提出概念相關指標法來重新探討概念與概念之間的相關性，以學生的概念答錯率說明概念間是存在著包含的觀念，將其中的差值表示學生對概念學習順序的支持度計算並解釋其相關性程度。我們也提供一個學習補救路徑演算法來尋找出哪些概念是必須考慮一起學習的，以利幫助教師與學生進行學習後的概念補救。由上述的實際應用結果發現我們提出的方法除了增進概念圖的合理性，也改善了在探討學習補救路徑上的傳統方法。

未來我們將以更長時間來進行學生測驗資料的收集使結果趨近於客觀性，也持續改善使用者操作介面以節省教師於系統編製題庫所花費的時間與學生測驗方式，避免因為使用者不諳系統操作而造成的人為因素。另外我們也期望能夠將得到的概念訊息量應用於概念式選題策略上以改進現行傳統的能力指標測驗方式。

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以概念構圖為基礎探討學習補救路徑之研究