數 學哲學現代發展概述
徐利治 鄭毓信
要談論數學哲學的現代發展, 首先需要 簡略回顧一下前一個時代的終結, 所以本文 將包含兩 個部份, 但重點是第二部分。
一 . 一個時代的終結
所謂數學哲學的現代發展, 是相對於以 數學基礎研究為中心的時代而言的。 從 1890 到 1940 年的五十年, 可以說是數學哲學研究 的一個黃金時代。 弗雷格 (G. Frege)、 羅素 (B. Russell)、 布勞維爾 (L.E.J. Brouwer) 和希爾伯特 (D. Hilbert) 等人曾圍繞數學 基礎問題進行了系統和深入的研究, 並發展 起了邏輯主義、 直覺主義和形式主義等具有 廣泛和深遠影響的數學哲學觀, 從而為數學 哲學的研究開拓出了一個嶄新的時代 (參見 [1]或 [2])。
正因為這是一個以基礎研究為中心的時 代, 在數學哲學領域中就曾出現過這樣一些 特殊現象: 有不少數學哲學的著作就是以數 學基礎為名的。 如弗雷格的 《算術基礎》, 維 特根斯坦 (L. Wittgenstein) 的 《關於數 學基礎的評論》, 懷爾德 (R. Wilder) 的
《數學基礎導論》, 弗蘭克爾 (A. Fraenkel) 和巴-希勒爾 (Y. Bar-Hillel) 的 《集合論 基礎》 等等。 另外, 如果隨意地打開一本數 學哲學的著作, 只要它是在這一時代或是在 稍後的年代出版的, 也一定可以發現有關基 礎問題或邏輯主義等學派的述評在其中占有 主要地位。 然而, 這一時代現在已經過去了。
作為這一時代終結的重要標誌就是關於基礎 研究在總體上的反思。 例如, 這種反思即成 為下述的一系列論文的主要論題: 拉卡托斯 (I. Lakatos) 的“無窮回歸與數學基礎”, 卡 爾馬 (L. Kalmar) 的“數學的基礎—今在何 方?”普特南 (H. Putnam) 的“沒有基礎的數 學”, 斯萊尼斯 (E. Sleinis) 的“數學需要基 礎嗎? ”沙克爾 (S. Shanker) 的“數學基礎 的基礎”等等。
人們經由反思產生了哪些結論呢? 這可 以大致歸結如下:
(1) 認識到數學中並不存在所謂的“基 礎危機”。 因而, 所謂的基礎研究也就不具有 任何特別重要的意義, 或者說, 數學基礎問題 不應被看成數學哲學研究的主要內容。
1
例如, 普特南等人就曾對導致“數學基礎 危機” 這一說法的若干困惑問題進行過具體 分析:
首先的一個問題是, 集合論悖論的發現 是否證明了已有數學的不可靠性?(參見 [1], 第 141 頁。) 確實, 集合論悖論被發現的最 初一段時期, 曾使一些數學家感到很大的震 驚。 但是, 正如 [6]指出的, 進一步的研究表 明:“數學活動的真正領域, 無論是分析或幾 何, 都沒有直接受到悖論的影響, 它們只是出 現於那些特別一般的領域, 而這遠遠超出了 實際使用這些學科的概念的領域。”因此, 所 謂的“危機感”就只是一個“歷史的現象”, 而 實際上早已不再存在。 與此相反, 現今為人 們所普遍接受的卻是關於數學的堅強信念。
例如, 斯坦納 (M. Steiner)、 萊曼 (H.
Lehman) 與基切爾 (P. Kitcher) 等人都曾 不約而同地指出, 這是數學哲學研究的一個 明顯和無可辯駁的出發點: 人們具有一定的 數學知識, 這些知識是可靠的, 也就是已經獲 得證實了的真理 (見 [12]、[13]、[14])。
第二個問題是, 在如何解決悖論問題上 缺乏統一的意見是否意味著數學的研究不再 具有統一的基礎? (參見 [6], 第 15 頁。) 事實 上, 如今的普遍看法是: 現行的公理化集合理 論, 如 ZF 系統和 BG 系統, 已經為數學的 研究提供了一個合適的基礎, 因為, 這些理論 的基本原則是為一般數學家所幾乎一致地接 受的, 而且, 所有已知的悖論在其中都已得到 了排除 (這就是說, 這些悖論不可能按照原來 的方法在其中得到構造), 再者, 在理論系統 中至今並沒有發現新的悖論。
第三個問題是, 非歐幾何的建立是否意 味著“數學真理性的喪失”?(參見 [15], 229- 305 頁。) 正如普特南指出的, 非歐幾何的創 立, 只是表明了“自明性”並不能被看成相應 結論絕對真理性的保證; 因而, 我們所應拋 棄的僅僅是關於數學具有絕對的先天真理性 的觀點, 而不能因此否定數學的真理性。 實 際上, 數學作為研究理想化的“量化模式”的 科學, 數學模式具有的“形式客觀性”即蘊涵 了“模式真理性”, 而反映各種可能的不同空 間結構形式的那些幾何模式 (一類量化模式) 具有多樣性是很自然的事。(參見 [23]、[24]。)
綜 上 所 述, 人 們 就 得 出 了這 樣 的 結 論:“不能認為數學是含糊不清的; 也不能認 為數學在其基礎中有任何危機”; “我們不必 去繼續尋找基礎而徒勞無功; 我們也不必因 缺乏基礎而迷惑徘徊或感到不合邏輯”。(參 見 [9]、[17]。)
當然, 在斷言“數學基礎問題已不再是數 學哲學研究的中心問題”的同時, 我們並不能 因此而否定基礎研究的意義。 事實上, 後者現 今在很大程度已經成為一種專門的數學研究;
另外, 作為先前的數學基礎研究的繼續和發 展, 相應的哲學思考也具有一定的哲學意義, 特別是, 由於集合論在現代數學中佔有特別 重要的地位, 關於集合概念的深入分析就是 現代數學哲學研究的一個重要課題。 但是, 這 又只是全部數學哲學的一個部分, 而不應被 看成數學哲學的中心問題或主流。
(2) 發現已有的觀點不能令人滿意, 因 此需要尋找新的出路。
例如, 魯濱遜 (A. Robinson) 雖把 1890 年至 1940 年的這五十年稱之為 “數學
哲學的黃金時代”, 但他還是認為所有那些作 為數學的哲學基礎而提出來的觀點都具有嚴 重的缺陷和困難。 (參見 [16], 228-229 頁。) 另外, 普特南則採取了更為直接的批判立場, 認為“數學哲學中的各種體系無一例外都是 不用認真看待的。”([9], 43-45頁。)
實際情況是, 數學哲學的研究曾由於 邏輯主義等學派的失敗而一度陷入低谷, 並 被描述成“進入了一個悲觀的、 停滯的階 段。”([8], 第 192 頁。) 但是, 人們現已擺脫 了這種悲觀的情緒, 並積極從事於新的研究。
例如可從以下的一些論著清楚地看出: 赫斯 (R. Hersh):“復興數學哲學的一些建議”, 拉 卡托斯:“經驗主義在現代數學哲學中的復興?
”托瑪茲克 (T. Tymozko): 《數學哲學中的 新方向》 等。
綜上可見, 數學哲學的研究已經脫離了 數學基礎研究的傳統框架, 從而就已告別了 舊時代而進入一個新的歷史時期。
二 . 數學哲學的現代發展
自六十年代起數學哲學便進入了一個新 的發展時期。 與基礎研究相比, 這一新的發展 表現出了一些顯著的不同特點。
(1) 研究立場的轉移, 即由嚴重分離轉 移到了與實際數學活動的密切結合。
具體地說, 在基礎研究中, 儘管邏輯主 義等學派提出了不同的主張, 但他們所實際 從事的都是一種規範性的工作。 這就是說, 他 們的共同出發點是對於已有數學可靠性的憂 慮或不滿, 他們又都提出了關於數學可靠性 的某種標準, 並力圖按照這樣的標準去對已
有的數學進行改造或重建。 這也就正如伯納 塞洛夫和普特南所指出的: 他們所考慮的主 要是“ ‘合法’ 的數學應當是什麼樣的?” 他 們並企圖為實際的數學活動提出明確的規範, 即“什麼樣的概念和方法是合法的, 從而可以 正當地加以使用”。(參見 [1], 第 2頁)
正因如此, 數學基礎研究在整體上就 暴露出了嚴重脫離實際數學活動的弊病。 與 此相比, 人們在現代的數學哲學研究中則 已注意到了採取新的基本立場。 這就如同赫 斯在“復興數學哲學的一些建議”中所指出的:
在數學哲學的研究中我們應當採取一種不同 的態度, 即“不承認任何一種先驗的哲學信條 有權告訴數學家應該做什麼, 或者宣稱他們 正在不由自主地或不知所謂地正在做什麼”, 而應“真實地反映當我們使用、 講授、 發現或 發明數學時所作的事。”這也就是說, 數學哲 學應當是正在工作的數學家們的“活的哲學”, 即研究人員、 教師和使用數學者對他們所從 事的工作的哲學見解。([16], 第二期, 75-76 頁, 第一期, 第 52 頁。)
研 究 立 場 的 轉 移 直 接 導 致 了 新 的 數 學觀念。 例如, 正是基於對數學家實際言 行 及 數 學 史 上 實 例 的 考 察, 出 現 了經 驗 主義 在 現 代 數 學 哲 學 中 的“復 興”(可 參 見 [8]、[13]、[14]、[18]), 而這不僅是對於邏輯主 義等學派理性主義立場的一種“反動”, 而且 也是依據數學的現代發展對傳統的經驗主義 數學觀 (這是以穆勒 [J. Mill]為主要代表 的) 作出的重要改進或修正。 其次, 除“經驗 性”以外, 一些數學哲學家還突出強調了數學 的“擬經驗性”, 即認為除實踐的標準以外, 數
學還具有自己相對獨立的檢驗標準—顯然, 這即是對於數學特殊性的直接肯定 (可參見 [7]、[21]、[22])。 最後, 也正是基於數學的現 代發展, 一些學者提出了“數學是模式的科 學”的觀點 (可參見 [23]), 而這即可看成關 於“什麼是數學”的明確回答。
應該提及的是, 我們也在上述方向上作 出了獨立的研究工作。 這首先是關於數學抽 象的定性分析。 具體地說, 我們認為, 除抽象 的內容、 量度以外, 數學抽象的特殊性更在於 它的特殊方法: 在嚴格的數學研究中, 無論 所涉及的對象是否具有明顯的直觀意義, 我 們都只能依據相應的定義 (顯定義或隱定義) 和推理規則去進行演繹, 而不能求助於直觀, 從而, 在這樣的意義上, 數學的抽象事實上就 是一種“建構” 的活動—數學的研究對象即 是通過這樣的活動得到構造的。 正因為此, 數 學對象的建構即就意味著與真實的分離。 這 就是說, 在純粹的數學研究中, 我們是以抽象 思維的產物為直接對象, 而不是以其可能的 現實原型為直接對象從事研究的; 進而, 相對 於經驗的研究而言, 以抽象思維的產物為對 象從事研究也就具有更為普遍的意義: 它們 所反映的已不是某一特定事物或現象的量性 特徵, 而是一類事物或現象在量的方面的共 同特性。
為了清楚地表明數學對象的相對獨立性 及其普遍意義, 並考慮到數學抽象的特殊內 容, 可以把數學的研究對象特稱為“量化模 式”; 從而, 對於“什麼是數學”的問題我們就 可作出如下的解答: 數學即是量化模式的建 構和研究。 由於這同時表明了數學的研究對
象與方法, 因此就可被認為關於數學的一個 較為合適的“定義”。 另外, 這事實上也就為上 述關於“數學是模式的科學”的論述提供了必 要的補充和說明。
其次, 以上述關於數學抽象的定性分 析為基礎, 我們進一步發展起了一個系統的 數學哲學理論—“模式論的數學哲學”, 包 括模式論的數學本體論、 數學真理的層次 理論和模式論的數學認識論 (可參見 [24]、
[25]、[26]、[27]), 從而為傳統的數學哲學問題 提供了明確的解答。 首先, 由於數學對象是借 助於明確的定義得到建構的, 而且在嚴格的 數學研究中, 我們又只能依靠所說的定義去 進行推理, 而不能求助於直觀, 因此, 儘管某 些數學概念在最初很可能只是少數人的“發 明創造”, 但是, 一旦這些對象得到了“建構”, 它們就立即獲得了確定的“客觀內容”; 又由 於這種客觀內容不可能借助與真實世界的聯 繫得到直接的、 簡單的說明, 因此, 從本體論 的角度說, 既應肯定數學對象對於思維的依 賴性, 同時又應承認數學對象構成了與真實 世界不相同的另一類獨立存在 (對此可特稱 為“數學世界”)。 這就是說, 正是所說的建構 活動促成了其由主觀的思維創造向客觀的獨 立存在的轉化。 其次, 所謂“數學真理的層次 理論”, 其核心內容即是指數學真理具有一定 的層次性: 第一層次即“現實真理性”—表明 數學理論是對於客觀世界量性規律性的正確 反映; 第二層次為“模式真理性”—如果一個 數學理論建立在合理的抽象思維之上, 即可 認為確定了一個量化模式, 該理論就其取得 的形式客觀性而言則可被認為是關於這一模
式的真理。 顯然, 相對獨立的“模式真理性概 念”的引進, 乃是承認數學對象獨立存在性的 直接推論或必然發展, 而這同時也就清楚地 表明了數學思維的某種“自由性”: 數學家們 在一定程度上可以自由地去創造自己的概念, 而無須隨時去顧及它們的真實意義。 最後, 從 認識論的角度說, 真理的層次性也就表明了 數學的認識活動具有多種不同的標準, 特別
是, 除實踐的標準以外, 數學研究還具有相對 獨立的數學標準, 即如新的研究是否有利於 認識的深化以及方法論上的進步等。 顯然, 後 一分析與上述關於數學“擬經驗性”的斷言是 完全一致的; 或者說, 在一定的限度內, 我們 可以單純憑借數學思維與數學世界的相互作 用使認識得到發展和深化:
數學思維 −→ 思維內容 −→ 新的數學思維 −→ 新的思維內容 −→ · · ·
(2) 研究的內容和方法表現出了明顯的 開放性, 特別是由一般科學哲學中吸取了不 少重要的研究問題和有益的思想, 這就和以 往的封閉式的數學基礎研究大相徑庭。
例如, 拉卡托斯所倡導的擬經驗的數學 觀事實上就是將波普爾 (K. Popper) 的證 偽主義科學哲學理論推廣應用到了數學的領 域; 另外, 在庫恩 (T. Kuhn) 的科學哲學研 究的影響下, 則出現了關於數學的社會–文化 研究。
就後者而言, 我們應當特別提及基切爾 的“數學活動論”([14])。 這一理論的基本觀點 就是認為數學不應簡單地被等同於數學知識 的匯集、 而應被看成人類的一種創造性活動。
基切爾並對“數學活動”的具體內容進行了分 析, 即認為數學應被看成是由“語言”、“方 法”、“問題”、 “命題”等多種成分所組成的一 個複合體。 顯然, 這種關於數學的動態研究是 與先前的研究傳統、 也即單純著眼於數學知 識的邏輯結構的靜態分析大相徑庭的。 另外, 新的研究的又一重要特點則是突出強調了數 學研究的社會性。 這就是說, 在現代社會中,
每個數學家都必然地是作為相應的社會共同 體 (可稱為“數學共同體”) 中的一員從事研 究活動的, 從而就自覺地或不自覺地處在一 定的數學傳統之中; 特殊地, 一種數學模式 的最終建立也就取決於數學共同體的“判決”:
只有為數學共同體一致接受的數學概念、 方 法、 問題等才能成為真正的模式。 顯然, 按 照這一分析, 在論及數學 (活動) 的“客觀內 容”時, 我們就應在“語言”、 “方法”等成分上 都加上“數學共同體所一致接受的”這樣一個 限制詞; 另外, 我們也就應當把作為數學傳統 具體體現的各種“觀念”, 即如數學觀和應當 怎樣去從事數學研究的共同認識等, 看成數 學 (活動) 的一個重要組成成份。
另外, 所謂數學的文化研究還包含了多 種不同的意義。 例如克萊因的 《西方文化中 的數學》([20]) 就是從一個角度表明了數學 作為一種“子文化”與整個人類文化的關係。
另外, 懷爾德 (R. Wilder) 則集中地研 究了數學發展的規律和動力 ([28]、[29])—
在懷爾德看來, 這就清楚地表明了數學的相 對獨立性, 而這事實上也就是數學能被看成
人類文化的一個子系統的必要條件。 最後, 本文作者之一也在這一方向上進行了一些研 究, 特別是從整體上對數學的文化功能, 也 即數學與“真”、“善”、“美”的關係進行了分析 ([30]、[31]、[32])。
最後, 與實際的數學活動 (包括數學 研究和數學教育) 的密切聯繫也可看成為現 代數學哲學研究開放性的一個重要表現。 特 別是, 作為對於思想方法的研究, 數學方 法論的研究在現代得到了新的發展。 就後一 方面的工作而言, 我們當然應當首先提及著 名數學家波利亞 (G. P´olya) 對於數學啟 發法的“復興”。 因為, 正是波利亞在這方面 的工作 ([33]、[34]、 [35]) 為現代的數學方 法論研究奠定了必要的基礎, 特別是確定了 這種研究的性質—這主要是一種啟發性的研 究。(可參見 [36]) 另外, 應當提及的是, 數 學方法論在中國現已得到了普遍的重視。 例 如, 我們在這一方面所獲得的一些研究成果 ([36]、[37]、[38]、[39]) 已開始在實際的數學活 動中產生著積極的影響。 特別是, 數學方法論 的研究更被有些中國數學家和大學教師說成 是促成中國數學教育現代發展三大要素之一。
事實上, 由美國數學教育的具體考察可以看 出, 數學觀的演變正是促成數學教育現代發 展的一個重要原因 (可參見 [40]或 [41])。 顯 然, 這就更為清楚地表明了數學哲學研究的 積極意義。
綜上可見, 無論就研究的問題、 或是就 基本的立場和觀念而言, 現代的數學哲學研 究與先前的基礎研究相比都已發生了重要的 變化, 這種變化已經、 並將繼續對實際的數學 活動產生重要和深遠的影響。
參考文獻
1. P. Benacerraf & H. Putnam, ed., Phi- losophy of Mathematics, Prentic-Hall Inc., 1964.
2. 夏基松、 鄭毓信:《西方數學哲學》, 人民出版 社, 1986 年。
3. G. Frege, The Foundations of Arith- metic, trans. by J. Austin, Ox- ford: Blackwell, 1950.
4. L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Ox- ford: Blackwell, 1956.
5. R. Wilder, Introduction to the Founda- tions of Mathematics, Wiley, 1952.
6. A. Fraenkel & Y. Bar-Hillel, Foundations of Set Theory, North- Holland, 1958.
7. I. Lakatos, Infinite Regress and Foun- dations of Mathematics, 載 Math- ematics, Science and Epistemology, Cam- bridge Univer. Press, 1978.
8. L. Kalmar, Foundations of Mathe- matics-whither now? 載 Problems in the Philosophy of Mathematics, ed. by I. Lakatos, North-Holland, 1967.
9. H. Putnam, Mathematics with- out Foundations, 載 Mathematics, Mat- ter and Method, Cambridge Univer.
Press, 1979.
10. E. Sleinis, “數學需要基礎嗎? ”, 載 《自然 科學哲學問題叢刊》, 1984 年, 第一期。
11. M. Steiner, Mathematical Knowledge, Cornell Univer. Press, 1975.
12. H. Lehman, Introduction to the Philos- ophy of Mathematics, Oxford: Black- well, 1979.
13. P. Kitcher, The Nature of Mathemati- cal Knowledge, Oxford Univer. Press, 1984.
14. 克萊因 (M. Kline):“數學的基礎”, 載 《自然 雜誌》, 1979 年, 第四、 五期。
15. A. Robinson, Formalism 64, 載 Logic, Methodology and Philosophy of Math- ematics, ed. by Y. Bar-Hillel, North- Holland, 1964.
16. 赫斯:“復興數學哲學的一些建議”, 載 《數學 譯林》, 1981 年第一、 二期。
17. I. Lakatos, A Renaissance of Em- piricism in the Recent Philosophy of Mathematics, 載 Mathematics, Sci- ence and Epistemology, Cambridge Univer. Press, 1978.
18. T. Tymoczko, New Directions in the Philosophy of Mathematics, Birk- hauser, 1985.
19. M. Kline, Mathematics in Western Cul- ture, George Allen & Unwin Ltd., 1954.
20. I. Lakatos, Proof and Refutations, ed.
by J. Worrall & E. Zahar, Cambridge Univer. Press, 1976.
21. H. Putnam, What is Mathemati- cal Truth, 載 Mathematics, Matter and Method, Cambridge Univer.
Press, 1979.
22. L. Steen, The Science of Patterns, 載 Science 240, 1988.
23. 徐利治、 鄭毓信:《數學模式論》, 廣西教育出 版社, 1993 年。
24. 徐利治、 鄭毓信:“數學模式觀的哲學基礎”, 載 《哲學研究》, 1990 年, 第二期。
25. 鄭毓信:《數學哲學新論》, 江蘇教育出版社, 1990 年。
26. 鄭毓信 (Y. Zheng), Philosophy of Math- ematics in China, 載 Philosophia Math- ematica, Vol. 6 (1991), No. 2.
27. R. Wilder, Evolution of Mathemat- ical Concepts, John Wiley & Sons Inc., 1968.
28. R. Wilder, Mathematics as a Cultural System, Pergamon Press, 1980.
29. 鄭毓信:“數學的文化觀念”, 載 《自然辯證法 研究》, 1991 年, 第九期。
30. 鄭毓信:“數學—不可思議的有效性”, 載 《南 京大學學報》, 1992 年, 第四期。
31. 鄭毓信:“數學與理性—論數學的文化價值”, 載《南京大學學報》, 1994 年, 第一期。
32. 波利亞:《怎樣解題》, 科學出版社, 1982 年。
33. 波利亞:《數學的發現》, 內蒙古人民出版社, 1980 年。
34. 波利亞:《數學與猜想》, 科學出版社, 1984年。
35. 徐利治、 朱梧賈、 鄭毓信:《數學方法論教程》, 江蘇教育出版社, 1992 年。
36. 徐利治:《數學方法論選講》, 華中工學院出版 社, 1983 年。
37. 徐利治、 鄭毓信:《關係映射反演方法》, 江蘇 教育出版社, 1988 年。
38. 徐利治、 鄭毓信:《數學抽象方法與抽象度分 析法》, 江蘇教育出版社, 1990 年。
39. 鄭毓信:“數學哲學、 數學教育與數學教育哲 學”, 載 《哲學與文化》(台灣), 1992 年, 第十 期。
40. 鄭毓信:“時代的挑戰—美國數學教育研究之 一”, 載 《數學教育學報》, 1992 年, 第一期。
41. 鄭毓信:“加強學習、 深化研究, 加速發展我國 的數學教育事業—美國數學教育研究之二”, 載《數學教育學報》, 1993 年, 第一期。
42. W. Aspray & P. Kitcher, ed. History and Philosophy of Modern Mathemat- ics, Univer. of Minnesota Press, 1988.
43. J. Echeverria & A. Ibarra & T. Mor- mann, ed. The Space of Mathe- matics: Philosophical, Epistemological and Historical Exploration, Walter de Gruyter, 1992.
44. M. Tiles, The Philosophy of Set The- ory, Basil Blackwell, 1989.
45. C. Parsons, ed. Mathematics in Philos- ophy, Cornell Univer. Press, 1983.
46. P. Maddy, Realism in Mathemat- ics, Clarendon Press, 1990.
47. Wang Hao, From Mathematics to Phi- losophy, Routledge & Kegan Paul Ltd., 1974.
48. Wang Hao, Reflections on Kurt G¨odel, MIT Press, 1987.
49. D. Gillies, ed. Revolutions in Mathe- matics, Clarendon Press, 1992.
50. S. Mac Lane, Mathematics, Form and Function, Springer-Verlag, 1986.
51. S. Mac Lane, “數學模型—對數學哲學的一 個概述”, 載 《自然雜誌》, 1986 年, 第一期。
52. M. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns: Ontology and Reference, 載 Nous(15), 1981.
53. M. Resnik, Mathematics as a Science of Patterns: Epistemology, 載 Nous(16), 1982.
54. A. Whitehead, “數學和善”, 載 《數學與文 化》, 北京大學出版社, 1990 年。
55. 波雷爾 (A. Borel), “數學—藝術與科學”, 載 《數學譯林》, 1985 年, 第三期。
56. 哈爾莫斯 (P. Holmos), “應用數學是壞數 學”, 載 《數學譯林》, 1985 年, 第四期。
57. 波塞爾 (F. Bonsall), “切合實際的數學觀”, 載 《數學譯林》, 1985 年, 第四期。
58. 鄧東皋等編:《數學與文化》, 北京大學出版社, 1990 年。
59. 林夏水編:《數學哲學譯文集》, 知識出版社, 1986 年。
60. 中 國 社 會 科 學 院 哲 學 研 究 所 邏 輯 研 究 室 編:《數理哲學譯文集》, 商務印書館, 1988 年。
61. 徐利治、 王前:《數學與思維》, 湖南教育出版 社, 1990 年。
62. 張景中: 《數學與哲學》, 湖南教育出版社, 1990 年。
63. 齊民友: 《數學與文化》, 湖南教育出版社, 1990 年。
64. 胡作玄: 《數學與社會》, 湖南教育出版社, 1990 年。
65. 黃耀樞: 《數學基礎引論》, 北京大學出版社, 1987 年。
66. 王前: 《數學哲學引論》, 遼寧教育出版社, 1991 年。
67. 戴維斯、 赫斯: 《數學經驗》, 江蘇教育出版社, 1991 年。
68. P. Davis & R. Hersh, Descartes’
Dream, Harcourt Brace Jovanovich Inc., 1986.
69. 鄭毓信: 《數學方法論》, 廣西教育出版社, 1991 年。
—本文作者任教於加拿大曼尼托巴大學和南 京大學哲學系—
