基於灰關聯分析的學習概念診斷 The Diagnosing of Learning Concepts based on Grey Relational Analysis

基於灰關聯分析的學習概念診斷

The Diagnosing of Learning Concepts based on Grey Relational Analysis

陳榮昌 陳伸豐

朝陽科技大學 資訊管理研究所 台中縣霧峰鄉吉峰東路一六八號 E-mail: [email protected]

摘 要

本研究嘗試使用灰關聯分析的少樣本、整體性灰關聯分析等特性來建構概念圖(Concept mapping)以 達到學習概念診斷的目的。

近來，學者利用資料探勘的方法由系統設計來自動產生概念圖以利診斷學生在學習上的迷思概念 (misconception)，他取決於學生答錯最多的題數為高頻項目集再找出其它相關答錯概念，但只取高頻項 目集來當成建構概念圖的依據，概念影響訊息尚嫌不足。另外也有以條件機率為基礎的方法，他先找出 兩兩概念最大的影響訊息，以比較的方式來建構概念圖，然而只取決於兩概念間影響最大的概念訊息而 捨棄了其它訊息，此單一固定模式並無法適用於學習能力不同的學生。因此，為了保留大部分的概念訊 息以建構更符合實際的概念圖，本研究採用灰關聯分析法(Grey relational analysis)來建構概念圖，他不僅 可適用於不同學習能力之學生，由於保留大部分的概念影響訊息(Concept effect information)，所以更能 找出學習者的概念學習補救路徑(Enhanced learning path)。經實驗證明本研究方法僅需較少的樣本就能快 速建構概念圖外，並能改善前面兩種方法的缺點使建構的概念圖更符合實際的需要。

關鍵字：概念圖、迷思概念診斷、灰關聯分析、概念影響訊息、學習補救路徑

Abstract

In this paper, we try to apply the concepts of grey relational analysis with fewer samples and globalized grey relational grades to construct the concept mapping for the diagnosing of learning behavior.

During these years, the researchers have diagnosed the student’s misconception by using the approach of data mining to construct the concept mapping automatically. They found the item sets with which the students have got wrong answers, and then found other relational concepts. However, it will lose some concept effect information for constructing concept mapping by only using the high frequency item sets. Another approach is just using the conditional probability methods by finding the maximum relationships between each pair of concepts to construct the concept mapping. It will constrain the concept mapping to be a fixed type which will not be suitable for the various learning capabilities of students. Therefore, in this paper, we use the grey relational analysis to reserve the most amounts of concepts during the constructing of concept mapping so that the concept mapping could apply to differential students so as to find the better learning path. The experimental results prove that our new approach do improve the shortcomings and construct the concept mapping more effective with even fewer samples than the other approaches.

Keyword: concept mapping, misconception diagnosis, grey relational analysis, concept effect information, enhanced learning path

一、前言

傳統的學習評量測驗通常只是在學生測驗 後給予一個評量分數或標準參照，但每個學生的 學習能力與學習速度皆不同，如果學生的學習能

力較低而測驗題目的難度較高，此將較難測驗出 學生的真實程度。因此適性化測驗(Adaptive test) 逐漸受到大家的重視，其中以試題反應理論(Item response theory)較具代表性，他根據受測者在上 一題的答題結果，依其能力與題目難度，在下一

次的出題中選擇適合該受測者測驗之題目，但此 一理論並未提供如何診斷學生的學習障礙與迷 思[13,14]。

在 1981 年 開 始 有 了 概 念 構 圖 (Concept mapping)的想法[1]，他把每個片段的知識當成單 一概念來學習，如此可以幫助學生依靠圖形化的 記憶來加強理解。概念構圖是以建構主義為理 念，其基本精神在於解釋「什麼是知識?」以及「什 麼是學習?」，認為「新知的學習是靠學習者先前 的知識和經驗」[15]。Piaget 以「基模」(Schema) 來表示學習的認知結構[2]，「基模」是學習者在 學習的過程中所建立的概念或知識以及其影響 的相關概念組織，而概念與知識是由人這一主體 所建構並不是被動的接受或吸收。另外，知識的 建構是由個人經驗主觀形成，只對自己有意義，

所以每個人對某些概念與知識的認知會有些許 的差異。概念圖即在此建構主義之理念下誕生，

由學習者個人主觀認知與經驗，將之繪製出來而 形成一張概念與概念間彼此影響關係存在的網 狀結構圖。此後 Surber 與 Smith 於 1981 年提出 以概念圖為工具來調查研究學生在學習上的迷 思概念[3]。Novak 與 Gowin 於 1984 年提出了以 概念構圖的策略來比較學生在學習上與傳統教 學法的差異[4]，經過了許多實驗證實，使用概念 構圖的教學法在學習成效上確實比傳統教學法 優異許多。然而概念構圖不但不易應用於評量測 驗且容易受到專家主觀因素的影響，故相關的發 展如 McClure(1999)的整體性計分法[5]、McClure 與 Bell(1990) 的 相 關 性 計 分 法 [6] 、 Novak 與 Gowin(1984) 及 Stuart(1985) 的 結 構 性 計 分 法 [4,7]，這些研究雖然貢獻良多但概念構圖的評量 至今仍然一直未盡完善。

近年來，在探討概念構圖的應用領域上，如 林義益及賀嘉生[16]、黃國禎[12,17]等學者已不 再著墨於評量階段，他們以較客觀的方式將概念 構圖推廣至探討學習者學習概念的迷思、學習補 救路徑以及如何進行補救教學。然而上述的方法 仍存在著概念影響訊息的不足、只能建構出單一 固定模式之概念圖、無法適用於不同學習能力的 學習者以及需要大量資料分析建構概念圖等不 足之處。因此本研究提出利用灰關聯分析的方法 來改善上述的缺點，以利教師進行適性化補救教 學。我們探討了灰關聯分析與其它構圖方法的差 異並經實驗證明本研究方法僅需較少的樣本就 能快速建構概念圖，也改善了之前方法的缺點使 建構的概念圖更符合實際的需要。

二、文獻探討

2.1 認知學習同化理論

認知學習的同化理論 (assimilation theory of

cognitive learning)是由 Ausubel(1963)所提出[8]，

認為概念與概念間的關係及學習者的「先備知 識」(prior knowledge)在「有意義學習」上扮演重 要的角色；只要學習者將所要學習的新知識與既 有的知識概念間聯結成一道有意義的命題，即可 產生有意義的學習。此將使新的學習變得愈來愈 容易，即使短暫遺忘了某個大概念底下的子概 念，也可以較容易由這些大概念所啟發的一些意 義而推理獲益，進而終身記住這些概念。

2.2 概念構圖

概念圖的組成元素包含了概念、階層、聯結 線、聯結語、交叉聯結線及聯結兩個概念而成的 有意義命題。概念表示單一知識的片段並且存在 階層的特性，概念間是依靠註記名稱(聯結語)所 表示的聯結線來維繫，進而形成一張網狀結構 圖。學習者經由自己的回憶來辨識概念間的關係 而慢慢建構出概念圖，此一過程稱之為「概念構 圖」，隨著學習者的思考模式與認知程度的不同 也會產生相異的概念圖，所以概念圖可以反映出 不同學習者在學習上的個人經驗與認知差異。

圖一為一簡單概念構圖的說明，其中綠色植 物、莖、葉、…等以節點來表示概念，連結線(的、

含有、可進行)則是用來指出概念間關係的圖形，

當兩個概念之間加上適當的連結用語即形成有 意義的命題，例如：「葉綠體」可進行「光合作 用」為一有意義的命題，其中「葉綠體」、「光 合作用」是指個別的概念，「可進行」則表示兩 概念間的連結關係說明。

概念構圖是以建構主義為理念，Novak 與 Gowin(1984)說明了以概念構圖的策略來比較學 生在學習上與傳統教學法的差異，並經多年研究 實驗證實，使用概念構圖的教學法經由概念的圖 形化，學習者可產生聯想的方法來幫助學習與記 憶、利於教學者瞭解學生的認知結構以及適用於 日後在測驗題庫上的應用。Surber 與 Smith(1981) 更提出以概念圖為工具來研究學生在學習上的 迷思概念[3,,9,18,19,20]。

依據所述理論，概念圖至今約略可分為實驗 研究的工具、發展課程的設計、評量學習者概念 的認知以及調整教學上的策略等用途，經多位學 者實證也確實大大提升了概念圖在教育、教學上 的應用，但其中評量部份卻礙於無客觀標準因素 而滯於發展。

圖一 概念構圖 (資料來源：林達森，2003)

2.3 概念繼承關係圖(conceptual inheritance graph) 概念繼承關係圖簡單來說為表示學習概念與 概念間具有的先後順序關係。教學者在教學時，

常利用教材的章、節順序來進行教學，如轉換於 概念構圖上，則課程裡的單元可以階層結構或樹 狀結構來呈現，圖二以[21]統計機率論的課程單 元當做概念結構圖的說明。圖中表示教學者在教 學時，勢必先對”隨機實驗”此一章進行教學，再 對”隨機實驗的意義”、”隨機實驗基本概念”等細 節概念進行教學，教授完畢再依序進行下一章。

圖二 傳統概念樹狀結構圖

但這種教學方法卻常常忽略了此一概念領域 最基本的學習要素，以圖二為例，在學習「機率 論」這個知識領域時，最基本的要素也是應該最 先學會的概念是”排列”與”組合”，雖然此兩個概

念並未編排於教科書之中，但卻是應該最先學習 的概念，而不是按照教科書所編排的章節順序進 行教學。所以概念繼承關係圖意謂捨棄了傳統 章、節順序的教學法，改以節點表示片段的知 識，在進行教學時，則代入父、子繼承的概念，

先教授父概念進而教學子概念。

綠色植物

的

葉子 莖

含有

葉綠體 可進行 光合作用 綠色植物

的

葉子 莖

含有

葉綠體 可進行 光合作用

Novak[10]與黃國禎[11]皆指出學生在概念的 學習上必須是具有認知的順序(圖三)，學習概念 時並不單只是由大概念學習到小概念，而是應該 決定概念間彼此的從屬關係，也就是具有繼承的 關係存在。先學習父概念再學習子概念將更有助 於學習。以統計機率理論為例，必須先學習排 列、組合等學習概念，才能進而學習較複雜的聯 合機率、邊際機率、 條件機率等三大機率理論。

圖三 概念繼承關係圖

排列

組合

聯合機率

邊際機率

條件機率 排列

組合

聯合機率

邊際機率

條件機率

上節中所提到每位學習者會有認知上的差 異，所以學習者心中的概念圖勢必難有一個標準 存在，甚至教學者也會隨著專業知識領域的不同 而造成概念圖的差異。那麼，連教學者都難有標 準答案的概念圖，學習者又該如何遵循？故爾後 陸陸續續有許多學者試圖研究能否以客觀的因 素或以系統自動建構概念關係圖，以避免太多人 為主觀因素的介入，下節中我們將對此一主題做 更深入的探討。

機 率 論

隨機實驗 機率理論 事件機率 事件的性質與

事件機率的運算

貝氏定理

隨機實驗 的意義

隨機實驗 基本概念

機率理論 的種類

三個機率 理論比較

機率的公 理體系

事件機率 的定義

聯合機率

邊際機率

條件機率

事件的性 質與關係

事件機率 運算法則 機 率 論

隨機實驗 機率理論 事件機率 事件的性質與

事件機率的運算

貝氏定理

隨機實驗 的意義

隨機實驗 基本概念

機率理論 的種類

三個機率 理論比較

機率的公 理體系

事件機率 的定義

聯合機率

邊際機率

條件機率

事件的性 質與關係

事件機率 運算法則

2.4 以條件機率建構概念關係圖

上節中介紹的概念圖存在著教學者主觀的因 素，如試題包含概念的強度、訂定測驗中錯誤率 的門檻值(min support)、產生概念關係的門檻值 (min confidence)等，因此廖浚宏[22]提出以概念錯 誤率與條件機率，提供客觀的統計方法以及學生 受測結果，經由系統自動建構概念影響關係圖，

此方法避免了專家主觀的介入。其中重要觀念分 述如下:

1)概念錯誤率：以累積學生的測驗結果來得 知個別學生對某概念的錯誤率。如果學生對此概 念有學習成長的傾向，則此一概念錯誤率會隨著 時間的增加而降低，故概念錯誤率可用來代表學 生對單一概念的學習狀況。公式一為代表累積t 次測驗群體概念C_i錯誤率。

∑

∑∑

=

⁼

×

t

t t i t

S

k

k t

i

NC S

EC C

P

t i

) (

) ( )

(

¹

,

(1)

：

_i

EC

測驗題目中包含概念Ci錯誤的題數

：

_i

NC

測驗題目中包含概念Ci的總題數

：

_t

S

學生人數

其中分子表示在測驗中針對概念C_i總共答錯了幾 題；分母則為該次測驗包含概念C_i的總題數。以 此表示單一概念被答錯的機率。

2)條件機率：概念錯誤率只能用來表示學生 對單一概念的學習狀況，卻無法指出學生對此一 概念關係其它概念的學習狀況，所以再利用條件 機率的運算方法來探討概念影響間的關係。機率 論裡的條件機率定義，P(A|B)為已知發生事件B 之後再發生事件A的機率，稱為事件A的條件機率 [21]。上述公式一，若以P(Ci)代表對Ci概念的錯 誤率，則P(Ci|Cj)代表了Cj概念錯誤的情況下，Ci概 念也錯誤的機率，所以P(C_i|Cj) 可指為Cj概念對 Ci概念的影響程度。公式二為代表條件機率之概 念錯誤率。

∑∑

∑∑

=

= =

t S

k

k t j t

S

k

k t j

i _t

t ij

EC EC C

C P

1

, 1

,

) (

) ( )

|

( (2)

：

ij

EC

概念Cj錯誤題數包含Ci的題數

：

_j

EC

概念C_j的錯誤題目

其中以同時答錯概念C_ij的題數除以包含概念C_j的 總錯誤題數求出在概念C_j錯誤時又答錯概念C_i的 條件機率為何。依式二，即可根據建構概念圖之 演 算 法 將 學 生 受 測 結 果 建 構 成 概 念 影 響 關 係 圖，透過最小平方迴歸分析可以求得出學生對其 它未受測概念之影響程度。

雖然廖浚宏[22]的方法避免了許多人為主觀 因素的介入，但從構圖結果而論，此方法所建構 的概念圖僅為單一固定模式，即是在該次測驗 裡，只能呈現單一個概念圖，但是學習者存在著 經驗、認知與學習能力的落差，單一固定的概念 圖並無法適用於每一學習者，此即無法達到有效 的學習補救路徑以及適性化的學習。所以在建構 概念圖時教學者可依學習者學習能力的不同彈 性的調整其門檻值，以期建構出適合每位學習者 的概念圖。此外，教學者在測驗前所決定的概念 權重也會間接影響概念圖的呈現，實際上學習的 概念重要程度不一，如果能適當加入概念權重 比，則將更合理的表示概念圖意義。

2.5 灰關聯分析

自 1982 年，鄧聚龍教授正式宣告了灰色系 統(Grey system)的誕生，也造就了另一波信息革 命。灰色系統意指信息不完全、不確定的系統，

其特點在於研究 ”少數據不確定”之信息。過往學 者利用概率數理統計與模糊理論來處理不確定 性信息，但卻受限於樣本數與認知上的條件使得 信息處理結果不甚理想，故擁有 ”少數據不確定”

特性之灰色系統因而具有實用價值。所以「灰色 系 統 理 論 」 在 於 對 事 物 的 ” 不 確 定 性 ”(not certainty)、”多變量輸入”(multi-input)、”離散的數 據”(discrete data)及”數據的不完整性”(not enough) 做有效的處理。表一提供了灰色系統、概率數理 統計與模糊理論之區別[23,24]。

表一 灰色系統、概率、模糊的區別

灰色系統 概率論 模糊集 內涵 小 樣 本 不 確

定

大 樣 本 不 確 定

認知不確定

基礎 灰朦朧集 康托集 模糊集 依據 信息覆蓋 概率分布 隸屬度函數 特點 少數據 多數據 經驗(數據) 思維方式 多角度 重複再現 外延量化 信息準則 最少信息 無限信息 經驗信息

(資料來源：鄧聚龍，1999)

其中，灰關聯分析為灰色系統理論中兩大支 柱之一，主要的功能是做離散序列之間測度的計 算。灰關聯分析也是現今廣泛應用領域探討之方 法 ， 因 子 空 間 (factor space) 、 序 列 可 比 性 (comparison)及灰關聯度是建立灰關聯分析的三 大要素，其中序列可比性又依需求不同可分為局 部性(localized)灰關聯度以及整體性(globalized) 灰關聯度[25]。以下為局部性灰關聯測度的說明:

假設序列 為參考序列，其他序列 為比較

序列， 與 的灰關聯係數為

o X

x

∈

x

i

) (k

x

_o

x

_i

(k )

max max min

) )) (

( ), (

( ∆ + ∆

∆ +

= ∆

ς γ ς

k k x k x

oi i

o (3)

其中，i = 1, 2, 3, … , m， k = 1, 2, 3, … , n，

辨識係數

ς ∈ ( 0 , 1 ]

是為了加大灰關聯係數的差 異，可視情況調整。由數學證明中得知，辨識係

數只會影響其計算結果大小，灰關聯度的排序則

不會產生變化[25]。 為

與 之間差的絕對值，且

| ) ( ) (

| )

( k x

_o

k x

_i

k

oi

= −

∆ )

(k

x

_o

x

_i

(k )

| ) ( ) (

| min min ) ( min

min min k x_o k x_i k

k oi i

k

i ∆ = −

=

∆ ∀ ∀ ∀ ∀

| ) ( ) (

| max max ) ( max

max max k x_o k x_i k

k oi i

k

i ∆ = −

=

∆ ∀ ∀ ∀ ∀

當灰關聯係數產生後，即可依據公式（4）

得到 與 或 與 兩序列之間的灰關聯度 量測值，

x

o

x

_i

x

_i

x

_j

∑

=

=

^m

k

i o k i

o

x x k x k

x

1

)) ( ), ( ( )

,

( β γ

γ

(4)

其中權重值

β

_k滿足 。一般取灰關聯係 數的平均值為灰關聯度，則

∑

= m

=

k k 1

β 1

k m

= 1

β

，k = 1, 2, 3, … , m。取得所有灰關聯序後，即可根據其所得 之數值進行排列得其結果。

灰色系統理論觸及各應用領域，在資訊教育 方面如國內學者許釗興[26]應用灰色建模於績優 導師最佳化評比、黃國禎與楊明峰[27]結合概念 關聯模型與灰預測在學習診斷系統的應用以及 錢炳全與黃家輝[28]利用灰關聯分析於選題策略 上的研究等皆有相當的突破。

三、研究方法

本 研 究 嘗 試 利 用 灰 關 聯 分 析 來 建 構 概 念 圖 。 我 們 將 所 有 學 生 在 答 題 結 果 中 所 包 含 的 概 念 以 整 體 性 灰 關 聯 分 析 的 方 式 兩 兩 比 較 ， 如 此 即 可 保 留 所 有 概 念 間 彼 此 的 關 係 程 度 訊 息。另 外，學 習 者 透 過 概 念 圖 的 視 覺 化 呈 現，

除 了 可 以 更 容 易 幫 助 自 己 學 習 、 記 憶 外 ， 尚 可 利 用 概 念 圖 所 表 現 出 來 每 一 概 念 間 彼 此 的 關 係 程 度 ， 找 尋 出 自 己 在 某 學 習 概 念 領 域 不 足 的 地 方 ， 藉 以 補 強 學 習 概 念 以 建 立 適 合 自 己 的 學 習 補 救 路 徑 。

在 構 圖 流 程 中 (如 圖 四 )， 教 師 需 在 測 驗 前 決 定 測 驗 題 目 包 含 的 概 念 以 便 學 習 者 受 測 後 根 據 灰 關 聯 分 析 建 構 出 概 念 圖 。 當 建 立 概 念 圖 後 ， 教 學 者 可 以 視 學 習 者 學 習 能 力 的 不 同 而 調 整 建 構 概 念 圖 的 門 檻 值 以 達 到 適 性 化 的 目 的 。

開始

測驗是 否結束 是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束 開始

測驗是 否結束 是 否

教師決定題目 測驗 包含概念

利用灰關聯分析 建構概念圖

建立每位學生 學習補救路徑

結束

圖 四 研 究 流 程 圖

概 念 圖 的 建 構 流 程 可 分 為 五 個 步 驟 : 首 先 於 測 驗 前 決 定 每 一 測 驗 題 包 含 的 概 念 ， 然 後 計 算 每 一 單 一 概 念 錯 誤 率 來 當 作 學 生 答 錯 概 念 的 訊 息 量 ， 接 著 以 整 體 性 灰 關 聯 分 析 法 來 針 對 每 一 概 念 序 列 進 行 比 較 並 保 留 比 較 過 後 的 概 念 訊 息 ， 最 後 建 構 出 概 念 圖 。 下 列 我 們 將 針 對 各 步 驟 分 別 說 明 。

Step1 測 驗 題 所 包 含 的 概 念

此 時 教 師 並 不 需 要 知 道 概 念 與 概 念 的 存 在 關 係 ， 只 需 指 定 測 驗 題 目 應 包 含 哪 些 概 念 。 另 外 亦 可 以 加 入 權 重 參 數 值 以 凸 顯 部 份 概 念 的 重 要 性 。 試 題 包 含 概 念 如 表 二 所 示 ：

表 二 概 念 被 包 含 於 測 驗 題 題 數 (Ci： 概 念 ； Q_j： 測 驗 題 數 )

Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 SUM

C1 1 1 2

C2 1 1 2

C3 1 1 2

C4 1 1 1 3

C5 1 1

教 師 可 以 數 值 ”1” 或 勾 選 方 式 來 表 示 該 題 的 測 驗 題 目 Q_i是 否 包 含 概 念 C_j， ”0”則 表 示 該 概 念 未 包 含 於 該 題 測 驗 中 ， 最 後 則 統 計 某 概 念 在 該 次 測 驗 裡 總 共 被 包 含 在 幾 題 測 驗 題 中 。

Step2 概 念 錯 誤 率

計 算 每 一 概 念 在 該 次 測 驗 中 每 一 位 學 生 答 錯 的 錯 誤 率。概 念 錯 誤 率 範 例 如 表 三 所 示：

表 三 學 生 對 概 念 之 答 錯 率 (Ci： 概 念 ； S_j： 學 生 ) S1 S2 S3 S4 S5

C1 0 0.5 0.5 1 0 C2 0 0 0 0 0.5 C3 0.5 0 0 0.5 0 C4 0.33 0.67 0 1 0

C5 0 0 0 0 0

表 中 有 數 值 的 部 份 即 為 學 生 於 該 次 測 驗 中 ， 對 單 一 概 念 的 答 錯 率 。 假 設 學 生 S₂答 錯 了 包 含 概 念 C1之 題 目 Q1， 則 該 學 生 在 概 念 C1

的 答 錯 率 為 ：

5 . 2 0 ) 1

( C

1 _S2

= = P

此 一 計 算 方 法 與 傳 統 上 最 大 的 不 同 在 於 它 可 以 保 留 所 有 學 生 對 所 有 概 念 的 答 錯 率 ， 而 不 只 是 探 討 單 一 概 念 在 該 次 測 驗 中 被 答 錯 的 總 錯 誤 率 。 如 此 即 能 保 留 學 生 對 概 念 之 間 的 所 有 訊 息 。

Step3 灰 關 聯 分 析

針 對 所 有 概 念 進 行 整 體 性 灰 關 聯 分 析 。 因 其 中 的 任 一 個 序 列 均 可 做 為 參 考 序 列 ， 故 能 保 留 每 一 個 概 念 間 影 響 程 度 的 資 訊 以 有 利 於 建 構 不 同 學 習 能 力 的 學 生 概 念 關 係 圖 。 假 設 某 次 測 驗 包 含 了 n 個 概 念 (C

) (k x

_i

1, C2, C3, … , Cn)，我 們 先 以 C1為 參 考 序 列，來 比 較 C2, … , Cn序 列 ； 再 以 C2為 參 考 序 列 ， C1, C3, … ,Cn為 比 較 序 列 ， 以 此 類 推 將 每 一 概 念 當 為 參 考 序 列 以 得 到 整 體 性 灰 關 聯 分 析 的 結 果 。 且 研 究 中 採 用 翁 慶 昌 [24]的 灰 關 聯 係 數 來 決 定 概 念 關 係 程 度 ， 如 式 (5)：

ς

γ ⎭ ⎬ ⎫

⎩ ⎨

⎧

∆

−

∆

∆

−

= ∆

min max

max

( )

)) ( ), (

( k

k x k

x

_{i j} ^ij (5)

其 中，

ς

採 傳 統 方 法 為 0.5。由 式 (5)可 看 出 與 鄧 聚 龍 [23]的 灰 關 聯 係 數 的 計 算 式 不 同 ， 雖 然 兩 式 的 結 果 均 落 於 [0,1]區 間 ， 但 傳 統 的 計 算 方 法 (式 (3))會 產 生 灰 關 聯 係 數 值 分 佈 不 均 勻 的 情 況 ， 式 (3)如 選 擇 愈 接 近 1 的 辨 識 係 數，則 灰 關 聯 係 數 的 計 算 結 果 將 集 中 於 0.5~1 之 間 (見 圖 五 )

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

圖 五 灰 關 聯 係 數 之 影 響 關 係 圖 (鄧 ) 雖然不同辨識係數的選擇會產生相異的灰關 聯度值，但其結果的灰關聯序排序並不會受到影 響，其間的差異僅在於灰關聯係數是否能達到較 不固定的分佈，以維持其合理性及避免傳統計算 方法產生灰關聯係數壓縮的情形。因此我們採用 翁慶昌所提出之灰關聯係數計算法，其計算之灰 關聯係數分佈如圖六：

圖 六 灰 關 聯 係 數 之 影 響 關 係 圖 (翁 )

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

5 .

=0 ς

=2 ς

=5 ς

=10 ς

1 .

=0 ς

2 .

=0 ς

=1 ς

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

) (k

∆ij

greyrelational coefficient

5 .

=0 ς

=2 ς

=5 ς

=10 ς

另 外 假 設 每 一 概 念 預 設 重 要 程 度 均 相 同 ， 所 以 若 取 灰 關 聯 係 數 的 平 均 值 為 灰 關 聯 度 計 算，則

β

_k = _m¹，k=1, 2, … ,m，如 式 (6)：

∑

=

=

ⁿ

k

j i j

i

x k x k

x n x

1

)) ( ), ( 1 (

) ,

( γ

γ

(6)

上 式 結 果 可 得 到 該 次 測 驗 中 全 部 概 念 間 的 灰 關 聯 度 數 值 ， 然 後 即 可 依 據 灰 關 聯 度 的 大 小 進 行 灰 關 聯 排 序 以 得 到 每 一 概 念 間 彼 此 影 響 的 關 係 程 度 。

Step4 灰 關 聯 系 統 程 式

灰 關 聯 系 統 程 式 是 由 黃 宜 豊 、 溫 坤 禮 等

教 授 所 開 發 。 利 用 視 覺 化 使 用 者 介 面 方 便 使 用 者 在 灰 關 聯 分 析 應 用 上 的 實 驗 操 作 。 此 程 式 可 透 過 局 部 性 灰 關 聯 分 析 與 整 體 性 灰 關 聯 分 析 完 整 保 留 、 顯 示 灰 關 聯 分 析 過 程 中 所 產 生 灰 關 聯 係 數 、 灰 關 聯 測 度 及 快 速 建 構 出 灰 關 聯 序 以 瞭 解 實 驗 模 型 是 否 合 理 ， 其 方 便 操 作 的 介 面 以 及 彈 性 的 選 項 功 能 是 本 研 究 中 採 用 此 程 式 之 原 因 。

Step5 繪 製 概 念 圖

利 用 灰 關 聯 系 統 程 式 所 產 生 之 灰 關 聯 序 進 行 概 念 圖 之 繪 製 。 由 門 檻 值 決 定 出 各 概 念 的 影 響 訊 息 ， 並 以 有 向 邊 指 向 其 它 被 影 響 的 概 念 是 哪 些 ， 圖 七 表 示 概 念 CA影 響 概 念 CB、 CC的 概 念 關 係 圖 ：

圖 七 繪 製 概 念 關 係 圖

之 前 所 產 生 之 灰 關 聯 序 代 表 概 念 間 影 響 的 訊 息 量 ， 我 們 可 依 據 學 生 學 習 能 力 的 不 同 給 予 適 當 的 門 檻 值 來 決 定 該 次 測 驗 中 概 念 圖 的 建 構 。 學 生 可 透 過 此 概 念 圖 探 討 其 學 習 補 救 路 徑 ， 教 師 可 透 過 此 概 念 圖 進 行 補 救 教 學 、 調 整 教 學 設 計 與 方 法 。

接 下 來 ， 讓 我 們 以 條 件 機 率 法 來 做 比 較 ， 整 理 如 表 四 ：

表 四 條 件 機 率 與 灰 關 聯 分 析 之 差 異

條件機率 灰關聯分析 建構方法 ‧找出對C_i影響最

大的概念

‧找出C_i影響最大 的概念

‧去除循環概念以 決定有向邊

‧將所有概念進行 整體性關聯分析

‧門檻值決定概念 影響關係圖

‧去除循環概念，

決定有向邊

樣本需求 大 小

概念訊息 只找出最大影響 保留所有影響訊息 不同能力

需求

只能建構出單一概 念圖

依班級學生能力不 同建構概念圖 執行次數 [(N-1)+(N-1)]*N (N-1)*N

由表四可以看出條件機率對於概念關係圖的 建構方法只有找出概念影響的最大有向邊，並去 除了循環概念訊息，但以灰關聯分析的方法卻可 以將序列比較的概念訊息加以保留。概念訊息保 留的優點在於測驗後繪製概念關係圖以及選題 策略應用上具有相當的意義，達到較多的應用方 式。此外針對樣本數，灰關聯分析能有效運用少 樣本的訊息來呈現，而數理統計則需依賴大樣本 數才能較客觀處理。其中最大的差異在於灰關聯 分析保留了所有概念比較訊息，所以能夠依據教 師的需求不同以及學生學習能力的差異建構出 適性化的概念關係圖。

四、實驗與探討

C_A

C_C C_B

C_A

C_C C_B

本 研 究 所 採 實 驗 為 廖 浚 宏 [22]論 文 中 所 實 驗 之 數 據 ：

學 生 人 數 ： 30 人 。 應 用 科 目 ： 數 學 。

測 驗 卷 ： A 卷 。

測 驗 包 含 概 念 數：測 驗 A卷 共 包 含 19 個 概 念，C₁、C₁₆、C₁₉、C₂₀、C₂₆、C₂₇、C₂₈、 C29、C₃₀、C₃₁、C₃₂、C₃₃、C₃₄、C₃₅、C₃₆、 C37、C₃₈、C₃₉、C₄₀，其 對 應 之 概 念 如 表 五 ：

表 五 概 念 表 代 碼 中 文 概 念 名 稱

C1 商 高 定 理 C16 配 方 法

C19 建 一 元 二 次 聯 立 方 程 式 C20 符 號 運 用

C26 比 較 係 數 C27 判 別 式 C28 對 稱 軸 C29 頂 點 C30 標 準 式 C31 開 口 方 向 C32 提 出 公 因 式 C33 二 次 式 極 值 C34 分 數 與 整 數 比 較 C35 一 般 式

C36 座 標 平 移

C37 二 次 式 與 X 軸 關 係 C38 二 次 式 與 Y 軸 關 係 C39 二 次 式 求 解

C40 開 口 大 小

概 念 錯 誤 率 ， 見 附 件 一 ， 將 概 念 錯 誤 率 正 規 化 介 於 0~1 之 間 。

GreyRelation 程 式 利 用 式 (5)、 式 (6)進 行 整 體 性 灰 關 聯 係 數 的 計 算 並 產 生 全 部 概 念 之

灰 關 聯 度 ， 附 件 二 。 得 其 灰 關 聯 度 結 果 即 可 進 行 概 念 關 係 圖 的 繪 製 ， 實 驗 中 ， 採 門 檻 值

=0.8，意 即 灰 關 聯 度 大 於 0.8 之 概 念 關 聯 訊 息 才 是 本 實 驗 所 需 求 ， 結 果 可 得 表 六 ， 表 六 灰 關 聯 度 表 (門 檻 值 >=0.8)

C1 C16 C19 C20 C27 C28 C30 C31 C32 C33 C34 C35 C36 C37 C38 C39

C1 0.844 0.862

C16 0.806 0.844

C19 0.822 0.835 0.822 0.822

C20 0.813 0.800

C27 0.808 0.800 0.822 0.889 0.803

C28 0.844 0.822 0.822 0.822

C31 0.811 0.844

C32 0.844 0.867 0.853

C33 0.815

C34 0.800 0.800

C35 0.811 0.822

C36 0.811 0.898

C37 0.867 0.867 0.844 0.822 0.844 0.827

C38 0.878 0.811 0.831

C39 0.846 0.831 0.911

表 六 指 出 概 念 C₁影 響 概 念 C₃₇、C₃₈，灰 關 聯 度 各 為 0.844 、 0.878 ； 概 念 C16影 響 概 念 C33， 灰 關 聯 度 為 0.815… 依 此 類 推 。 而 原 本 在 測 驗 中 的 C26、 C29、 C40等 三 個 概 念 在 此 次 實 驗 的 結 果 並 無 影 響 其 它 概 念 的 關 係 存 在 。 繪 製 概 念 關 係 圖 ， 將 上 述 灰 關 聯 度 之 概

念 影 響 訊 息 繪 製 成 該 次 測 驗 的 概 念 關 係 圖 ， 概 念 C1在 門 檻 值 >=0.8 時 會 影 響 概 念 C37、 C38， 故 將 概 念 C₁之 有 向 邊 指 向 C₃₇、 C₃₈， 依 此 類 推 即 可 建 構 出 概 念 關 係 圖 ， 圖 八 ：

C₁

C₃₈ C₃₇

C₂₈

C₃₂ C₂₀

C₂₇

C₃₀

C₃₆

C₁₆

C₂₆ C₃₅

C₁₉

C₃₁

C₂₉ C₃₃

C₃₄

C₄₀ C₃₉

C₁

C₃₈ C₃₇

C₂₈

C₃₂ C₂₀

C₂₇

C₃₀

C₃₆

C₁₆

C₂₆ C₃₅

C₁₉

C₃₁

C₂₉ C₃₃

C₃₄

C₄₀ C₃₉

圖 八 測 驗 A 卷 之 概 念 關 係 圖 圖 八 即 為 本 研 究 中 實 驗 之 概 念 關 係 圖 ，

其 中 概 念 C26、 C29、 C40表 示 在 門 檻 值 >=0.8 時 ， 無 影 響 其 它 概 念 或 無 被 其 它 概 念 影 響 的 關 係 存 在 ， 故 在 圖 八 中 表 示 為 分 離 狀 態 。 另 外 ， 此 概 念 關 係 圖 會 隨 著 教 師 所 訂 定 的 門 檻 值 不 同 隨 之 變 化 ， 對 於 學 習 能 力 不 同 的 學 生 而 言 ， 相 對 提 高 了 構 圖 的 彈 性 。

執 行 效 率 ， 以 灰 關 聯 分 析 方 法 與 條 件 機 率 方 法 來 做 比 較 ， 雖 然 其 兩 種 方 法 在 時 間 複 雜 度 計 算 上 是 相 同 的 ： 條 件 機 率

[2*(N-1)]*N、灰 關 聯 分 析 (N-1)*N，但 在 執 行 次 數 上 ， 條 件 機 率 的 方 法 卻 是 灰 關 聯 分 析 方 法 的 兩 倍 。

五、結論

灰色系統目前廣泛應用於各領域上，但大多 侷限在多準則因子分析與決策上。故本研究嘗試 利用灰色關聯分析等特性應用於概念構圖，經實

驗證實尚得到令人滿意的結果。雖然只是利用了 比較簡單的方法，但無疑在教育應用領域上又向 前邁進一大步。

上述討論以及實驗方法略可看出，利用灰關 聯分析除了可以保留所有概念之影響訊息，尚能 依據學生不同的學習能力，經由門檻值的控制來 達成適合該學生進行補救之學習路徑。以灰關聯 分析的方法有別於以往的方法，除了有彈性繪製 出概念關係圖外，也更利於學生瞭解自己概念的 不足以及教師透過此概念關係圖進行適性化補 救學習。

未來希望能以灰關聯分析的特性應用於更 廣泛的領域，如選題策略上。灰關聯分析的結果 在上述的優點之下，在選題策略上應更能發揮其 特長，以更符合適性化學習為目標。

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附件一 測驗 A 卷概念錯誤率

S01 S02 S03 S40 S05 S06 S07 S08 S09 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21 S22 S23 S24 S25 S26 S27 S28 S29 S30 C1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C16 0.25 0.25 0.25 0.50 0.25 0.75 0.50 0.50 0.50 0.25 0.75 0.75 0.50 0.50 0.75 0.75 0.25 0.75 0.25 0.75 0.75 0.25 0.25 0.75 0.75 0.50 0.25 0.50 0.25 0.50 C19 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 C20 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C26 0.33 0.00 0.33 0.00 0.00 0.00 0.33 0.67 0.67 0.00 0.00 0.00 0.33 0.33 0.33 0.33 0.00 0.67 0.00 0.33 0.67 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.00 0.33 0.33 0.33 C27 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C28 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 C29 0.50 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.00 0.50 0.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 C30 0.75 0.50 0.25 0.50 0.50 0.50 0.75 0.75 0.75 0.25 0.50 0.50 0.75 0.75 0.75 0.75 0.00 0.75 0.50 0.75 0.75 0.25 0.50 0.75 0.25 0.50 0.25 0.50 0.75 0.50 C31 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 C32 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.50 C33 0.25 0.25 0.25 0.75 0.50 1.00 0.75 0.75 0.75 0.25 0.75 0.75 0.50 0.50 0.75 1.00 0.75 1.00 0.25 0.75 0.75 0.75 0.25 0.75 0.75 0.25 0.25 0.75 0.25 0.75 C34 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 1.00 C35 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 C36 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 C37 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 C38 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.00 0.00 1.00 0.00 0.50 1.00 1.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 C39 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 C40 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 1.00 0.50 1.00 0.50 0.50 0.50 1.00 0.50 0.50 1.00 1.00 0.50 0.50 0.50 0.50 1.00 0.50 1.00 0.50 0.00 0.50 0.50 0.50 0.50

附件二 測驗 A 卷全部概念之灰關聯度

C1 C16 C19 C20 C26 C27 ^C28

C1 ^- r(x 0 ,x 1) = 0.5041 r(x 0 ,x 1) = 0.6889 r(x 0 ,x 1) = 0.7333 r(x 0 ,x 1) = 0.6539 r(x 0 ,x 1) = 0.7778 r(x 0 ,x 1) = 0.7556

C16 r(x 0 ,x 1) = 0.5722 - r(x 0 ,x 2) = 0.5811 r(x 0 ,x 2) = 0.6078 r(x 0 ,x 2) = 0.6694 r(x 0 ,x 2) = 0.5189 r(x 0 ,x 2) = 0.5367

C19 r(x 0 ,x 2) = 0.6889 r(x 0 ,x 2) = 0.5130 - r(x 0 ,x 3) = 0.8222 r(x 0 ,x 3) = 0.5089 r(x 0 ,x 3) = 0.6000 r(x 0 ,x 3) = 0.5778

C20 r(x 0 ,x 3) = 0.7333 r(x 0 ,x 3) = 0.5397 r(x 0 ,x 3) = 0.8132 - r(x 0 ,x 4) = 0.6095 r(x 0 ,x 4) = 0.6444 r(x 0 ,x 4) = 0.6667

C26 r(x 0 ,x 4) = 0.6539 r(x 0 ,x 4) = 0.6099 r(x 0 ,x 4) = 0.5089 r(x 0 ,x 4) = 0.6095 - r(x 0 ,x 5) = 0.7100 r(x 0 ,x 5) = 0.7159

C27 r(x 0 ,x 5) = 0.7778 r(x 0 ,x 5) = 0.4508 r(x 0 ,x 5) = 0.6000 r(x 0 ,x 5) = 0.6444 r(x 0 ,x 5) = 0.7100 - r(x 0 ,x 6) = 0.8076

C28 r(x 0 ,x 6) = 0.7556 r(x 0 ,x 6) = 0.4686 r(x 0 ,x 6) = 0.5778 r(x 0 ,x 6) = 0.6667 r(x 0 ,x 6) = 0.7159 r(x 0 ,x 6) = 0.8444 -

C29 r(x 0 ,x 7) = 0.6833 r(x 0 ,x 7) = 0.5613 r(x 0 ,x 7) = 0.5944 r(x 0 ,x 7) = 0.5944 r(x 0 ,x 7) = 0.7093 r(x 0 ,x 7) = 0.7056 r(x 0 ,x 7) = 0.7278

C30 r(x 0 ,x 8) = 0.5456 r(x 0 ,x 8) = 0.7695 r(x 0 ,x 8) = 0.5500 r(x 0 ,x 8) = 0.5722 r(x 0 ,x 8) = 0.6434 r(x 0 ,x 8) = 0.4967 r(x 0 ,x 8) = 0.5011

C31 r(x 0 ,x 9) = 0.7111 r(x 0 ,x 9) = 0.4419 r(x 0 ,x 9) = 0.5333 r(x 0 ,x 9) = 0.5778 r(x 0 ,x 9) = 0.6645 r(x 0 ,x 9) = 0.8111 r(x 0 ,x 9) = 0.8442

C32 r(x 0 ,x 10) = 0.7111 r(x 0 ,x 10) = 0.5346 r(x 0 ,x 10) = 0.5778 r(x 0 ,x 10) = 0.6889 r(x 0 ,x 10) = 0.7806 r(x 0 ,x 10) = 0.8442 r(x 0 ,x 10) = 0.8667

C33 r(x 0 ,x 11) = 0.5678 r(x 0 ,x 11) = 0.8152 r(x 0 ,x 11) = 0.6478 r(x 0 ,x 11) = 0.6300 r(x 0 ,x 11) = 0.6176 r(x 0 ,x 11) = 0.5189 r(x 0 ,x 11) = 0.5100

C34 r(x 0 ,x 12) = 0.7556 r(x 0 ,x 12) = 0.5308 r(x 0 ,x 12) = 0.8000 r(x 0 ,x 12) = 0.7556 r(x 0 ,x 12) = 0.5756 r(x 0 ,x 12) = 0.6667 r(x 0 ,x 12) = 0.6889

C35 r(x 0 ,x 13) = 0.7556 r(x 0 ,x 13) = 0.4952 r(x 0 ,x 13) = 0.6667 r(x 0 ,x 13) = 0.8111 r(x 0 ,x 13) = 0.7089 r(x 0 ,x 13) = 0.7111 r(x 0 ,x 13) = 0.6889

C36 r(x 0 ,x 14) = 0.5556 r(x 0 ,x 14) = 0.4508 r(x 0 ,x 14) = 0.8111 r(x 0 ,x 14) = 0.6444 r(x 0 ,x 14) = 0.4131 r(x 0 ,x 14) = 0.4667 r(x 0 ,x 14) = 0.4000

C37 r(x 0 ,x 15) = 0.8672 r(x 0 ,x 15) = 0.4775 r(x 0 ,x 15) = 0.6222 r(x 0 ,x 15) = 0.7111 r(x 0 ,x 15) = 0.7159 r(x 0 ,x 15) = 0.8669 r(x 0 ,x 15) = 0.8442

C38 r(x 0 ,x 16) = 0.8778 r(x 0 ,x 16) = 0.5422 r(x 0 ,x 16) = 0.6333 r(x 0 ,x 16) = 0.6778 r(x 0 ,x 16) = 0.6803 r(x 0 ,x 16) = 0.8111 r(x 0 ,x 16) = 0.7444

C39 r(x 0 ,x 17) = 0.5556 r(x 0 ,x 17) = 0.4775 r(x 0 ,x 17) = 0.8462 r(x 0 ,x 17) = 0.7333 r(x 0 ,x 17) = 0.4692 r(x 0 ,x 17) = 0.5111 r(x 0 ,x 17) = 0.4889

C40 r(x 0 ,x 18) = 0.5000 r(x 0 ,x 18) = 0.6260 r(x 0 ,x 18) = 0.5889 r(x 0 ,x 18) = 0.5889 r(x 0 ,x 18) = 0.5795 r(x 0 ,x 18) = 0.5444 r(x 0 ,x 18) = 0.4778

C29 C30 C31 C32 C33 C34 C35

C1 r(x 0 ,x 1) = 0.6833 r(x 0 ,x 1) = 0.5456 r(x 0 ,x 1) = 0.7111 r(x 0 ,x 1) = 0.7111 r(x 0 ,x 1) = 0.5678 r(x 0 ,x 1) = 0.7556 r(x 0 ,x 1) = 0.7556

C16 r(x 0 ,x 2) = 0.6222 r(x 0 ,x 2) = 0.8056 r(x 0 ,x 2) = 0.5100 r(x 0 ,x 2) = 0.5956 r(x 0 ,x 2) = 0.8444 r(x 0 ,x 2) = 0.5989 r(x 0 ,x 2) = 0.5633

C19 r(x 0 ,x 3) = 0.5944 r(x 0 ,x 3) = 0.5500 r(x 0 ,x 3) = 0.5333 r(x 0 ,x 3) = 0.5778 r(x 0 ,x 3) = 0.6478 r(x 0 ,x 3) = 0.8352 r(x 0 ,x 3) = 0.6667

C20 r(x 0 ,x 4) = 0.5944 r(x 0 ,x 4) = 0.5722 r(x 0 ,x 4) = 0.5778 r(x 0 ,x 4) = 0.6889 r(x 0 ,x 4) = 0.6300 r(x 0 ,x 4) = 0.7556 r(x 0 ,x 4) = 0.8000

C26 r(x 0 ,x 5) = 0.7093 r(x 0 ,x 5) = 0.6434 r(x 0 ,x 5) = 0.6645 r(x 0 ,x 5) = 0.7806 r(x 0 ,x 5) = 0.6176 r(x 0 ,x 5) = 0.5756 r(x 0 ,x 5) = 0.7089

C27 r(x 0 ,x 6) = 0.7056 r(x 0 ,x 6) = 0.4967 r(x 0 ,x 6) = 0.8000 r(x 0 ,x 6) = 0.8222 r(x 0 ,x 6) = 0.5189 r(x 0 ,x 6) = 0.6667 r(x 0 ,x 6) = 0.7111

C28 r(x 0 ,x 7) = 0.7278 r(x 0 ,x 7) = 0.5011 r(x 0 ,x 7) = 0.8222 r(x 0 ,x 7) = 0.8217 r(x 0 ,x 7) = 0.5100 r(x 0 ,x 7) = 0.6889 r(x 0 ,x 7) = 0.6889

C29 ^- r(x 0 ,x 8) = 0.5978 r(x 0 ,x 8) = 0.7944 r(x 0 ,x 8) = 0.7278 r(x 0 ,x 8) = 0.6222 r(x 0 ,x 8) = 0.6833 r(x 0 ,x 8) = 0.6611

C30 r(x 0 ,x 8) = 0.5978 - r(x 0 ,x 9) = 0.5367 r(x 0 ,x 9) = 0.5700 r(x 0 ,x 9) = 0.7522 r(x 0 ,x 9) = 0.5322 r(x 0 ,x 9) = 0.6167

C31 r(x 0 ,x 9) = 0.7944 r(x 0 ,x 9) = 0.5367 - r(x 0 ,x 10) = 0.7333 r(x 0 ,x 10) = 0.5189 r(x 0 ,x 10) = 0.6889 r(x 0 ,x 10) = 0.7333

C32 r(x 0 ,x 10) = 0.7278 r(x 0 ,x 10) = 0.5700 r(x 0 ,x 10) = 0.7333 - r(x 0 ,x 11) = 0.5333 r(x 0 ,x 11) = 0.6444 r(x 0 ,x 11) = 0.7333

C33 r(x 0 ,x 11) = 0.6222 r(x 0 ,x 11) = 0.7522 r(x 0 ,x 11) = 0.5189 r(x 0 ,x 11) = 0.5333 - r(x 0 ,x 12) = 0.6656 r(x 0 ,x 12) = 0.5722

C34 r(x 0 ,x 12) = 0.6833 r(x 0 ,x 12) = 0.5322 r(x 0 ,x 12) = 0.6889 r(x 0 ,x 12) = 0.6444 r(x 0 ,x 12) = 0.6656 - r(x 0 ,x 13) = 0.6889

C35 r(x 0 ,x 13) = 0.6611 r(x 0 ,x 13) = 0.6167 r(x 0 ,x 13) = 0.7333 r(x 0 ,x 13) = 0.7333 r(x 0 ,x 13) = 0.5722 r(x 0 ,x 13) = 0.6889 -

C36 r(x 0 ,x 14) = 0.5056 r(x 0 ,x 14) = 0.5500 r(x 0 ,x 14) = 0.5333 r(x 0 ,x 14) = 0.4000 r(x 0 ,x 14) = 0.6033 r(x 0 ,x 14) = 0.7111 r(x 0 ,x 14) = 0.6222

C37 r(x 0 ,x 15) = 0.7278 r(x 0 ,x 15) = 0.5322 r(x 0 ,x 15) = 0.7778 r(x 0 ,x 15) = 0.8222 r(x 0 ,x 15) = 0.5500 r(x 0 ,x 15) = 0.7333 r(x 0 ,x 15) = 0.8442

C38 r(x 0 ,x 16) = 0.7167 r(x 0 ,x 16) = 0.5911 r(x 0 ,x 16) = 0.7000 r(x 0 ,x 16) = 0.7222 r(x 0 ,x 16) = 0.5700 r(x 0 ,x 16) = 0.7222 r(x 0 ,x 16) = 0.7444

C39 r(x 0 ,x 17) = 0.5944 r(x 0 ,x 17) = 0.5767 r(x 0 ,x 17) = 0.6222 r(x 0 ,x 17) = 0.4889 r(x 0 ,x 17) = 0.6389 r(x 0 ,x 17) = 0.8313 r(x 0 ,x 17) = 0.7111

C40 r(x 0 ,x 18) = 0.6278 r(x 0 ,x 18) = 0.7522 r(x 0 ,x 18) = 0.5444 r(x 0 ,x 18) = 0.5667 r(x 0 ,x 18) = 0.6833 r(x 0 ,x 18) = 0.5667 r(x 0 ,x 18) = 0.5889

C36 C37 C38 C39 C40

C1 r(x 0 ,x 1) = 0.5556 r(x 0 ,x 1) = 0.8444 r(x 0 ,x 1) = 0.8618 r(x 0 ,x 1) = 0.5556 r(x 0 ,x 1) = 0.5000

C16 r(x 0 ,x 2) = 0.5189 r(x 0 ,x 2) = 0.5456 r(x 0 ,x 2) = 0.6056 r(x 0 ,x 2) = 0.5456 r(x 0 ,x 2) = 0.6822

C19 r(x 0 ,x 3) = 0.8222 r(x 0 ,x 3) = 0.6222 r(x 0 ,x 3) = 0.6333 r(x 0 ,x 3) = 0.8222 r(x 0 ,x 3) = 0.5889

C20 r(x 0 ,x 4) = 0.6444 r(x 0 ,x 4) = 0.7111 r(x 0 ,x 4) = 0.6778 r(x 0 ,x 4) = 0.7333 r(x 0 ,x 4) = 0.5889

C26 r(x 0 ,x 5) = 0.4131 r(x 0 ,x 5) = 0.7159 r(x 0 ,x 5) = 0.6803 r(x 0 ,x 5) = 0.4692 r(x 0 ,x 5) = 0.5795

C27 r(x 0 ,x 6) = 0.4667 r(x 0 ,x 6) = 0.8889 r(x 0 ,x 6) = 0.8031 r(x 0 ,x 6) = 0.5111 r(x 0 ,x 6) = 0.5444

C28 r(x 0 ,x 7) = 0.4000 r(x 0 ,x 7) = 0.8222 r(x 0 ,x 7) = 0.7444 r(x 0 ,x 7) = 0.4889 r(x 0 ,x 7) = 0.4778

C29 r(x 0 ,x 8) = 0.5056 r(x 0 ,x 8) = 0.7278 r(x 0 ,x 8) = 0.7167 r(x 0 ,x 8) = 0.5944 r(x 0 ,x 8) = 0.6278

C30 r(x 0 ,x 9) = 0.5500 r(x 0 ,x 9) = 0.5322 r(x 0 ,x 9) = 0.5911 r(x 0 ,x 9) = 0.5767 r(x 0 ,x 9) = 0.7522

C31 r(x 0 ,x 10) = 0.5333 r(x 0 ,x 10) = 0.7778 r(x 0 ,x 10) = 0.7000 r(x 0 ,x 10) = 0.6222 r(x 0 ,x 10) = 0.5444

C32 r(x 0 ,x 11) = 0.4000 r(x 0 ,x 11) = 0.8532 r(x 0 ,x 11) = 0.7222 r(x 0 ,x 11) = 0.4889 r(x 0 ,x 11) = 0.5667

C33 r(x 0 ,x 12) = 0.6033 r(x 0 ,x 12) = 0.5500 r(x 0 ,x 12) = 0.5700 r(x 0 ,x 12) = 0.6389 r(x 0 ,x 12) = 0.6833

C34 r(x 0 ,x 13) = 0.7111 r(x 0 ,x 13) = 0.7333 r(x 0 ,x 13) = 0.7222 r(x 0 ,x 13) = 0.8000 r(x 0 ,x 13) = 0.5667

C35 r(x 0 ,x 14) = 0.6222 r(x 0 ,x 14) = 0.8222 r(x 0 ,x 14) = 0.7444 r(x 0 ,x 14) = 0.7111 r(x 0 ,x 14) = 0.5889

C36 ^- r(x 0 ,x 15) = 0.4889 r(x 0 ,x 15) = 0.5000 r(x 0 ,x 15) = 0.8981 r(x 0 ,x 15) = 0.6111

C37 r(x 0 ,x 15) = 0.4889 - r(x 0 ,x 16) = 0.8271 r(x 0 ,x 16) = 0.5778 r(x 0 ,x 16) = 0.5444

C38 r(x 0 ,x 16) = 0.5000 r(x 0 ,x 16) = 0.8314 - r(x 0 ,x 17) = 0.5444 r(x 0 ,x 17) = 0.5667

C39 r(x 0 ,x 17) = 0.9111 r(x 0 ,x 17) = 0.5778 r(x 0 ,x 17) = 0.5444 - r(x 0 ,x 18) = 0.6333

C40 r(x 0 ,x 18) = 0.6111 r(x 0 ,x 18) = 0.5444 r(x 0 ,x 18) = 0.5667 r(x 0 ,x 18) = 0.6333 -