104 年學科能力測驗試卷

(1)

數學 104 年學科能力測驗試卷

班級：______ ／座號：______ ／姓名：______

總分

第一部分﹕選擇題（占 50 分）

一﹑單選題（占 20 分）

說明﹕第 1 題至第 4 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹒各題答對 者﹐得 5 分﹔答錯﹑未作答或多於一個選項者﹐該題以零分計算﹒

( )1. 每週同一時間點記錄某植物的成長高度﹐連續五週的數據為a₁1﹐a₂ 2﹐a₃6﹐

4 15

a  ﹐a₅31﹒請問此成長高度數列滿足下列選項中哪一個式子﹖ (1)a_t_₁3a_t 1﹐ 1, 2, 3, 4

t (2)a_t t!﹐t1, 2, 3, 4, 5 (3)a_t_₁ a_t t²﹐t1, 2, 3, 4 (4)a_t  2^t 1﹐ 1, 2, 3, 4, 5

t (5)a_t_₁ta_t1﹐t1, 2, 3, 4﹒

( )2. 第1天獲得1元﹑第2天獲得2元﹑第3天獲得4元﹑第4天獲得8元﹑依此每天所獲得的錢為前一天的兩倍﹐如此進行到第30天﹐試問這30天所獲得的錢﹐總數最接近下列哪一個選項﹖ (1)10,000元 (2)1,000,000元 (3)100,000,000元 (4)1,000,000,000元 (5)1,000,000,000,000元﹒

( )3. 有兩組供機器運作的配件A﹑B﹐其單獨發生故障的機率分別為0.1﹑0.15﹒只有當A B, 都發生故障時﹐此機器才無法運作﹒A﹑B兩配件若用串接方式﹐前面故障會導致後面故障﹐但若後面故障則不會影響前面的故障情形﹔若用並列方式﹐則故障情形互不影響﹒

若考慮以下三種情形﹕ (一)將B串接於A之後 (二)將A串接於B之後 (三)將A B, 獨立並列

在情況(一)﹑(二)﹑(三)之下﹐機器無法運作的機率分別為p ﹑₁ p ﹑₂ p ﹒請選出正確的₃ 選項﹒ (1)p₁ p₂  p₃ (2)p₂  p₁ p₃ (3)p₃ p₂  p₁ (4)p₃  p₁ p₂

(5)p₁ p₂  p₃﹒

( )4. 一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形

ABCDEFGH及其內部﹐如右圖﹒已知目標函數ax by 3（其中 ,

a b為實數）的最大值只發生在B點﹒請問當目標函數改為 3 bx ay時﹐最大值會發生在下列哪一點﹖ (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E﹒

(2)

二﹑多選題（占 30 分）

說明﹕第 5 題至第 10 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹐各題之選項獨 立判定﹐所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答錯 1 個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐

得 1 分﹔答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者﹐該題以零分計算﹒

( )5. 小明參加某次路跑10公里組的比賽﹐下表為小明手錶所記錄之各公里的完成時間﹑平均心率及步數﹕

完成時間平均心率步數第一公里 5:00 161 990 第二公里 4:50 162 1000 第三公里 4:50 165 1005 第四公里 4:55 162 995 第五公里 4:40 171 1015 第六公里 4:41 170 1005 第七公里 4:35 173 1050 第八公里 4:35 181 1050 第九公里 4:40 171 1050 第十公里 4:34 188 1100

在這10公里的比賽過程﹐請依據上述數據﹐選出正確的選項﹒ (1)由每公里的平均心率得知小明最高心率為188 (2)小明此次路跑﹐每步距離的平均小於1公尺 (3)每公里完成時間和每公里平均心率的相關係數為正相關 (4)每公里步數和每公里平均心率的相關係數為正相關 (5)每公里完成時間和每公里步數的相關係數為負相關﹒

( )6. 設 ^{f x 是首項係數為}

 

¹的實係數二次多項式﹒請選出正確的選項﹒ (1)若 ^f

 

² ^⁰^﹐則

2

x 可整除 ^{f x (2)若}

 

^f

 

² ^⁰^﹐則f x 為整係數多項式 (3)若

 

^f

 

² ^⁰^﹐則

 

² ⁰

f   (4)若 ^f

 

²ⁱ ^⁰^﹐則^f

 

^²ⁱ ^⁰^(5)若 ^f

 

²ⁱ ^⁰^﹐則f x 為整係數多項式﹒

 

( )7. 坐標平面上﹐在函數圖形y2^x上﹐標示A﹑B﹑C﹑D四個點﹐其 x 坐標分別為1﹑ 0﹑1﹑2﹒請選出正確的選項﹒ (1)點B落在直線AC下方 (2)在直線AB﹑直線BC﹑ 直線CD中﹐以直線CD的斜率最大 (3)A﹑B﹑C﹑D四個點﹐以點B最靠近 x 軸 (4) 直線y2x與y2^x的圖形有兩個交點 (5)點A與點C對稱於y軸﹒

( )8. 坐標平面上有一雙曲線﹐其漸近線為x y 0和x y 0﹒關於此雙曲線的性質﹐請選出正確的選項﹒ (1)此雙曲線的方程式為

2 2

2 2 1

x y

r r  或

2 2

2 2 1

x y

r  r   ﹐其中r為非零實數 (2)此雙曲線的貫軸長等於共軛軸長 (3)若點

 

a b 為此雙曲線在第一象限上一點﹐則當^,

1000

a 時﹐a b 1 (4)若點

 

^{a b ﹐}^,



^{a b}^{ }^,



為此雙曲線在第一象限上兩點且aa﹐ 則bb (5)此雙曲線同時對稱於 x 軸與 y 軸﹒

(3)

( )9. 如圖﹐以M 為圓心﹑MA8為半徑畫圓﹐AE為該圓的直徑﹐B﹑ C﹑D三點皆在圓上﹐且 AB BC CD DE   ﹒若

   

 

8 cos 90 ,sin 90

MD     ﹒請選出正確的選項﹒

(1)^MA^^{8 cos ,sin}



^ ^



⁽²⁾^MC^^{8 cos}

 

^^{ }^{45 ,sin}

 

^^{ }⁴⁵

 

⁽³⁾

（內積）MA MA 8 (4)（內積）MB MD 0 (5)^BD^^{8 cos}



^^^cos



^^{ }^{90 ,sin}



^^^sin



^^{ }⁹⁰

 

^﹒

( )10. 某一班共有45人﹐問卷調查有手機與平板電腦的人數﹒從統計資料顯示此班有35人有手機﹐而有24人有平板電腦﹒設﹕

A為同時有手機與平板電腦的人數 B為有手機﹐但沒有平板電腦的人數 C為沒有手機﹐但有平板電腦的人數 D為沒有手機﹐也沒有平板電腦的人數

請選出恆成立的不等式選項﹒ (1)AB (2)AC (3)BC (4)BD (5)CD﹒

第二部分﹕選填題（占 50 分）

說明﹕第 A 至 J 題﹐每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 如圖﹐老王在平地點A測得遠方山頂點P的仰角為13﹒老王朝著山的方向前進37公丈後來到點B﹐再測得山頂點P的仰角為15﹒則山高約為公丈﹒

（四捨五入至個位數﹐tan13 0.231﹐tan15 0.268）

B. 不透明袋中有3白3紅共6個球﹐球大小形狀相同﹐僅顏色相異﹒甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊5人依甲第一﹑乙第二﹑……﹑戊第五的次序﹐從袋中各取一球﹐取後不放回﹒試問在甲﹑乙取出不同色球的條件下﹐戊取得紅球的機率為 ﹒（化為最簡分數）

C. 小燦預定在陽台上種植玫瑰﹑百合﹑菊花和向日葵等四種盆栽﹒如果陽台上的空間最多能種8盆﹐

可以不必擺滿﹐並且每種花至少一盆﹐則小燦買盆栽的方法共有種﹒

D. 平面x  y z 0與三平面x2﹐x  y 2﹐x y 2分別相交所得的三直線可圍成一個三角 形﹒此三角形之周長化成最簡根式﹐可表為 a b c d ﹐其中a b c d, , , 為正整數且bd﹐ 則 a ﹐b ﹐ c ﹐d  ﹒

E. 坐標平面上﹐直線L 與₁ L 的方程式分別為₂ x2y0與3x5y0﹒為了確定平面上某一定點P 的坐標﹐從L 上的一點₁ Q 偵測得向量₁ Q P1  



7,9



﹐再從L 上的點₂ Q 偵測得向量₂ Q P2   



6, 8



﹐ 則P點的坐標為 ﹒

A

E D

C B

M

(4)

F. 小華準備向銀行貸款3百萬元當做創業基金﹐其年利率為3%﹐約定三年期滿一次還清貸款的本利和﹒銀行貸款一般以複利（每年複利一次）計息還款﹐但給小華創業優惠改以單利計息還款﹒

試問在此優惠下﹐小華在三年期滿還款時可以比一般複利計息少繳元﹒

G. 某一公司﹐有 A﹑B﹑C 三個營業據點﹐開始時各有36位營業員﹐為了讓營業員了解各據點業務 狀況﹐所以進行兩次調動﹒每次調動都是﹕將當時 A 據點營業員中的¹

6調到 B 據點﹑¹

6調到 C 據點﹔將當時 B 據點營業員中的¹

6調到 A 據點﹑¹

3調到 C 據點﹔將當時 C 據點營業員中的¹ 6調 到 A 據點﹑¹

6調到 B 據點﹒則兩次的調動後﹐C據點有位營業員﹒

H. 有一底面為正方形的四角錐﹐其展開圖如右圖所示﹐其中兩側面的三角形邊長為3, 4, 5﹐則此角錐的體積為 ﹒（化為最簡根式）

I. 在空間中﹐一個斜面的「坡度」定義為斜面與水平面夾角的正切值tan﹒ 若一金字塔（底部為一正方形﹐四個斜面為等腰三角形）的每一個斜面的坡度皆為2

5﹐如圖﹒則相鄰斜面的夾角的餘弦函數的絕對值為 ﹒

（化為最簡分數）

J. 下圖為汽車迴轉示意圖﹒汽車迴轉時﹐將方向盤轉動到極限﹐以低速讓汽車進行轉向圓周運動﹐

汽車轉向時所形成的圓周的半徑就是迴轉半徑﹐如圖中的 BC 即是﹒已知在低速前進時﹐圖中A 處的輪胎行進方向與 AC 垂直﹐B處的輪胎行進方向與 BC 垂直﹒在圖中﹐已知軸距AB為2.85公尺﹐方向盤轉到極限時﹐輪子方向偏了28度﹐試問此車的迴轉半徑 BC 為公尺﹒

（小數點後第一位以下四捨五入﹐sin 28 0.4695﹐cos 28 0.8829）

3

3 5

5 4 4

(5)

104 年學科能力測驗答案與解析

答案

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. (3) 2. (4) 3. (2) 4. (1) 二﹑多選題

5. (2)(4)(5) 6. (1)(4)(5) 7. (1)(2)(4) 8. (1)(2)(4)(5) 9. (2)(4) 10. (2)(3)(4) 第二部分﹕選填題

A. 62 B. ¹

2 C. 70 D. 6, 2, 2, 6 E.

 

^{9,1 F.} ⁸¹⁸¹ G. 44 H. 1, 6, 5 I. ²⁵

29 J. 6.1

解析

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. (1)a₂ 2﹐a₃6不滿足a₃ 3a₂1﹒ (2)a₄  4! 24 15 ﹒

(3)a 到₁ a 均滿足此遞迴關係﹒ ₅ (4)a₂ 2²   1 3 2﹒

(5)a₂ 2﹐a₃6不滿足a₃ 2a₂1﹒ 故選(3)﹒

2. 利用等比級數求和公式﹐得

總數     1 2 2² 2³ 2²⁹﹐ 1 1 2



³⁰



30

2 1

1 2

    

 ﹒

又因為log 2³⁰30log 230 0.3010 9.03 9 0.03  ﹐

即其首數為9﹐尾數為0.03﹐所以2³⁰  a 10⁹﹐其中1 a 2﹐ 得知總數是最高位數字為1的十位數﹒

故選(4)﹒

3. (一)因為 B 串接於 A 之後﹐且前面故障會導致後面故障﹐所以機器運作與否完全取決於 A﹒因此﹐

1 0.1

p  ﹒

(二)同(一)﹐機器運作與否完全取決於B﹒因此﹐p₂ 0.15﹒

(三)因為A B, 獨立並列﹐且兩配件都故障時機器才會停止運作﹐所以p₃ 0.1 0.15 0.015﹒ 得知p₂  p₁ p₃﹐故選(2)﹒

(6)

4. 令L₁ : ax by  3 k﹐即 ₁ : a k ³

L y x

b b

    ﹐

因為最大值只發生在B點﹐且AB的斜率為1﹐ 所以L 斜率₁ a 1

 b ﹐ x 項係數a0﹐ y 項係數b0﹒ 再令L₂ : 3bx ay h﹐即 ₂ : b ³ h

L y x

a a

    ﹐

因為L 斜率₂ 0 b 1

  a ﹐ x 項係數 b 0﹐y項係數 a 0﹒ 所以最大值只發生在A點﹒

故選(1)﹒

二﹑多選題

5. (1) 平均心率最高188﹐並不表示最高心率是188﹒

(2) 因為路跑總長10公里10,000公尺﹐總步數超過10,000步﹐

所以每步距離的平均 10,000

 公尺1

總步數公尺﹒

(3) 觀察第一到十公里﹕完成時間有減少的趨勢﹐但平均心率有增加的趨勢﹐

因此兩數據為負相關﹒

(4) 觀察第一到十公里﹕步數有增加的趨勢﹐平均心率也有增加的趨勢﹐

因此兩數據為正相關﹒

(5) 觀察第一到十公里﹕完成時間有減少的趨勢﹐但步數有增加的趨勢﹐

因此兩數據為負相關﹒

故選(2)(4)(5)﹒

6. (1) 因為 ^f

 

² ^⁰^﹐所以 ^{f x 有}

 

^x^²^{的因式﹐即}^x^²^可整除^{f x ﹒}

 

(2) 錯﹗例如﹕ ^{f x}

  

^ ^x^²

 

^x^ ²



^^x²^{ }



² ²



^x^^{2 2}^{非整係數多項式﹒}

(3) 錯﹗例如﹕ ^{f x}

  

^ ^x^²

 

^x^ ²



^滿足^f

 

² ^⁰^﹐但^f

 

^ ² ^⁰^﹒

(4) 根據虛根成雙定理﹐得知若2i是一根﹐則另一根必為2i﹒ (5) 承(4)﹐得 ^{f x}

  

^ ^x^²ⁱ



^x^²ⁱ



^^x²^⁴^{為整係數多項式﹒}

故選(1)(4)(5)﹒

(7)

7. 依題意﹐得 1,¹ A 2

 ﹐^B

 

^0,1 ^﹐^C

 

^{1, 2} ^﹐^D

 

^{2, 4} ^﹒

(1) 因為y2^x的圖形凹口向上﹐所以 B 在AC下方﹒

(2) 由右圖﹐得知CD的斜率最大﹒

(3) 由右圖﹐得知點A最靠近 x 軸﹒

(4) 兩圖形恰交於C D, 兩點﹒

(5) 因為A C, 兩點不等高﹐所以不對稱於 y 軸﹒

故選(1)(2)(4)﹒

8. (1) 因為漸近線的斜率為1﹐所以圖中的矩形為正方形﹐

即貫軸長共軛軸長﹒

因此若是左右開﹐則為

2 2

2 2 1

x y

r  r  ﹐ 若是上下開﹐則為

2 2

2 2 1

x y

r  r   ﹒ (2) 由(1)知此選項正確﹒

(3) 錯﹗例如﹕當

2 2

2 2 1

1000 1000

x  y  時﹐

若a1001﹐則b² ¹⁰⁰¹²¹⁰⁰⁰² 



1001 1000 1001 1000







2001 ﹐ 即b 200145﹐不滿足a b 1﹒

(4) 因為不論左右開或上下開﹐在第一象限的圖形都是遞增的﹐所以此選項正確﹒

(5) 因為x 軸與y軸為貫軸或共軛軸所在的直線﹐所以此選項正確﹒

故選(1)(2)(4)(5)﹒

9. 依題意建立坐標系﹐如右圖﹐其中PMB﹐ 且每一弧的圓心角45﹒

(1) 有向角^^PMA^{ }



⁴⁵^{ }^



^{  }^ ⁴⁵ ﹐根據三角函數的定義﹐得

   

 

8 cos 45 ,sin 45 MA     ﹒ (2) 因為有向角PMC   45 ﹐所以

   

 

8 cos 45 ,sin 45 MC     ﹒

(3)

2

82 64 MA MA  MA   ﹒

x y

O A B

C D y=2^x y=2x

x y

O

y=x y=－x

(8)

(4) 因為MBMD﹐所以MB MD 0﹒

(5) ^BD^^MD^^MB^^{8 cos}

 

^^{ }^{90 ,sin}

 

^^{  }⁹⁰

 

^{8 cos ,sin}



^ ^



   

 

8 cos  90 cos ,sin  90 sin

       ﹒

故選(2)(4)﹒

10. 依題意畫出文氏圖﹐如右圖﹐且 35

24

45 A B

A C

A B C D

  

  

    



 10

21 C D B D

  

  

 ﹐

因為35 24  A 45﹐所以A14﹒ 又A24﹐得14 A 24﹒

再由上列等式﹐推得11 B 21﹐0 C 10﹐0 D 10﹒ 故選(2)(3)(4)﹒

第二部分﹕選填題

A. 設B到山腳為 x 公丈﹐山高為h公丈﹐則

tan13 0.231

37

tan15 0.268 h

x h x

   

 

   



﹐

 37 0.231

0.268

h  h   37 0.231 ^0.231 0.268

h   h 1 ^0.231 37 0.231

0.268

h   

 37 0.231 ^0.268 61.908 62 0.037

h     ﹒

B. 因為甲﹑乙取出不同色球（即1白球1紅球）﹐所以袋中剩2白球2紅球﹒

又因為丙﹑丁二人無任何限制﹐所以根據抽籤是公平的原理﹐得知戊取得紅球的機率為² ¹

42﹒

C. 設買玫瑰﹑百合﹑菊花和向日葵各x y z u, , , 盆﹐空位 w 盆﹐則 8

x    y z u w ﹐其中x1﹐y1﹐z1﹐u1﹐w0﹒ 其整數解有H_{8 4}⁵_ H⁵₄ C⁸₄ 70組﹒

故買法共有70種﹒

(9)

D. 如右圖﹐此三角形的三頂點就是平面x  y z 0﹐ 與另三平面之任二平面的交點﹐

解三個聯立方程式﹕

2 2

0 x

x y x y z

 

   

   



﹐

2 2

0 x y

x y x y z

  

  

   



﹐ 2

2 0 x

x y x y z

 

  

   



﹒

得三頂點為^A



^{2, 4, 2}



^﹐^B



^{0, 2, 2}



^﹐^C



^{2,0, 2}^



^﹒

故周長為ABBCCA2 22 64 26 22 6﹒ 即a6﹐b2﹐c2﹐d 6﹒

E. 設^{P a b ﹐因為}

 

^, Q P1  



7,9



﹐Q P2   



6, 8



﹐所以

 

1 7, 9

Q a b ﹐Q a2



6,b8



﹒

將Q ﹐₁ Q 分別代入₂ x2y0及3x5y0﹐得

   

7 2 9 0 3 6 5 8 0

a b

    



   

  2 11

3 5 22 a b

a b

 

  

 ﹒

解得a9﹐b1﹐即P點坐標為

 

^9,1 ^﹒

F. 單利的本利和為^3,000,000^{ }



^{1 3% 3}^{ }



^{3, 270,000}^元﹒

複利的本利和為^3,000,000^{ }



^{1 3%}



³ ^^{3, 278,181}^元﹒

故少繳3,278,181 3,270,000 8,181  元﹒

G. 依題意﹐利用轉移矩陣﹐得

第一次調動後為

2 1 1

3 6 6 36 36 1 1 1

36 30 6 2 6

36 42 1 1 2

6 3 3

 

 

   

 

   

    

 

   

     

 

 

﹐

第二次調動後為

2 1 1

3 6 6 36 36 1 1 1

30 28 6 2 6

42 44 1 1 2

6 3 3

 

 

   

 

   

    

 

   

     

 

 

﹒

故 C 有44位營業員﹒

A C

B

(10)

H. 立體圖﹐如右﹒

因為高PM  3²2²  5﹐ 所以體積為¹ 4² 5 ^{16 5}

3   3 ﹒

I. 建立空間坐標系﹐如右圖﹒

依題意﹐得兩斜面方程式為

1

: 2

E z5yE₁ : 2y5z0﹐

2

: 2

E z5xE₂ : 2x5z0﹒

利用兩法向量n1 



0, 2, 5



﹐n2 



2,0, 5



﹐得

1 2

25 25

cos 29 29 29

n n n n

  ^  

 ﹒

J. 依題意﹐得cos 62 ^2.85

  BC ﹐即 2.85 2.85 2.85 cos 62 sin 28 0.4695 6.1

BC   

  ﹒

2 M 3 2

P

E1

E₂

x

y z

O

104 年學科能力測驗試卷

數學 104 年學科能力測驗試卷

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104 年學科能力測驗 答案與解析

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104 年學科能力測驗答案與解析