数值计算方法 插值法

插值法

张晓平

2019 年 11 月 4 日

武汉大学数学与统计学院

Table of contents

1. 简介

2. 拉格朗日插值

3. 分段低次插值

4. 差商与牛顿插值多项式

5. 差分与等距节点插值

1

简介

• 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部 给定的离散数据点。

• 插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点 处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

• 插值：用来填充图像变换时像素之间的空隙。

2

• 早在 6 世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。

• 17 世纪之后，I. 牛顿，J.-L. 拉格朗日分别讨论了等距和非等距的 一般插值公式。

• 在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是 数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重 要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。

3

简介

定义 : 插值问题

通过 _{y= f (x)} 在 _{[a, b]} 中互异的 _{n+ 1} 个点 _{x0, x1},··· ,xn 处的值 y0, y1,··· ,yn，构造一个简单函数 _P(x)作为_{y= f (x)}的近似表达式

y= f (x) ≈P(x)

→插值函数

使得

P(xi)= f (xi)= yi (i= 0,1,··· ,n)

简介

定义 : 插值问题

通过 _{y= f (x)} 在 _{[a, b]} 中互异的 _{n+ 1} 个点 _{x0, x1},··· ,xn 处的值 y0, y1,··· ,yn，构造一个简单函数 _P(x)作为_{y= f (x)}的近似表达式

y= f (x) ≈P(x)→插值函数

P(xi)= f (xi)= yi (i= 0,1,··· ,n)

简介

定义 : 插值问题

通过 _{y= f (x)} 在 _{[a, b]} 中互异的 _{n+ 1} 个点 _{x0, x1},··· ,xn 处的值 y0, y1,··· ,yn，构造一个简单函数 _P(x)作为_{y= f (x)}的近似表达式

y= f (x) ≈P(x)→插值函数

使得

P(xi)= f (xi)= yi (i= 0,1,··· ,n)

4

1 代数插值

插值函数为代数多项式 2 三角插值

插值函数为三角多项式

5

简介

• 插值几乎应用于所有需要进行图像缩放功能的领域内，如数码相 机、图像处理软件（如 Photoshop）。

• 图像插值就是利用已知邻近像素点的灰度值来产生未知像素点的 灰度值，以便由原始图像再生出具有更高分辨率的图像。

6

拉格朗日插值

约瑟夫・拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1736-1813），法国著名 数学家、物理学家。1736 年 1 月 25 日生于意大利都灵，1813 年 4 月 10 日卒于巴黎。他在数学、力 学和天文学三个学科领域中都有 历史性的贡献，其中尤以数学方面 的成就最为突出，拿破仑曾称赞他 是“一座高耸在数学界的金字塔”。

7

代数插值问题

代数插值问题

定义 : 代数插值问题

设_{y= f (x)}在_{[a, b]}上_n+1个不同点_{a= x0< x1}< ··· < xn= b的函 数值为_{y0, y1},··· ,yn，若存在一个多项式

Pn(x)= a0+ a1x+ a2x²+ ··· + anxⁿ

使得

Pn(xi)= yi (i= 0,1,2,··· ,n) (1) 称

• Pn(x)为_{y= f (x)} 的插值多项式

• x0, x1,··· ,xn 为插值节点

• [a, b]为插值区间

• (1) 为插值条件

8

代数插值问题

x y

x0 x1 xn

y= f (x)

图 1: 代数插值

几何意义：通过_{n+ 1}个点_{(xi, yi)(i}= 0,1,2,··· ,n)做一条代数曲线 y= Pn(x)，使其近似于_{y= f (x)}

代数插值问题

x y

x0 x1 xn

y= f (x) y= Pn(x)

图 1: 代数插值

几何意义：通过_{n+ 1}个点_{(xi, yi)(i}= 0,1,2,··· ,n)做一条代数曲线 y= Pn(x)，使其近似于_{y= f (x)}

9

代数插值问题

在_{[a, b]}上用_Pn(x)近似_{f (x)}，除了在插值节点_xi 处_Pn(xi)= f (xi)外，

在其余点处有误差

称

Rn(x)= f (x) − Pn(x)

为插值多项式的余项，表示用_Pn(x)去近似_{f (x)}的截断误差。

一般地，max

a≤x≤b|Rn(x)|越小，其近似程度越好。

10

代数插值问题

在_{[a, b]}上用_Pn(x)近似_{f (x)}，除了在插值节点_xi 处_Pn(xi)= f (xi)外，

在其余点处有误差

定义 : 插值余项 称

Rn(x)= f (x) − Pn(x)

为插值多项式的余项，表示用_Pn(x)去近似_{f (x)}的截断误差。

一般地，max

a≤x≤b|Rn(x)|越小，其近似程度越好。

10

在_{[a, b]}上用_Pn(x)近似_{f (x)}，除了在插值节点_xi 处_Pn(xi)= f (xi)外，

在其余点处有误差

定义 : 插值余项 称

Rn(x)= f (x) − Pn(x)

为插值多项式的余项，表示用_Pn(x)去近似_{f (x)}的截断误差。

一般地，max

a≤x≤b|Rn(x)|越小，其近似程度越好。

10

拉格朗日插值

插值多项式的存在性与惟一性

定理

在_{n+ 1}个互异节点_xi 上满足插值条件 Pn(xi)= yi (i= 0,1,2,··· ,n) 的次数不高于n 次插值多项式Pn(x)存在且惟一。

11

插值多项式的存在性与惟一性

证明

设 P_n(x)= a0+ a1x+ a2x²+ ··· + anxⁿ，

根据插值条件，系数a₀, a₁,··· ,an

应满足 













a₀+ a1x₀+ a2x²₀+ ··· + anxⁿ₀ = y0 a₀+ a1x₁+ a2x²₁+ ··· + anxⁿ₁ = y1

...

a₀+ a1xn+ a2x²_n+ ··· + anxⁿ_n = yn

(2)

其中系数行列式为范德蒙行列式

V=

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

1 x₀ x²₀ ··· xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ ··· xⁿ₁ ... ... ... ... 1 xn x²_n ··· xⁿ_n

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

= ∏

n≥i>j≥0 (x_i− xj)

由于节点互异，即x_i̸= xj(i̸= j)，故V̸= 0。由克莱姆法则知(2)存在惟一 解，亦即插值多项式存在惟一。

插值多项式的存在性与惟一性

证明

设 P_n(x)= a0+ a1x+ a2x²+ ··· + anxⁿ，根据插值条件，系数a₀, a₁,··· ,an

应满足 













a₀+ a1x₀+ a2x²₀+ ··· + anxⁿ₀ = y0 a₀+ a1x₁+ a2x²₁+ ··· + anxⁿ₁ = y1

...

a₀+ a1xn+ a2x²_n+ ··· + anxⁿ_n = yn

(2)

V=

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

1 x₀ x²₀ ··· xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ ··· xⁿ₁ ... ... ... ... 1 xn x²_n ··· xⁿ_n

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

= ∏

n≥i>j≥0 (x_i− xj)

由于节点互异，即x_i̸= xj(i̸= j)，故V̸= 0。由克莱姆法则知(2)存在惟一 解，亦即插值多项式存在惟一。

插值多项式的存在性与惟一性

证明

设 P_n(x)= a0+ a1x+ a2x²+ ··· + anxⁿ，根据插值条件，系数a₀, a₁,··· ,an

应满足 













a₀+ a1x₀+ a2x²₀+ ··· + anxⁿ₀ = y0 a₀+ a1x₁+ a2x²₁+ ··· + anxⁿ₁ = y1

...

a₀+ a1xn+ a2x²_n+ ··· + anxⁿ_n = yn

(2)

其中系数行列式为范德蒙行列式

V=

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

1 x₀ x²₀ ··· xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ ··· xⁿ₁ ... ... ... ... 1 xn x²_n ··· xⁿ_n

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

= ∏

n≥i>j≥0 (x_i− xj)

由于节点互异，即x_i̸= xj(i̸= j)，故V̸= 0。由克莱姆法则知(2)存在惟一 解，亦即插值多项式存在惟一。

证明

设 P_n(x)= a0+ a1x+ a2x²+ ··· + anxⁿ，根据插值条件，系数a₀, a₁,··· ,an

应满足 













a₀+ a1x₀+ a2x²₀+ ··· + anxⁿ₀ = y0 a₀+ a1x₁+ a2x²₁+ ··· + anxⁿ₁ = y1

...

a₀+ a1xn+ a2x²_n+ ··· + anxⁿ_n = yn

(2)

其中系数行列式为范德蒙行列式

V=

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

1 x₀ x²₀ ··· xⁿ₀ 1 x₁ x²₁ ··· xⁿ₁ ... ... ... ... 1 xn x²_n ··· xⁿ_n

¯¯¯¯

¯¯¯¯

¯¯

= ∏

n≥i>j≥0 (x_i− xj)

由于节点互异，即x_i̸= xj(i̸= j)，故V̸= 0。由克莱姆法则知(2)存在惟一 解，亦即插值多项式存在惟一。

12

拉格朗日插值

线性插值

定义 : 线性插值

设 _{y= f (x)} 在 _{[x0, x1}] 两端点的值为 _{y0= f (x0}), y1= f (x1)，要求 用线性函数_{y= L1(x)= ax + b}近似代替_{f (x)}，使得

L1(x0)= f (x0), L1(x1)= f (x1) 称L1(x)为f (x)的线性插值函数。

13

线性插值

x y

A

B y= f (x)

x0 x1

图 2: 线性插值

线性插值的几何意义：通过两点_{A(x0, y0})和_{B(x1, y1})的直线近似代替 曲线_{y= f (x)}

x y

A

B y= f (x)

x0 x1

图 2: 线性插值

线性插值的几何意义：通过两点_{A(x0, y0})和_{B(x1, y1})的直线近似代替 曲线_{y= f (x)}

14

线性插值

由直线方程的两点式可求得_L1(x)的表达式为 L1(x)= x− x1

x0− x1

y0+ x− x0

x1− x0

y1

15

设

l0(x)= x− x1

x0− x1

, l1(x)= x− x0

x1− x0

则它们均为_x 的一次函数，且具有如下性质

lk(xi)=





1, i= k 0, i̸= k.

具有这种性质的函数_{l0(x), l1(x)}称为线性插值基函数，则 L1(x)= y0l0(x)+ y1l1(x)

16

线性插值

定理 条件：

1 f^′(x)在_{[x0, x1}]上连续 2 f^′′(x)在_{(x0, x1})内存在

3 L1是满足线性插值条件的插值多项式 结论

• _{∀x ∈ [x0, x1}]，则

R1(x)= f (x) − L1(x)=f^′′(ξ)

2! (x− x0)(x− x1) 其中_{ξ ∈ (x0, x1})，且依赖于_x

17

证明

1 _{x= x0}或_{x= x1}：结论显然成立 2 _{x̸= x0}且_{x̸= x1}：构造辅助函数

φ(t) = f (t) − L1(t)− f (x)− L1(x)

(x− x0)(x− x1)(t− x0)(t− x1) 易证_{φ(x) = φ(x0})= φ(x1)= 0，即_φ(t)在_{[x0, x1}]上有三个零 点。由罗尔定理，_φ^′_(t)在_{(x0, x1})内至少有两个零点。对 φ^′(t)再应用罗尔定理，则 _φ^′′_(t) 在_{(x0, x1})内至少有一个零 点_ξ，使得

φ^′′(ξ) = f^′′(ξ) − 2! f (x)− L1(x) (x− x0)(x− x1)= 0

⇒ R1(x)= f (x) − L1(x)=f^′′(ξ)

2! (x− x0)(x− x1), ξ0∈ (x0, x1)

18

线性插值

1 若f (x)的表达式未知，或_f^′′_(x)在_{(x0, x1})内不存在，就不能用该 余项表达式去估计截断误差

2 即使f^′′(x)存在，由于_ξ的确切位置未知，此时若能求出

amax≤x≤b|f^′′(x)| = M1，则截断误差为

|R1| ≤M1

2! |(x − x0)(x− x1)|.

19

抛物线插值

抛物线插值

对于_{f (x)}，设

f (x0)= y0, f (x1)= y1, f (x2)= y2, 要求作一个二次插值多项式，使其满足插值条件

L2(xi)= yi (i= 0,1,2).

由于过不同在一条直线的三点可作一条抛物线，故称二次插值多项式 L2(x)为_{f (x)}的抛物线插值函数。

20

抛物线插值

O x

y y= L1(x)

A B

C y= f (x)

图 3: 抛物线插值

抛物线插值

O x

y y= L1(x)

A B

C y= f (x)

x0 x1 x2

图 3: 抛物线插值

21

设二次插值多项式为

L2(x)= y0l0(x)+ y1l1(x)+ y2l2(x), x0≤ x ≤ x2,

其中_{lk(x) (k= 0,1,2)} 均为二次多项式，且满足

lk(xi)= δk,i=

{ 1, i= k

0, i̸= k (i, k= 0,1,2)

22

抛物线插值

求_l0(x)

由_l0(x1)= l0(x2)= 0知_{x1, x2}为_l0(x)的两个零点，故可设 l0(x)= k(x − x1)(x− x2)

再由

l0(x0)= 1

知

k(x0− x1)(x0− x2)= 1 ⇒ k = 1 (x0− x1)(x0− x2) 故

l0(x)= (x− x0)(x− x1) (x0− x1)(x0− x2)

23

求_l1(x)

由_l1(x0)= l1(x2)= 0知_{x0, x2}为_l1(x)的两个零点，故可设 l1(x)= k(x − x0)(x− x2)

再由

l1(x1)= 1

知

k(x1− x0)(x1− x2)= 1 ⇒ k = 1 (x1− x0)(x1− x2) 故

l1(x)= (x− x0)(x− x2) (x1− x0)(x1− x2)

24

抛物线插值

求_l2(x)

由_l2(x0)= l2(x1)= 0知_{x0, x1}为_l2(x)的两个零点，故可设 l2(x)= k(x − x0)(x− x1)

再由

l2(x2)= 1

知

k(x2− x0)(x2− x1)= 1 ⇒ k = 1 (x2− x0)(x2− x1) 故

l2(x)= (x− x0)(x− x1) (x2− x0)(x2− x1)

25

f (x)的二次 Lagrange 插值多项式

L2(x)= y0 (x− x0)(x− x1)

(x0− x1)(x0− x2)+ y1 (x− x0)(x− x2)

(x1− x0)(x1− x2)+ y2 (x− x0)(x− x1) (x2− x0)(x2− x1)

26

抛物线插值

定理 条件：

1 f^′′(x)在_{[x0, x2}]上连续 2 _f^′′′_(x)在_{(x0, x2})内存在

3 _L2是满足线性插值条件的插值多项式 结论

• _R2(x)= f (x) − L2(x)=f^′′′(ξ)

3! (x− x0)(x− x1)(x− x2), ∀x ∈ [x0, x2] 其中_{ξ ∈ (x0, x2})，且依赖于_x

若 max

a≤x≤b|f^′′′(x)| = M2，则截断误差限为

|R2(x)| ≤M2

3!|(x − x0)(x− x1)(x− x2)|

27

定理 条件：

1 f^′′(x)在_{[x0, x2}]上连续 2 _f^′′′_(x)在_{(x0, x2})内存在

3 _L2是满足线性插值条件的插值多项式 结论

• _R2(x)= f (x) − L2(x)=f^′′′(ξ)

3! (x− x0)(x− x1)(x− x2), ∀x ∈ [x0, x2] 其中_{ξ ∈ (x0, x2})，且依赖于_x

若 max

a≤x≤b|f^′′′(x)| = M2，则截断误差限为

|R2(x)| ≤M2

3!|(x − x0)(x− x1)(x− x2)|

27

拉格朗日插值

拉格朗日插值多项式

设_{y= f (x)}在_{n+ 1}个节点_{x0< x1}< ··· < xn 处的函数值 f (xk)= yk (k= 0,··· ,n)。

现要作一个_n 次插值多项式_Ln(x)，使其满足插值条件 Ln(xi)= yi (i= 0,1,2,··· ,n).

28

拉格朗日插值多项式

设_n 次插值多项式为

Ln(x)= y0l0(x)+ y1l1(x)+ ··· + ynln(x), x0≤ x ≤ xn, 其中_{lk(x) (k}= 0,1,,··· ,n)均为_n 次多项式，且满足

lk(xi)= δk,i=

{ 1, i= k

0, i̸= k (i, k= 0,1,··· ,n)

29

求_li(x) 由

li(x0)= ··· = li(xi−1)= li(xi+1)= ··· = li(xn)= 0 知_x0,··· ,xi−1, xi+1,··· ,xn 为_li(x)的_n 个零点，故可设 li(x)= k(x − x0)···(x − xi−1)· (x − xi−1)···(x − xn) 再由_li(xi)= 1知

k(xi− x0)···(xi− xi−1)· (xi− xi−1)···(xi− xn)= 1

⇒ k = 1

(xi− x0)···(xi− xi−1)· (xi− xi−1)···(xi− xn)

故

li(x)= (x− x0)···(x − xi−1)· (x − xi−1)···(x − xn) (xi− x0)···(xi− xi−1)· (xi− xi−1)···(xi− xn)

30

拉格朗日插值多项式

f (x)的 _n 次 Lagrange 插值多项式

Ln(x)=∑ⁿ

k=0

yklk(x)

其中

lk(x)=∏ⁿ

i=0i̸=k

(x− xi) (xk− xi)

31

记

ωn+1(x)= (x − x0)(x− x1)···(x − xn), 则

ω^′n+1(xk)= (xk− x0)···(xk− xk−1)(xk− xk+1)···(xk− xn) 于是

Ln(x)=∑ⁿ

k=0

yk ωn+1(x) (x− xk)ω^′_n+1(x)

32

拉格朗日插值多项式

n次插值多项式_Ln(x)通常是次数为_n 的多项式，特殊情况下次数可 能小于n。

如，通过三点_{(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2})的二次插值多项式_L2(x)，若三点 共线，则_{y= L2(x)}就是一条直线，而非抛物线。

33

n次插值多项式_Ln(x)通常是次数为_n 的多项式，特殊情况下次数可 能小于n。

如，通过三点_{(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2})的二次插值多项式_L2(x)，若三点 共线，则_{y= L2(x)}就是一条直线，而非抛物线。

33

拉格朗日插值多项式

定理 条件：

1 f⁽ⁿ⁾(x)在_{[x0, xn}]上连续 2 f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)在_{(x0, xn})内存在

3 Ln 是满足线性插值条件的插值多项式 结论

Rn(x)= f (x) − Ln(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)

(n+ 1)! ωn+1(x),其中_{ξ ∈ (x0, xn})，且依 赖于_x

34

拉格朗日插值多项式

定理

通过 _{n+ 1}个互异节点_{x0, x1},··· ,xn 且满足插值条件的插值多项式 是唯一的。

若还有一个插值多项式 _Pn(x)，则 _{Ln(x)−Pn(x)}是一个次数不超过 n 的多项式，且在节点_xi 处的值为 0，即Ln(x)−Pn(x)有_n+1个 零点。但次数不超过 _n 的多项式的零点个数不能超过_n，故只有 Ln(x)− Pn(x)≡ 0，即_{Ln(x)≡ Pn(x)}。

35

拉格朗日插值多项式

定理

通过 _{n+ 1}个互异节点_{x0, x1},··· ,xn 且满足插值条件的插值多项式 是唯一的。

证明

若还有一个插值多项式 Pn(x)，则 Ln(x)−Pn(x)是一个次数不超过 n 的多项式，且在节点_xi 处的值为 0，即Ln(x)−Pn(x)有_n+1个 零点。但次数不超过 _n 的多项式的零点个数不能超过_n，故只有 Ln(x)− Pn(x)≡ 0，即_{Ln(x)≡ Pn(x)}。

35

关于编程，通常采用紧凑表达式

Ln(x)=∑ⁿ

k=0



∏ⁿ

i=0i̸=k

(x− xi) (xk− xi)



yk

涉及二重循环，先固定_k，令_i从0到_{n(i̸= k)}做乘积，再对_k 求和。

36

拉格朗日插值多项式

例

已知_e^−x 在_{x= 1,2,3}点的值由下表给出。试分别用线性插值与二

次插值计算_e^−2.1 的近似值，并进行误差估计。

x 1 2 3

e^−x 0.367879441 0.135335283 0.049787068

37

解

线性插值：取_{x0= 2, x1}= 3, x = 2.1，代入一次插值公式 L1(2.1)= 0.135335283 ×2.1− 3

2− 3 + 0.049787068 ×2.1− 2

3− 2 = 0.12678046

二次插值：取_{x0= 1, x1= 2, x2}= 3, x = 2.1，代入二次插值公式

L2(2.1) = 0.367879441×(2.1− 2)(2.1 − 3)

(1− 2)(1 − 3) + 0.135335283 ×(2.1− 1)(2.1 − 3) (2− 1)(2 − 3) +0.049787068 ×(2.1− 1)(2.1 − 2)

(3− 1)(3 − 2) = 0.120165644

38

拉格朗日插值多项式

解 (续) :

注意到_e^−x 的递减性，有

|R1(2.1)| ≤ e⁻²

2! |(2.1 − 2)(2.1 − 3)| ≈ 0.00609009

|R2(2.1)| ≤ e⁻¹

3! |(2.1 − 1)(2.1 − 2)(2.1 − 3)| ≈ 0.006070091

39

分段低次插值

对于函数_{f (x)}，并非插值多项式的次数越高，精度就越好。这是因为高

次插值多项式往往有数值不稳定的缺点，即对任意的插值节点，

Pn(x)↛f (x), n→ ∞

40

给定_{f (x)=} ¹

1+x²，在[−5,5]上的各阶导数均存在，在_{n+ 1}个均匀节点

xi= −5 + i¹⁰_n (i= 0,1,··· ,n)上所构造的拉格朗日插值多项式

Ln(x)=∑ⁿ

k=0

1 1+ xk2

ωn+1(x) (x− xk)ω^′_n+1(xk)

41

分段低次插值

x y

-5 O 5

y=_1+x¹2

y= L10(x)

图 4: 龙格现象

42

为了避免高次插值的不稳定性，常采用分段插值的方法，即将插值区 间分为若干个小区间，在每个小区间上运用前面介绍的插值方法构造 低次插值多项式，以达到适当缩小插值区间长度，同样可以提高插值 精度的目的。

43

分段低次插值

x y

-5 O 5

y=_1+x¹2

y= L10(x)

图 5: 将f=_1+x¹2 在节点_x= 0,±1,±2,±3,±4,±5处用折线连起来

44

分段低次插值的优点：

• 公式简单，计算量小

• 有较好的收敛速度

• 可避免计算机上做高次乘幂时常遇到的上溢和下溢的困难

45

分段低次插值

分段低次插值

设

a= x0< x1< ··· < xn−1< xn= b, 且

yi= f (xi) (i= 0,1,··· ,n), 于是得到_{n+ 1}个点

(x0, y0), (x1, y1), ··· ,(xn, yn).

连接相邻两点_{(xi, yi})和_{(xi+1, yi+1})，得一折线函数_φ(x)，满足 1 _φ(x)在_{[a, b]}上连续

2 _φ(xi)= yi (i= 0,1,··· ,n)

3 _φ(x)在每个小区间_{[xi, xi+1}]上是线性函数 则称_φ(x)为分段线性插值函数。

46

分段低次插值

φ(x)在每个小区间_{[xi, xi+1}]上可表示为 φ(x) = x− xi+1

xi− xi+1yi+ x− xi

xi+1− xiyi+1, x∈ [xi, xi+1], (i= 0,1,2,··· ,n − 1).

47

分段低次插值

φ(x)的基函数表示

φ(x) =∑ⁿ

i=0

yili(x), a≤ x ≤ b, 其中_li(x)是分段的线性连续函数，且满足

li(xk)=

{ 1, i= k 0, i̸= k

li(x)=















xi− xi−1

x− xi+1

xi− xi+1, xi≤ x ≤ xi+1(i= n略去)

0, 其他

48

分段低次插值

φ(x)的基函数表示

φ(x) =∑ⁿ

i=0

yili(x), a≤ x ≤ b, 其中_li(x)是分段的线性连续函数，且满足

li(xk)=

{ 1, i= k 0, i̸= k

li(x)=

















x− xi−1

xi− xi−1, xi−1≤ x ≤ xi(i= 0略去) x− xi+1

xi− xi+1, xi≤ x ≤ xi+1(i= n略去)

0, 其他

48

x0 xn

l₀ (x)

l_i(x)

xi

lⁿ(x)

图 6: 分段线性插值基函数

49

分段低次插值

分段抛物线插值

50

分段抛物线插值

分段抛物线插值是把区间_{[a, b]}分成若干个子区间，在每个子区间 [x_i−1, x_i+1] (i= 1,2,··· ,n − 1)

上用抛物线去近似曲线y= f (x)。

50

φ(x)在每个小区间_{[xi−1, xi+1}]上可表示为 φ(x) = (x− xi)(x− xi+1)

(xi−1− xi)(xi−1− xi+1)yi−1+ (x− xi−1)(x− xi+1) (xi− xi−1)(xi− xi+1)yi

+ (x− xi−1)(x− xi)

(xi+1− xi−1)(xi+1− xi)yi+1, x∈ [xi−1, xi+1], (i= 1,2,··· ,n − 1).

51

分段抛物线插值

称_φ(x)为_{f (x)}在区间_{[a, b]}上的分段二次插值函数，有如下性质

1 _φ(x)在_{[a, b]}上连续 2 _φ(xi)= yi (i= 0,1,··· ,n)

3 _φ(x)在每个小区间_{[xi, xi+1}]上是次数不超过二次的多项式

52

差商与牛顿插值多项式

拉格朗日插值的优缺点 优点

• 含义直观，形式对称，结构紧凑，便于记忆和编程 缺点

• 当精度不高而需要增加插值节点时，插值多项式须重新构造

53

为了克服这一缺点，将介绍牛顿插值多项式：

其使用比较灵活，当增加插值节点时，只要在原来的基础上增加部分 计算而使原来的结果仍可利用。

54

差商与牛顿插值多项式

差商的定义及性质

定义

已知_{f (x)}在互异节点_{x0< x1}< ··· < xn处的函数值分别为_{f (x0), f (x1}),··· ,f (xn)。

1 称f [xi, xi+1]=f (xi+1)− f (xi) xi+1− xi

为_{f (x)}关于节点_{xi, xi+1} 的一阶 差商。

2 称f [xi, xi+1, xi+2]=f [x_i+1, x_i+2]− f [xi, x_i+1] xi+2− xi

为_{f (x)}关于节点 xi, x_i+1, x_i+2的二阶差商。

3 称

f [xi, xi+1,··· ,xi+k]=f [xi+1, xi+2,··· ,xi+k]− f [xi, xi+1,··· ,xi+k−1] xi+k− xi

为_{f (x)}关于节点_{xi, xi+1, xi+2},··· ,xi+k 的_k 阶差商。

4 当k= 0时，_{f (xi})为_{f (x)}关于节点_xi 的零阶差商，记为 f [xi]。

55

差商的定义及性质

f^′(xi)= lim_x

i+1→xi

f (xi+1)− f (xi) x_i+1− xi = lim_x

i+1→xif [xi, xi+1] 故差商是微商的离散形式。

以下介绍差商的性质。

56

f^′(xi)= lim_x

i+1→xi

f (xi+1)− f (xi) x_i+1− xi = lim_x

i+1→xif [xi, xi+1] 故差商是微商的离散形式。

以下介绍差商的性质。

56

差商的定义及性质

性质 : 1

f [x0, x1,··· ,xk]=∑^k

j=0

f (xj) ω^′_k+1(xj)

57

性质 : 2

商与其所含节点的排列次序无关，即

f [xi, xi+1]= f [xi+1, xi]

f [xi, xi+1, xi+2]= f [xi+1, xi, xi+2]= f [xi+2, xi+1, xi]

58

差商的定义及性质

性质 : 3

f (x) 在包含互异节点 _{x0, x1},··· ,xn 的闭区间_{[a, b]} 上有 _n 阶导数，

则

f [x0, x1,··· ,xn]=f⁽ⁿ⁾(ξ)

n! , ξ ∈ (a,b).

59

表 1: 差商表

xi f (xi) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商

x0 f (x0)

x1 f (x1) f [x0, x1]

x2 f (x2) f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

x3 f (x3) f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3]

x4 f (x4) f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4] f [x0, x1, x2, x3, x4]

... ... ... ... ... ...

60

差商与牛顿插值多项式

牛顿插值多项式及其余项

f (x)= f (x0)+ f [x,x0](x− x0)

f [x, x0]= f [x0, x1]+ f [x,x0, x1](x− x1)





⇒ f (x) =f (x0)+ f [x0, x1](x− x0)

| {z }

N1(x)

+f [x, x0, x1](x− x0)(x− x1)

| {z }

R^∗₁(x)

易验证_N1(x)为满足插值条件

N1(x0)= y0, N1(x1)= y1

的一次插值多项式。

61