樹的計數

樹的計數 _– 從樹到超樹

柳柏濂

一、 滿目青蔥皆是樹

生活在世界上, 幾乎沒有一個人未見過 樹。

從樹幹開始, 枝連著枝, 彎彎曲曲地伸向 天空, 這就是自然界中的樹, 生物學家眼中的 樹。

“宜春苑外最長條, 閑裊春風伴舞腰”這 是詩人墨客眼中的樹。

從十九世紀中葉開始, 數學家也對樹感 興趣了。

1857 年, 英國著名數學家凱萊 (Cay- ley) 在考察有機化學中的碳氫化合物時, 發 現了一族重要的圖, 稱為樹。

凱 萊考 察 一 類 飽 和 的 碳 氫 化 合 物 C

n

H

_2n+2

的同分異構體。

當 n = 1 時 C

₁

H

4

(即一個碳原子和 四個氫原子) 組成甲烷。

當 n = 2 時, C

₂

H

₆

稱為乙烷。

當 n = 3 時, C

₃

H

₈

稱為丙烷。

當 n = 4 時, C

₄

H

₁₀

有兩個同分異構 體, 丁烷和異丁烷。

甲烷 乙烷

丙烷

丁烷

異丁烷

從上述有機化合物的分子結構中, 若把

1

原子看作平面上的點, 原子間的化學鍵看作 是兩點的連線, 它們有兩個特點: 第一, 從每 一點都可以沿著線到達任何其它點。 第二, 不 含由點和線組成的圈, 這一類圖, 凱萊稱之為 樹。

我們把上述描述性的特徵進一步數學 化。 數學家在這裡考慮的圖, 是平面上的若 干點 (稱為頂點) 和兩點之間至多有一連 線 (稱為邊) 所成的圖形, 把頂點和邊分 別用字母 v 和 e 來表示。 點邊相間序列 v

1

e

1

v

2

e

2

. . . v

_i−1

e

_i−1

v

i

是連結頂點 v

1

和 v

i

的一條路, 其中 e

_i

是連結 v

_i

和 v

i+1

的 邊。 如果一條路的兩個端點是重合的, 則稱為 圈。若一個圖的任兩點都有路, 則這個圖便稱 為連通圖, 沒有圈的連通圖就是樹。 n 個頂點 的樹稱為 n 階樹。

用上述定義, 鑒定一下各類飽和碳氫化 合物, 我們看到了一族樹圖。

在自然科學和社會科學中, 我們都經常 遇到樹。

在計算機科學中, 經常遇到搜索樹, 語 法樹, 決策樹等。 例如, 圖二就是代數公式 f ∗ (g ∗ h + b/c) 的樹表示。

在描述一個大系統及其子系統的關係 時, 我們不可避免地構造出一棵樹。 例如, 「紅 樓夢」 中榮國府的世系就是如圖三的“賈氏 樹”。

而 圖 四, 則 是 描 述解 一 元 二 次方 程 ax

²

+ bx + c = 0 的求根程序的框圖。 它也 可以看作是一棵樹。

圖二: f ∗ (g ∗ h + b/c)

榮國公

.. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . ..

賈代善. . . .. . . .. .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. .

賈赦. . .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . ..

賈璉

. ...

賈政

. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..

賈珠

.. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

賈蘭. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . ..

賈寶玉

.. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. .

賈桂. ...

賈環

圖 三

a 6= 0, b, c

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. ... .. . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .. . . . .. . . . .. . .. . . . .. . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . . .. . . .. . . .. . . .. . . . .. . . .

...

∆=b

²

−4ac < 0 ^{................}Yes 無解^{......................................................................................}

.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. ...

No

. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .. . . .

...

∆ = 0 ^{.........................}Yes x = −^{.............................................................................}

_2a ^b

. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. ...

No x =

^−b± _2a ^{√ ∆}

圖四

樹的每一個頂點 v 所連接的邊數稱為 v 的度數, 記作 d(v) 。 若 d(v) = 1 , 則 v 稱 為樹的懸掛點。 每一棵樹至少有兩個懸掛點。

不難證明, 一個 n 階樹還有下列顯然的 性質。

(1) 一棵樹是任兩頂點有唯一的路相連 的圖。

(2) n 階樹是具有 n − 1 條邊的連通圖。

(3) n 階樹是具有 n − 1 條邊的無圈圖。

可以證明,(1)(2)(3) 分別可以作為 n 階樹的 等價定義。

二 、 凱萊算出了樹, 數學家們並 未罷手

凱萊對樹的研究是從求 n 階樹的個數開 始的。

為 了 知 道 具 有 一 定 原 子 數 的 不 同 飽 和 碳 氫 化 合 物 的 個 數, 需 要 求 出 頂 點 為 v

1

, v

2

, . . . v

n

的不同樹的個數。

試把一些階數不大的樹構造出來。

當 n = 1 時, 樹退化為 ◦v

0

當 n = 2 時, 僅有 1棵樹 v

₁

◦ − ◦ v

2

當 n = 3 時, 有 3棵樹

◦ ◦ ◦ v

1

v

2

v

3

...

, ◦ ◦ ◦ v

3

v

1

v

2

...

, ◦ ◦ ◦ v

2

v

3

v

1

.

...

當 n = 4 時, 有下列 16棵樹。

◦ ◦ ◦ ◦

v^...

₁

^{...........................................}v^{..............}

₂

^{...........................................}v^{.............}

₃

^{............................................}v^...........

₄

◦ ◦ ◦ ◦ v^...

₁

^{..........................................}v^{...............}

₂

^{..........................................}v^{...............}

₄

^{.........................................}v^{.............}

₃

◦ ◦ ◦ ◦

v^...

₁

^{...........................................}v^{..............}

₃

^{...........................................}v^{.............}

₂

^{............................................}v^...........

₄

◦ ◦ ◦ ◦ v^...

₁

^{..........................................}v^{...............}

₃

^{..........................................}v^{...............}

₄

^{.........................................}v^{.............}

₂

◦ ◦ ◦ ◦ v

1

v

4

v

2

v

3

.

... ◦ ◦ ◦ ◦ v

1

v

4

v

3

v

2

...

◦ ◦ ◦ ◦ v

2

v

1

v

3

v

4

.

... ◦ ◦ ◦ ◦ v

2

v

1

v

4

v

3

...

◦ ◦ ◦ ◦ v

2

v

3

v

1

v

4

.

... ◦ ◦ ◦ ◦ v

2

v

4

v

1

v

3

...

◦ ◦ ◦ ◦ v

3

v

1

v

2

v

4

.

... ◦ ◦ ◦ ◦ v

3

v

2

v

1

v

4

...

◦ ◦ ◦

◦ v

₁

v

₂

v

₃

v

4

...

◦ ◦ ◦

◦ v

₂

v

₁

v

₃

v

4

...

◦ ◦ ◦

◦ v

2

v

3

v

4

v

1

...

◦ ◦ ◦

◦ v

1

v

4

v

3

v

2

...

圖五

當 n 越來越大時, 依賴構造的方法枚舉 出所有的樹已經是力不從心了。 數學家和化 學家都希望能夠得出一個僅依賴於 n 的公式, 來計算樹的個數 T

n

, 哪怕這個公式是如何複 雜!

1881年, 凱萊 (見文獻 [1]) 成功地得到 了具有 n 個 (標號) 頂點的不同樹個數的計 數公式 T

n

= n

ⁿ⁻²

。

凱萊採用了一系列變換的技巧, 複雜的 推理得到了一個十分漂亮的結果。 令數學家 也大吃一驚! 凱萊公式的形式是如此地簡明, 吸引了很多數學家銳意尋找推導它的更簡潔 的方法。

1918 年, 普法 (Pr¨ufer) 採用了一一對 應的方法。([2])

1937年, 波利亞 (P`olya) 採用了分析樹 的形心的方法。([3])

1948年, 奧特 (Otter) 採用了生成函數 的方法,([4])

1956 年, 哈拉里 (Harary) 把波利亞與 奧特的方法統一起來,([5])

...

他們都獲得了成功。

我們這裡, 把兩個容易理解的證明提供 給讀者鑒賞。

下面的證明採自於法國 數 學 家 貝 爾 熱 (Berge [6]) 的著作。

首先, 建立幾個引理

眾所周知, 二項展式 (x

₁

+ x

2

)

ⁿ

=

P _n

r=0

 _n

r



x

^r ₁

x

^n−r ₂

, 把它推廣到多項展式, 便 有

引理1:

(x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ

=

X

n

₁

+n

₂

+···+n

m

=n

( n

n

1

, n

2

, . . . , n

m

)x

ⁿ ₁

¹x

ⁿ ₂

². . . x

ⁿ _m

^m

這裡 ( n n

1

, n

2

, . . . , n

m

) =

_n ^n!

1

!n

₂

!...n

m

!

, n

₁

+ n

₂

+ · · · + n

m

= n, 約定 0! = 1。

又, 我們運用 (x

₁

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ

= (x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)(x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ⁻¹

= x

1

(x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ⁻¹

+ x

2

(x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ⁻¹

+ · · · + x

m

(x

1

+ x

2

+ · · · + x

m

)

ⁿ⁻¹

再比較兩展式 x

ⁿ ₁

¹x

ⁿ ₂

². . . x

ⁿ _m

^m 項的係數, 便得

引理2:

n n

1

, n

2

. . . n

m

!

=

X m

i=1

n−1

n

1

, . . . n

i

−1, . . . n

m

!

如果把具有頂點 v

1

, v

2

, . . . , v

n

, 每個頂 點 v

i

的度為 d(v

i

) = d

i

, i = 1, 2, . . . , n, 的樹的集合記為 A

n

(d

₁

, d

₂

, . . . d

n

), 該集的 基數記為 T (n, d

₁

, d

₂

, . . . d

n

), 則有

引理3:

T (n, d

1

, d

2

, . . . d

n

) (1)

= n − 2

d

1

− 1, d

2

− 1, . . . d

n

− 1

!

, n ≥ 2.

證明: 因 n 階樹有 n − 1 邊, 於是

X n

i=1

d

i

= 2(n − 1)。 因此, 當且僅當

X n

i=1

(d

i

− 1) = 2(n − 1) − n = n − 2 時, T 6= 0。

不妨設 d

1

≥ d

2

≥ · · · ≥ d

n

= 1 (即記 v

n

為懸掛點)

我們考察 A

n

(d

1

, d

2

, . . . , d

n

) 的子集 A

n,i

(1 ≤ i ≤ n)。 A

n,i

是 A

n

(d

1

, d

2

, . . . , d

n

) 中有頂點 v

i

(d

i

≥ 2) 與 懸掛點 v

n

相連的那些樹的集合。 由此定義, 易見

|A

n,i

| = T (n − 1, d

₁

, . . . d

i

− 1, . . . d

_n−1

) 下面, 我們對 n 用數學歸納法證明 (1) 式。

n = 2, 則 d

1

= d

2

= 1, T (2, d

₁

, d

₂

)

= 0

d

₁

− 1, d

₂

− 1

!

= 1, (1) 式成立。

設 (1) 式對 n − 1 成立, 則 T (n, d

1

, d

2

, . . . , d

n

)

=

^P _i,d

_i

_≥2

|A

n,i

|

=

^P _i,d

_i

_≥2

T (n − 1, d

₁

, . . . d

i

− 1, . . . d

_n−1

)

=

^P _i,d

_i

_≥2

n − 3

d

1

− 1, . . . , d

i

− 2, . . . , d

_n−1

− 1

!

(歸納假設)

= n − 2

d

₁

− 1, . . . , d

i

− 1, . . . , d

_n−1

− 1

!

(引理2)

= n−2

d

1

−1, . . . , d

i

−1, . . . , d

_n−1

−1, d

n

−1

!

(因 d

n

= 1), 證畢。

現在, 我們可以證明樹計數的凱萊公式。

定理1 (Cayley): 以 v

1

, v

2

, . . . v

n

為頂點的 不同樹的數目 T

n

= n

ⁿ⁻²

。

證明: T

n

=

^X

d

₁

,...,d

n

≥1

T (n, d

1

, . . . d

n

)

=

^X

d

₁

,...,d

n

≥1

n−2 d

₁

−1, . . . d

n

−1

!

(引理3)

= (1 + 1 + · · · + 1

| {z }

n

個

)

ⁿ⁻²

(引理1)

= n

ⁿ⁻²

, 證畢。

引理 3有很多有趣的推論。 例如, 若知道 一個頂點 v

₁

的度是 k, 可以算出具有頂點 v

1

, v

2

, . . . v

n

的不同樹的數目是

^{ n−2}

k−1



(n −

1)

^n−k−1

(Clarke 公式)。 讀者可以作為一個

練習把它做出來。

從凱萊的結果 n

ⁿ⁻²

直接分析, 它可以 看作是一個 n − 2 元序列 (a

₁

, a

2

, . . . a

_n−2

), 每個元 a

_i

有 n 種可能選擇, 所能構造的所 有序列數。 從這一思路, 啟發數學家去尋求證 明凱萊公式的構造性方法。

1918 年, 數學家普法 (Pr¨ufer) 給出了 這樣的一個方法。 下面, 我們撇開嚴格的推理

敘述, 而用具體例子, 讓讀者了解普法證明的 精髓。

普法建立 n 階標號樹 T 與 n − 2 元序列 (a

1

, a

2

, . . . a

_n−2

) 的一一對應, 其中 a

i

∈ {1, 2, . . . n}, i = 1, 2, . . . n − 2。

以一個 8階樹 T 為例。(圖六)

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦

◦ 1

2

3

4 5

6 7

8 T

... .

. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . ...

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ...

圖六

由 T 可以用下列步驟得到一個 6 元序 列。

(1) 取 T 中標號最小的懸掛點 (點3) 的 鄰點的標號作為 a

₁

, 即 a

1

= 2。

(2) 在 T 中刪去頂點 3 後, 得樹 T

⁽¹⁾

, 取 T

⁽¹⁾

中標號最小的懸掛點 (點 5) 的鄰點 的標號作為 a

₂

, 即 a

2

= 4。

(3) 在 T

⁽¹⁾

中刪去頂點 5後, 得樹 T

⁽²⁾

, 取 T

⁽²⁾

中標號最小的懸掛點 (點 6) 的鄰點 的標號作為 a

₃

, 即 a

3

= 1。

如此繼續, 可得 a

4

= 2, a

5

= 4, a

₆

= 4。

最後, 到 T

⁽⁶⁾

是一棵兩階樹

4 ◦ − ◦ 8 , 到此結束, 便得到一個 6 元序列 S : (2, 4, 1, 2, 4, 4)。

現在, 我們看看如何從序列 S (唯一地) 構造一個 8階樹。

記頂點集 V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

(1) 在 V 中取不在序列 S 的標號最小 的點 3, 用點 3連 S 中的 (左邊) 第一個點 2。

得 3 ◦ − ◦ 2

(2) 把 S 刪去 2 得序列S

⁽¹⁾

= (4, 1, 2, 4, 4), 把 V 刪去 3, 得集 V

⁽¹⁾

= {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}。 在 V

⁽¹⁾

中取不在 S

⁽¹⁾

出現的標號最小的點 5, 連結 S

⁽¹⁾

的第一個 點 4, 得 5 ◦ − ◦ 4

(3) 把 S

⁽¹⁾

刪去 4, 得 S

⁽²⁾

= (1, 2, 4, 4), 把 V

⁽¹⁾

刪去 5, 得 V

⁽²⁾

= {1, 2, 4, 6, 7, 8}, 類似上面第 (2) 步, 得 6 ◦ − ◦ 1

如此類推, 得 1◦−◦2, 2◦−◦4, 7◦−◦4 最後, S

⁽⁷⁾

= φ

V

⁽⁷⁾

= {4, 8}, 又得 8 ◦ − ◦ 4 把每一步得到的線段按標號粘連起來, 便得 T 。

容易看出, 上述的對應是一一的。 把這 個例子的對應作一般化的敘述和論證, 就是 普法的證明。

三 、 一種”胖”起來的樹一一超 樹

對於一棵樹, 我們可以把它的每一邊看 作是一個二元子集。 於是, 一個自然而然的 推廣是: 如果這些“邊”是一個 k 元子集 (k ≥ 2), 那麼, 這些“胖”起來的樹, 就是超 樹。(hypertree)

以數學的意義上, 我們研究超圖 (hy- pergraph) 或超樹, 實質上是研究集族。 我

們把集與集之間的“交”關係, 作為“邊”的連 接關係來處理, 便產生了下列超圖的概念。

設 X = {x

₁

, x

₂

, . . . x

p

} 是有限集, ε = {E

i

|i = 1, 2, . . . , q} 是 X 的子集 的一個族。 若 E

_i

6= φ, 1 ≤ i ≤ q, 且 U

_i=1 ^q

E

i

⊂ X, 則稱二元組 H = (X, ε) 為一 個超圖。 |X| = p 稱為階。 X 中的元稱為頂 點, ε 中的元稱為邊。 若 E

_i

∈ ε 且 |E

i

| = 1, 則 E

i

稱為環 (Loop)。 又 max

i

|E

i

| 稱為 H 的秩, 記作 γ(H)。

在超圖 H = (X, ε) 中, 一個點邊交 錯序列 (x

₁

, E

₁

, x

₂

, E

₂

, . . . E

m

, x

_m+1

) 稱為 一個長為 m 的連接 x

1

, x

m+1

的鏈, 如果 x

1

, x

2

, . . . x

m+1

是 H 的互不相同的頂點, E

₁

, E

₂

, . . . E

m

是 H 的互不相同的邊, 且 對一切 i = 1, 2, . . . m 均有 x

i

, x

i+1

∈ E

i

。 若 m > 1 且 x

_m+1

= x

1

, 則這鏈是長為 m 的圈。 在超圖 H = (X, ε)中, 若任兩個不同 頂點 x, y 之間均存在一條鏈連接 x, y, 則稱 H 是連通的, 否則是不連通的。 我們容易看 到, 超圖的概念是圖概念的直接推廣。

例1: X = {1, 2, 3, 4}, ε = {E

1

= {1, 2, 3}, E

2

= {2, 3, 4}, E

3

= {1, 4}}, H = (X, ε) 就是一個超圖。 而 1 E

1

3 E

2

4 E

3

1 是 H 的一個圈。 圖七 就是這一超圖的形象描述。

E

₁

E

2

E

₃

圖七

現在, 我們把樹的概念拓廣為超樹。

如果超圖 H = (X, ε) 是連通的且不 含圈, 則稱 H 為超樹。 若任意 E

i

∈ ε,

|E

i

| = M (常數), 則稱 H 是秩為 M 的 勻稱超樹。

在例 1 的超圖中, 若把 E

₃

刪去, 則 H = (X, ε) 還不是一棵超樹, 因為它含有 圈 2 E

1

3 E

2

2。 若 ε = {E

1

= {1, 2, 3}, E

2

= {3, 4}}, 則 H = (X, ε) 便是一棵超 樹。 若 ε = {E

₁

= {1, 2}, E

2

= {2, 3}, E

3

= {2, 4}}, 則 H = (X, ε) 是一棵秩為 2 的勻稱超樹, (圖八) 顯見, 秩為 2 的勻稱超 樹就是通常的樹。

由此可見, 在超樹中, 任兩邊的交 所含的元素至多是一個。 本世紀六十年代, 著名數學家厄爾多斯 (Erd¨os) 和哈那尼 (Hanani)([7]) 曾研究過一種 n 元集 N 的 至多 1 交疊集系 (at most 1-overlapping systems), 即 N 的具有下述性質的子集族 ϕ: 對任意的 X, Y ∈ ϕ, X 6= Y , 有

|X ∩ Y | ≤ 1。 超樹, 便是這類集系的一種特 殊形式。 便是一類超圖集合 (其中包括超樹) 的表達形式。

在超樹 H(X, ε) 中, 我們稱這樣的邊 E

i

為懸掛邊: |E

_i

| ≥ 2 且 E

i

中恰有一點是 與其它邊的公共點。 例如, 圖八的三邊均是懸 掛邊。

E

1

E

2

E

3

圖八

既然超圖是圖的拓廣, 我們也可以把 超圖 H(X, ε) 與一個二部圖 G(H) = (Y

1

, Y

2

, E) (這裡, Y

1

, Y

2

是 G 的兩部分 頂點集, E 是邊集) 建立一一對應: 其中 Y

₁

= X, Y

₂

= ε (即把 H 中的邊 E

i

看作 是 G 中 Y

2

的點), 在 G 中, 兩點 x

i

∈ Y

1

, E

j

∈ Y

2

之間聯一條邊當且僅當 x

i

∈ E

j

(在 H 中)。 我們稱 G(H) 是 H 的對應二部 圖。 我們看例 1 的超圖, 它對應於如圖九的二 部圖

◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦

1 2 3 4

E

1

E

2

E

3

Y

1

(= X)

Y

2

(= ε)

... . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .

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. ...

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. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .

... . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .

圖九

而圖八所示的超樹, 則對應於如圖十的 二部圖

◦ ◦ ◦ ◦

◦ ◦ ◦

1 2 3 4

E

₁

E

₂

E

₃

Y

₁

(= X)

Y

2

(= ε)

... .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .

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圖十

在理論上, 我們可以證明下列的結論 ([8])

引理4: H 是超樹當且僅當 G(H) 是 樹。

引理5: 若 H(X, ε) 是超樹, 則對任意 的 E

_i

, E

j

∈ ε, i 6= j, 均有 |E

i

∩ E

j

| ≤ 1。

引理6: 若 H = (X, ε) 是超樹, 無環且

|ε| ≥ 2, 則 E 至少有 2 條懸掛邊。

引理7: 若 H = (X, ε) 是 (k + 1) 秩的勻稱超樹, |X| = p, |ε| = q, 則 q = (p − 1)/k。

四、 超樹的計數一一凱萊公式的 拓廣

我們完成了從樹到超樹的推廣。 既然, 勻稱超樹的特款就是樹, 那麼, 能否把凱萊公 式拓廣為勻稱超樹的計數式呢?

回答是肯定的。

設 p 階和 q 邊的 (k + 1) 秩的勻稱 超樹的個數是 T

k+1

(p, q), 我們得到下列一 個並不複雜的結果 ([8])

T

k+1

(p, q) =



 



 



p!p

^q−2

q!(k!)

^q , p = qk + 1 0 , 其餘

(2)

容易看到, 當 k = 1, T

₂

(p, q) 就是 p 階 樹的計數式, 由 (2) 直接算得 T

₂

(p, q) = (q + 1)

^q−1

= p

^p−2

, 這便是著名的凱萊公式。

下面, 我們給予 (2) 式的一個嚴格證明。

先建立一些, 有用的計數式。

引理8:

X q

j=0

(−1)

^j

q j

!

(q − j)

^t

= 0, 這裡 t < q。

(3) (3) 式可直接查看 H. W. Could 著 的“Combinatorial Identities”。

引理9:

(qk+1)

^q−2

=

X q

j=1

(−1)

^j+1

q j

!

(qk+1−jk)

^q−2

(4) 證明: 因

X q

j=0

(−1)

^j

q j

!

(qk + 1 − jk)

^q−2

=

X q

j=0

(−1)

^j

q j

! _q−2 X

t=0

q − 2 t

!

(q − j)

^t

k

^t

=

q−2 X

t=0

k

^t

q − 2 t

! _q X

j=0

(−1)

^j

q j

!

(q − j)

^t

= 0 (見引理8)

把上式的左邊第一項移項, 整理, 便得 (4) 式, 證畢。

設 (k + 1) 秩 (k > 0)q 邊 (q > 0) 的 p 階勻稱超樹個數是 T

k+1

(p, q), 又, 邊也有 標號的上述超樹個數記為 T

_k+1 ^∗

(p, q)。 由引 理 7, 必有 p = qk + 1。 故

T

_k+1 ^∗

(p, q) = T

_k+1 ^∗

(qk + 1, q), 顯見

T

_k+1 ^∗

(p, q) = q!T

k+1

(p, q) (5) 引理10:

T

_k+1 ^∗

(p, q) =

^X

(−1)

^j+1

p jk

!

q j

!

(jk)!

(k!)

^j

(p−jk)

^j

T

_k+1 ^∗

(p−jk, q−j)

, 其中 p = qk + 1。 (6)

證明: 由 引 理4, 我 們 只 須 求 邊 有 標 號 的 勻 稱 超 樹 H = (X, ε) 所 對 應 的 標 號 二 部 圖 G(H) = (Y

₁

, Y

2

, E) 的 個 數。 因 |X| = p, |ε| = q 且 γ(H) = k +1 (k > 0), 故 G(H) 有 下 列 性 質

1. |Y

1

| = p, |Y

2

| = q, p = kq + 1。

2. G(H) 是 點 有 標 號 的 樹。

3. Y

2

中 的 每一 點 都 是 (k + 1) 度, 即 無 懸 掛 點。

4. H 的 每 條 懸 掛 邊 對 應 於 Y

1

的 k 個 懸 掛 點, 這 種 懸 掛 點 簡 稱 為 匹 配 懸 掛 點,Y

1

中 匹 配 懸 掛 點 的 總 個 數 是 k 的 倍 數。 由 引 理 6, Y

₁

中 至 少 有 2k 個 匹 配 懸 掛 點。(k > 0)。

我 們 計 算 Y

1

中至 少 有 jk 個 標 號 匹 號 懸 掛 點 的 G(H) 的 個 數 W

jk

。

因 Y

1

中 jk 個 標 號 匹 配 懸 掛 點 與 Y

₂

中 j 個 標 號 點 相 連, 選 擇 和 連 接 的 方 法 有

^{ p}

jk

 _q

j

 _(jk)!

(k!)

^j 種, 注 意 到 Y

₂

中 的 j 個 點 均 是 (k + 1) 度, 故 其 每 一 個 須 和 Y

₁

中 剩 下 的 (p − jk) 個 點 中 的 一 個 相 連, 連 結 方 法 有 (p − jk)

^j

種。

又, Y

₁

, Y

₂

分 別 剩 下 的 (p − jk), (q − j) 個點 可 構 作 標 號 樹 (Y

₂

中 的點 全 是 (k + 1) 度) T

_k+1 ^∗

(p − jk, q − j) 個。

由 乘 法 原 則 W

j,k

= p

jk

!

q j

!

(jk)!

(k!)

^j

(p − jk)

^j

T

_k+1 ^∗

(p − jk, q − j)。

由 容 斥 原 理, 在 Y

₁

中 無 匹 配 懸 掛 點 的 G(H) 的 個 數 是

^{P q} _j=0

(−1)

^j

W

j,k

, 由 上 述 G(H) 的 性 質 (4), 知

X q

j=0

(−1)

^j

W

j,k

= 0, 即

X q

j=0

(−1)

^j

p jk

!

q j

!

(jk)!

(k!)

^j

(p − jk)

^j

T

_k+1 ^∗

(p − jk, q − j) = 0。

把 上 式 j = 0 的 項 移 項 並 整 理, 得 (6) 式。 證 畢。

現 在, 我 們 可 以 證 明 定理2:

T

_k+1 ^∗

(qk+1, q)=(qk+1)!(qk+1)

^q−2

(k!)

^q

, (k > 0) 證明: (數 學 歸 納 法)

當 q = 1, T

_k+1 ^∗

(k + 1, 1) =

(k+1)!(k+1)

¹⁻²

(k!)

= 1, 用 直 接 構 作 方 法 易 知 定 理 成 立。

設 邊 數 小 於 q 時, 定 理 成 立。 由 引 理 10

T

_k+1 ^∗

(qk + 1, q)

=

X q

j=1

(−1)

^j+1

qk+1 jk

!

q j

!

(jk)!

(k!)

^j

(qk+1−jk)

^j

×T

_k+1 ^∗

(qk + 1 − jk, q − j)

=

X q

j=1

(−1)

^j+1

qk+1 jk

!

q j

!

(jk)!

(k!)

^j

(qk+1−jk)

^j

·(qk + 1 − jk)!(qk + 1 − jk)

^q−j−2

(k!)

^q−j

= (qk + 1)!

(k!)

^q

X q

j=1

(−1)

^j+1

q j

!

(qj +1−jk)

^q−2

= (qk + 1)!(qk + 1)

^q−2

(k!)

^q

(引 理9)。 證 畢。

於 是, 由 (5) 式, 立 即 有 定理3:

T

k+1

(qk + 1, q) = (qk + 1)!(qk + 1)

^q−2

q!(k!)

^q

勻 稱 超 樹 公 式 的 推 導, 我 們 運 用 了 一 些 組 合 數 學 的 技 巧, 例 如 容 斥原 理, 用 類 似 的 方 法, 我 們 還 可 以 得 到 p 階 q 邊 的 無 環 超 樹 個 數 T (p, q) 的 計 數 式: T (p, q) = p

^q−1

S

₂

(p−1, q), 這 裡 S

2

(m, n) 是 第 二 類 Stirling 數。 有 興 趣 的 讀者 可 參 閱 文 獻 [8]。

參考文獻

1. Cayley, A., On the analytical forms called trees, Amer. Math. J. 4 (1881), 266-268.

2. Pr¨ ufer, H., Neuer Beweis eines Satzes

¨

uber Permutation, Arch. Math. Phys., 27 (1918), 742-744.

3. P` olya, G., Kombinatorische Anzahlbes- timmungen f¨ ur Gruppen, Graphen und Chemische Verbindungen. Acta Math., 68 (1937), 145-254.

4. Otter, R., The number of trees, Ann.

of Math., 49 (1948), 583-599.

5. Harary, F., Note on the P` olya and Ot- ter formulas for enumerating trees, Mich. Math. J., 3 (1956), 109-112.

6. Berge, C., Graphs and Hypergraphs, English Trans. by Edward Minieka, North Holland, 1973.

7. Erd¨os and Hanani, On a limit theorem in combinatorial analysis, Publ. M. De- brecem, 10 (1963), 10-13.

8. Bolian Liu (柳柏濂), Enumeration of hy- pertrees, Appl. Math., A Journal of Chinese Universities, 9 (1988), 359-363.

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本文作者任教於中國華南師範大學數學 系

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