x ℏ = ik = ip ∂∂ ∫

• Wavefunction of matter wave

∫

−∞

∞

∣ x ,t∣²d x = 1

• Quantum Mechanics: Schroedinger equation           plane wave  x ,t= Aei k x−t  ­­­ free particle

     k=2

 <­­>   _{p= h}

 = ℏ k

     =2 <­­>  E=h=ℏ

      ∂  x ,t

∂t = −i x ,t = E

i ℏ x ,t  =>  E x ,t=i ℏ ∂

∂t x ,t        ∂ 

∂x =i k  = i pℏ   =>   px ,t= ℏ i

∂

∂x x ,t

      ^∂2

∂x² =−k² = −p² ℏ²

 =>   ^p2

2m = − ℏ² 2 m

∂²

∂x²        since  p²

2mV = E   =>    − ℏ² 2 m

∂²

∂x² V  x ,t = i ℏ ∂

∂t x ,t   

• Dirac's relativstic Quantum Mechanics:   E²=p²c²m²c⁴

• Simple Harmonic Oscillation (S.H.O.)

    Planck:  E_n=h = n ℏ         

    Heisenberg:  E_n= n1

2 ℏ   

• Time­dependence:  x ,t=xe^{−i Et /ℏ}

• Expectation value : 

    x =

∫

−∞

∞

^*x ,t xx ,td x ,    x²=

∫

−∞

∞

^*x ,t x² x ,t d x

     p =

∫

−∞

∞

^*x ,t px ,t d x =

∫

−∞

∞

^*x ,t  ℏ i

∂

∂xx ,td x ,      

• Particle in a box

x=0 for   x≤−a

2 or   x≥a 2

   − ℏ² 2 m

d² x

d x² = E x =>   d²

d x² = −2 m E ℏ²



   assume  x= Asin k x  B cosk x    Boundary condition:  x=0 at x=±a

2

    Normalization:  

∫

−a 2

−a 2

∣∣d x = 1

    =>  Energy level   E_n= n²²ℏ² 2 m a²

• Heisenberg uncertainty relation: 

   Standard deviation:  x=





     x⋅ p≥ℏ 2