103 年數學科學科能力測驗試卷

(1)

1

103 年數學科學科能力測驗試卷

科班學號姓名____

總分

第一部分﹕選擇題（占 60 分）

一﹑單選題（占 30 分）

說明﹕第 1 題至第 6 題﹐每題有 5 個選項﹐其中只有一個是正確或最適當的選項﹒各題答對者﹐

得 5 分﹔答錯﹑未作答或畫記多於一個選項者﹐該題以零分計算﹒

( )1. 請問下列哪一個選項等於  ³⁵

log 2 ﹖ (1)^{5log 2}

 

³ ⁽²⁾^{3 5log 2}^ ⁽³⁾5log 2 log3

(4)5 log 2 log3







(5)3 log 2 ﹒ ⁵ ﹝第一冊 CH3﹞

( )2. 令^A



^5,0,12



^﹐^B



^^5,0,12



為坐標空間中之兩點﹐且令P為xy平面上滿足PAPB13的點﹒

請問下列哪一個選項中的點可能為 P ﹖ (1)



5,0,0 (2)

 

5,5,0 (3)

 

0,12,0 (4)

 

^0,0,0



(5)



^{0,0, 24 ﹒}



^{﹝第四冊 CH1﹞}

( )3. 在坐標平面上﹐以

 

^{1,1 ﹐}



^^1,1



^﹐



^{ }^{1, 1}



^及



^{1, 1}^



等四個點為頂點的正方形﹐與圓

2 2

2 2 1 0

x y  x y  有幾個交點﹖ (1)1個 (2)2個 (3)3個 (4)4個 (5)0個﹒

﹝第三冊 CH2﹞

( )4. 請問滿足絕對值不等式 4x12 2x的實數 x 所形成的區間﹐其長度為下列哪一個選項﹖ (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)6﹒ ﹝第一冊 CH1﹞

( )5. 設



¹^ ²



⁶ ^{ }^{a b} ²^{﹐其中 a ﹐}^b^{為整數﹒請問}^b等於下列哪一個選項﹖

(1)C⁶₀2C⁶₂2²C⁶₄2³C⁶₆ (2)C₁⁶2C⁶₃ 2²C⁶₅

(3)C⁶₀2C₁⁶ 2²C⁶₂ 2³C⁶₃2⁴C⁶₄2⁵C⁶₅ 2⁶C⁶₆ (4)2C₁⁶2²C₃⁶2³C⁶₅

(5)C⁶₀2²C⁶₂2⁴C⁶₄2⁶C⁶₆﹒ ﹝第二冊 CH2﹞

( )6. 某疾病可分為兩種類型﹕第一類占 70%﹐可藉由藥物 A 治療﹐其每一次療程的成功率為 70%﹐

且每一次療程的成功與否互相獨立﹔其餘為第二類﹐藥物 A 治療方式完全無效﹒在不知道患者所患此疾病的類型﹐且用藥物 A 第一次療程失敗的情況下﹐進行第二次療程成功的條件機率最接近下列哪一個選項﹖ (1)0.25 (2)0.3 (3)0.35 (4)0.4 (5)0.45﹒ ﹝第二冊 CH3﹞

二﹑多選題（占 30 分）

說明：第 7 題至第 12 題﹐每題有 5 個選項﹐其中至少有一個是正確的選項﹒各題之選項獨立判定﹐

所有選項均答對者﹐得 5 分﹔答錯 1 個選項者﹐得 3 分﹔答錯 2 個選項者﹐得 1 分﹔答錯 多於 2 個選項或所有選項均未作答者﹐該題以零分計算﹒

( )7. 設坐標平面上﹐ x 坐標與 y 坐標皆為整數的點稱為格子點﹒請選出圖形上有格子點的選項﹕

(1)yx² (2)3y9x1 (3)y²   x 2 (4)x²y²3 (5) log₉ ¹

y x2﹒ ﹝第三冊 CH2﹞

(2)

2

( )8. 關於下列不等式﹐請選出正確的選項﹕ (1) 133.5 (2) 13 3.6 (3) 13 3 10 (4) 13 3 16 (5) 1

13 3 0.6

 ﹒ ﹝第一冊 CH1﹞

( )9. 一物體由坐標平面中的點



^^3,6



出發﹐沿著向量 v 所指的方向持續前進﹐可以進入第一象限﹒

請選出正確的選項﹕ (1) ^v ^



^{1, 2}^



⁽²⁾ ^v ^



^{1, 1}^



⁽³⁾ ^v ^



^0.001,0



⁽⁴⁾ ^v ^



^0.001,1



(5) ^v ^{ }



^0.001,1



^﹒ ^{﹝第三冊 CH3﹞}

( )10. 設 f x 為實係數二次多項式﹐且已知

 

^f

 

¹ ^⁰^﹐ ^f

 

² ^⁰^﹐^f

 

³ ^⁰^﹒令

    

²



³



g x  f x  x x ﹐請選出正確的選項﹕ (1)^y^ ^{f x}

 

的圖形是開口向下的拋物線 (2)^y^^{g x}

 

的圖形是開口向下的拋物線 (3)^g

 

¹ ^ ^f

 

¹ ⁽⁴⁾^{g x}

 

^⁰^在¹^與²^{之間恰有一個實}

根 (5)若為 ^{f x}

 

^⁰^{的最大實根﹐則}^g

 

^ ^⁰^﹒ ^{﹝第一冊 CH2﹞}

( )11. 設a₁1且a ﹐₁ a ﹐₂ a ﹐…為等差數列﹒請選出正確的選項﹕ (1)若₃ a₁₀₀0﹐則a₁₀₀₀0 (2) 若a₁₀₀0﹐則a₁₀₀₀0 (3)若a₁₀₀₀0﹐則a₁₀₀0 (4)若a₁₀₀₀0﹐則a₁₀₀0

(5)a1000a1010



a100a1



﹒ ﹝第二冊 CH1﹞

( )12. 所謂某個年齡範圍的失業率﹐是指該年齡範圍的失業人數與勞動力人數之比﹐以百分數表達（進行統計分析時﹐所有年齡以整數表示）﹒下表為去年某國四個年齡範圍的失業率﹐其中的年齡範圍有所重疊﹒

年齡範圍（歲） 35～44 35～39 40～44 45～49 失業率（%） 12.66 9.80 13.17 7.08

請根據上表選出正確的選項﹕ (1)在上述四個年齡範圍中﹐以 40～44 歲的失業率為最高 (2)40～44 歲勞動力人數多於 45～49 歲勞動力人數 (3)40～49 歲的失業率等於

13.17 7.08 2 %

  

 

  (4)35～39 歲勞動力人數少於 40～44 歲勞動力人數 (5)如果 40～44 歲的失

業率降低﹐則 45～49 歲的失業率會升高﹒ ﹝第二冊 CH4﹞

第二部分﹕選填題（占 40 分）

說明﹕第 A 至 H 題﹐每題完全答對給 5 分﹐答錯不倒扣﹐未完全答對不給分﹒

A. 設圓O之半徑為24﹐OC26﹐OC 交圓O於A點﹐CD 切圓O於D點﹐B為A點到OD 的垂足﹐如下

圖﹐則AB ﹒（化為最簡分數） ﹝第三冊 CH2﹞

A

O B

C D

(3)

3

B. 坐標平面上﹐若直線yax b （其中 a ﹐b為實數）與二次函數yx²的圖形恰交於一點﹐亦與二次函數^y^



^x^²



²^¹²的圖形恰交於一點﹐則 a ﹐b ﹒ ﹝第一冊 CH2﹞

C. 小鎮 A 距離一筆直道路 6 公里﹐並與道路上的小鎮 B 相距 12 公里﹒今欲在此道路上蓋一家超級市場使 其與 A﹑B 等距﹐則此超級市場與 A 的距離須為公里﹒（化為最簡根式） ﹝第三冊 CH1﹞

D. 坐標空間中有四點^A



^2,0,0



^﹐^B



^{3, 4, 2}



^﹐^C



^^{2, 4,0}



^與^D



^^1,3,1



^﹒若點^P^在直線^CD^{上變動﹐則內積}

PA PB 之最小可能值為 ﹒（化為最簡分數） ﹝第四冊 CH2﹞

E. 設 u ﹐ v 為兩個長度皆為1的向量﹒若 u  v 與 u 的夾角為75﹐則 u 與 v 的內積為 ﹒

（化為最簡根式） ﹝第三冊 CH3﹞

F. 一個房間的地面是由 12 個正方形所組成﹐如下圖﹒今想用長方形瓷磚鋪滿地面﹐已知每一塊長方形瓷

磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形﹐即或 ﹐則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有種﹒

﹝第二冊 CH2﹞

G. 已知 a b c d

 

 

 是一個轉移矩陣﹐並且其行列式（值）為⁵

8﹐則a d ﹒（化為最簡分數）

﹝第四冊 CH3﹞

H. 如圖﹐正 ABC的邊長為1﹐並且      1 2 3 15 ﹒已知sin15 ⁶ ² 4

   ﹐則正 DEF的邊長

為 ﹒（化為最簡根式） ﹝第三冊 CH1﹞

A A

B C

D

E F

1

2

3

(4)

4

答案

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. (5) 2. (4) 3. (2) 4. (4) 5. (2) 6. (2) 二﹑多選題

7. (1)(3)(5) 8. (1)(4) 9. (2)(3)(4) 10. (3)(4) 11. (2)(3)(5) 12. (1)(4) 第二部分﹕選填題

A. ¹²⁰

13 B. a6﹐b 9 C. 4 3 D. ⁵

4 E. ³ 2

 F. 11 G. ¹³

8 H. ⁶ ² 2  2

解析

第一部分﹕選擇題 一﹑單選題

1. 利用公式log_ar^t tlog_ar﹐得  ³⁵ 5

log 2   3 log 2

  ﹒故選(5)﹒

2. 設^{P x y}



^{, ,0}



^﹒因為^PA^^PB^¹³^﹐所以



^x^⁵



²^ ^y²^¹⁴⁴^



^x^⁵



²^^y²^¹⁴⁴^¹³^﹐

即

 

2 2

5 25

x y

   



  

 ﹒

兩式相減﹐得



^x^⁵

 

² ^ ^x^⁵



² ^^x²^¹⁰^x^²⁵^^x²^¹⁰^x^²⁵^{ }^x ⁰^﹐

代入原式得y0﹐即^P



^0,0,0



^﹒

故選(4)﹒

3. 將圓改寫成標準式﹐得



^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^¹^﹐

得知其圓心為



^{ }^{1, 1}



^{﹐半徑為1﹒}

由下圖得知此圓與正方形共有2個交點﹒

x y

O

(,1)

(,-1) (-1,-1)

(-1,1)

故選(2)﹒

(5)

5 4. 分兩段討論如下﹕

當x3時﹐原式為4x122x﹐得x6﹐即3 x 6﹒

當x3時﹐原式為^



⁴^x^¹²



^²^x^﹐得^x^²^﹐即²^{ }^x ³^﹒

綜合上述﹐得2 x 6﹐此區間長度為6 2 4﹒ 故選(4)﹒

5. 利用二項式定理﹐得



¹^ ²



⁶ ^^C⁶⁰ ^^C¹⁶

   

² ^^C⁶² ² ²^^C⁶³

 

² ³^^C⁶⁴

 

² ⁴^^C⁶⁵

 

² ⁵^^C⁶⁶

 

² ⁶



^C⁶⁰ ²^C⁶² ²²^C⁶⁴ ²³^C⁶⁶

 

^C⁶¹ ²^C⁶³ ²²^C⁶⁵



²

       ﹐

即bC₁⁶2C⁶₃ 2²C⁶₅﹒ 故選(2)﹒

6. 依題意得下圖﹕

某疾病 70%

30% 100%

第一類

第二類

失敗

成功

失敗失敗

30%

70%

100%

失敗

成功 30%

70%

根據條件機率的定義﹐得



^|



P 第二次成功第一次失敗

 

P

 第一次失敗第二次成功

第一次失敗 70% 30% 70%

70% 30% 30% 100%

 

   

49

170 0.288

 ﹒

故選(2)﹒

二﹑多選題

7. (1) 有格子點

 

^{1,1 ﹒}

(2) 若 x ﹐ y 為整數﹐則 3y 是3的倍數﹐但9x1不是3的倍數﹐得知圖形無格子點﹒

(3) 有格子點



^^3,1



^﹒

(4) 兩非負整數的和為3之情形﹐有0 3 與1 2 兩種﹐但因為2﹐3皆非完全平方數﹐所以圖形無格子點﹒

(5) 有格子點

 

^{3,1 ﹒}

故選(1)(3)(5)﹒

(6)

6 8. (1) 因為3.5² 12.25 13 ﹐所以 13 3.5 ﹒

(2) 因為3.6² 12.96 13 ﹐所以 13 3.6 ﹒

(3) 因為



³^ ¹⁰



²^{ }^{13 2 30} ^¹³ ^{﹐所以 3}^ ¹⁰ ^ ¹³^{﹐即 13}^ ³^ ¹⁰^﹒

(4) 因為



¹³^ ³



² ^^{16 2 39}^ ^¹⁶ ^{﹐所以 13}^ ³^ ¹⁶ ^﹒

(5) ¹ ¹³ ³ ^{3.7 1.8} ⁶ 0.6

10 10 10

13 3

 

   

 ﹒

故選(1)(4)﹒

9. 各向量的略圖如下（其中 ^v ^



^{1, 2}^



^{的方向通過原點}^O^）﹕

x y

O

v =(-0.001,1) v =(0.001,1) v =(0.001,0) v =(1,-2) v =(1,-1)

(-3,6)

由上圖得知﹐選項(2)(3)(4)正確﹒

10. 依題意可得^y^ ^{f x}

 

^{的略圖如下﹕}

1 2 3 x

(1) 由上圖得知﹐^y^ ^{f x}

 

是開口向上的拋物線﹒

(2) 由(1)知 f x 是二次項係數為正的二次多項式﹐因此

 

g x 也是二次項係數為正的二次多項式﹐即

 

yg x 的圖形是開口向上的拋物線﹒

(3) ^g

 

¹ ^ ^f

  

¹ ^{ }^{1 2 1 3}



^{ }



^f

 

¹ ^{ }² ^f

 

¹ ^﹒

(4) ^g

 

¹ ^﹐^g

 

² ^﹐^g

 

³ ^{的正負情形如下﹕}

   

1 1 2 0 2 2 0 0 3 3 0 0

g f

  



  

   



﹐

利用勘根定理推得﹐二次方程式^{g x}

 

^⁰^在區間

 

^1,2 ^及

 

2,3 各恰有一實根﹒

(5) 由^y^ ^{f x}

 

^{的略圖得知}²^{ }^ ³^﹒又因為 ^f

 

^ ^⁰^﹐所以

    

²



³

 

²



³



⁰

g   f         ﹒ 故選(3)(4)﹒

11. 設公差為d﹒利用公式a_n  a1



n1



d﹐得

100 1 99

a   d﹐a₁₀₀₀ 1 999d﹒

(1) 反例﹕當d  0.01時﹐a₁₀₀ 1 0.990.01 0 ﹐但a₁₀₀₀  1 9.99 8.990﹒

(7)

7 (2) 若a₁₀₀  1 99d 0﹐即 ¹

d 99﹐所以 ₁₀₀₀ 1 999 1 ⁹⁹⁹ 0 a   d   99  ﹒ (3)若a₁₀₀₀  1 999d 0﹐即 ¹

d  999﹐所以 ₁₀₀ 1 99 1 ⁹⁹ 0 a   d  999  ﹒

(4)反例﹕當d  0.01時﹐則a₁₀₀₀ 1 9.99 8.990﹐但a₁₀₀ 1 0.990.01 0 ﹒ (5) 因為a1000 a10  



1 999d

 

 1 9d



990d ﹐

1 0



a1 0 0a



1



1 01 d



9 9 ﹐ 1d 9 9 0 所以a1000 a10 10



a100 a1



﹒

故選(2)(3)(5)﹒

12. 設各範圍的勞動人數如下﹕

年齡範圍（歲） 35～39 40～44 45～49

勞動人數（人） a b c

(1) 在失業率中﹐以 13.17%最大﹒

(2) 僅由題意﹐不能確定bc﹒

(3) 40～49 歲的失業率為^b ^13.17% ^c ^7.08%

b c

  

 ﹐不一定等於 13.17 7.08 2 %

  

 

  ﹒

(4) 因為a ^9.80% b ^13.17% 12.66%

a b

   

 ﹐即

 

9.80a13.17b12.66 a b 2.86a0.51b﹐ 所以ab﹒

(5) 僅由題意﹐不能推得此結論﹒

故選(1)(4)﹒

第二部分﹕選填題

A. 因為兩直角三角形OAB與OCD相似﹐且CD 26²24² 10﹐所以 26 24 240 120

10 26 13

OC OA

CD  AB  AB AB  ﹒

B. 由聯立方程式 y ax b₂ y x

 



  ﹐得x²ax b 0﹐

其判別式為

 

^^a ²^{    }^{4 1}

 

^b ^a²^⁴^b^﹒

因為兩圖形恰交於一點﹐所以判別式為0﹐即a²4b0﹒

再由聯立方程式



²



² ¹²

y ax b y x

 



  

 ﹐得



^x^²



²^¹²^^{ax b}^{  }⁰ ^x²^{  }



⁴ ^{a x}

 

^ ¹⁶^^b



^⁰^﹐

(8)

8 其判別式為



^{ }⁴ ^a



²^{  }^{4 1}



¹⁶^^b



^^a²^⁸^a^⁴^b^⁴⁸^﹒

因為兩圖形亦恰交於一點﹐所以判別式為0﹐即a²8a4b480﹒ 解

2 2

4 0

8 4 48 0

a b

a a b

  



   

 ﹐得a6﹐b 9﹒

C. 設超級市場蓋在P點﹐且 PA PB x  ﹐如下圖所示﹒

B 12

A A

H P

6 x x 6 3- x

利用畢氏定理﹐得HB 12² 6² 6 3﹐則HP6 3x﹒ 再利用畢氏定理﹐得

 

²

2 2 2 2

6 6 3 36 108 12 3

x   x x    xx ﹐ 解得 144 12

12 3 3 4 3

x   ﹐即超市與A的距離為 4 3 公里﹒

D. 利用直線參數式CD﹕ 0

2 4 ,

z t

x t

y t t

 

  

  





﹐設點^P



^{ }² ^t^{, 4}^^{t t}^,



^﹒因為



⁴ ^{, 4} ^,

 

⁵ ^{, , 2}



PA PB       t t t t t t



⁴ ^t



⁵ ^t

 

⁴ ^{t t}

  

^t ² ^t



         3t2 15t 20

  

5 2 5 3t 2 4

    

  ﹒

所以當 ⁵

t2時﹐PA PB 有最小值⁵ 4﹒

E. 依題意﹐利用向量加法的幾何表示﹐得下圖﹒

75

75 150

u u+v v

推得 u 與 v 的夾角為150﹒

故 1 1 cos150 ³

u v     2 ﹒

(9)

9 F. 原圖形是由兩個2 3 矩形所組成﹐分兩類討論﹕

 排出兩個2 3 矩形﹕

排出一個2 3 矩形有底下3種方法﹒

利用乘法原理得﹐排出兩個2 3 矩形有3 3 9  種方法﹒

 沒有排出2 3 矩形﹕

排法有底下2種﹒

故共9 2 11  種方法﹒

G. 因為是轉移矩陣﹐所以c 1 a﹐b 1 d﹒

利用行列式的定義﹐得 ¹ ⁵

1 8

a d

 





¹



¹



⁵

ad a d 8

    



¹



⁵

ad a d ad 8

      5

1 a d 8

     13

a d 8

   ﹒

H. 在 ABE中﹐ABE     60 15 45 ﹐AEB180     15 45 120﹐

利用正弦定理﹐得 1

sin15 sin 45 sin120

BE AE

 

  ﹐

即

6 2

sin15 4 6 2

sin120 3 2 3

2 BE

  

  

 ﹐

2 sin 45 2 2 sin120 3 3

2 AE   

 ﹒

又因為 ABE與 CAD全等﹐所以ADBE﹒ 故正 DEF 的邊長為DEAEADAE BE

2 6 2

3 2 3

   3 2 6

2 3

 

3 6 3 2 6

  6 2

2 2

  ﹒

103 年 數學科 學科能力測驗試卷