基於GHMM之核平滑化無參數IRT教育測驗分析模型之研究(II)

行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告

基於 GHMM 之核平滑化無參數 IRT 教育測驗分析模型之研究 (II)

研究成果報告(精簡版)

計 畫 類 別 ： 個別型

計 畫 編 號 ： NSC 96-2413-H-468-001-

執 行 期 間 ： 96 年 08 月 01 日至 97 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 亞洲大學生物科技學系

計 畫 主 持 人 ： 劉湘川 共 同 主 持 人 ： 郭伯臣

計畫參與人員： 碩士班研究生-兼任助理人員：黃文俊 碩士班研究生-兼任助理人員：林奎光 碩士班研究生-兼任助理人員：杜雨潔 博士班研究生-兼任助理人員：林文質

報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文

處 理 方 式 ： 本計畫涉及專利或其他智慧財產權，2 年後可公開查詢

中 華 民 國 97 年 11 月 10 日

表C012 共 38 頁 第 1 頁

行政院國家科學委員會補助專題研究計畫

基於 GHMM 之核平滑化無參數 IRT 教育測驗分析模型之研究(II)

計畫類別： 個別型計畫

計畫編號：NSC－96－2413－H－468－001 執行期間：96 年 8 月 1 日至 97 年 7 月 31 日 執行單純：亞洲大學生物資訊學系

計畫主持人：劉湘川 共同主持人：郭伯臣

計畫參與人員：黃文俊、林奎光、林文質、杜雨潔

報告類型： 精簡報告

報告附件： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處理方式： 本計畫暫不公開查詢

中 華 民 國 97 年10 月31 日

表C012 共 38 頁 第 2 頁

「基於 GHMM 之核平滑化無參數 IRT 教育測驗分析模型之研究(II)」

主持人：劉湘川 共同主持人：郭伯臣

壹、研究動機與計畫概述

隨著資訊科技快速進步、測驗形式的改變及需求量的快速增加，以試題反應 理論（IRT）為核心的現代測驗理論廣泛應用於教育測驗的編製、施測、計分、

分析與解釋上。但眾所周知廣為應用之三參數洛基IRT 模式，在教育測驗的實際

應用上仍同時具有下列四種不利之限制：

一、 三參數洛基IRT 模式，有測驗試題局部獨立之限制，不適用於像全

民英檢類之時間序列測驗，當其前後試題間有狀態轉移序列相關之測驗 分析

二、 三參數洛基IRT 模式，有測驗試題局部獨立之限制，亦不適用於非

時間序列測驗，當試題間有關聯之測驗分析，且無法與試題關聯結構分 析法或試題順序理論分析法整合應用。

三、 常用之三參數洛基IRT 模式並未考慮受試者遺漏作答或未予作答

情況，不完全符合實際教育測驗之應用。

四、 常用之三參數洛基IRT 模式是極大樣本之估計模式，至少需上千受

試者之樣本，才可得穩定可靠之參數估計值，只適用於大型入學測驗等，

不適用於個別學校或班級之教學測驗。

針對第一種及第二種限制，亦即：當一種教育測驗之前後試題間，若有狀態 轉移序列相關時，我們可考慮採用具有該特性之「隱藏式馬可夫模型(HMM)」(劉 湘川2004)，或不受該限制之「無參數試題反應理論模式(KN-IRT)」，至於原有之

「隱藏式馬可夫模型(HMM)」由於只能分析所有試題之選項分配之亂度相等之

測驗，因而，劉湘川於2004 年將其修正擴張為「廣義隱藏式馬可夫模型

(GHMM)」，提出 GHMM 專有適用之三種參數最佳化解演算法，獲得國科會資

助進而發展獲得「基於廣義隱藏式馬可夫模型之教育測驗分析模型」，該模式不

僅可分析如全民英檢類所有試題選項分配可為任意亂度之狀態轉移序列相關之

測驗試題，同時可分析每一試題包含「認知作答」、「猜測作答」、及「未予作答」

之三種作答機率，亦即該模式兼具改進第三種限制之優點，唯該研究僅屬古典測 驗理論具有上述優點之改進模式，不能精確分析受試者之個別能力，固有必要進 一步結合可分析受試者能力之有關試題反應理論模式，整合改進為不具上述所有 限制之完備教育測驗分析模式。

為同時克服第一、第二，第四種之限制，宜考慮可分析受試者能力之「無參 數試題反應理論模式(NP-IRT)」不僅均無試題局部獨立之假設條件，不具第一、

二兩種限制，且可適用受試者千人以下較小之樣本，亦即，不具第四種限制。較

表C012 共 38 頁 第 3 頁 為盛行者為Ramsay 於 1991 年提出之「核平滑化無參數試題反應理論模式 (KN-IRT)」，劉湘川以相關鑑別度及高階相關鑑別度等替代 Ramsay 所提之高低 鑑別度進行受試者能力之改進估計，分別於2000 年、2001 年、2002 年、2003 年獲得系列「改進之核平滑化無參數試題反應理論模式(KN-IRT)」及進而與試題 關聯結構分析法整合之應用模式，但可惜的是；該改進之系列無參數試題反應理 論模式與一般無參數試題反應理論模式一樣，不具分析猜測之功能，固此模式有 必要進一步結合可同時處裡未答及猜測之「廣義隱藏式馬可夫模型(GHMM)」，

整合改進為不具上述所有限制之完備教育測驗分析模式。

針對第三種限制之改進，劉湘川與劉新梧於2001 年以引進隨機未作答虛擬

選項方式提出「不完全資料之多元計分三參數試題選項分析擴充模式」，這是三

參數洛基IRT 模式兼顧未答情況之改進模式，可具受試者遺漏作答或未予作答之

分析功能，優於既有之參數型試題反應理論模式，但卻仍未能改善第一、二、四

之不利限制，類似地，劉湘川亦於2001 年以引進隨機未作答虛擬選項方式提出

「核平滑化無參數試題選項分析擴充模式」，則可具受試者遺漏作答或未予作答 之分析功能，亦即，改進之「核平滑化無參數試題選項分析模式」，可同時克服 上述四種限制，唯仍不具分析猜測之功能，仍有必要進一步結合可同時處裡未答 及猜測之「廣義隱藏式馬可夫模型(GHMM)」，以整合發展成不具上述所有限制 之完備教育測驗分析模式。

綜合以上所述，得悉；三參數洛基IRT 模式及其改進模式其估計雖較精確，

卻不適用於較小樣本之學校及班級教學測驗，亦不適用於狀態轉移序列相關之測 驗分析，更不能與試題關聯結構分析法或試題順序理論分析法整合應用，而劉湘 川所提之「改進之核平滑化無參數試題選項反應理論模式(KN-IRT)」正好克服了 上述模式之缺失，只有未解決之猜測問題，則可考慮藉由與「廣義隱藏式馬可夫 模型(GHMM)」整合而解決之，這正是本研究計畫之背景與動機。

若只考慮應用於大型入學測驗，且無需與試題關聯結構分析法或試題順序理 論分析法整合應用，即無第二種限制及第四種限制之考慮時，則可結合參數型現 代測驗理論，發展出較精確之「基於廣義隱藏式馬可夫模型兼顧未作答之參數型 IRT 教育測驗分析模型」，若兼顧小型教學測驗及大型入學測驗，且考量與試題 關聯結構分析法或試題順序理論分析法整合應用時，即須兼顧四種不利限制之考 慮時，則應結合改進之無參數型現代測驗理論，發展出較實用之「基於廣義隱藏

式馬可夫模型兼顧猜測及未作答之無參數型IRT 教育測驗分析模型」。

本研究計畫主要目的即擬在作者多年持續研究發展之既有成果基礎下，結合 以作者先前所發展之「基於廣義隱藏式馬可夫模型之教育測驗分析模型」，與作 者已提出之「改進之核平滑化無參數試題反應理論模式」之兩種模式，發展出兼 顧上述四種限制，可彈性適用各種教育測驗之整合新模型；「基於廣義隱藏式馬 可夫模型兼顧猜測及未作答之核平滑化無參數試題反應理論模式」及其便利使用 之電腦程式，並以蒙地卡羅模擬研究法，進行所擬發展之完備整合模型；「基於

GHMM 之核平滑化無參數 IRT 教育測驗分析模型」，與既有常用之「三參數洛基

IRT 分析模型」、及「改進之核平滑化無參數試題反應理論分析模式(KN-IRT)」

表C012 共 38 頁 第 4 頁 大量資料之模擬實驗比較，以驗證作者所擬發展之該整合新模型之優越性，進而 提出其與「IRS」或「OT」之整合應用模式。

貳、本研究本年度為第二年度、主要工作為：

一. 探討HMM、GHMM、IRT、NP-IRT OT，IRS，SS相關文獻

二. 研發結合GHMM與IRT 與OT之整合模式，GHMM與NP-IRT之與IRS整合模式的相 關演算法

三. 蒙地卡羅模擬資料試驗 四. 實際教育測驗資料試驗 五. 撰寫研究報告

原定計畫進度規劃如下

月份 研究步驟

96 . 8

96 . 9

96 . 10

96 . 11

96 . 12

97 . 1

97 . 2

97 . 3

97 . 4

97 . 5

97 . 6

97 . 7

蒐集文獻資料

GHMM+KN-IRT+ OT 數學理論探究 GHMM+KN-IRT+ IRS 數學理論探究 GHMM+KN-IRT+ SS 數學理論探究 進行模擬資料實驗

進行實際資料實驗 撰寫研究報告

參、 研究成果

一、提出 GHMM 與 KN-IRT 與試題順序理論(OT)之整合模式演算 法，並提出 GHMM 與 KN-IRT 與試題關聯結構理論(IRS)之整合 模式演算法

(一)

Airasian & Bart 的順序性理論（Ordering theory）

依學者P.W. Airasian & W.M. Bart 的理論指出，試題

i

與試題

j

在選 答組合的機率上，可用下表來表示：

表C012 共 38 頁 第 5 頁 表1 相異試題選答組合機率表

試題

j

j 1

x

=

x

_j =0 合計

i 1

x

=

^{P x} (

^{i =1,}

^x

^{j =1}

) ^{P x} (

^{i =1,}

^x

^{j =0}

)

^{P x}

⁽

^{i =1}

⁾

i 0

x

=

^{P x} (

^{i =0,}

^x

^{j =1}

) ^{P x} (

^{i =0,}

^x

^{j =0}

)

^{P x}

⁽

^{i =0}

⁾

試 題

i

合計

^{P x} (

^{j =1}

) ^{P x} (

^{j =0}

)

1 其中p x

(

i =¹

)

表試題

i

答對人數之機率，

^{p x} (

^{j =1}

)

^表試題

^j

^{答對人數之機率}

p x

(

i =⁰

)

表試題

i

答錯人數之機率，

^{p x} (

^{j =0}

)

^表試題

^j

^{答錯人數之機率}

^{p x} (

^{i =1,}

^x

^{j =1}

)

^表試題

ⁱ

^與試題

^j

^{均答對人數之機率}

^{p x} (

^{i =0,}

^x

^{j =0}

)

^表試題

ⁱ

^與試題

^j

^{均答錯人數之機率}

^{p x} (

^{i =0,}

^x

^{j =1}

)

^表試題

ⁱ

^{答錯與試題}

^j

^{答對人數之機率}

^{p x} (

^{i =1,}

^x

^{j =0}

)

^{表試題答對}

ⁱ

^與試題

^j

^{答錯人數之機率}

當

^{p x} (

^{i =0,}

^x

^{j = <1}

)

^{ε，且ε 為定數}

⁽

^{0.02≤ ≤ε 0.04}

⁾

^{時，則有試題}

ⁱ

^→試

題

j

之順序性存在，亦即試題

i

為試題

j

之下位概念，試題

j

為試題

i

之上位 概念，在試題難易度上，試題

j

應屬較難，試題

i

則較容易。

( 二 ) 竹 谷 誠 之 試 題 關 聯 結 構 分 析 法 （ Item relational structure）

竹谷 誠於 1980 年改良了 Airasian & Bart 的順序性理論，而完成了試 題關聯結構分析法理論，對於試題間之順序性，其定義如下：

表C012 共 38 頁 第 6 頁

( )

( )

^0,

(

¹

)

1 0 1

i j

ij

i j

p x x

r p x p x

∗ = =

= − = =

其中

^{p x} (

^{i =0}

) ^{p x} (

^{j =1}

)

^表試題

ⁱ

^與試題

^j

彼此相互獨立之部分，而

(

^{i 0, j 1}

)

p x

=

x

= 則表試題

i

與試題

j

彼此相互關聯之部分，依竹谷 誠之試題 關聯分析法理論指出，當r_ij^∗≥0.5時，則有試題

i

到試題

j

之順序性關係，

也就是說，試題

i

為試題

j

之下位概念，試題

j

則為試題

i

之上位概念，其 中0.5 稱為臨界值，乃由電腦模擬所產生，臨界值可酌予調整，藉由觀察 試題間之順序性，降低臨界值，則順序性之指向會增多，調高臨界值，則 順序性之指向會減少，一般臨界值乃介於0.4 到 0.6 之間。

(三) 試題選項順序性理論與試題選項關聯結構分析法

劉湘川（2001）針對 Airasian & Bart 的順序性理論及竹谷 誠的試題關 聯結構分析法提出了更進一步的擴充性定義，並且與「相關加權常態轉換 估計法」相整合，此結合模式可更進一步分析測驗中各試題之關聯順序。

其定義如下：

I. 試題選項順序性理論

劉湘川擴充Airasian & Bart 的順序性係數定義；定義試題

i

選項

j

到試題i′

選項

j′

之順序性係數如下式：

(

^{, | w}

) (

^{ij 0, i j 1| w}

)

EOI ij i j

′ ′ θ =

p x

=

x

_{′ ′}= θ

II. 試題選項關聯結構分析法

劉湘川擴充竹谷 誠（1991）之順序性係數之定義，定義試題

i

選項

j

到試 題i′選項

j′

之順序性係數如下式：

表C012 共 38 頁 第 7 頁

( ) ( )

(

^0,

) (

^1|

)

, 1

0 | 1|

ij i j w

ij w i j w

p x x

r ij i j

p x p x

θ

θ θ

′ ′

′ ′

= =

′ ′ = −

= =

其中

^{p x} (

^{ij =0 |θs}

)

^{= −1}

^p

^ˆij

^{( )}

^{θs ，}

^{p x} (

^{i j′ ′ =1|θs}

)

⁼

^p

^{ˆi j′ ′}

^{( )}

^{θs ，pˆij}

^{( )}

^{θ ，s pˆi j′ ′}

^{( )}

^{θs 則如}

下式：

( )

( )

0.4 2

( ) 1

0.4 2 1

ˆ exp 2.42 ˆ ( )

ˆ exp 2.42

W w w

w ij

ij w

w W

w

W

x P

W

θ θ

θ θ θ

=

=

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ⎡⎢⎢− − ⎤⎥⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

另定義兩試題選項聯合機率如下式：

( )

( )

0.4 2

( ) ( ) 1

0.4 2 1

ˆ

exp (1 )

2.42 ˆ ( 0, 1| )

ˆ exp 2.42

W w w w

ij i j w

ij ij i j w

W w w

W

x x

P x x

W

θ θ

θ θ θ

= ′ ′

′ ′

=

⎡ − ⎤

⎢− ⎥ −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = =

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

乃是將x_ij^{( )w} 項以(1−x_ij^{( )w} )x_{i j}^{( )}_{′ ′}^w 取代而得。

若EOI ij i j

(

^, ′ ′^|θw

)

<ε 或^{r ij i j}

(

^{, ′ ′ ≥}

)

^{0.5則表示試題}

ⁱ

^選項

^j

^{到試題i′選項}

^j′

有試題選項關聯順序存在，並簡記為

x

_ij →

x

_{i j′ ′}，若不然，則表示試題

i

選項

j

到試題i′選項

j′

沒有試題選項關聯順序存在，ε 為定數

(

^{0.02≤ ≤ε 0.04}

)

^，

0.5 稱為閥值，乃是由電腦模擬產生。

(四)「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」與「試題順序理論(OT)」

及「試題關聯結構分析(IRS)」整合應用

採用「核平滑化法無參數試題反應模式」替代「參數型試題反應模 式」，有下列兩大優點；除了不受限於受試人數需200 以上外，且無試題

表C012 共 38 頁 第 8 頁 局部獨立之限制，可進而與「試題順序理論模式（IOT）」及「試題關聯結 構分析（IRS）」整合應用；本研究所提之「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」

不僅同樣可與「試題順序理論模式」及「試題關聯結構分析」整合應用，

且可進而改進原有「核平滑化法無參數試題反應模式」計分技術上之缺 失，原有「核平滑化法無參數試題反應模式」之答對情況中未分離猜對情 況，且答錯情況中未分離未答情況，顯然有失精準，同理可知原有「核平 滑化法無參數試題反應模式」與「試題順序理論模式」及「試題關聯結構 分析」整合應用時，同樣會發生「未分離猜對與未答之缺失問題」，「GHMM 與KN-IRT 結合模式」與「試題順序理論模式」及「試題關聯結構分析」

整合應用時，則根本改進了「未分離猜對與未答之缺失問題」。

在進行KN-IRT 估計時，以

x

wt表受試w作答試題

t

答對與否之指示變 數，其中「答對包含猜對，答錯包含未答」，應予修正，另已知

y

_wt1 =1，

2 3 0

wt wt

y

=

y

= 表受試w作答試題

t

採取認知作答，其中

y

_wt3為受試w未作答 試題

t

之可觀察指示變數，顯知

y

_wt1(1−

y

_wt3)

x

_wt =

y

_wt1(1−

y

_wt3)

x′

_wt =1

表受試w作答試題

t

為認知答對，由「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」，

可先估得θ ，^$w

w

=1, 2, ,L

W

，

P

_t( )θ ，

t

=1, 2, ,L

T

，另可藉Bayes 定理估得

y

_wt1 及

y

_wt2之估計值如下：

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

1 2

ˆ ˆ

ˆ 1

ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ

wt wt

wt wt wt wt

x x

t w t w

wt x x x x

t w t w t t

P P

y

P P c c

π θ θ

π θ θ π

−

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋅⎣ ⎦ ⋅ −⎣ ⎦

= ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ −⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅ ⋅ −

、

( )

( ) ( ) ( )

1 2

2 1 1

1 2

ˆ ˆ 1 ˆ

ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ

wt wt

wt wt wt wt

x x

t t

wt x x x x

t w t w t t

c c

y

P P c c

π

π θ θ π

−

− −

⋅ ⋅ −

= ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ −⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅ ⋅ −

據此，易得「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」與「試題順序理論模式」及「試 題關聯結構分析」整合應用。

表C012 共 38 頁 第 9 頁 首先說明「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」與「試題順序理論模式」之 整合運用如下：

定義：令

ord i

( →

j

| )θ 表受試能力為θ之試題

i

至試題

j

之試題順序係數，

其數式定義如下：

ord i

( →

j

| ) 1θ = −

P x

( _i =0,

x

_j =1| )θ 其中：

{ } { }

0.4 ( ) 2

( )

1 3 1 3

1

0.4 ( ) 2

( ) 1

(ˆ )

exp 1 (1 ) (1 )

( 0, 1| ) 2.42

(ˆ ) exp 2.42

k

W w

wi wi wi wj wj wj

w

i j k

W w

w

W y y x y y x

P x x

W

θ θ

θ θ θ

=

=

⎡ − ⎤

− − − −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = =

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

若

ord i

( →

j

| )θ >β ，

ord j

( →

i

| )θ ≤β，β∈(0.96,0.98)時，稱受試能力 為θ之試題

i

至試題

j

有順序關係，並簡記為

I i

_θ( )→

I

_θ( )

j

。若

( | )

ord i

→

j

θ >β，

ord j

( →

i

| )θ >β，β∈(0.96,0.98)時，稱受試能力為θ之 試題

i

至試題

j

有雙向順序關係，並簡記為

I i

_θ( )↔

I

_θ( )

j

。

其次說明「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」與「試題關聯結構分析」整 合應用如下：

定義：令

rel i

( →

j

| )θ 表受試能力為θ之試題

i

至試題

j

之試題關聯結構係 數，其數式定義如下：

( | ) 1 ^{( 0, 1)} ( 0 | ) ( 1| )

i j

i j

P x x

rel i j

P x P x

θ θ θ

= =

→ = −

= =

其中：

0.4 ( ) 2

( )

1 3

1

0.4 ( ) 2

( ) 1

(ˆ )

ˆ ˆ

exp (1 )

( 0 | ) 1 ( ) 1 2.42

(ˆ ) exp 2.42

k

W w

wi wi wi

w

i i k

W w

w

W y y x

P x P

W

θ θ

θ θ

θ θ

=

=

⎡ − ⎤

− −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = − = −

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

表C012 共 38 頁 第 10 頁

0.4 ( ) 2

( )

1 3

1

0.4 ( ) 2

( ) 1

(ˆ )

ˆ ˆ

exp (1 )

( 1| ) ( ) 2.42

(ˆ ) exp 2.42

k

W w

wj wj wj

w

j j k

W w

w

W y y x

P x P

W

θ θ θ θ

θ θ

=

=

⎡ − ⎤

− −

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= = =

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

若

rel i

( →

j

| ) 0.5θ > ，

rel j

( →

i

| ) 0.5θ ≤ 時，稱受試能力為θ之試題

i

至 試題

j

有順序關係，並簡記為

I i

_θ( )→

I

_θ( )

j

。若

rel i

( →

j

| ) 0.5θ > ，

( | ) 0.5

rel j

→

i

θ > 時，稱受試能力為θ之試題

i

至試題

j

有雙向順序關係，並

簡記為

I i

_θ( )↔

I

_θ( )

j

。

二、教育測實驗結果簡介

本研究編製概念題及應用題併列之題組型時間序列診斷測驗內容如下，試

題如附錄，經GHMM+NP-IRT 實驗結果可估得受試學生能力，試題特徵曲

線，認知作答、猜測作答、等參數值，有利於個別受試學生之診斷教學

(一)時間序列診斷測驗

I.. 試題來源：國小康軒版之數學教科書、教學指引 II. 試題範圍：六年級上下學期共 11 個單元

表 2 六年級教學單元

六年級上學期 六年級下學期 因數、倍數 百分率

速率 表面積

數的四則 分數四則

面積 柱體的體積

分數的加減 容量

大單位的換算 單

元 名 稱

時間的計算 III. 試題數量：十個題組，每組兩題，共 20 題 IV. 試題編製原則：

1.依雙向細目表命題：

根據雙向細目表及參考試題編製應有的命題原則與技巧，由各

表C012 共 38 頁 第 11 頁 單元中挑選一題基本概念題及一題應用或理解之較難問題，逐一設 計、撰寫。

2.編製時間序列題組型測驗

為達成研究目的，將試題編成簡報格式，同一單元的兩題呈現 在一頁中，並限定呈現時間及設定題組轉換時的提醒聲音，編製成 兩題為一題組的時間序列測驗。

3.預試：

本測驗採用受試者於六年級第一學期數學科學期成績為效標，

預試之測驗內容部分與之相同，但更著重在理解與應用上，所以應 與本測驗具有相當之關聯性，下表3-2-1 為經過 SPSS 軟體分析所得 結果：

表3 六年級時間序列題組型測驗與外在效標之關聯效度 Pearson 相關係數 時間序列題組型測驗成

績

六上數學科學期成 績

時間序列題組型測驗成績 1 0.812**

數學科學期成績 0.812** 1

**

p

<.001

由上表 3 可觀察出數學科學期成績與時間序列題組型測驗成績 相關係數達 0.812，p 值小於.001，達到顯著水準，在效標關聯效度 深具效度。

4.正式施測

正式施測前，由研究者先向受測學生說明研究的目的、方式，

使受測學生能瞭解測驗之用途而盡力作答，增加測驗的效度與信度。

(二) 試題參數及受試者能力估計值分析

本研究的目的之一，即欲改進原有「核平滑化無參數試題反應模式」

計分技術上的缺失，原有「核平滑化無參數試題反應模式」之答對情況中 未分離猜對情況，且答錯情況未分離未答情況，明顯有失精準。原有「核

表C012 共 38 頁 第 12 頁 平滑化法無參數試題反應模式」與「試題順序理論模式」及「試題關聯結 構分析」整合應用時，同樣會發生「未分離猜對與未答之缺失問題」，

「GHMM 與 KN-IRT 結合模式」與「試題順序理論模式」及「試題關聯結 構分析」整合應用時，則根本改進了「未分離猜對與未答之缺失問題」。 因此，在本實例研究中透過所設計之程式，先計算出受試者之原始總 分與答題指示值（1.認知作答 2.猜測作答 3.遺漏作答），並從錯誤答題中分

離出遺漏作答，再以GHMM 與 KN-IRT 結合模式估得

11 12 13

21 22 23

31 32 33

t

π π π π π π π π π

⎡ ⎤

⎢ ⎥

Π = ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

、

c

t、

P

t =

P

t

( )

θ ^,

t

=^{1, 2,...,}

T

及受試者能力估計值

31 1

ˆ ˆ_w , w 1, 2,3, ,31 θ θ

⎡ ⎤ ×

=⎣ ⎦ = K

% ，其中θ ~N(0,(1)^2)且^ˆ_w − ≤2 θ^ˆ_w ≤2。（產生的數 據如下表和圖）

I、GHMM 估算

1.狀態轉移機率矩陣Π_t、

c

_t、：

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0.9307 0.0545 0.0148 0.1601 0.8385 0.0014 0.8531 0.1250 0.0219

t

π π π π π π π π π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Π =⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

2.符號機率之認知作答機率矩陣

( P

t^,1−

P

t^{,0 ,}

)

　

P

t =

P

t

( )

θ ^,　

t

=^{1, 2,...,}

T

表C012 共 38 頁 第 13 頁 表4 符號機率中的認知作答機率矩陣

由上表 4，可以發現本測驗以題組型的方式編製，每兩組為同一 單元題目，每題組均是第一題通過率高第二題，除第5、6 題另外設計 外，所得結果均是較難試題均較容易試題通過率低；在此，也可清楚 發現GHMM 估算試題答對機率較古典測驗理論的難度指數估算精確。

II. 符號機率之猜測作答機率矩陣

(

ct^,1−ct^{,0 ,}

)

　t=^{1, 2,...,}T

表5 符號機率中的猜測作答機率矩陣 試題編

號 猜測作答機率矩陣 試題編號 猜測作答機率矩陣 第1 題 （0.2225，0.7775，0） 第11 題 （0.2193，0.7807，0）

題號 認知作答機率矩陣 題號 認知作答機率矩陣

第1 題 （1，0.0000，0） 第11 題 （1，0.0000，0）

第2 題 （0.8871，0.1129，0） 第12 題 （0.8591，0.1409，0）

第3 題 （0.8257，0.1743，0） 第13 題 （0.9972，0.0028，0）

第4 題 （0.4866，0.5134，0） 第14 題 （0.8730，0.1270，0）

第5 題 （0.9224，0.0776，0） 第15 題 （0.9999，0.0001，0）

第6 題 （1，0.0000，0） 第16 題 （0.7818，0.2182，0）

第7 題 （0.6777，0.3223，0） 第17 題 （0.9521，0.0479，0）

第8 題 （0.208，0.792，0） 第18 題 （0.7456，0.2544，0）

第9 題 （1，0.0000，0） 第19 題 （0.9961，0.0039，0）

第10 題 （0.7182，0.2878，0） 第20 題 （0.5395，0.4605，0）

表C012 共 38 頁 第 14 頁 第2 題 （0.0004，0.9996，0） 第12 題 （0.0000，1.0000，0）

第3 題 （0.0042，0.9958，0） 第13 題 （0.2248，0.7752，0）

第4 題 （0.0000，1.0000，0） 第14 題 （0.0992，0.9008，0）

第5 題 （0.1647，0.8353，0） 第15 題 （0.0094，0.9906，0）

第6 題 （0.2224，0.7776，0） 第16 題 （0.1461，0.8539，0）

第7 題 （0.2177，0.7823，0） 第17 題 （0.0330，0.9670，0）

第8 題 （0.2281，0.7719，0） 第18 題 （0.0000，1.0000，0）

第9 題 （0.2224，0.7776，0） 第19 題 （0.2153，0.7847，0）

第10 題 （0.0001，0.9999，0） 第20 題 （0.2202，0.7798，0）

由上表5. 可發現試題的猜測度是高低互見，無絕對之情況，並不 因為題組內奇數題較簡單，猜測的機率就小些，而偶數題難度較高，

猜測的機率就大些。

III. 符號機率之未答作答機率矩陣

(

^0,0,1

)

_t

IV. 、 GHMM 與 KN-IRT 結 合 模 式 估 算 受 試 者 的 能 力 參 數

31 1

ˆ ˆ_w , w 1, 2,3, ,31 θ θ

⎡ ⎤ ×

=⎣ ⎦ = K

% ，其中θ ~N(0,(1)^2)。（產生的數據如下表^ˆ_w 和圖）

表6. 受試者的能力參數 θ^ˆ

% 值

項目

編號 能力值 ^項目

編號 能力值 ^項目

編號 能力值 ^項目

編號 能力值

1 1.0322 11 -0.8843 21 1.0173 31 -0.0577

2 1.0442 12 0.4546 22 0.9995

3 -0.2436 13 1.0638 23 0.1235

4 0.6995 14 0.9459 24 -1.2491

5 1.0580 15 0.7873 25 -1.3488

6 -1.6548 16 1.0515 26 0.5909

表C012 共 38 頁 第 15 頁

7 -1.0171 17 -0.4240 27 0.9064

8 -1.4385 18 -1.1387 28 -0.5915

9 -1.5189 19 -0.7449 29 0.8545

10 -1.5908 20 0.2968 30 0.9768

-2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

試題編號 能

力 參 數

圖1 受試者的能力參數 θ^ˆ

% 值的分布折線圖

由上表 6.和圖 1，可以發現學生中等能力的學生較少，均集中在 上下兩側，學生的能力值分布可以看出在數學科的表現呈雙峰分配。

利用 Bilog 應用軟體進行三參數 IRT 各參數和能力值之估算，並 與 GHMM-KNIRT 所估算之猜測值與能力值進行 Pearson 相關係數顯 著性差異分析，亦發現其中亦有顯著性之相關。

V. 答對的機率矩陣

( )

( )

( )

0.4 ( ) 2 ( ) 1

0.4 ( ) 2 ( ) 1

ˆ exp 2.42 ˆ ˆ

ˆ exp 2.42

k w W

w wt

t w

k W w

w

W

x P

W

θ θ

θ θ θ

=

=

⎡ − ⎤

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

= ⎡⎢⎢− − ⎤⎥⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑

∑

，− ≤2 θ^ˆ_w≤2

表7. 答對的機率矩陣

^P

^ˆt

( )

^{θ 之值 ˆw}

受試 者的 編號

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題 1 0.9999 0.9999 0.9499 0.7013 0.9895 0.9999 0.8257 0.1927 0.9999 0.9707 2 0.9999 0.9999 0.9504 0.7040 0.9893 0.9999 0.8261 0.1926 0.9999 0.9714

表C012 共 38 頁 第 16 頁 3 0.9999 0.8139 0.7329 0.1546 0.8116 0.9918 0.4963 0.2566 0.9999 0.5073 4 0.9999 0.9999 0.9339 0.6038 0.9928 0.9999 0.8027 0.1953 0.9999 0.9333 5 0.9999 0.9999 0.9511 0.7071 0.9890 0.9999 0.8267 0.1924 0.9999 0.9723 6 0.9019 0.4277 0.3407 0.0727 0.5214 0.4416 0.3569 0.3948 0.8492 0.1589 7 0.9871 0.5373 0.4321 0.1072 0.6409 0.6626 0.3783 0.3885 0.8717 0.2096 8 0.9335 0.4626 0.3698 0.0880 0.5672 0.4976 0.3674 0.4027 0.8443 0.1668 9 0.9220 0.4496 0.3593 0.0825 0.5507 0.4745 0.3639 0.4007 0.8449 0.1632 10 0.9114 0.4380 0.3496 0.0773 0.5354 0.4561 0.3603 0.3980 0.8467 0.1607 11 0.9999 0.5671 0.4614 0.1081 0.6605 0.7259 0.3812 0.3740 0.8918 0.2363 12 0.9999 0.9999 0.9189 0.4982 0.9836 0.9999 0.7637 0.1968 0.9999 0.8746 13 0.9999 0.9999 0.9514 0.7083 0.9889 0.9999 0.8269 0.1923 0.9999 0.9726 14 0.9999 0.9999 0.9458 0.6804 0.9911 0.9999 0.8217 0.1937 0.9999 0.9642 15 0.9999 0.9999 0.9382 0.6342 0.9930 0.9999 0.8111 0.1949 0.9999 0.9469 16 0.9999 0.9999 0.9508 0.7056 0.9891 0.9999 0.8264 0.1925 0.9999 0.9719 17 0.9999 0.7275 0.6412 0.1191 0.7534 0.9352 0.4364 0.2921 0.9845 0.4060 18 0.9731 0.5136 0.4111 0.1040 0.6219 0.6082 0.3762 0.3974 0.8580 0.1917 19 0.9999 0.6051 0.5024 0.1074 0.6822 0.7941 0.3874 0.3534 0.9178 0.2741 20 0.9999 0.9999 0.9026 0.4153 0.9658 0.9999 0.7216 0.2000 0.9999 0.8156 21 0.9999 0.9999 0.9491 0.6979 0.9898 0.9999 0.8250 0.1929 0.9999 0.9697 22 0.9999 0.9999 0.9483 0.6937 0.9902 0.9999 0.8243 0.1931 0.9999 0.9684 23 0.9999 0.9708 0.8711 0.3181 0.9307 0.9999 0.6578 0.2088 0.9999 0.7300 24 0.9593 0.4940 0.3949 0.0993 0.6032 0.5632 0.3737 0.4019 0.8498 0.1799 25 0.9460 0.4772 0.3816 0.0938 0.5849 0.5268 0.3707 0.4034 0.8456 0.1720 26 0.9999 0.9999 0.9280 0.5608 0.9907 0.9999 0.7886 0.1958 0.9999 0.9116 27 0.9999 0.9999 0.9439 0.6699 0.9918 0.9999 0.8195 0.1940 0.9999 0.9606 28 0.9999 0.6573 0.5617 0.1082 0.7112 0.8662 0.4028 0.3258 0.9498 0.3289 29 0.9999 0.9999 0.9414 0.6551 0.9924 0.9999 0.8162 0.1944 0.9999 0.9552 30 0.9999 0.9999 0.9472 0.6882 0.9906 0.9999 0.8232 0.1934 0.9999 0.9667 31 0.9999 0.9014 0.8152 0.2245 0.8766 0.9999 0.5773 0.2271 0.9999 0.6226 受的

試編 者號

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題 1 0.9999 0.9999 0.9957 0.9113 0.9999 0.7489 0.9945 0.8110 0.9934 0.6496 2 0.9999 0.9999 0.9963 0.9139 0.9999 0.7490 0.9952 0.8118 0.9934 0.6505 3 0.9999 0.6307 0.8271 0.3923 0.7707 0.6826 0.7769 0.5796 0.9661 0.4368 4 0.9999 0.9829 0.9740 0.8193 0.9999 0.7434 0.9685 0.7841 0.9952 0.6225

表C012 共 38 頁 第 17 頁 5 0.9999 0.9999 0.9971 0.9169 0.9999 0.7490 0.9960 0.8128 0.9935 0.6514 6 0.9249 0.2089 0.6108 0.2530 0.2556 0.3009 0.2810 0.0654 0.4648 0.3507 7 0.9922 0.2703 0.7264 0.2457 0.4326 0.4360 0.5432 0.2329 0.6451 0.3380 8 0.9455 0.2149 0.6540 0.2485 0.3065 0.3276 0.3635 0.1047 0.5047 0.3487 9 0.9375 0.2114 0.6381 0.2503 0.2867 0.3156 0.3315 0.0883 0.4875 0.3501 10 0.9306 0.2096 0.6237 0.2518 0.2699 0.3070 0.3042 0.0755 0.4746 0.3507 11 0.9999 0.3059 0.7437 0.2519 0.4819 0.4837 0.5962 0.2878 0.7045 0.3385 12 0.9999 0.9413 0.9502 0.7237 0.9809 0.7344 0.9362 0.7560 0.9999 0.5936 13 0.9999 0.9999 0.9974 0.9181 0.9999 0.7491 0.9964 0.8132 0.9935 0.6518 14 0.9999 0.9999 0.9908 0.8913 0.9999 0.7482 0.9891 0.8049 0.9932 0.6435 15 0.9999 0.9934 0.9806 0.8476 0.9999 0.7456 0.9769 0.7921 0.9940 0.6307 16 0.9999 0.9999 0.9967 0.9155 0.9999 0.7490 0.9957 0.8123 0.9934 0.6509 17 0.9999 0.5186 0.7978 0.3307 0.6874 0.6440 0.7347 0.5025 0.9117 0.3920 18 0.9784 0.2464 0.7080 0.2440 0.3918 0.3971 0.4914 0.1884 0.5961 0.3404 19 0.9999 0.3554 0.7597 0.2652 0.5393 0.5365 0.6459 0.3510 0.7708 0.3449 20 0.9999 0.8997 0.9289 0.6502 0.9504 0.7272 0.9069 0.7314 0.9999 0.5684 21 0.9999 0.9999 0.9949 0.9080 0.9999 0.7488 0.9937 0.8100 0.9933 0.6486 22 0.9999 0.9999 0.9939 0.9040 0.9999 0.7487 0.9926 0.8087 0.9933 0.6474 23 0.9999 0.8349 0.8994 0.5633 0.9066 0.7182 0.8676 0.6957 0.9999 0.5331 24 0.9660 0.2308 0.6894 0.2448 0.3581 0.3669 0.4436 0.1533 0.5574 0.3437 25 0.9550 0.2209 0.6712 0.2465 0.3300 0.3443 0.4008 0.1259 0.5275 0.3466 26 0.9999 0.9671 0.9646 0.7799 0.9999 0.7398 0.9559 0.7728 0.9972 0.6109 27 0.9999 0.9999 0.9884 0.8813 0.9999 0.7478 0.9864 0.8019 0.9933 0.6406 28 0.9999 0.4253 0.7766 0.2898 0.6083 0.5925 0.6921 0.4239 0.8426 0.3614 29 0.9999 0.9999 0.9851 0.8672 0.9999 0.7470 0.9825 0.7978 0.9935 0.6364 30 0.9999 0.9999 0.9926 0.8987 0.9999 0.7485 0.9911 0.8071 0.9932 0.6458 31 0.9999 0.7433 0.8635 0.4735 0.8468 0.7055 0.8224 0.6459 0.9968 0.4876

因為無參數試題反應理論並無難度、鑑別度的估算，因此在本研 究中特採用古典測驗理論（Classical Test Theory；簡稱 CTT）的估算 方法：

難度 ^{H L}

H L

R R

P n n

= + +

P

^：難度指數

R

_H^：高分組答對某題的人數

表C012 共 38 頁 第 18 頁

R

_L^：低分組答對某題的人數

n

_H^：高分組的人數

n

_L^：低分組的人數

表8. 各試題的古典測驗理論難度指數 第

1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題 0.9375 0.6875 0.6875 0.4375 0.7500 0.6875 0.6250 0.3125 0.8750 0.5000

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題 0.9375 0.5625 0.8125 0.6250 0.6250 0.5625 0.6250 0.3750 0.6250 0.4375

鑑別度

D ^R

^H

^R

^L

N

= −

D

：鑑別度指數

R

_H：高分組答對某題的人數

R

_L：低分組答對某題的人數 N^：高分組或低分組的人數

難度指數，以接近 .50 的試題最為適宜，蓋因鑑別力可能達到最 大，但為了增加作測驗的動機和統計的理由，一般的測驗試題難度應 以 .20 至 .80 的範圍為選擇標準（Aiken,1976）。由表 4-1-5，發現奇 數題也較偶數題簡單，符合本研究以時間序列題組型方式編製試題，

奇數題為偶數題的上位概念的編製原則。

表9. 各試題的古典測驗理論鑑別度指數 第

1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題 0.1250 0.6250 0.6250 0.6250 0.5000 0.6250 0.5000 -0.1250 0.2500 0.7500

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題 0.1250 0.8750 0.3750 0.7500 0.7500 0.6250 0.7500 0.7500 0.5000 0.1250

表C012 共 38 頁 第 19 頁 測驗學家伊博（Ebel，1979）曾提出一套針對鑑別力判斷試題好 壞的評鑑標準，可以值得參考。

表10. 伊博的鑑別力評鑑標準

鑑別指數 試題評鑑

.40 以上 非常優良

.30－.39 良好，但有時需修改 .20－.29 尚可，但需要修改 .19 以下 劣，需淘汰或修改 本研究以時間序列題組型方式編製試題，每兩題為一題組，奇數 題大多為偶數題的上位概念，所以編製時，難度方面，奇數題也較偶 數題簡單，由表8，便可清楚發現同一題組的奇數題均較偶數題答對 為多；至於第1、9、11、13 因試題設計關係，題目均較為容易，所以 表9. 的鑑別度指數較低，而第 8、20 題因難度較高，不論高分組或低 分組猜測參數均為較高，亦符合本測驗編製的設計，因此試題的效度 均高，雖不符合表10.的標準，但在本研究中，亦有其價值。

由表7.，亦發現估出受試者的答對機率有隨試題難度的增加而變 小的趨勢，且其試題的難度差距越大其受試者的答對機率也會差距越 大。

VI、作答策略指示變數 ˆy矩陣之

y

ˆ_wt1、

y

ˆ_wt2和

y

ˆ_wt3：

藉Bayes 定理估得

y

ˆ_wt1及

y

ˆ_wt2之估計值如下：

認知作答

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1 1

1 2

ˆ ˆ

ˆ 1

ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ

wt wt

wt wt wt wt

x x

t w t w

wt x x x x

t w t w t t

P P

y

P P c c

π θ θ

π θ θ π

−

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⋅⎣ ⎦ ⋅ −⎣ ⎦

= ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ −⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅ ⋅ −

、

猜測作答

表C012 共 38 頁 第 20 頁

( )

( ) ( ) ( )

1 2

2 1 1

1 2

ˆ ˆ 1 ˆ

ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 1 ˆ

wt wt

wt wt wt wt

x x

t t

wt x x x x

t w t w t t

c c

y

P P c c

π

π θ θ π

−

− −

⋅ ⋅ −

= ⋅⎡⎣ ⎤⎦ ⋅ −⎡⎣ ⎤⎦ + ⋅ ⋅ −

ˆ_wt3

y

則是可觀察的受試者 w 作答第 t 題時，是否採取未答策略 3 之 可觀察指示變數。

而三種作答策略之和為 1：

1 2 3

ˆ_wt ˆ_wt ˆ_wt 1

y

+

y

+

y

=

表11. 作答策略指示變數 ˆy 矩陣之認知作答

y

ˆ_wt1 的值 受

的 試 編 者 號

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

1 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.8170 0.9544 0.9890 1.0000 2 0.9890 1.0000 0.9998 0.8557 0.9918 0.9890 0.9870 0.9544 0.9890 1.0000 3 0.9890 1.0000 0.9997 0.9442 0.9900 0.9889 0.9280 0.9575 0.9890 1.0000 4 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9866 0.9449 0.9890 1.0000 5 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9870 0.9441 0.9890 1.0000 6 0.7164 0.9198 0.9299 0.9489 0.9198 0.9755 0.9427 0.9401 0.9871 0.9440 7 0.9889 0.9026 0.9195 1.0000 0.9873 0.9835 0.9721 0.9407 0.9874 0.9406 8 0.9882 1.0000 0.9269 0.9481 0.9857 0.9283 0.9418 0.9394 0.9870 1.0000 9 0.9881 0.9169 0.9280 0.9484 0.9151 0.9312 0.9710 0.9724 0.9870 0.9437 10 0.9880 0.9184 0.9290 0.9487 0.9176 0.9334 0.9425 0.9398 0.9871 0.9439 11 0.9890 1.0000 0.9155 0.9470 0.9877 0.9849 0.9406 0.9704 0.9877 0.9386 12 0.9890 1.0000 0.9998 0.9095 0.9917 0.9890 0.9860 0.9542 0.9890 1.0000 13 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9870 0.9545 0.9890 1.0000 14 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.8203 0.9544 0.9890 1.0000 15 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.8287 0.9543 0.9890 1.0000 16 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9870 0.9545 0.9890 1.0000 17 0.9890 0.8452 0.9997 0.9464 0.8553 0.9883 0.9352 0.9484 0.9888 0.9225 18 0.9887 1.0000 0.9995 0.9472 0.9007 0.9098 0.9411 0.9721 0.7853 0.9418 19 0.9890 0.8878 0.9092 0.9470 0.9881 0.9862 0.9727 0.9437 0.9880 0.9357 20 0.9890 1.0000 0.9998 0.0000 0.9916 0.9890 0.9852 0.9540 0.9890 1.0000 21 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.1964 0.9890 0.9870 0.9544 0.9890 1.0000

表C012 共 38 頁 第 21 頁 22 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9870 0.9544 0.9890 1.0000 23 0.9890 1.0000 0.9998 0.0000 0.9912 0.9890 0.0000 0.0000 0.9890 0.0000 24 0.9886 0.9102 0.9995 0.9475 0.9866 0.9807 0.9413 0.9395 0.9871 0.9426 25 0.9884 1.0000 0.9994 0.9478 0.9861 0.9242 0.9715 0.9725 0.7991 0.9431 26 0.9890 1.0000 0.5914 0.8979 0.9918 0.9890 0.9864 0.9543 0.9890 1.0000 27 0.9890 1.0000 0.5303 0.8686 0.9918 0.9890 0.9869 0.9544 0.9890 1.0000 28 0.9890 1.0000 0.8981 0.9470 0.8738 0.9873 0.9386 0.9459 0.9884 1.0000 29 0.9890 1.0000 0.9998 0.8736 0.9918 0.9890 0.9869 0.9447 0.9890 1.0000 30 0.9890 1.0000 0.9998 1.0000 0.9918 0.9890 0.9870 0.9544 0.9890 0.4002 31 0.9890 1.0000 0.9997 0.9395 0.9907 0.9890 0.9815 0.9525 0.9890 0.8832

受 的 試 編 者 號

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題

1 0.9892 1.0000 0.9889 0.9946 0.9995 0.8549 0.9983 1.0000 0.9893 0.9834 2 0.9892 1.0000 0.9889 0.9946 0.9995 0.9904 0.9983 1.0000 0.9893 0.9834 3 0.9892 0.8809 0.8171 0.9311 0.9994 0.9894 0.9979 1.0000 0.9890 0.9353 4 0.9892 1.0000 0.4020 0.8007 0.9995 0.8575 0.9983 1.0000 0.9893 0.9065 5 0.9892 1.0000 0.9889 0.9946 0.9995 0.8548 0.9983 1.0000 0.9893 0.9834 6 0.9883 0.9406 0.9095 0.9432 0.9377 0.9763 0.9371 0.9493 0.9774 0.9434 7 0.9891 0.9360 0.9848 0.9437 0.9198 0.9297 0.9970 0.9389 0.9836 0.9445 8 0.9886 0.9402 0.8994 0.9435 0.9334 0.9404 0.9295 0.9472 0.9791 0.9436 9 0.6160 0.9405 0.9034 0.9806 0.9352 0.9414 0.9326 0.9481 0.9290 0.9696 10 0.9884 1.0000 0.9823 0.9433 0.9366 0.9421 0.9351 0.9488 0.9306 0.9434 11 0.9892 1.0000 0.9851 0.9433 0.9129 0.9237 0.9972 0.9345 0.9850 0.9444 12 0.9892 1.0000 0.9883 0.8600 0.9995 0.9902 0.9982 0.8302 0.9894 0.9126 13 0.9892 1.0000 0.9889 0.9946 0.9995 0.9904 0.9984 1.0000 0.9893 0.9834 14 0.9892 1.0000 0.9888 0.9945 0.9995 0.9903 0.9983 0.7963 0.9893 0.9832 15 0.9892 1.0000 0.9887 0.9942 0.9995 0.9903 0.3235 0.8063 0.9893 0.9829 16 0.9892 1.0000 0.9889 0.9946 0.9995 0.9904 0.9983 1.0000 0.9893 0.8997 17 0.9892 1.0000 0.9861 0.9852 0.9993 0.9888 0.8461 0.9088 0.9883 0.9727 18 0.9889 0.9379 0.9844 0.9438 0.9988 0.9820 0.9967 0.9421 0.9116 0.9687 19 0.9892 0.9281 0.8613 0.9423 0.9991 0.9866 0.9975 1.0000 0.9862 0.9439 20 0.9892 1.0000 0.9881 0.0000 0.5006 0.0000 0.9982 1.0000 0.9894 0.9810 21 0.9892 1.0000 0.9888 0.9946 0.9995 0.8549 0.9983 1.0000 0.9893 0.9833 22 0.9892 1.0000 0.9888 0.9945 0.9995 0.9904 0.9983 0.7930 0.9893 0.9006

表C012 共 38 頁 第 22 頁 23 0.9892 1.0000 0.9877 0.0000 0.9995 0.9899 0.9981 1.0000 0.9894 0.9230 24 0.9888 0.9390 0.9840 0.9802 0.9987 0.9369 0.9202 0.9443 0.9187 0.9440 25 0.9887 0.9398 0.9836 0.9437 0.9313 0.9390 0.9254 0.9460 0.9234 0.9693 26 0.9892 0.3973 0.9885 0.9937 0.9995 0.9902 0.9983 1.0000 0.9893 0.9823 27 0.9892 1.0000 0.9888 0.9944 0.9995 0.9903 0.9983 1.0000 0.9893 0.9831 28 0.9892 0.9201 0.9858 0.9404 0.8879 0.9878 0.9976 1.0000 0.9874 0.9425 29 0.9892 1.0000 0.9887 0.9943 0.9995 0.9903 0.9983 1.0000 0.1422 0.9033 30 0.9892 1.0000 0.9888 0.9945 0.9995 0.9903 0.9983 1.0000 0.9893 0.9010 31 0.9892 1.0000 0.9872 0.9896 0.9994 0.8736 0.7863 0.8764 0.9893 0.9780

表12 作答策略指示變數 ˆy 矩陣之猜測作答

y

^ˆ_wt2 的值 受

的 試 編 者 號

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題

1 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.1830 0.0456 0.0110 0.0000 2 0.0110 0.0000 0.0002 0.1443 0.0082 0.0110 0.0130 0.0456 0.0110 0.0000 3 0.0110 0.0000 0.0003 0.0558 0.0100 0.0111 0.0720 0.0425 0.0110 0.0000 4 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0134 0.0551 0.0110 0.0000 5 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0130 0.0559 0.0110 0.0000 6 0.2836 0.0802 0.0701 0.0511 0.0802 0.0245 0.0573 0.0599 0.0129 0.0560 7 0.0111 0.0974 0.0805 0.0000 0.0127 0.0165 0.0279 0.0593 0.0126 0.0594 8 0.0118 0.0000 0.0731 0.0519 0.0143 0.0717 0.0582 0.0606 0.0130 0.0000 9 0.0119 0.0831 0.0720 0.0516 0.0849 0.0688 0.0290 0.0276 0.0130 0.0563 10 0.0120 0.0816 0.0710 0.0513 0.0824 0.0666 0.0575 0.0602 0.0129 0.0561 11 0.0110 0.0000 0.0845 0.0530 0.0123 0.0151 0.0594 0.0296 0.0123 0.0614 12 0.0110 0.0000 0.0002 0.0905 0.0083 0.0110 0.0140 0.0458 0.0110 0.0000 13 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0130 0.0455 0.0110 0.0000 14 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.1797 0.0456 0.0110 0.0000 15 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.1713 0.0457 0.0110 0.0000 16 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0130 0.0455 0.0110 0.0000 17 0.0110 0.1548 0.0003 0.0536 0.1447 0.0117 0.0648 0.0516 0.0112 0.0775 18 0.0113 0.0000 0.0005 0.0528 0.0993 0.0902 0.0589 0.0279 0.2147 0.0582 19 0.0110 0.1122 0.0908 0.0530 0.0119 0.0138 0.0273 0.0563 0.0120 0.0643 20 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0084 0.0110 0.0148 0.0460 0.0110 0.0000 21 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.8036 0.0110 0.0130 0.0456 0.0110 0.0000

表C012 共 38 頁 第 23 頁 22 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0130 0.0456 0.0110 0.0000 23 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0088 0.0110 0.0000 0.0000 0.0110 0.0000 24 0.0114 0.0898 0.0005 0.0525 0.0134 0.0193 0.0587 0.0605 0.0129 0.0574 25 0.0116 0.0000 0.0006 0.0522 0.0139 0.0758 0.0285 0.0275 0.2009 0.0569 26 0.0110 0.0000 0.4086 0.1021 0.0082 0.0110 0.0136 0.0457 0.0110 0.0000 27 0.0110 0.0000 0.4697 0.1314 0.0082 0.0110 0.0131 0.0456 0.0110 0.0000 28 0.0110 0.0000 0.1019 0.0530 0.1262 0.0127 0.0614 0.0541 0.0116 0.0000 29 0.0110 0.0000 0.0002 0.1264 0.0082 0.0110 0.0131 0.0553 0.0110 0.0000 30 0.0110 0.0000 0.0002 0.0000 0.0082 0.0110 0.0130 0.0456 0.0110 0.5998 31 0.0110 0.0000 0.0003 0.0605 0.0093 0.0110 0.0185 0.0475 0.0110 0.1168

受 的 試 編 者 號

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題

1 0.0108 0.0000 0.0111 0.0054 0.0005 0.1451 0.0017 0.0000 0.0107 0.0166 2 0.0108 0.0000 0.0111 0.0054 0.0005 0.0096 0.0017 0.0000 0.0107 0.0166 3 0.0108 0.1191 0.1829 0.0689 0.0006 0.0106 0.0021 0.0000 0.0110 0.0647 4 0.0108 0.0000 0.5980 0.1993 0.0005 0.1425 0.0017 0.0000 0.0107 0.0935 5 0.0108 0.0000 0.0111 0.0054 0.0005 0.1452 0.0017 0.0000 0.0107 0.0166 6 0.0117 0.0594 0.0905 0.0568 0.0623 0.0237 0.0629 0.0507 0.0226 0.0566 7 0.0109 0.0640 0.0152 0.0563 0.0802 0.0703 0.0030 0.0611 0.0164 0.0555 8 0.0114 0.0598 0.1006 0.0565 0.0666 0.0596 0.0705 0.0528 0.0209 0.0564 9 0.3840 0.0595 0.0966 0.0194 0.0648 0.0586 0.0674 0.0519 0.0710 0.0304 10 0.0116 0.0000 0.0177 0.0567 0.0634 0.0579 0.0649 0.0512 0.0694 0.0566 11 0.0108 0.0000 0.0149 0.0567 0.0871 0.0763 0.0028 0.0655 0.0150 0.0556 12 0.0108 0.0000 0.0117 0.1400 0.0005 0.0098 0.0018 0.1698 0.0106 0.0874 13 0.0108 0.0000 0.0111 0.0054 0.0005 0.0096 0.0016 0.0000 0.0107 0.0166 14 0.0108 0.0000 0.0112 0.0055 0.0005 0.0097 0.0017 0.2037 0.0107 0.0168 15 0.0108 0.0000 0.0113 0.0058 0.0005 0.0097 0.6765 0.1937 0.0107 0.0171 16 0.0108 0.0000 0.0111 0.0054 0.0005 0.0096 0.0017 0.0000 0.0107 0.1003 17 0.0108 0.0000 0.0139 0.0148 0.0007 0.0112 0.1539 0.0912 0.0117 0.0273 18 0.0111 0.0621 0.0156 0.0562 0.0012 0.0180 0.0033 0.0579 0.0884 0.0313 19 0.0108 0.0719 0.1387 0.0577 0.0009 0.0134 0.0025 0.0000 0.0138 0.0561 20 0.0108 0.0000 0.0119 0.0000 0.4994 0.0000 0.0018 0.0000 0.0106 0.0190 21 0.0108 0.0000 0.0112 0.0054 0.0005 0.1451 0.0017 0.0000 0.0107 0.0167 22 0.0108 0.0000 0.0112 0.0055 0.0005 0.0096 0.0017 0.2070 0.0107 0.0994

表C012 共 38 頁 第 24 頁 23 0.0108 0.0000 0.0123 0.0000 0.0005 0.0101 0.0019 0.0000 0.0106 0.0770 24 0.0112 0.0610 0.0160 0.0198 0.0013 0.0631 0.0798 0.0557 0.0813 0.0560 25 0.0113 0.0602 0.0164 0.0563 0.0687 0.0610 0.0746 0.0540 0.0766 0.0307 26 0.0108 0.6027 0.0115 0.0063 0.0005 0.0098 0.0017 0.0000 0.0107 0.0177 27 0.0108 0.0000 0.0112 0.0056 0.0005 0.0097 0.0017 0.0000 0.0107 0.0169 28 0.0108 0.0799 0.0142 0.0596 0.1121 0.0122 0.0024 0.0000 0.0126 0.0575 29 0.0108 0.0000 0.0113 0.0057 0.0005 0.0097 0.0017 0.0000 0.8578 0.0967 30 0.0108 0.0000 0.0112 0.0055 0.0005 0.0097 0.0017 0.0000 0.0107 0.0990 31 0.0108 0.0000 0.0128 0.0104 0.0006 0.1264 0.2137 0.1236 0.0107 0.0220

表13. 作答策略指示變數 ˆy 矩陣之遺漏作答

y

ˆ_wt3 的值 受的

試編 者號

第 1 題

第 2 題

第 3 題

第 4 題

第 5 題

第 6 題

第 7 題

第 8 題

第 9 題

第 10 題 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 20 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 23 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.0000 1.0000 24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

表C012 共 38 頁 第 25 頁 25 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 26 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 27 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 28 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 29 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 30 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 31 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 受的

試編 者號

第 11 題

第 12 題

第 13 題

第 14 題

第 15 題

第 16 題

第 17 題

第 18 題

第 19 題

第 20 題 1 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 4 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 7 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 8 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 10 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 11 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 12 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 13 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 14 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 15 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 16 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 17 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 18 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 19 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 20 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 21 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 22 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 23 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 24 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 25 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 26 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 27 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000