(b) Suppose that I

(1) Let R be a principle ideal domain which is not a field.

(a) Suppose that I is a nontrivial ideal of R (i.e. I̸= {0} and I ̸= R). Prove that there exist non-associate prime elements p₁, . . . , p_k of R and n₁, . . . , n_k∈ N such that I =(

pⁿ₁¹··· pⁿ_k^k) . (b) Suppose that I =(

a)

prove that I is a maximal ideal if and only if a is a prime element in R.

(c) Use (a) to show that for every nontrivial ideal I of R, there are only finitely many maximal ideals of R which contains I.

Answer: 取自習題 Chap. 8 (6) 以及 Quiz 2 (1a)(2a).

(a) 因為 R 是 P.I.D. 故存在 a∈ R 使得 I =( a)

. 又因 P.I.D. 為 U.F.D. 故存在 u 為 R 中的 unit 以及 p₁, . . . , p_k 為 R 中 non-associate prime elements 使得 a = upⁿ₁¹··· pⁿ_k^k 其中 n₁, . . . , n_k∈ N. 故得 I =(

upⁿ₁¹··· pⁿ_k^k)

=(

pⁿ₁¹··· pⁿ_k^k) . (b) 已知在 P.I.D. 中 I =(

a)

是 maximal ideal 若且唯若 a 為 irreducible element.

又在 P.I.D. 中 a 為 irreducible element 若且唯若 a 為 prime element. 故得 證.

(c) 若 I =( a)

包含於任一個 maximal ideal ( p)

, 表示 p| a, 故由 (a) 知 I 僅包含 於 (

pi

), i = 1, . . . , k 這 k 個 maximal ideals.

 (2) Suppose that F is a field and ϕ ^:Z → F is a nontrivial ring homomorphism which

is not one-to-one.

(a) Prove that there exists a prime number p such that Fp⊆ F.

(b) Suppose that ψ^{: F}→ F is a surjective (i.e. onto) ring homomorphism. Show that ψ is an isomorphism.

(c) Suppose that for everyα∈ F, there existsβ∈ F such thatβ^p=α. Prove that for every n∈ N, the map ↑ pⁿ: F→ F (where ↑ pⁿ(c) = c^pn) is an isomorphism.

Answer: 取自習題 Chap. 9 (3)(5) 以及 Quiz 3 (1).

(a) 因 ϕ 不是一對一, 即 ker(ϕ^{) 為} Z 中的非零 ideal. 又 Z/ker(ϕ⁾≃ im(ϕ⁾⊆ F 為 integral domain, 知 ker(ϕ^{) =(p)}, 其中 p 為質數. 因此 im(ϕ^{) =}Fp⊆ F.

(b) ψ 為映成故為 nontrivial ring homomorphism. 再加上 F 是 field, 得 ker(ψ^{) =} {0}, 即ψ ^{為一對一。得證}ψ 為 isomorphism.

(c) 因 F 的 characteristic 為 p, 故 ↑ p 為 ring homomorphism. 依題設知 ↑ p 為 surjective, 故由 (b) 得 ↑ p 為 isomorphism. 而 ↑ pⁿ 為 ↑ p 合成 n 次, 由於 isomorphism 之合成仍為 isomorphism, 故得證。

 (3) Letα ∈ C be a root of x²− 2 andβ ∈ C be a root of x³− 2. Let F = Q[α^]

(a) Find [F :Q] and prove that [F(β) : F] = 3.

(b) Show that {1,α^,β^,αβ^,β^2,αβ²} is a basis of F(β^{) over} Q.

(c) Prove that [Q(α⁺β^{) :}Q] ̸= 2 and [Q(α⁺β^{) :}Q] ̸= 3.

(d) Prove thatα ∈ Q(α⁺β^{) and} β ∈ Q(α⁺β^).

Answer: 取自習題 Chap. 9 (9), Chap. 10 (4)(6a) 以及 Quiz 3 (2).

(a) 由 Eisenstein’s criterion 知 x²− 2,x³− 2 皆為 Q[x] 中的 irreducible poly- nomial. 故 [Q(α^{) :}Q] = 2 以及 [Q(β^{) :}Q] = 3. 又因 x³− 2 ∈ F[x], 故知

1

[F(β^{) : F]}≤ 3. 參考下圖

F(β^{) =}Q(α^,β⁾

OO OO OO OO OO O

F =Q(α⁾

≤3mmmmmmmm mm

mm

Q(β⁾

oooooooooooo3 oo

Q

2

QQQQQQQQQQQQQQQ

知 [F(β^{) :} Q] ≤ 6 但又知 2 和 3 皆整除 [F(β^{) :} Q], 得 [F(β^{) :} Q] = 6 且 [F(β) : F] = 3.

(b) 由前知 [F(β) : F] = 3 故 {1,β^,β²} 為 F(β)/F 的一組 basis. 又 {1,α} 為 F/Q 的一組 basis, 故 {1,α^,β^,αβ^,β^2,αβ²} 為 F(β)/F 的一組 basis.

(c) 若 [Q(α⁺β^{) :}Q] = 2 或 3, 表示存在 a,b,c,d ∈ Q 不全為 0 使得 a(α⁺β⁾³⁺ b(α⁺β^{)2+ c(}α⁺β) + d = 0. 化簡得

3aαβ^{2+ b}β^{2+ 2b}αβ^{+ (6a + c)}β^{+ (2a + c)}α+ (2a + 2b + d)1 = 0 此與 {1,α^,β^,αβ^,β^2,αβ²} 為 F(β)/F 的一組 basis 相矛盾.

(d) 因 [F(β^{) :}Q] = 6 以及 [F(β^{) :}Q] = [Q(α^,β^{) :}Q(α⁺β^)][Q(α⁺β^{) :}Q] 又由 (c) 知 [Q(α⁺β^{) :}Q] ≥ 4, 如下圖

F(β^{) =}Q(α^,β⁾

6 Q(α⁺β⁾

≥4

Q

得 [Q(α⁺β^{) :}Q] = 6 即 Q(α^,β^{) =}Q(α⁺β^),故由 α^,β ∈ Q(α^,β^),得證。

 (4) Let L/F be a field extension and let f (x)∈ F[x] with deg( f (x)) ≥ 2. Fix α∈ L.

(a) Prove F[ f (α^)]⊆ F[α^].

(b) Prove thatα is algebraic over F if and only if f (α) is algebraic over F.

(c) Suppose that α is transcendental over F. Show that F[α^]̸= F[ f (α^)].

(d) Suppose thatα is algebraic over F with minimal polynomial p(x)∈ F[x]. Show that there exists a nonzero polynomial h(x)∈ F[x] such that p(x) | h( f (x)) in F[x].

Answer: 取自習題 Chap. 9 (8)(10), Chap. 10 (2) 以及 Quiz 3 (3).

(a) 依定義 f (α⁾∈ F[α^{] 以及 F} ⊆ F[α^{], 故由 F[ f (}α^{)] 是包含 f (}α^{) 以及 F 最小} 的 ring 以及 F[α^]是一個 ring, 得證 F[ f (α^)]⊆ F[α^].

(b) 若 α algebraic over F 表示 [F(α) : F] 是有限的. 故由 (a) 知 [F(α^{) : F] =} [F(α^{) : F( f (}α^{))][F( f (}α)) : F] 得證 [F( f (α)) : F] 為有限, 故 f (α⁾為 algebraic over F. 反之, 若 f (α⁾為 algebraic over F, 表示存在 g(x)∈ F[x] 為非零多項 式滿足 g( f (α)) = 0. 現考慮 h(x) = g( f (x))∈ F[x] 且 h(x) ̸= 0 滿足 h(α^{) = 0,} 故 α 為 algebraic over F.

(c) 若 F[α^{] = F[ f (}α^{)] 表示} α ∈ F[ f (α^{)], 亦即存在 h(x)}∈ F[x] 不為常數使得 α ^{= h( f (}α^)). 現考慮 g(x) = h( f (x))− x ∈ F[x], 由於 deg(h( f (x)) ≥ 2, 我們得 g(x)̸= 0 且 g(α^{) = 0. 此與} α 為 transcendental 相矛盾, 故得證.

(d) 若 α 為 algebraic, 由 (b) 知 f (α⁾ 亦為 algebraic. 因此存在 h(x)∈ F[x] 且 h(x)̸= 0 使得 h( f (α^{)) = 0, 亦即}α 為 h( f (x))∈ F[x] 之一根, 故得其 minimal polynomial p(x) 整除 h( f (x)) in F[x].

 (5) Let L/F be a field extension and let f (x)∈ F[x] with deg( f (x)) = 6.

(a) Suppose that α ∈ L. Prove [F(α^{) : F( f (}α^))]≤ 6.

(b) Suppose that α ∈ L is algebraic over F of degree 77. Prove F(α^{) = F( f (}α^)).

Answer: 取自習題 Chap. 9 (10d) 以及 Chap. 10 (6a).

(a) 考慮 g(x) = f (x)− f (α⁾∈ F( f (α^{))[x]. 由於} α 是 g(x) 的一根, 且 g(x)∈ F( f (α))[x] 其次數為 6 故得 [F(α^{) : F( f (}α^))]≤ 6.

(b) 因 [F(α) : F] = 77 以及 [F(α^{) : F( f (}α^))]≤ 6, 由下圖 F(α⁾

≤6 77 F( f (α⁾⁾

F

因 [F(α^{) : F( f (}α^{))]需為 [F(}α) : F] = 77 之因數, 得證 [F(α^{) : F( f (}α^{))] = 1。}

 (6) Let L/F be a field extension. Suppose that α^,β ∈ L are algebraic over F with

minimal polynomial p(x), q(x)∈ F[x], respectively.

(a) Suppose that there exists a nontrivial ring homomorphism ϕ ^{: F[x]/(p(x))}→ F[x]/(

q(x)) . Prove that deg(p(x)) divides deg(q(x)).

(b) Suppose that F is a finite field. Prove that p(x) splits completely in F(α^).

(c) Suppose that F is a finite field. Prove that if deg(p(x)) divides deg(q(x)) then F(α⁾⊆ F(β^).

Answer: 取自習題 Chap. 10 (8)(9).

(a) 因 p(x), q(x)∈ F[x] 為 irreducible 得 F[x]/( p(x))

, F[x]/( q(x))

皆為 F 的 field extension. 又 ϕ 為 nontrivial 故由定義域為 field 知 ϕ 為 one-to-one 亦即 F[x]/(

p(x))

會和 im(ϕ⁾ 為 isomorphism. 由以下圖示 F[x]/(

q(x))

deg(q(x))

F[x]/(

p(x)) _{≃ //}

im(ϕ⁾

deg(p(x))

F

PPPPPP PPPPPPPP

3

得證 deg(p(x))| deg(q(x))

(b) 假設 F =Fq 為有 q 個元素的 finite field 且 deg(p(x)) = n, 由 F[x]/( p(x))

≃ F(α^{) 知 [F(}α) : F] = n, 即 F(α^{) 為有 qn} 元素的 finite field. 故 α ^{為 xqn}− x 之一根, 得 p(x)| x^qn− x. 又 x^qn− x 在 F(α⁾ 中完全分解, 得證 p(x) 在 F(α⁾ 中完全分解.

(c) 承 (b) 再假設 deg(q(x)) = m, 由 F[x]/( q(x))

≃ F(β^{) 知 F(}β^{) 為有 qm 元素} 的 finite field. 利用唯一性知 F(α^{) =}Fqⁿ 以及 F(β^{) =}Fq^m. 故由 n| m 知 F(α^{) =}Fqⁿ⊆ Fq^m= F(β^).

 (7) Let F be a field and let n∈ N. Consider Cn={α∈ F |α^{n= 1}}.

(a) Show that C_n is a cyclic group of order ≤ n.

(b) Suppose that G⊆ F^∗ is a subgroup of order n. Prove G = C_n. Answer: 取自習題 Chap. 10 (12).

(a) 依題意, C_n⊆ F^∗ 又若 a, b∈ Cn 則 (ab⁻¹)ⁿ= aⁿ(bⁿ)⁻¹ = 1, 故 C_n 為 F^∗ 的 subgroup. 現若 C_n 不是 cyclic group, 則由 fundamental theorem of abelian group 知存在一質數 ℓ 以及 a, b∈ Cn 皆為 order ℓ 滿足 ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {1}. 因而 推得在 F 中至少有 aⁱb^j, 1≤ i, j ≤ ℓ 這 ℓ² 個相異元素皆為 ℓ-次多項式 x^ℓ− 1 的根之矛盾. 故知 C_n 必為 cyclic group. 又 F 中至多有 n 個元素會是 xⁿ− 1 的根, 故得 C_n 的 order ≤ n.

(b) 若 G⊆ F^∗ 為 order n 的 subgroup, 則由 Lagrange’s Theorem 知對任意 a∈ G 皆滿足 aⁿ= 1, 故知 G⊆ Cn. 再由 G 的個數為 n 大於等於 C_n 的個數得證 G = C_n.

 (8) For n∈ N, denote F2ⁿ a finite field of 2ⁿ elements.

(a) Draw a graph for all sub-extensions ofF₂¹²/F2.

(b) Find the number of monic irreducible polynomials of degree 12 in F2[x].

(c) Find a monic irreducible polynomial p(x)∈ F2[x] with deg(p(x)) = 3. Prove that there existα ∈ F2¹² such that p(α^{) = 0.}

(d) Use the α you found in (c) to write down all the elements of F8 in F2¹² and determine if α is a generator of F^∗₈ or not.

Answer: 取自習題 Chap. 10 (10) 以及最後一堂課所強調內容.

(a) 利用 F2ⁿ ⊆ F2^m 若且唯若 n| m 可得下圖:

F₂¹²

{{{{{{{{

F2⁶ CC CC CC CC F2⁴

F₂³

DD DD DD DD F₂²

F

(b) 所有F2[x] 中次數為 12 的 monic irreducible polynomials 的根為F2¹² 中 over F2 所有 degree 12 的元素. 由上圖知所有 degree 12 的元素必須在 F2¹² 但不 在 F2⁶ 以及 F2⁴. 故由排容原理知共有 2¹²− 2⁶− 2⁴+ 2² 個元素. 又每一個 degree 12 的 monic plynomial 有 12 個相異根. 故所求多項式共有

1

12(2¹²− 2⁶− 2⁴+ 2²) = 335.

(c) F2[x] 中次數為 3 的 monic irreducible polynomial 應有 (2³− 2)/3 = 2 個. 即 x³+ x + 1 以及 x³+ x²+ 1 (代 0, 1 皆為 1 inF2). 考慮 p(x) = x³+ x + 1. 由於 p(x) 的任一根為 degree 3 over F2, 故皆有α ∈ F₂³⊆ F₂¹².

(d) 令 α∈ F₂³ 為 p(x) = x³+ x + 1 之一根. 因此有 α³⁼α^{+ 1. 可得} F2³ ={0,1,α^,α^{+ 1,}α^2,α^{2+ 1,}α²⁺α^,α²⁺α^{+ 1}}.

因為 F^∗₈ 為 cyclic group of order 7 且 α ̸= 1, 可知 α 之 order 為 7, 故 α ^為 F^∗₈ 之 generator. 事實上可計算

⟨α⟩ = {α^,α^2,α³⁼α^{+ 1,}α⁴⁼α²⁺α^,α⁵⁼α²⁺α^{+ 1,}α⁶⁼α^{2+ 1,}α^{7= 1}}.



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