Gauss定理與Stokes定理(續)
•Gauss定理(另一種講法)
考慮中心點為r = (x, y, z)的小長方體(邊長為∆x, ∆y, ∆z)，流速場為v (r)。流過前面的 流量為
z
x
y
∆φ前 ' v µ
x +∆x 2 , y, z
¶
· ˆn∆A
= vx
µ
x +∆x 2 , y, z
¶
∆y∆z '
µ
vx(r) +∂vx
∂x
∆x 2
¶
∆y∆z 流過後面的量為
∆φ後 ' v µ
x−∆x 2 , y, z
¶
· ˆn∆A
= −vx µ
x− ∆x 2 , y, z
¶
∆y∆z ' −
µ
vx(r)− ∂vx
∂x
∆x 2
¶
∆y∆z
∴ ∆φ前+ ∆φ後 ' ∂vx
∂x∆x∆y∆z (1)
同理，流過左右兩面的流量為
∆φ左+ ∆φ右 ' ∂vy
∂y ∆x∆y∆z (2)
流過上下兩面的流量為
∆φ上+ ∆φ下 ' ∂vz
∂z ∆x∆y∆z (3)
∴流過小長方體的淨流量為
∆φ = (1) + (2) + (3)
= ∇ · v∆x∆y∆z
一曲面S包圍立體T 時，可將T 切割為無數的小長方體，則通過S的淨流量 φ =
ZZ
S
v· dA
= lim
∆x∆y∆z→0
X
小方塊
∇ · v∆x∆y∆z
= ZZZ
T
∇ · vdxdydz
•Stokes定理
S為一平滑曲面，其邊界為C，則環流量
C
SC
Sx
y∆y
∆x
x
y∆y
∆x I
C
v· dr = ZZ
S
∇ × v · dA
說明：只考慮較簡單的情況。S為x-y平面上的小長方塊，中心 為(x, y, 0)，則
I
C
v· dr = I
C
vxdx + I
C
vydy
I
C
vxdx ' vx µ
x, y−∆y 2 , 0
¶
∆x− vx µ
x, y +∆y 2 , 0
¶
∆x
' µ
vx−∂vx
∂y
∆y 2
¶
∆x− µ
vx+∂vx
∂y
∆y 2
¶
∆x
= −∂vx
∂y∆y∆x (4)
同理 I
C
vxdx ' vy µ
x + ∆x 2 , y, 0
¶
∆y− vy µ
x−∆x 2 , y, 0
¶
∆y
' ∂vy
∂x∆x∆y (5)
∴ I
C
v· dr = (4) + (5)
=
µ∂vy
∂x − ∂vx
∂y
¶
∆x∆y
= ∇ × v · ˆz∆x∆y (6)
當S為x-y平面上的任意區域時候，可將它切割為無數小方塊，則 I
C
v· dr = lim
∆x∆y∆z→0
X
小方塊
∇ × v · ˆz∆x∆y
= ZZ
S
∇ × v · dA
x y
S C
Note: (6)式中，若小方塊法向量ˆn不在z方向，則H
C
v· dr = ∇ × v · ˆndA仍成立。一般曲 面S切割成無數小方塊後仍可得到Stokes定理。
•Maxwell方程式
積分形式(MKS制)
1. ZZ
S
E· dA = Q ε0
Q為曲面S內的總電荷。
2. ZZ
S
B· dA = 0
3. 安培定律 I
C
B· dr = µ0I +
z }| {位移電流
ε0µ0∂φE
∂t
I為穿過迴路C的電流，φE為穿過迴路C的電通量。
4. 法拉第定律 I
C
E· dr = −∂φ
∂t φ為穿過迴路C的磁通量。
說明
1.
Q
Er
S 扭曲S不會改變電通量。
+ −
S
電通量為零。
2. 任何封閉曲面的磁通量為零。
3.
S N
不存在磁單極。
微分形式
1. ZZ
S
E· dAGauss定理= ZZZ
T
∇ · Edτ = 1 ε0
ZZZ
T
ρ (r) dτ T 的體積→ 0時可得
∇ · E = ρ (r) ε0
2. 同理
∇ · B = 0 3.
I
C
B· drStokes定理= ZZ
S
∇ × B · dA = µ0
ZZ
S
J· dA + ε0µ0 ∂
∂t ZZ
S
E· dA
S的面積→ 0時可得
∇ × B = µ0J + ε0µ0∂E
∂t 4.
I
C
E· dr = ZZ
S
∇ × E · dA = −∂
∂t ZZ
S
B · dA
∴ ∇ × E = −∂B
∂t 自由空間裡的電磁場³
ρ = 0, J = 0´
∇ × (4) → ∇ × ∇ × E = −∂
∂t∇ × B
(3)= −ε0µ0∂2E
∂t2
∵ ∇ × ∇ × E = ∇³
∇ · E´
− ∇2E
∴ ∇2E− ε0µ0∂2E
∂t2 = 0 (電場波動方程)
