挑動心弦–探討圓內弦長分布情形

挑動心弦–探討圓內弦長分布情形

國立新竹女子高級中學 陳彥瑜 指導老師 陳美雪

Abstract

This study’s aim is to build a new view of investigating the distribution of strings in a circle. Different from most people’s first impression that strings are uniform distribution.

First, we define a function, which contains degree the strings rotate on the point and distance between the point and center as input and length as output. Then, we invert the function and use the inverse function to get Cumulative Distribution Function and Probability Density Function of strings length. Under this view, the distribution of strings depend on their length and the distance between the point and the center. From that, we can get expected value and standard deviation of string length passed through every points and we can get the distribution of all string length by joint probability function. At the end, we compare the result with strings under uniform distribution.

中 中 中文文文摘摘摘要要要

本文所探討的是建立一種新的幾何觀點去探討圓內弦長的分布. 不同於一般人的第一印象：

圓內每條弦長出現機率相同, 我們利用過圓內一點之弦長函數的反函數求出弦長累積分配函數與 弦長機率密度函數, 在此種模型下, 每條弦長出現的機率都有所不同, 再求得子樣本的條件期望值 與條件標準差, 並以聯合機率密度函數求出母體的分佈情形, 最後再與弦長為一致分配情形下的 弦長分布相比較.

1 簡 簡 簡介 介 介

1.1 研 研 研究 究 究動 動 動機 機 機

圓是所有幾何圖形中, 最完美的一個對稱圖形, 在這樣一個圖形中, 具有無限多組的弦 長.“這些弦長之間是否存在什麼有趣的分布情形呢? ”在好奇心的驅使之下.

1.2 研 研 研究 究 究目 目 目的 的 的

1. 找出過圓內一點的弦長集合的分佈情形.

2. 比較在不同觀點下, 圓內的弦長集合的分佈情形.

2 研 研 研究 究 究內 內 內容 容 容

2.1 過 過 過圓 圓 圓內 內 內一 一 一點 點 點的 的 的弦 弦 弦長 長 長集 集 集合 合 合分 分 分佈 佈 佈

透過圓這個最對稱的圖形, 觀察過圓內一點的弦長, 看看這些弦長的集合有何特性. 我們 先求出過圓內一點的弦長函數, 將弦長函數轉換成弦長的累積分配函數及機率密度函數, 再求出弦長的期望值、標準差和其分佈.

1. 過圓內一點的弦長函數 證

證證明明明.

(a) 定義符號和圖形

在複數平面上以 O 為原點做一個半徑為 R 的圓, 在圓內取一點 ZA, ZA 到圓 心距離為 r, 過 ZA 做一直線 L 交圓於 Z1

, Z

O 點與 Z

(b) 計算

令複數平面上一點 ZA(a + bi), √

a

, t ∈ R, Z

我們先求直線與圓的交點 Z1

, Z

{ Z = Z^A+ tZλ

∣Z∣ = R

⇒ ∣ZA+ tZλ∣ = R

⇒ ∣ZA+ tZλ∣² = R²

⇒ (ZA+ tZλ)(ZA+ tZλ) = R²

⇒ Zλ

Z

t

⇒ t = −(Zλ

Z

Z

D

Z

,

其中 D = (Zλ

Z

Z

Z

Z

Z = Z

Z

Z

D

2Zλ

Z

Z

Z

Z

D

.

Z

Z

Z

D

2Zλ , Z2 =

Z

Z

Z

D

√

D Z

D∣

∣Zλ∣ .

∵ ∣Zλ∣ =√

(cos θ)²+ (− sin θ)²= 1, ∴∣√

D∣

∣Zλ∣ =√

D.

其中 D = (Zλ

Z

Z

= (Zλ

Z

Z

R

= (Zλ

Z

Z

.

Z

得 D = [(cos θ + i sin θ)(a − bi) − (a + bi)(cos θ − i sin θ)]²+ 4R²

= [(a cos θ + ai sin θ − bi cos θ + b sin θ) − (a cos θ − ai sin θ + bi cos θ + b sin θ)]²+ 4R²

= 4R²− 4(a sin θ − b cos θ)²

= 4R²− 4(a²+ b²) (sin θ ⋅ √

a

a

b a

2

= 4R²− 4(a²+ b²)[cos(90^○− θ) cos A − sin(90^○− θ) sin A]²

= 4R²− 4r²cos²(A + 90^○− θ)

= 4R²− 4r²cos²

φ.

得弦長函數 s(r, φ) =√

4R²− 4r²cos²

φ 為二元變數函數, 自變數為距離 r 和夾

π

2.

如下圖, 當 φ = 0 時, 所對應到的弦長為藍色的那條弦長, 也是過該定點所取到 的最短弦長; 當 φ =

π

2 時, 所對應到的弦長為紅色的那條弦長, 為過該定點所取 到的最短弦長.

2. 過圓內一點弦長的累積分配函數及機率密度函數 證

證證明明明.

(a) 想法與定義符號

令過圓內一點弦長函數為 s(r, φ) =√

4R²− 4r²cos²

φ, 符號定義如 1. 所述.

而在圓內取一距圓心 r 的定點, 過該點的弦長隨機變數定義為 Sr.

因為直接討論二元變數比較複雜, 所以我們在圓內取一個固定點, 也就是在

r 固定的情況下, 作為子樣本. 先推導出以弦長為隨機變數的累積分配函數 F

(b) 求累積分配函數與機率密度函數 如果固定 r,

則由 φ 決定的弦長集合 S = {√

4R²− 4r²cos²

φ∣ 0 ≤ r < R, 0 ≤ φ < π

2}, 此為一 連續且無限元素的集合, 因為此函數在 [0,

π

2)與[

π

2

, π) 對稱, 所以弦長樣本空

因為函數 s(φ) = √

4R²− 4r²cos²

φ 在 [0, π

2) 之間為單調遞增函數, 我們可以 利用 s 跟 φ 的一對一映射關係求累積分配函數, 即取到某個區間的弦長集合的 累積機率等於其對應到角度區間的幾何機率. 故把弦長函數轉換成反函數, 再 除以整個定義域區間的長度

π

2:

令 s =√

4R²− 4r²cos²

φ ⇒ φ = cos

√4R²− s² 4r² ⇒

φ

π2

= 2

π

√4R²− s² 4r²

求得累積分配函數 FS_r(s) = 2

π

√4R²− s²

4r² , 嚴格定義為

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

F

s <

4R²− 4r²;

F

π

√4R²− s² 4r²

,

4R²− 4r² ≤ s ≤ 2R;

F

然而, 光是累積分配函數不足以我們進行運算, 我們還需要進一步得到機率密 度函數 fSr(s), 就是 FSr(s) 的導數, 將 FSr(s) 微分求得機率密度函數為

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

f

s <

4R²− 4r²;

f

π

√

s

(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s²

4r² )

,

4R²− 4r²≤ s ≤ 2R;

f

於是, 機率密度函數圖所占的面積等於隨機變數在該區域的累積機率.

我們求出機率密度函數後, 就可順利求出子樣本的期望值與變異數.

(c) 求條件期望值與條件變異數 期望值 E(Sr) ∶

E(S

s ⋅ f

= ∫^√2R_4R2−4r2

s ⋅

π

√

s

(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s² 4r² )

ds.

再來看看變異數：

V (S

= 2

π ∫

2R

√4R²−4r²

s

√(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s²

4r² )

ds − [E(S

3. 母體 證 證證明明明.

(a) 想法與定義符號

定義 S 為過圓內任一點的弦長隨機變數. 接下來, 我們討論母體的情況, 也就 是 r 和 φ 皆會變動的情況下, 母體由

1. 圓內任取一點 Z ,

2. 過點 ZA 任取弦長, 兩個獨立變數一起構成, 其映射情形如下：

子樣本（固定 r）令為 rk 的映射情形

S

, S

, S

, ⋯, S

, ⋯}

↕ ↕ ↕ ↕

φ = { φ

, φ

, φ

, ⋯, φ

, ⋯}

母體的映射情形

φ

φ

φ

r

r

r

⋮

r

⋮

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎨⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎩

S

S

S

S

S

S

S

S

S

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

S

S

S

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎬⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

構成母體的變數有 r, φ 兩個, 所以當我們要計算母體的弦長期望值時, 需要用 到聯合機率密度函數, 因此, 除了fSr(s), 我們還需要另外求出 f(r), 為在圓內 取到距離圓心小於等於 r 的點的機率密度函數.

(b) 計算

令一圓圓心為 O, 半徑為 R, 若任意在圓內取一點, 該點距離圓心小於等於 r 的 機率為

r

R

r

R

R

E(S) =

s ⋅ f

= ∫₀^R

⎛⎜⎜

⎜⎝ 2

π ∫

2R

√4R²−4r²

s

√(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s² 4r² )

ds

⎞⎟⎟

⎟⎠

⋅ 2r

R

dr.

而母體變異數 V (S) 為

V (S) = E(S

= ∫₀^R(∫^√2R_4R2−4r2

s

= ∫₀^R

⎛⎜⎜

⎜⎝ 2

π ∫

2R

√4R²−4r²

s

√(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s² 4r² )

ds

⎞⎟⎟

⎟⎠

⋅ 2r

R

dr − (E(S))

.

4. 比較不同觀點下的弦長分佈 分別以兩種不同的觀點:

1. 把每條弦長出現的機率視為一樣的一致分配

2. 每條弦長出現的機率為機率分配函數, 我們將其稱為“反三角弦長分配函數”來

(a) 子樣本期望值和標準差的比較

做一個半徑為 100 公分的圓, 分別在 10 公分, 20 公分, 30 公分, 40 公分, 50 公 分, 60 公分, 70 公分, 80 公分, 90 公分處取點(即 r = 10, 20, 30, ⋯, 90), 過此九 點每 1 度取 1 條弦長, 各取 90 條弦, 如下表格(一)：

計算可得各點所取出之弦長的一致分配平均值和反三角分配期望值, 如下表 格(二)：

r 10 20 30 40 50 60 70 80 90

平均值 199.494 197.962 195.37 191.65 186.694 180.334 172.291 162.066 148.558 期望值 197.268 195.849 193.448 190.004 185.421 179.547 172.137 162.751 150.442

畫成圖形比較如下：

由表格(二)來看, 我們可以知道：子樣本的弦長一致分配平均值隨著 r 的增加 下降的幅度較反三角分配期望值明顯, 且兩者差值隨著 r 的增加, 先縮小後放 大, 我們觀察弦長機率密度函數將會發現：隨著 φ 逐漸增加, 弦長機率密度函 數會先遞減再遞增, 且弦長較短的一側出現機率較高, 因此弦長反三角分配期 望值小於弦長一致分配平均值；由比較圖一和圖二來看, 可以得知: 不論以哪 種觀點來分析圓內弦長分布, 弦長期望值與 r 皆呈現負相關, 因為過圓內任意

(圖一) (圖二)

逐漸縮短, 而產生此種趨勢.

而以不同觀點所計算出來的各點的標準差, 如下表格(三)：

r 10 20 30 40 50 60 70 80 90

一致分配標準差 0.3544 1.4285 3.2568 5.9029 9.4715 14.1327 20.1764 28.1524 39.3755 反三角分配標準差 21.077 20.889 20.699 20.715 21.272 22.846 26.016 31.491 40.515

(表格三) 畫成圖形比較如下：

(圖三) (圖四)

由表格(三)來看, 我們可以知道：隨著 r 增加, 弦長一致分配標準差呈現單調遞 增的趨勢, 而弦長反三角分配標準差則會先略為下降後, 再呈現上升的趨勢；

由比較圖三和圖四則可以明顯發現：當 r 越小時, 以不同觀點所得到的弦長標 準差差異越大.

(b) 母體期望值的比較

做一個半徑為 100 公分的圓, 在 r 公分處取點, 過該點每隔 1 度取 1 條弦長, 共取 90 條弦, 分別以弦長為一致分配或弦長為反三角分配的方式將弦長積分, 再對 r 積分可得母體弦長一致分配平均值為 169.37, 以及母體弦長反三角分配 期望值為 195.06.

3 結 結 結論 論 論

3.1 研 研 研究 究 究結 結 結果 果 果

1. 過圓內一點的弦長函數 s(r, φ) = √

4R²− 4r²cos²

φ, 藉由反函數在角度上的累積機

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪

F

s <

4R²− 4r²;

F

π

√4R²− s² 4r²

,

4R²− 4r²≤ s ≤ 2R;

F

和機率密度函數

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

f

s <

4R²− 4r²;

f

π

√

s

(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s²

4r² )

,

4R²− 4r²≤ s ≤ 2R;

f

並求得期望值

E(S) =

⎛⎜⎜

⎜⎝ 2

π ∫

2R

√4R²−4r²

s

√(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s² 4r² )

ds

⎞⎟⎟

⎟⎠

⋅ 2r

R

dr.

和變異數

V (S) =

⎛⎜⎜

⎜⎝ 2

π ∫

2R

√4R²−4r²

s

√(4R²− s²)(4r²) sin (cos⁻¹√

4R²−s² 4r² )

ds

⎞⎟⎟

⎟⎠

⋅ 2r

R

dr − (E(S))

.

2. 分別以兩種不同的觀點:

1. 把每條弦長出現的機率視為一樣的一致分配

2. 每條弦長出現的機率為機率分配函數 FS_r(s), 我們將其稱為“反三角弦長分配 函數”來比較不同觀點之下, 弦長期望值之間的差異以及弦長標準差之間的差 異.

3.2 未 未 未來 來 來展 展 展望 望 望

將這種每條弦長出現機率不一致的分析模型推廣至橢圓, 甚至是不規則凸圖形, 並且與弦 長為一致分配時所得的結果互相比較.

參

參 參考 考 考文 文 文獻 獻 獻

[1] 林惠玲, 陳正倉, 統計學(方法與應用四版上冊), 台北市, 雙葉書廊有限公司, 2010.

[2] 余文卿, 普通高級數學第二冊 (2版), 台北市, 翰林出版事業股份有限公司, 2012.

[3] 游森棚, 普通高級數學第四冊 (1版), 台北市, 翰林出版事業股份有限公司, 2013.