Proposition 3.3.2. X topological space a∈ X, Ua a 的 open
neighborhood 的 . X Hausdorff a∈ X, ∩
U∈Uacl(U) ={a}.
Proof. X Hausdorff. b , a, b < ∩
U∈Uacl(U).
Hausdorff 的性質, a, b 的 open neighborhood U, V U∩ V = ∅.
U ∈ Ua, V b 的 open neighborhood V∩ U = ∅, b< cl(U), b<∩
U∈Uacl(U). U∈ Ua, a∈ U ⊆ cl(U), a∈∩
U∈Uacl(U).
∩U∈Uacl(U) ={a}.
, a, b ∈ X a , b, b < ∩
U∈Uacl(U) = {a}, U ∈ Ua
b < cl(U). , b 的 open neighborhood V V∩ U = ∅. U a 的 open neighborhood, U, V a, b 的 open neighborhood U∩ V = ∅, X
Hausdorff.
, Hausdorff space 的 . X, Y topological space
f : X → Y continuous function. X Hausdorff, 的特性
Y f (X) Hausdorff. Y Hausdorff, X a, b, f
一 一, f (a) = f (b)∈ Y, Y Hausdorff .
f 一 一, f (a), f (b) Y Y Hausdorff U, V
f (a), f (b) 的 open neighborhood U∩V = ∅. f continuous f−1(U), f−1(V) a, b 的 open neighborhood f−1(U)∩ f−1(V) = f−1(U∩ V) = f−1(∅) = ∅.
X Hausdorff, 的 .
Proposition 3.3.3. X, Y topological spaces Y Hausdorff. 一 X
Y 的一 一的 , X Hausdorff.
X, Y homeomorphic topological spaces, f : X→ Y 一 一 一
的 f−1: Y → X 一 一 的 , Proposition
3.3.3 的 , Hausdorff 的拓樸性質.
Corollary 3.3.4. X, Y homeomorphic topological spaces, X Hausdorff Y Hausdorff.
Hausdorff 的性質 subspace topology, disjoint union topology, product space topology quotient space topology 的 . X Hausdorff space S X 的 subspace, subspace topology 的 identity function idX : X → X
S , idX|S : S → X 的, idX 一 一, Proposition 3.3.3 S Hausdorff. 一 Hausdorff space 的 subspace Hausdorff.
disjoint union. X, Y Hausdorff space, X⨿ Y disjoint
union topology Hausdorff space ? 的. a′, b′ X⨿ Y
, a′, b′ X, Y, 一 性 a′ = (a, 1), b′ = (b, 2) a ∈ X, b ∈ Y. X′ = {(x, 1) | x ∈ X}, Y′ = {(y, 2) | y ∈ Y} a′, b′ 的 open
neighborhood X′∩ Y′− ∅. a′, b′ X, a′ = (a, 1), b′ = (b, 1), a, b ∈ X. X Hausdorff, U, V a, b 的 open neighborhood U∩ V = ∅, U′ ={(r, 1) | r ∈ U}, V′={(s, 1) | s ∈ V} a′, b′ 的 open neighborhood
U′∩ V′ =∅. a′, b′ Y, Y Hausdorff a′, b′
的 open neighborhood, 的 .
Proposition 3.3.5. X, Y Hausdorff topological spaces. X⨿Y disjoint union topology Hausdorff space.
Proposition 3.3.5 的 的 ( Question 3.24), X, Y Hausdorff spaces X⨿ Y Hausdorff space.
Question 3.24. X, Y topological spaces. f1 : X → X ⨿ Y, f1(x) = (x, 1), ∀ x ∈ X, X⨿ Y Hausdorff space X Hausdorff space.
product space disjoint union 的 . X, Y topological spaces , product space X × Y. y0 ∈ Y, hy0 : X → X × Y
hy0(x) = (x, y0), ∀ x ∈ X. hy0 一 一 , X× Y Hausdorff, Proposition 3.3.3 X Hausdorff. X× Y Hausdorff Y Hausdorff.
的 的, 的 .
Proposition 3.3.6. X, Y topological spaces, product space X× Y. X× Y Hausdorff space X, Y Hausdorff space.
Proof. X, Y Hausdorff space, X× Y Hausdorff space.
a = (x, y), b = (x′, y′) X× Y . 一 性, x , x′. X Hausdorff, U, U′ x, x′ X 的 open neighborhood U∩ U′ =∅.
V, V′ y, y′ Y 的 open neighborhood. U× V, U′× V′ a, b X× Y 的 open neighborhood. U× V U′× V′
(U× V) ∩ (U′× V′) = (U ∩ U′)× (V ∩ V′) =∅ × (V ∩ V′) =∅.
X× Y Hausdorff space.
Question 3.25. π1: X× Y → X π1(x, y) = x, ∀ (x, y) ∈ X × Y
的, X Hausdorff X× Y Hausdorff?
quotient space 的 . 一 一 Hausdorff space
equivalence relation 的 quotient space Hausdorff space. , 一
topology space Hausdorff quotient Hausdorff. 的 .
Example 3.3.7. (1) 一 的 X ={a, b, c}. X 的 topology
T = {∅, {a, b}, {c}, {a, b, c}}. a, b a 的 open neighborhood b, 拓樸 X Hausdorff. X 的 equivalence relation∼, a∼ b
x ∼ x, ∀ x ∈ X. quotient space X/∼ = {a, c} ( a = b), topology T = {∅, {a}, {c}, {a, c}}.˜ X/∼ discrete topological space
Hausdorff space. 一 topological space Hausdorff
quotient space Hausdorff.
(2) R 的 standard topology Y =R ⨿ R disjoint union topology.
R metric space Hausdorff, Proposition 3.3.5 Y Hausdorff.
Y 的 equivalence relation ∼, (x, i) ∼ (x, j), ∀ x ∈ R \ {0}, i, j ∈ {1, 2}
(0, 1) ∼ (0, 1), (0, 2) ∼ (0, 2). quotient space X/∼ = {(x, 1) | x , 0} ∪ {(0, 1), (0, 2)} ( x, 0 (x, 1) = (x, 2)), quotient space topology
(0, 1) 的 open neighborhood U, ϵ > 0 {(x, 1) | −ϵ < x < ϵ} ⊆ U (0, 2) 的 open neighborhood V, ϵ′ > 0 {(x, 2) | −ϵ′ < x < ϵ′} ⊆ V.
U∩ V , ∅ ( Question 3.26), Y/∼ Hausdorff space.
一 topological space Hausdorff quotient space Hausdorff.
Question 3.26. Example 3.3.7 (2) ε = min{ϵ, ϵ′}. 0 < x < ε, (x, 1) ∈ U ∩ V.
一 topological space compact Hausdorff, 的性質.
特 一 . Proposition 3.2.17 X compact , X
的 closed subset compact subset. 一 的, X 的 compact
subset closed. X Hausdorff, Proposition 3.2.22 的
X 的 compact subset closed. 一 compact Hausdorff 的 topological
space 的性質的 . 特 性質 .
Proposition 3.3.8. X 一 compact topological space Hausdorff space.
S ⊆ X X 的 closed subset S X 的 compact subspace.
Proposition 3.3.8 的 topological spaces
Homeomorphic. 一 , X, Y topological spaces, X, Y 一 一 一
的 f : X → Y, f 一 homeomorphism. f open map
( f 的 f−1: Y → X 的) . 的特殊 ,
的.
Theorem 3.3.9. X, Y topological space X compact space Y Hausdorff
space. f : X→ Y 一 一 的 , f 一 homeomorphism.
Proof. f : X→ Y open map. , U open in X, f (U)
open in Y. , f continuous X compact, f onto f (X) = Y
compact. f 一 一, Y Hausdorff X Hausdorff. ,
的 X, Y compact Hausdorff. Proposition 3.3.8.
X 的 open set U X \ U closed Proposition 3.3.8 X \ U compact. f continuous f (X\ U) Y 的 compact subset.
Proposition 3.3.8 f (X\ U) Y 的 closed subset. f 一 一 f (X\ U) = f (X) \ f (U) = Y \ f (U) closed f (U) Y 的 open subset.
.
Hausdorff space 的 compact subset closed 的 的
compact subset C x< C open sets U, V C ⊆ U x∈ V U∩ V = ∅,
的 , 特 .
Lemma 3.3.10. X Hausdorff topological space C X 的 compact subset.
x∈ X \ C, C 的 open set U x 的 open neighborhood V U∩ V = ∅.
Question 3.27. Lemma 3.3.10, C closed.
compact 的 , locally compact 的 (Definition 3.2.19).
一 的 metric space 的 locally compact 的 ( a∈ X
a 的 open neighborhood V compact subset C V ⊆ C) . Definition
3.2.19 的 , U = X 的 , 的 V C.
Hausdorff 的 , 一 的. .
Proposition 3.3.11. X Hausdorff topological space, X locally compact a∈ X, a 的 open neighborhood V compact subset C V⊆ C.
Proof. a ∈ X, a 的 open neighborhood V compact
subset C V ⊆ C, X locally compact. a 的 open neighborhood U, a 的 open neighborhood U′ compact subset C′ U′ ⊆ C′⊆ U.
的 U′ = U ∩ V C′ = cl(U′). U′ a 的 open
neighborhood. U′ ⊆ V ⊆ C, C closed (Question 3.27), C′ = cl(U′)⊆ C
compact (Proposition 3.2.17). C′ ⊆ U . U′ 一 ,
C′= cl(U′)⊆ U.
bd(U′) = cl(U′)\ U′, a∈ U′ a< bd(U′). C′ = cl(U′) compact, bd(U′) closed subset bd(U′) compact. Lemma 3.3.10 V′ a 的 open neighborhood open set W bd(U′) ⊆ W V′∩ W = ∅.
cl(V′)∩bd(U′) =∅. V′⊆ X\W X\W closed, cl(V′)⊆ X\W ⊆ X\bd(U′).
U′′= V′∩ U′,
cl(U′′) = cl(V′∩ U′)⊆ cl(V′)∩ cl(U′) = cl(V′)∩ (bd(U′)∪ U′) = cl(V′)∪ U′⊆ U′. U′′ a 的 open neighborhood U′′⊆ cl(U′′)⊆ U, cl(U′′) compact (
closed subset of C).
Question 3.28. X Hausdorff topological space. X locally compact a∈ X, a 的 open neighborhood V cl(V) compact.
———————————– 05 January, 2018
