三、 一般二階遞迴數列

Fibonacci Q-Matrix 在遞迴數列上的 延伸和其應用

林鈺傑

一、 前言

Fibonacci 在 1202 年提出一個問題, 現在有一公一母的小兔子, 一個月之後這對小兔子 長大成一對大兔子。 再過了一個月, 大兔子又生下了一公一母的小兔子, 所以有一對大兔子和一 對小兔子共2對兔子。 在之後的每個月, 所有小兔子都會長成大兔子, 而每對大兔子都會生下一 對小兔子。 請問在 n 個月之後, 總共有幾對兔子呢? 我們利用下面的表格來觀察一下

第0個月 第1個月 第2個月 第3個月 第4個月

大兔子 0 1 1 2 3

小兔子 1 0 1 1 2

總和 1 1 2 3 5

會發現首項為1, 次項也為1, 之後每一項都是前兩項相加的數列。 而這就是 Fibonacci 數 列 {Fn}^∞_n=0 ={1, 1, 2, 3, . . .} 也是上面這個問題的答案。 換成數學的寫法可以寫成 F0 = 1、 F₁ = 1 而當 n ≥ 2 時 Fn = F_n−1+ F_n−2 這種遞迴規則的數列。 這是一個不論在數論或組 合上都很有名的數列。 因為 Fibonacci 數列有很多有趣且很特殊的性質, 使得 Fibonacci 從 1202 年寫下它以後, 幾百年來一直到現在還持續的有人在研究它。

而 Fibonacci Q 矩陣指的是 [

1 1 1 0

]

的這個矩陣, 1960 年時 Charles H. King 在他 的碩士論文中研究這個矩陣 (Koshy [10]), 而在 Gould 對 Fibonacci Q 矩陣的歷史探討中 也提出是否這矩陣能被延伸到三維的矩陣呢? 這矩陣為什麼會被稱為 Fibonacci Q 矩陣呢?

52

這是因為這個矩陣和 Fibonacci 數列有一個如下的關係 (Gould [5])。

[ 1 1 1 0

]n

= [

F_n F_n−1 F_n−1 F_n−2

]

矩陣有很多的性質可以利用, 所以如果數列和矩陣中間的關係找出來的話, 就能夠利用矩 陣性質得到很多有趣的性質。 如 F2n+1 = F_n+1² + F_n² 等 (Huang [9])。

現在我們就利用 Q 矩陣這個放大鏡來檢視看看 Fibonacci 有什麼有趣的地方, 再把這 放大鏡移到其他類似於 Fibonacci 的二階數列上看看有什麼結果。 接著再更進一步的來看看像 h₀ = a, h₁ = b 且當 n ≥ 2 時 hn = ch_n−1+ dh_n−2, 其中 a, b, c, d 為實數的這種一般的二 階遞迴式是否也有一個類似於 Fibonacci Q 矩陣和 Fibonacci 數列的矩陣恆等式呢?

而在知道這些用 Q 矩陣得出的結果後, 我們是不是可以拿這些東西來運用呢? 很巧的, 我 們發現這些性質可以應用在處理有關 log-convex 以及 log-concave 的問題上。

二、 類似 Fibonacci 數列的二階遞迴數列

什麼樣的遞迴數列我們說它是類似 Fibonacci 數列的呢? 在觀察 Fibonacci 時會發現, 假設說數列可以一直往前倒著推回去的話, 我們將 Fibonacci 往回倒推一項到第 -1 項讓其也 符合遞迴式時, 也就是說 F−1+ F₀ = F₁ 時, 會得到 F−1 = 0。

而現在我們就規定說如果第 -1 項為 0 的數列就是類似 Fibonacci 數列的遞迴數列。 那 麼對以下這種型態的二階遞迴數列是否有類似 Fibonacci Q 矩陣的矩陣 Q 呢?

g_n =







0 n =−1

a n = 0

cg_n−1+ dg_n−2 n ≥ 1

先做個猜測, 如果 Q = [

c d 1 0

]

是 {gn} 的 Q 矩陣, 則當 {gn} 就是 Fibonacci 數列 的情況下, Q 和 Fibonacci Q 矩陣是相同。 接著再觀察一下 Q 的 n 次方的情形。

Qⁿ [

g₁ g0

]

= [

c d 1 0

]n[ g₁ g0

]

= [

c d 1 0

]n−1[ g₂ g1

]

=· · · = [

g_n+1 gn

]

但是由原來的二階遞迴數列的定義方式我們可以知道 [g_n+1

g_n ]

=

[ cg_n+ dg_n−1 cg_n−1+ dg_n−2

]

= [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

ag_n−1 ^d_ag_n−2

] [ac a

]

= [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

ag_n−1 ^d_ag_n−2 ] [g₁

g₀ ]

比較兩個等式的相似處, 猜測下面這個式子是否會永遠成立呢?

Qⁿ= [

c d 1 0

]n[ g₁ g0

]

= [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

agn−1 d agn−2

]

, ∀ n ≥ 1。

如果能寫出證明的話, 就能證實我們的猜測了。 而我們現在就試著把這猜測的證明寫下來。

定理2-1:

令 gn =







0 n =−1

a n = 0

cg_n−1+ dg_n−2 n ≥ 1

, 而 Q = [

c d 1 0

]

則 Qⁿ= [

c d 1 0

]n

= [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

ag_n−1 ^d_ag_n−2 ]

, ∀ n ≥ 1。

證明: 利用數學規納法來證明之 (1) 當 n = 1 時 [

1

ag₁ ^d_ag₀

1

ag₀ ^d_ag₋₁ ]

= [ 1

aac ^d_aa

1 aa ^d_a0

]

=

[ c d 1 0

]1

定理 2-1 成立。

(2) 假設定理 2-1 對 n = k 時成立, 也就是說 [

c d 1 0

]k

= [ 1

ag_k ^d_ag_k−1

1

ag_k−1 ^d_ag_k−2 ]

那麼當 n = k + 1 的時候 [ c d

1 0 ]k+1

=

[ c d 1 0

]k[ c d 1 0

]

= [ 1

ag_{k a}^dg_k−1

1

ag_{k−1 a}^dg_k−2

] [ c d 1 0

]

= [ _cg

k+dgk−1

a

d ag_k

cgk−1+dgk−2

a

d ag_k−1

]

= [1

ag_{k+1 a}^dg_k

1

ag_k ^d_ag_k−1 ]

。

(3) 由數學歸納法我們可以得出結論 Qⁿ =

[ c d 1 0

]n

= [ 1

agn d agn−1 1

ag_n−1 ^d_ag_n−2 ]

, ∀ n ≥ 1。 

接著由定理2-1中數列和 Q 矩陣的關係, 藉由一些矩陣的運算我們可以得出一些有關這 些數列的特殊性質。

性質2-2:

(−d)ⁿ = d

a²(g_ng_n−2− gn²−1) 證明: 由定理2-1再取其行列式

det ([

c d 1 0

])n

= det

([ 1

ag_{n a}^dg_n−1

1

agn−1 d agn−2

])

, ∀ n ≥ 1。

性質2-3:

(−d)ⁿ⁺² = d

a²(g²_n− cgng_n−1− dgn²−1)。

證明: 藉由性質2-2, (−d)ⁿ = _a¹2(g_ng_n−2− g_n²₋₁),再將 gn = cg_n−1+ dg_n−2 代入平移一項。

性質2-4:

g_n+m= 1

ag_ng_m+d

ag_n−1g_m−1 = 1

ag_n+1g_m−1+ d

ag_ng_m−2 證明: 藉由定理2-1和矩陣相乘得出式子

[ c d 1 0

]n+m

=

[ c d 1 0

]n[ c d 1 0

]m

⇔ [ 1

ag_n+m ^d_ag_n+m−1

1

ag_n+m−1 ^d_ag_n+m−2 ]

= [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

ag_n−1 ^d_ag_n−2

] [ 1

ag_m ^d_ag_m−1

1

ag_m−1 ^d_ag_m−2 ]

= [ 1

a²g_ng_m+ _a^d2g_n−1g_{m−1 a}^d2g_ng_m−1+ ^d_a²2g_n−1g_m−2

1

a²g_n−1g_m+_a^d2g_n−2g_{m−1 a}^d2g_n−1g_m−1+ ^d_a²2g_n−2g_m−2 ]

觀察矩陣的左上方及右上方可以得到性質2-4。

性質2-5:

(−d)^k· gn−k = d

ag_ng_k−2− d

ag_n−1g_k−1. 證明: 由定理2-1在 n > k ≥ 0 時, 利用矩陣乘法可以得到

[ c d 1 0

]n−k

= [

c d 1 0

]n[ c d 1 0

]_−k

⇔ [ 1

ag_n−k ^d_ag_n−k−1

1

ag_n−k−1 ^d_ag_n−k−2 ]

= [ 1

ag_{n a}^dg_n−1

1

ag_{n−1 a}^dg_n−2

] [ 1

ag_k ^d_ag_k−1

1

ag_k−1 ^d_ag_k−2 ]₋₁

= 1 (−d)^k

[ d

a²g_ng_k−2− _a^d2g_n−1g_k−1 −_a^d2g_ng_k−1+_a^d2g_n−1g_k

d

a²g_n−1g_k−2−_a^d2g_n−2g_k−1 − _a^d2g_n−1g_k−1+_a^d2g_n−2g_k ]

觀察等式左上角可以得到性質2-5。

推論2-6: 現在我們回頭來看 Fibonacci 數列的一些性質, 將以上這些性質代入 Fibonacci 數 列可以得到以下結果:

(−1)ⁿ= (F_nF_n−2− Fn²−1) (−1)ⁿ= (F_n²− FnF_n−1− Fn²−1)

F_n+m= F_nF_m+ F_n−1F_m−1 = F_n+1F_m−1+ F_nF_m−2 (−1)^k· Fn−k = F_nF_k−2− Fn−1F_k−1

又因為 Fibonacci Q 矩陣相較於其他的矩陣, 有更好的一些性質, 也就是 Q² = Q + I 及 (Q − I) · Q = I, 所以能夠得到更好的一些結果:

性質2-7:

F_2n+p =

∑n i=0

(n i

)

· Fi+p.

證明:[

F_2n+p F_2n+p−1 F_2n+p−1 F_2n+p−2

]

= Q^2n+p = Q^pQ²ⁿ = Q^p(Q²)ⁿ

= Q^p(Q + I)ⁿ= Q^p

∑n i=0

(n i

)

· Qⁱ

= [

F_p F_p−1 Fp−1 Fp−2

]

·







∑n i=0

(n i

) F_i

∑n i=0

(n i

) F_i−1

∑n i=0

(n i

) F_i−1

∑n i=0

(n i

) F_i−2







再去查看矩陣的左上角就可以得到 性質2-8:

F₁+ F₂+· · · + Fn= F_n+2− 1 證明:

(I + Q + Q²+· · · + Qⁿ)· (Q − I) = Qⁿ⁺¹− 1

⇒ I + Q + Q²+· · · + Qⁿ = (Qⁿ⁺¹− I) · (Q − I)⁻¹

⇒ I + Q + Q²+· · · + Qⁿ = Qⁿ⁺²− Q

⇒







∑n i=0

F_i

∑n i=0

F_i−1

∑n i=0

F_i−1

∑n i=0

F_i−2





=

[ F_n+2− F1 F_n+1− F0

F_n+1− F0 F_n− F−1

]

三、 一般二階遞迴數列

在知道了特殊情況下的二階遞迴數列與 Q 矩陣的關係之後, 我們會想要知道是不是所有 的二階遞迴數列都有類似關係呢? 一般的二階遞迴數列定義如下

h_n =







a n = 0

b n = 1

chn−1+ dhn−2 n≥ 2

首先, 想先看看是不是除了類似 Fibonacci 數列之外, 還有其他種類數列和 Q 矩陣有關。

由 Hoggatt & Ruggles [6], 我們可以知道 Lucas 數列和 Fibonacci-Q 矩陣有關係 : [ 1 2

2 − 1

] [ 1 1 1 0

]n

=

[ L_n+1 L_n L_n L_n−1

]

而 Lucas 數列 {Ln}^∞n=1 就是 a = 2, b = 1, c = 1, d = 1 的情形。

如果我們可以知道一般遞迴數列和之前討論的特殊數列的關係。 或許就能夠找出類似 Lu- cas 數列與 Q 矩陣的關係式。 我們已經知道 Fibonacci-Q 矩陣和 Fibonacci 數列有關, 再由 以下運算發現 Lucas 數列和 Fibonacci 數列之間的關係。

[

1 2 2 − 1

] [ 1 1 1 0

]n

= [

L_n+1 L_n L_n L_n−1

]

⇔ [

1 2 2 − 1

] [

F_n F_n−1 F_n−1 F_n−2

]

= [

L_n+1 L_n L_n L_n−1

]

⇔ [

Fn+ 2Fn−1 Fn−1+ 2Fn−2

2Fn− Fn−1 2Fn−1− Fn−2

]

= [

Ln+1 Ln

Ln Ln−1

]

所以現在要試著找出一般二階遞迴數列 {hn}n≥0 和之前所討論的特殊遞迴數列 {gn}_≥−1 的關係式, 接著再結合定理2-1就可以得到一般遞迴數列和 Q 矩陣的關係。

先比較之前的遞迴數列和一般的二階遞迴數列來猜測結果, 而為了要讓這兩個可以比較, 我們拿有相同遞迴關係及相同首項的兩個數列來觀察。

g_n =







a n = 0

ac n = 1 cg_n−1+ dg_n−2 n ≥ 2

h_n=







a n = 0

b n = 1

ch_n−1+ dh_n−2 n ≥ 2

這兩個數列都擁有二階遞迴關係, 如果數列 gn 中的連續兩項和 hn 中的其中一項有線性 關係, 那麼我們就可以利用遞迴關係去確認 gn 及 hn 其他項也會有此種線性關係。

我們可做些猜測, 如果 hn= sg_n+ tg_n−1

當 n = 0 的時候 h0 = sg₀+ tg₋₁ ⇔ a = sa + t0 ⇔ s = 1

當 n = 1 的時候 h1 = sg₁+ tg₀ ⇔ b = sac + ta = ac + ta ⇔ t = ^b−ac_a 由此, 我們可以猜出之前的特殊遞迴數列和一般遞迴數列的關係式。

定理3-1: 令

g_n =







0 n =−1

a n = 0

cg_n−1+ dg_n−2 n ≥ 1

h_n=







a n = 0

b n = 1

ch_n−1+ dh_n−2 n ≥ 2

則 [ b

a d

1 ^b−ac_a ] [

g_n g_n−1 g_n−1 g_n−2

]

= [

h_n+1 h_n h_n h_n−1

]

。

證明: 先利用數學規歸納法證明矩陣下半部的式子 hn = g_n+ ^b−ac_a g_n−1 (1) 當 n = 0, h0 = a = a + ^b−ac_a 0 = g₀+ ^b−ac_a g₋₁

當 n = 1, h1 = b = ac + ^b−ac_a a = g₁+ ^b−ac_a g₀

(2) 假設 n ≤ k − 1 定理 3-1 都是對的, 也就是說 hn = g_n+ ^b−ac_a g_n−1 當 n = k 的時候

h_k= ch_k−1+ dh_k−2 = c (

g_k−1+b− ac a g_k−2

) + d

(

g_k−2+b− ac a g_k−3

)

= (cgk−1+ dgk−2) + b− ac

a (cgk−2+ dgk−3)

= g_k+ b− ac a g_k−1

(3) 由數學歸納法可以知道 hn = g_n+ ^b−ac_a g_n−1

接著要證明上半部的式子, 在已經知道 hn= g_n+^b−ac_a g_n−1 的情形下。

h_n= g_n+b− ac

a g_n−1 = (cg_n−1+ dg_n−2) + b− ac

a g_n−1 = (b

a )

g_n−1+ dg_n−2 推導出矩陣上半部的式子 hn=

(b a

)

g_n−1+ dg_n−2 由這兩個關係式, 我們可以寫出一個矩陣的式子

[ b

a d

1 ^b−ac_a

] [ g_n g_n−1 g_n−1 g_n−2

]

=

[ h_n+1 h_n h_n h_n−1

]



在找出一般遞迴數列和特殊遞迴數列的關係後, 我們可以把定理3-1的結果和定理2-1的 結果結合, 得到下面這個定理。

定理3-2:

h_n =







a n = 0

b n = 1

chn−1+ dhn−2 n≥ 2 [

b ad a b− ac

] [ c d 1 0

]n

= [

h_n+1 dh_n h_n dh_n−1

]

, n≥ 1.

證明:[

h_n+1 dh_n h_n dh_n−1

]

= [

h_n+1 h_n h_n h_n−1

] [ 1 0 0 d

]

= [ b

a d

1 ^b−ac_a ] [

g_n g_n−1 gn−1 gn−2

] [ 1 0 0 d

]

= [

b ad a b− ac

] [ 1

ag_n ^d_ag_n−1

1

ag_n−1 ^d_ag_n−2 ]

= [

b ad a b− ac

] [ c d 1 0

]n

.

 同樣的, 利用定理3-2和矩陣運算, 我們可以發現這些一般二階遞迴數列的一些性質。

性質3-3:

(h²₁− h2h₀)(−d)ⁿ = d(h_n+1h_n−1− h²n).

證明: 由定理3-2和矩陣的行列式可以得到

det

([ b ad a b− ac

] [ c d 1 0

]n)

= det

([ h_n+1 dh_n h_n dh_n−1

]n)

, n≥ 1

⇔ (h²1− h2h₀)(−d)ⁿ= d(h_n+1h_n−1− h²n). 

四、 在判斷 log-convex 及 log-concave 上的應用

log-concave是 logarithmically concave 的縮寫, 在 1989 年 Stanley 的文章中 (Stan- ley [13]) 說明了許多由代數、 組合以及幾何中與 log-concave 及 unimodal 數列的一些事 物。 像是利用直接計算來確認巴斯卡三角形的數列 (_n

0

), (_n

1

), . . ., (_n

n

), 是 log-concave、 若 P (x) =

∑n j=0

(_n

j

)a_jx^j 是沒有根的多項式, 則 {aj}j≥0 是 log-concave · · · 等結果。

那麼什麼是 log-concave 呢? 一般將 log-convex 和 log-concave 的定義如下 一個數列 {hn}n∈N∪0 被稱為 log-concave 如果 hk−1h_k+1≤ h²k, k ≥ 1。

一個數列 {hn}n∈N∪0 被稱為 log-convex 如果 hk−1h_k+1 ≥ h²_k, k ≥ 1。

而現在我們將藉由性質3-3, 我們能夠利用不同於其他證明的方法推導出在有關 log-convex 及 log-concave 的結果。

推論4-1: 令

h_n=







a n = 0

b n = 1

ch_n−1+ dh_n−2 n ≥ 2

如 d<0 且 h0h₂≥h²1, 則數列 {hn}n∈N∪0 為 log-convex, 也就是說 hk−1h_k+1≥h²k, k≥1。

如 d<0 且 h0h₂≤h²1, 則數列 {hn}n∈N∪0 為 log-concave, 也就是說 hk−1h_k+1≤h²k, k≥1。

證明: 由性質3-3 (h²1− h2h₀)(−d)ⁿ= d(h_n+1h_n−1− h²n)

因為 h²1− h0h₂ ≤ 0, d < 0, 所以 hn+1h_n−1− h²n≥0 ⇒ hn+1h_n−1 ≥ h²n。 因為 h²1− h0h2 ≥ 0, d < 0, 所以 hn+1hn−1− h²n≤0 ⇒ hn+1hn−1 ≤ h²n。 同樣的我們可得到。

推論4-2:

h_n=







a n = 0

b n = 1

ch_n−1+ dh_n−2 n ≥ 2

假如 d>0 而且 h0h₂≥h²1, 那麼 h2k−2h_2k≥h²2k−1, k≥ 1 而 h2k−1h_2k+1≤h²2k, k≥1。

假如 d>0 而且 h0h₂≤h²1, 那麼 h2k−2h_2k≤h²_2k−1, k≥ 1 而 h2k−1h_2k+1≥h²_2k, k≥1。

證明: 如同推論4-1。

推論4-3: 而在 Lily [12] 和 Doslic & Veljan [4] 提出了一些有關特殊數列的一些性質。

F_2k−2F_2k ≥ F_2k²₋₁, k≥ 1, L_2k−2L_2k ≥ L²_2k−1, k ≥ 1, P_2k−2P_2k ≥ P_2k²₋₁, k≥ 1 F_2k−2F_2k+1 ≤ F2k² , k≥ 1, L_2k−1L_2k+1≤ L²2k, k ≥ 1, P_2k−1P_2k+1≤ P2k² , k≥ 1

在這裡我們利用不同與前兩篇的方法, 我們可以計算前三項 Fibonacci 數列 Fn = F_n−1+ F_n−2, 2 = F₀F₂ ≥ F1² = 1。 Lucas 數列 Ln= L_n−1+ L_n−2, 6 = L₀L₂ ≥ L²₁ = 1。 Pell 數列 Pn= 2P_n−1+ P_n−2, 5 = P₀P₂ ≥ P1² = 4。

再由推論4-2可以得到和 Lily [12] 和 Doslic & Veljan [4] 相同的結果。

除了性質3-3以外, 將結果稍微調整, 可以得到下面這個性質。

推論4-4:

(h²₁− h2h0)(−d)ⁿ = (h²_n+1− chn+1hn− dh²n).

證明: 由性質3-3 (h²₁− h2h₀)(−d)ⁿ= d(h_n+1h_n−1− h²_n)將 hn+1= ch_n+ dh_n−1 代入, 再 把 n 換成 n + 1 可以得到

(h²₁− h2h₀)(−d)ⁿ⁺¹= d(dh²_n+ ch_n+1h_n− h²n+1)

⇔ (h²₁− h2h₀)(−d)ⁿ= (h²_n+1− chn+1h_n− dh²_n) 而這和 Astin [1] 的結果是相同的

五、 致謝

這篇文章是在參加中央研究院數學研究所的暑期研習生計畫時完成, 特別感謝薛昭雄老師 的指導以及中央研究院數學研究所給的機會。 同時也感謝審查者用心的建議, 使得這篇文章更 完整。

六、 附錄

以下是一些著名的數列符合之前所說的情形:

Fibonacci 數列 a = 1, c = 1, d = 1 Hoggatt & Ruggles [6]

Fibonacci 多項式 a = 1, c = x, d = 1 Civciv & T¨urkmen [3]

Lucas數列 a = 2, b = 1, c = 1, d = 1 Hoggatt & Ruggles [6]

Lucas多項式 a = 2, b = x, c = x, d = 1 Horadam [7]

Pell數列 a = 1, c = 2, d = 1 Horadam & Mahon [8]

Pell多項式 a = 1, c = 2x, d = 1 Hordam [8]

Pell-Lucas多項式 a = 2, b = 2x, c = 2x, d = 1 Horadam & Mahon [8]

第一種 Chebyshev 多項式 a = 1, b = x, c = 2x, d = −1 Horadam [7]

第二種 Chebyshev 多項式 a = 1, c = 2x, d = −1 Chen [2]

第一種 Dickson 多項式 a = 2, b = x, c = x, d =−a Lidl & Mullen & Turnwald [11]

第二種 Dickson 多項式 a = 1, c = x, d =−a Lidl & Mullen & Turnwald [11]

Jacobsthal數列 a = 1, c = 1, d = 2 Horadam [7]

Jacobsthal多項式 a = 1, c = 1, d = 2x Hordam [7]

Jacobsthal-Lucas 多項式 a = 2, b = 1, c = 1, d = 2x Horadam [7]

Fermat多項式 a = 1, c = 3x, d =−2 Hordam [7]

Femat-Lucas 多項式 a = 2, b = 3x, c = 3x, d =−2 Horadam [7]

Morgan-Voyce 多項式 a = 1, c = x + 2, d =−1 Swamy [14] [15]

Mersenne數列 a = 1, c = 3, d =−2 Horadam [7]

Koshy多項式 a = 1, c = 1, d = x Astin [1]

七、 參考資料

1. Astin, Jack, A Discriminant That Forms a Geometric Sequence, The Mathematical Gazette (July2008), pp.286-287.

2. Chen, William Y. C., The combinatorial power of the companion matrix, Linear Algebra and its Applications (1996) 232: pp.261-278.

3. Civciv, Hacl and T¨urkmen, Ramazan, On the (s, t)-Fibonacci and Fibonacci matrix sequences, ARS Combinatoria 87(2008), pp.162-173.

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—本文作者於投稿時為國立台灣大學數學系四年級學生—