TFW HW4
學號:R97942121 姓名:林宜鴻 系級:電信所碩二 (1) If the T-F distribution of a signal x(t) is
|Wx(t, f)| > ∆∆∆∆ when |t+0.4f −1 |2 + 0.5f2 < 5 |Wx(t, f)| < ∆∆∆∆ otherwise
Now, x(t) is interfered by white noise. How do we use three times of fractional filter (i.e., the filter designed by the fractional Fourier transform) to minimize the effect of white noise?
將原式展開並對他配方如下：
2 2 2
0.16 1 0.8 2 0.8 0.5 5 0 t + f + + tf − t− f + f − =
(t−1)2+0.8(t−1)f +0.66f2− = 5 0
寫成矩陣型式：
[
1]
1 0.4 1 50.4 0.66 t f t
f
−
− =
而 1 0.4
0.4 0.66
的固有值和其相對應的固有向量為：
1 0.3954
λ = ， 1 0.5518 0.8340
=
−
e 和λ2 =1.2646， 2 0.8340 0.5518
−
=
−
e 。
而最後可得到這樣的型式：
2 2
1 2
5 5 1
t f
λ λ
′ ′
+ = 。
其中橢圓長軸和頻率軸夾角為 1 0.5518
tan 33.49 0.8340
θ = − = °
。
而濾波器的參數如圖下所標：
(2) Why in biomedical engineering the high pass filter is required for extracting the signal related to the blood?
在生醫工程相關的應用上，我們都是利用超音波來抽取血流的訊號，但是因為血液本身是 有速度的，而當我們發射超音波靠近它時，會產生「都普勒效應」，所以我們利用接收到的 頻率變化來測知血流速度，而當血流比較快時，會得到比較高頻的聲音，而剩下可能都是 雜音，所以利用高頻濾波器來抽取信號。以下是一些訊號的比較，可以看出原本的訊號充 滿著雜音，而比較高的 cutoff，訊號比較少，雖然訊號比較乾淨，但也比較可能失真。
原本訊號原本訊號
原本訊號原本訊號 較高的較高的較高的較高的 cutoff 較低的較低的較低的較低的 cutoff
(3) Prove that (a) the LCT of a white noise is still a white one. (b) The Fresnel transform of a stationary random process is still a stationary one.
(a) 給定白噪音，其 WDF 和 ambiguity function 為 [E W t fg( , )]=σ 和 [E Ax( , )]η τ =σδ τ δ η( ) ( )， 在時頻軸上它是整個均勻分布在整個平面上，而對於η和τ 軸，它就是集中在原點，而 當一個白噪音做了 LCT 後，它並不會改變它的樣子，依舊是均勻分布在整個時頻軸上，
所以依然是個白噪音。
(b) Fresnel Transform，如下的形式，從它原本的形式並可拆成兩個一維的 LCT，
2 2
2 2
[( ) ( ) ] 2
( ) ( )
2 2
( , ) ( , )
1 1
( , )
i i
i i
k
ikz j x x y y
z
o i i i i i
k k
j y y j x x
ikz z z
i i i i i
U x y i e e U x y d x dy
z
e e e U x y dx dy
j z j z
λ
λ λ
∞ ∞ − + −
−∞ −∞
∞ ∞
− −
−∞ −∞
= −
=
∫ ∫
∫ ∫
其相當於 LCT 1 0 1
a b z
c d
λ
=
的情形。這樣的結果相當於是一個 chirp convolution 並加一 個 shearing effect。對一個靜態隨機過程來說，它的統計性質不會隨著時間而改變，只 跟時間差有關，其 auto-covariance 為R tx( , )1 τ =R tx( , )2 τ =Rx( )τ ，所以在經過 shearing 後，
它的時間差依然不會改變，所以一樣是個靜態隨機過程。
(4) Among the Gabor transform, the WDF, and the HHT, which one is better for the applications of (a) filter design for deterministic signal , (b) modulation and multiplexing, (c) signal sampling, (d) economical data analysis, and (e) electromagnetic wave propagation analysis? Also
illustrate the reasons.
(a) 濾波器設計：設計濾波器主要目的是要將原本訊號和背景雜音，所以使用時頻分析來 根據不同的時間去藉由時頻分析，我們就能夠看到頻率對時間軸的變化，然後去設計 適當的濾波器。傳統的濾波器只能濾掉在頻率軸沒有重疊的噪音，而使用時頻分析的 濾波器則可以分離在時間軸和頻率軸上的噪音，而選取 Gabor 的目的勝於 WDF 的目的 在於不會產生交叉項，這樣會更準確，而勝於 HHT 的原因是在於，使用 Gabor 對於時 頻分析較為精準，所以使用 Gabor 會比較好。
(b) 調變和解調：藉由 Gabor 還有水平/垂直位移，dilation，tilting 和 rotation 的輔助，我 們可以很容易地找到一個空的時頻空間，如圖(d)，將新的訊號調變進去，如圖(f)，比 起 WDF，使用 Gabor 最大的好處就是不會產生交叉項，如同圖(c)，我們很難找到一個 空的時頻空間。
(c) 訊號取樣：不一定，要看情況，根據取樣定理：我們都知道，取樣的點相當於時頻分 佈的面積，所以面積越小，所需的取樣點數就越少，雖然說 WDF 能夠有比較高的解析 度，產生較小的面積，但是它也會較嚴重的交叉項問題，所以在面對真實而且成份較 複雜的訊號時，通常還是會以 Gabor 為主。
(d) 經濟數列：HHT 最主要的想法是，將信號分成多個類似弦波的成份並加上它的趨勢，
而它的最大好處就是沒有很難的理論基楚，並可以找到函數的趨勢，所以用來分析經 濟數列是相當適合的。
(e) 電磁波分析：電磁波的傳輸模型，
2 2
[( ) ( ) ]
( , ) 2 i i ( , )
k
ikz j x x y y
z
o i i i i i
U x y i e e U x y d x dy
λ z
∞ ∞ − + −
−∞ −∞
= −
∫ ∫
，它就是像是 LCT 一樣，會對於訊號產生一個 shearing 效果，當訊號越遠時，shearing 越大，而再根據 WDF 的 shearing 性質，W t fx( , )=W t yy( , −at)，相較於 Gabor 的性質
( , ) ( , )
x y
S t f ≈S t y−at ，WDF 不會產生誤差，所以能更準確地利用 shearing 的程度來判 斷距離。
(5) Why the Hilbert Huang transform is suitable for climate analysis?
HHT最主要的想法是，將信號分成多個類似弦波的成份並加上它的趨勢，這邊也就是和複 利葉分析最不一樣的地方，主要在於這些弦波的週期和振幅可以不是固定的，而它的最大 好處就是沒有很難的理論基楚，並可以找到函數的趨勢，以下就是一個簡單的例子：
將原本的是三個成份相加的訊號，能夠拆成三個部份：
( ) 0.2 cos(2 ) 0.4 cos(10 )
x t = t+ πt + πt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-2 -1 0 1 2 3 4
而對於氣候分析來說，一年有四個季節，包含了春夏秋冬四個成份，每個季節的晴雨陰天 的組成成份不太一樣，所以利用 HHT 可以很明顯抽出這些成份的特徵，而再來我們想要看 年和年之間有沒有一種特別的趨勢，例如：溫室效應，就可以利用 HHT 來看出這樣的趨勢 明不明顯。
(6) How many entries of the 2k-point Haar transform are equal to 0, 1, and -1? Express the solutions in term of k
以下是一個23= 點的 Haar 轉換， 8
我們可以發現它的規律，它可以由上往下依序拆成2k = +1 20+21+... 2+ k−1個列，而來觀察 他們的個數：
(a) N(1)= ⋅1 2k+20⋅2k−1+2 21⋅ k−2+... 2+ k−1⋅20 =2k+k2k−1 (b) N( 1)− =20⋅2k−1+2 21⋅ k−2+... 2+ k−1⋅20 =k2k−1
(c) N(0)=N all( )−N(1)−N( 1)− =22k−(k+1)2k
