摘要

摘要

本研究以有限元素之插分法利用κ-ε與κ-ω兩種紊流模式求 解完全發展下之圓管流場，並利用近牆分佈之實驗數據探討不同模式 下分析之差異。其中以 Chien 之κ-ε紊流模式在速度斷面分佈上最 接近實驗數據。在渦流剪應力之分佈上也是 Chien 之κ-ε紊流模式 最接近實驗數據，且在較高雷諾數時 Jones-Launder 之κ-ε與高或 低雷諾數之κ-ω模型有數值波動之情形。在紊流強度之分佈上，

Chien 之κ-ε模式結果有較佳之近牆分佈，但在管中央處κ-ω則較 吻合實驗數據。在紊流散逸分佈上，Chien 之κ-ε紊流模型之結果 略高於實驗數據而 Jones-Launder 之κ-ε分析值則較低。此外透過 Chien 之κ-ε紊流模式之係數修正可將速度斷面分佈與管中央處紊 流強度調整使其分佈更符合實驗之結果。另外，透過近牆函數之係數 修正則可將近牆區之紊流強度與紊流散逸分佈逼近實驗結果，但仍有 一些差距，未來可能需透過函數之改變方能進一步之修正。最後透過 Chien 之κ-ε紊流模型在不同雷諾數下圓管摩擦係數之比對，其結 果皆非常吻合實驗數據，且分析程式能自動符合層流與紊流之流場而 無須做任何切換。

Abstract

Two turbulent models, κ-ε and κ-ω, were studied on the fully developed pipe flow problem. A finite element derivative formulation was used to discretize the governing equations. The near wall distribution of velocity turbulent shear stress, turbulent kinetic energy, and turbulent dissipative rate, was compared. The Chien’s κ-ε model provides the best velocity distribution and turbulent shear stress among all models. There is numerical oscillation for Jones-Launder κ-ε model, high Reynolds number κ-ω model, and low Reynolds number κ-ω model.

The near wall distribution of turbulent kinetic energy from Chien’s κ-ε model agrees with experiment data best. However, at the center of the pipe, κ-ω model gives a better agreement with experiment data on turbulent kinetic energy. The standard Chien’s κ-ε model gives a higher prediction on turbulent dissipation rate. On the other hand, the Jones-Lauder κ-ε model gives a lower prediction on turbulent dissipative rate. Further modification on the coefficient of dissipative rate equation of Chien’s κ-ε model gives a much better agreement on the distribution of turbulent kinetic energy and turbulent dissipative rate at the center of the pipe. Also, modification on the coefficients of near wall functions in turbulent kinetic equation and turbulent dissipative rate equation provides a better distribution near the wall. However, further modification of the coefficient for the near wall functions does not produce a better correlation with the experimental data, instead numerical oscillation occurs. Using the current Chien’s κ-ε model to the friction coefficient prediction for all Reynolds number, the results agrees with experimental data very well. There is no need for any switch from laminar flow to turbulent flow in the program.

誌謝

本研究得以順利的完成，首先對我的指導教授楊一龍老師致 上十二萬分謝意。由於楊老師您細心的指導，使我逐漸學習成長，

也因為教授嚴謹的教學態度與研究的精神，讓我研究所這三年學到了 很多的知識。在此，特別向恩師致上心中萬分地謝意。

接著，非常感謝清華大學洪哲文博士及本校鄭藏勝博士等幾位口 試委員，由於您們為本研究提供了許多寶貴的意見，使得本論文更加 完備。

在研究期間，謝謝本屆的同學及學弟勝翔、長毅、才元與國 龍，陪我共同學習成長，彼此互相提攜勉勵。

最後，感謝我最敬愛的母親、大姊及大哥，感謝你們在我求 學的過程中，給予我最大的支持與鼓勵，使我得以順利完成學 業，僅以本文獻給你們，共同來分享我的成果與喜悅。

目 錄

中文摘要………I 英文摘要………II 誌謝………III 目錄………IV 表目錄………VI 圖目錄………VII 符號說明………XII

第一章 緒論………1

1-1 前言………1

1-2 文獻回顧………2

1-3 研究目的與方法………4

1-4 章節安排………5

第二章 網格的建立………6

2-1 網格分佈之影響………6

2-2 網格數目之影響………9

第三章 紊流模式………11

3-1 統御方程式………11

3-2κ-ε紊流模式………13

3-2-1 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式………14

3-2-2 Chien 之κ-ε紊流模式………15

3-3κ-ω紊流模式………16

3-3-1 高雷諾數 Wilcox 模式………17

3-3-2 低雷諾數 Wilcox 模式………18

第四章 數值分析與實驗結果比較………19

4-1 流速之分佈………19

4-2 擾動剪應力之分佈………23

4-3 擾動動能之分佈………26

4-4 紊流散逸能量之分佈………31

4-5 擾動剪應力及紊流動能之分佈………34

4-6

C

hien 之κ-ε紊流模式之修正………37

4-6-1 紊流散逸能量之係數影響(C_ε1、C_ε2)………38

4-6-2 近牆函數之係數影響………45

4-7 層流與紊流下摩擦係數之分析………53

第五章 結論與未來展望………55

5-1 結論 ………55

5-2 未來展望 ………56

參考文獻………57

表目錄

表 4-1 C_ε1與C_ε2之參數表………38

圖目錄

圖 2-1 不同控制參數(β)之網格分佈圖(格點數=101)………8

圖 2-2 不同網格分佈對分析之速度斷面之影響………8

圖 2-3 不同格點數之網格分佈圖(β=0.001)………9

圖 2-4 不同網格數對分析之速度斷面之影響………10

圖 4-1 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁵)………21

圖 4-2 近壁區不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁵)……21

圖 4-3 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁴)………22

圖 4-4 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D＝2.2 10× ⁴)………22

圖 4-5 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D＝6000)………23

圖 4-6 不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁴)……24

圖 4-7 不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較(Re_D＝2.2 10× ⁴)……24

圖 4-8 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較 (Re_D＝5 10× ⁴)………25

圖 4-9 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較 (Re_D＝2.2 10× ⁴)………26

圖 4-10 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁵)………27

圖 4-11 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較 ( Re ＝5 10× ⁵)………27

圖 4-12 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁴)………29 圖 4-13 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D＝2.2 10× ⁴)……29 圖 4-14 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較

(Re_D＝5 10× ⁴)………30 圖 4-15 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………31 圖 4-16 不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D＝5 10× ⁴)………32 圖 4-17 不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D＝2.2 10× ⁴)……33 圖 4-18 近壁區不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較

( Re_D＝5 10× ⁴)………33 圖 4-19 近壁區不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………34 圖 4-20 不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較

(Re_D＝5 10× ⁴)………35 圖 4-21 不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………35 圖 4-22 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較

( Re_D＝5 10× ⁴)………36

圖 4-23 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較 (Re_D = 2.2 10× ⁴)………37 圖 4-24 改變紊流散逸能量係數對速度分佈之影響(Re_D＝5 10× ⁴)…38 圖 4-25 改變紊流散逸能量係數對速度分佈之影響

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………39 圖 4-26 改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響

(Re_D＝5 10× ⁴)………40 圖 4-27 改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響

( Re_D＝2.2 10× ⁴)………40

圖 4-28 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響

( Re_D＝5 10× ⁴)………41 圖 4-29 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響

( Re_D＝2.2 10× ⁴)………42

圖 4-30 改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響

(Re_D＝5 10× ⁴)………43 圖 4-31 改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………43 圖 4-32 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響

(Re_D＝5 10× ⁴)………44

圖 4-33 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………45 圖 4-34 改變近牆函數之係數對速度分佈之影響(Re_D＝5 10× ⁴)……46 圖 4-35 改變近牆函數之係數對速度分佈之影響(Re_D＝2.2 10× ⁴)…47 圖 4-36 改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響

(Re_D＝5 10× ⁴)………48 圖 4-37 改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………48 圖 4-38 近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響

( Re_D＝5 10× ⁴)………49 圖 4-39 近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響

( Re_D＝2.2 10× ⁴)………50

圖 4-40 改變近牆函數之係數對紊流散逸分佈之影響

( Re_D＝5 10× ⁴)………51 圖 4-41 改變近牆函數之係數對紊流散逸分佈之影響

( Re_D＝2.2 10× ⁴)………51

圖 4-42 近壁區改變近牆函數之係數對紊流散逸分佈之影響

( Re_D＝5 10× ⁴)………52

圖 4-43 近壁區改變近牆函數之係數對紊流散逸分佈之影響

(Re_D＝2.2 10× ⁴)………53 圖 4-44 以 Chien 之κ-ε紊流模式分析之摩擦係數分佈…………54

符號說明

h 圓管半徑 β 網格疏密度

δ 網格點邊界層厚度

NI

x 方向所欲取的格點數

NJ

y 方向所欲取的格點數

vT

渦流黏滯係數為

C_μ

常數

f_μ

阻尼方程式

κ

紊流動能

ε 紊流動能消散率

Vr

r方向之速度

V_θ

θ方向之速度

Vz

z方向之速度

ρ

密度

τrr,τ_θθ,τ_zz,τ_rθ,τ_θz,τ_rz 黏滯剪應力

ε%

修正後之紊流動能消散率

ω 特殊消散率

fu

,

f₁

,

f₂

,

ε₀

,

E

紊流模式下的經驗函數

C_ε1

,

C_ε2

,

C_μ

,

σ_k

,

σ_ε

紊流模式下的相關變數

ReT

紊流雷諾數

u

時間平均軸向流速 y+ 無因次化距離

D 圓管直徑

V* 摩擦速度

第一章 緒論

1-1 前言

紊流擁有複雜的流場結構，在自然界裡是常見的流場，紊流的發 生在於層流的不穩定，為三維不穩態並含有複雜的渦漩結構。紊流的 波動使得流場之混合能力大增，熱、質量及動量等傳遞能力都比層流 還強。

科學家與工程師在分析紊流流場時可經由實驗或數值模擬，在早 期由於計算機能力不強，所以大都採用實驗來分析紊流流場，但早期 在實驗設備的限制下，對於一些複雜的流場無法充分的量測跟分析，

直到雷射量測技術（LDV）的出現，才對紊流流場有更精確的量測，

並且進一步地分析紊流流場之結構。在數值模擬方面，隨著計算機在 運算能力的進步，紊流模式發展的速度也大幅提昇，以及數值方法不 斷的出現與更新，在模擬紊流流場已經有不錯的成果。由於數值模擬 在時間跟空間上比較不受限制，所以已經有越來越多的學者都以數值 模擬作為分析工具。

κ−ε紊流模式為目前被廣泛所使用的紊流模式，傳統高雷諾數 的κ−ε模式已經應用的相當普遍。此模式為了解決近壁區間速度的 變化，以簡單的對數定律(Law of wall)來決定近壁區(Near wall

region)格點速度，以減少近壁區需大量格點來計算紊流邊界層內的 速度變化，而在近壁區由於管壁粗糙物影響紊流動黏滯係數，即流體 的流速較小，相對雷諾數也較小，若將傳統高雷諾數的κ-ε紊流方 程式應用到整個域區，將造成低紊流區的渦流黏滯係數(Eddy

viscosity)被高估，所計算出來的流場會有相當程度的誤差。而κ- ω不需任何阻尼方程式修正，所以數學式更簡化。

1-2 文獻回顧

1972 年，Launder 和 Spalding[1]所發展高雷諾數配合壁函數 (Wall functions) 之

κ-ε

雙方程式應用最廣泛也最為著名。然而此 模式以簡單之對數定律(law of wall)來決定近壁區(Near- wall region)之速度，如此一來，對於較大迴流區域的速度常常有過大的 預估。1972 年，Jones 和 Launder[2]提出低雷諾數雙方程式模式來 解決近壁區之紊流黏滯係數和流體之速度。雖然可以解決較複雜之紊 流流場如大迴流區之流場等，然而此模式無法一般化，常為特定問題 及配合實驗來決定合適之紊流常數值，再加上計算上複雜和需要大量 之數值計算，選擇和使用上無法如傳統κ-ε模式方便。1977 年，

Launder

[3]

為了處理不同的物理狀況而提出了新的κ-ε修正模

式，這些模式考慮到層流次層中紊流衰減的效應，必須使用邊牆函

數（wall function），使其適用性更廣，所得結果已與實驗值相 當地接近了。

1982 年，Chien[4]使用改良後之低雷諾數紊流模式（Low Reynolds Number Turbulence Model）來預測管流及邊界層流所得的 結果較前人更為精準。1987 年，Yap[5]為求降低近壁區的紊流長度 量 (Length scale) ， 則 在 低 雷 諾 數 模 式 的 紊 流 消 散 率 方 程 式 ( ε -equation)中加入一源項(Source term)，其結果與實驗數據和應力 模式的結果相互比較，得到相當好的結果，如此一來便擴大了

κ-ε

紊流模式的應用空間。1991 年 Theodoridis [6]也以平板為測試模 型，比較數種不同類型之低雷諾數

κ-ε

紊流模式於過渡流區域之預 測能力，其研究結果顯示，在紊流強度 3%到 6%之間，Lauder-Sharma 紊流模式有比較好之表現。1991 年，Schmide 和 Patanker[7] [8]

分 別 測 試 兩 種 不 同 型 式 之 低 雷 諾 數 k- ε 紊 流 模 式 (Jones and Launder，Lam and Bramhorst)，並提出修正型之壁面函數以正確地 捕捉過渡流發生與結束之位置。1993 年，Yang 和 Shih[9]利用速度 梯度與時間梯度修正了 Lam and Bremhorst model，這也讓往後的數 值模擬與實驗數據更加準確。1993 年，Wilcox[10]推導出了κ-ω紊 流模式，他的好處是在黏滯流的次邊界層(sublayer)不需要加入阻尼 方程式(damping function)以修正k−ε 所產生的不一致而得到精確 的答案。

1995 年

，

Chang 與 Hsieh

[11]

依據 Laufer 實驗數據及考

慮近牆極限行為，提出一新低雷諾數κ-ε紊流模式，但不採用邊 牆剪應力為參數，以解決奇異點問題。

1996 年，Craft[12]將非線 性黏性渦旋模式（nonlinear eddy-viscosity model）加入應力不變 量（stress-invariant）應用於管之紊流及渦輪機葉片流場分析中；

增加應力不變量之後，對於管紊流預測更加精準。1998 年，魏大均 [13]在壓縮流場的紊流模式研究中採用邊牆函數， 以其規範近牆處 邊界情況， 避開黏滯流區域(viscous sublayer)。1999 年，邱聖棻 [14]用 Hsieh and Chung 所發展一強健式低雷諾數紊流模式（robust low reynold number turbulent model）來進行可壓縮流場的模擬。

低雷諾數

κ-ε

紊流模式可直接延伸至牆上，能較準確模擬紊流的近 牆極限行為（near-wall limiting behavior），但由於其在邊界所 要求的密度非常高，在此非正交格點研究之初，遇到相當大的阻礙。

1-3 研究目的與方法

自然界裡紊流是常見的現象，由於充滿著複雜性與不確定性，且影 響流體行為很大，因此吸引很多學者投入這方面的研究，但至今仍無法 很清楚了解及描述紊流的現象。

透過最減化的完全發展之紊流圓管流場之結果進行分析比較，本論 文是利用自行開發的程式配合不同紊流模式模擬並且比較κ-ε、κ-

ω何者能最快速解析並最能符合實際管流之紊流流場。

1-4 章節安排

本研究論文分為五個章節，第一章—緒論，主要是說明本論文研究 目的與方法並敘述前人所作之結果。第二章—網格建立，說明網格建立 所使用的方法與不同網格疏密度及不同網格數目所造成之影響。第三 章—紊流模式，敘述本研究所使用到的四種紊流模式並說明其相關函數 與係數。第四章—數值分析，比較κ-ε、κ-ω與實驗數據的差異並討 論何者與實驗最相近。第五章—結論及未來展望，歸納研究中所得之成 果並說明未來發展之方向。

第二章 網格的建立

當使用模擬數值方法求解自然物理現象時，首先必須要決定出計 算模擬的定義區域，由於受到了計算模擬精確度及電腦軟體計算處理 容量，計算速度的限制，所以必須選取足夠並且可以解析出計算模擬 流場物理現象之網格點數目，以及將這些有限的網格點依計算流場解 析度的要求，做適當的安置處理，這便是計算流場網格點產生時須要 加以考慮的重要方向。

以目前網格點產生方法大致分為兩大類，其一為結構性網格 (Structural Grid)，其二為非結構性網格點(Unstructural Grid)。所謂 結構性網格點，其計算模擬流場網格點之排列組合有一定的順序，而 非結構性的網格點，則是計算模擬流場上的每一網格點，由於僅知道 其位置與相鄰各點的相對位置，因此就須以資料庫或矩陣方式儲存各 網格點之資料與相關連性。

2-1 網格分佈之影響

由於在實際運算的時後，數據都顯示在網格點上，所以在需要的 位置上給予較多的網格點，以取得所需要的資料，這便是網格點產生 法最重要之目的。

本研究採用幾何公式網格產生法，來建立模擬所需要的網格，其

轉換法如下介紹。

x=x

( ) ( )

( ) ( )

ln 1 ( / / 1 /

1 ln 1 / 1

y h y h

y β β

β β

⎡ + − ⎤ ⎡ − + ⎤

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − ⎡⎣ + − ⎤⎦ (2-1)

β=δ/h，δ為邊界層之厚度控制

其中 1<β<∞，β愈接近 1，則格點愈向 y=0 密集，h 設定為圓 管半徑，並將無因次設定為 1，其中y= −1 r，此x、y為轉換後之座 標，也就是等距之座標係，故取其逆轉換則可得

x=x

( ) ( ) ( { ) ( ) }

( ) ( )

1

1

1 1 1 / 1

1 / 1 1

y

y y h

β β β β

β β

−

−

⎡ + − − ⎡⎣ + − ⎤⎦ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎡ + − ⎤ +

⎢ ⎣ ⎦ ⎥

⎣ ⎦

(2-2)

當決定x與y之分佈時，便可得到 x、y 的分佈情形。一般直接取

(

^{L 1}

)

x NI

Δ = − ，

(

^{1 1}

)

y NJ

Δ = − (2-3)

其中NI，NJ分別表示 x、y 方向所欲取的格點數，分析所採用之網格 繪製於圖 2-1。其中β=0.01、0.001、0.0001 等三種分佈作為一討論，

當β大時較均勻，當β小時在壁面非常密集，其模擬出的結果為圖 2-2，當β採用 0.01 時，在 sublayer 內只有一個網格點，而當β為

sublayer 內少於 2 個網格點時會有波動之產生，且收斂至錯誤之答 案，採用β=0.001 與 0.0001 其結果幾乎一致，但後續之分析上將採 用β=0.001 作為基礎。

β=0.01 β=0.001 β=0.0001 圖 2-1 不同控制參數(β)之網格分佈圖(格點數=101)

圖 2-2 不同網格分佈對分析之速度斷面之影響

2-2 網格數目之影響

採用相同之分析比例(β=0.001)，但是不同格點數，其中以 21、

51 及 101 等三種情形做一比較，圖 2-3 所示其中採用 21 個格點之結 果，其中 sublayer 內有 5 個網格點，而採用 51 網格數與 101 個網格 則各有 12 與 22 個網格點於 sublayer 內。

網格數 21 網格數 51 網格數 101 圖 2-3 不同格點數之網格分佈圖(β=0.001)

分析之結果其流速分佈如圖 2-4 所示，採用格點數 J=21 在對數 區域有震盪情形，而採用格點數 J=51 與 J=101 則沒有，而且幾乎重 疊，分析紊流速度斷面之格點數不能過低，所以在接下來之紊流模式

討論中，將採用格點數 J=101、而格點分佈之參數為β=0.001 之結果 進行比較，其中 J 為計算時所有之網格數。

ln(y+)

u+

0 5

5 10 15 20 25

J=101 J=51 J=21

log-law zone viscous sublayer

圖 2-4 不同網格數對分析之速度斷面之影響

第三章 紊流模式

本研究採用了文獻中之四種紊流模式來解析圓管內之紊流流 場，其分別為κ-εJones- Launder 紊流模式[2]、κ-εChien 紊流 模式[4]、κ-ω高雷諾數紊流模式[16]及κ-ω低雷諾數紊流模式 [17]。

3-1 統御方程式

在處理紊流場時採用Reynolds平均方式處理長時間之平均流 速，其變數之時間平均之代號在公式中皆省略，其統御方程式如下：

( ) ( ) ( )

1 1

z 0

r

V V

r r rV r z

θ

θ

∂ ∂

∂ + + =

∂ ∂ ∂ (3-1)

r方向動量方程式

2 1 _{r rr}

r rr zr

r

v

Dv B

Dt r r r z r

θ τ τ θ τ τ τθθ

ρ ρ

θ

⎛ − ⎞= +∂ + ∂ +∂ + −

⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂

⎝ ⎠ (3-2)

θ方向動量方程式

2

r r 1 z r

Dv v v

Dt r B r r z r

θ θ θ θθ θ θ

θ

τ τ τ τ

ρ ρ

θ

∂ ∂ ∂

⎛ + ⎞= + + + +

⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂

⎝ ⎠ (3-3)

z方向動量方程式

1 _z

z zr zz zr

Dv B τ τ^θ τ τ

ρ^⎛⎜ ⎞ =⎟ ρ +^∂ + ^∂ +^∂ + (3-4)

應力與應變率之間的關係式：

Boussinesq 假設簡化其紊流場，擾動剪應力以渦流黏滯係數取代

' ' 2 2

3

k

t ij ij t

k

u v S u k

ρ μ δ μ^{⎛ ∂}x ρ ^⎞

− = − ⎜⎝ ∂ + ⎟⎠ (3-5)

2 ^r

rr

V τ = μ^∂r

∂ (3-6) 2 1 V V^r

r r

θθ θ

τ μ

θ

⎛ ∂ ⎞

= ⎜⎝ ∂ + ⎟⎠ (3-7)

2 ^z

zz

z

τ = μ^∂V

∂ (3-8)

1 _r

r

V V

r r r r

θ θ

θ

τ =μ^⎡⎢⎣ ∂^{∂ ⎛}⎜⎝ ^⎞⎟⎠+ ^∂∂ ^⎤⎥⎦ (3-9)

1 _z

z

V V

z r

θ θ

θ

τ =μ^⎡⎢⎣^∂∂ + ^∂∂ ^⎤⎥⎦ (3-10)

r z

rz

r

V V

τ =μ^⎡⎢⎣^∂∂z +^∂∂ ^⎤⎥⎦ (3-11)

其中μ μ μ= _l+ _t

而在完全發展軸對稱平行流下

其τ_rr＝τ_θθ＝τ_zz＝τ_rθ＝τ_θz＝0，僅有 _rz ^dVZ τ =μ dr 其統御方程式為

0 d ^{zr zr} dp dr r dz

τ τ

= + − (3-12)

其中由璧面剪力與壓力梯度之軸向力平衡關係為

4 2

dP

dz D R

ω ω

τ τ

= = (3-13)

利用摩擦速度V_* τ^ω

= ρ ，所以方程式3-12式可改寫成

2

2 *

1 dV^Z V 0

r r rv dr R

∂ ⎛⎜ ⎞ +⎟ =

∂ ⎝ ⎠ (3-14)

3-2κ-ε紊流模式

現今最普遍應用的紊流模式是Launder和Spalding[1]所提出的 雙方程式模式(two-equation model)其中包含了紊流動能κ和紊流 耗散率ε，一般稱之為κ-ε雙方程式。

κ-ε渦流黏滯係數之處裡方式為

%

2/

vT =C f k_{μ μ} ε (3-15) 其中 C_μ為一常數

f_μ為一 damping function

κ為紊流動能(turbulent kinetic energy)

ε%為修正後之紊流動能消散率(turbulent kinetic energy dissipation rate)

而所需之紊流動能與紊流能量散逸由兩個微分方程式所描述 其中紊流動量方程式為

( )

2 1

0 _T u _T / _k k

v r v v

r ε r r σ r

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-16)

而紊流消散方程式為

% %

( )

^%

2 2

1 1 2 2

0 _T u 1 _T /

f C v f C E r v v

k r k r r r

ε ε ε

ε ^{⎛∂ ⎞} ε ^{∂ ⎡} σ ^∂ε^⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − + + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-17)

ε與ε^%的關係如下

% 0

ε ε ε= + (3-18)

%

2 T

Re k εv

= ，y ^{u yT} v

+ = (3-19)

3-2-1 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式

Jones 和 Launder[2]所提出低雷諾數雙方程式之紊流模式來解 決近壁區之紊流黏滯係數和流體之速度。此模式可以解決較複雜的紊 流模式如大迴流區之流場。

在 Jones-Launder 紊流模式下

2

0 2 k

v y

ε = ^⎛⎜⎜⎝^∂∂ ^⎞⎟⎟⎠ ，

2 2

2 _T u2

E vv y

⎛∂ ⎞

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ 代入 3-16 式與 3-17 式得到新的紊流動

量方程式及紊流消散方程式如下 紊流動量方程式：

%

( )

2 2

0 _T u 2 k 1 _T / _k k

v v r v v

r ε ^⎛ y ^⎞ r r σ r

∂ ∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − − ⎜⎜⎝ ∂ ⎟⎟⎠ + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-20)

紊流消散方程式：

% %

( )

^%

2

2 2 2

1 1 2 2 2

0 _T u 2 _T u 1 _T /

f C v f C vv r v v

k r k y r r r

ε ε ε

ε ^{⎛∂ ⎞} ε ^{⎛∂ ⎞ ∂ ⎡} σ ^∂ε^⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − + ⎜⎝∂ ⎟⎠ + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-21)

在 Jones-Launder 紊流模式各相關函數如下

( )

exp 2.5 / 1 / 50

u T

f = ⎡⎣− +Re ⎤⎦

1 1

f =

2

2 1 0.3 ^ReT f = − e⁻

Jones-Launder

紊流模式所採用的係數如下

C_ε1=1.45, C_ε2=2.00, C_μ=0.09, σ_k=1.0, σ_ε=1.3 邊界條件：k=ε^%=0 at y=0

管中央 k ^% 0

r r

ε

∂ ∂

= =

∂ ∂

3-2-2 Chien 之κ-ε紊流模式

Chien[4]在 1982 年提出了低雷諾數紊流模式（Low Reynolds Number Turbulence Model），Chien 把 Jones-Launder 紊流模式的相 關函數與係數做了修正。

在 Chien 紊流模式下

0 2 k2

v y

ε = ，E 2v ^%₂e ^{y / 2} y ε ₋ ⁺

= − 代入 3-16 式與 3-17 式得到新的紊流動量方 程式及紊流消散方程式如下

紊流動量方程式：

%

( )

2

2

0 _T u 2 k 1 _T / _k k

v v r v v

r ε y r r σ r

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎦⎥ (3-22)

紊流消散方程式：

% % %

( )

^%

2 2

/ 2

1 1 2 2 2

0 _T u 2 ^y 1 _T /

f C v f C v e r v v

k r k y r r r

ε ε ε

ε ^{⎛∂ ⎞} ε ε ^{− + ∂ ⎡} σ ^∂ε^⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-23)

在 Chien 紊流模式下各相關函數為下

0.0115

1 ^y

f_μ = −e^{− +}

1 1

f =

( / 6)2

2 1 0.22 ^ReT f = − e⁻

所採用之係數為下

C_ε1=1.35, C_ε2=1.80, C_μ=0.09, σ_k=1.0, σ_ε=1.3 邊界條件：k=ε^%=0 at y=0

管中央 k ^% 0

r r

ε

∂ ∂

= =

∂ ∂

3-3 κ-ω紊流模式

κ-ε紊流模式被廣泛運用在各種工程問題上，但在近牆端加入 阻尼方程式(damping function)，因此 Wilcox[10]推導出了κ-ω紊 流模式，其好處不用區分次邊界層(sublayer)與對數區間(log-law region) 使數學式更簡化。Wilcox[10]相關方程式說明如下

κ-ω之渦流黏滯係數可表示為

T * /

v =α k ω

其中 κ為紊流動能(turbulent kinetic energy) ω為特殊消散率(specific dissipation rate) α*為模擬係數 (closure coefficient)

其紊流動量方程式：

( )

2 1

0 _T u * * _T k

v k r v v

r β ω r r σ r

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎡ ⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-24)

紊流特殊消散方程式：

( )

2

2 1

0 _T u _T

v r v v

k r r r r

ω ω

α ^{⎛∂ ⎞} βω ^{∂ ⎡} σ ^{∂ ⎤}

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (3-25)

3-3-1 高雷諾數 Wilcox 模式

1988 年，Wilcox[16]提出高雷諾數 Wilcox 紊流模式，因為不需 要加入阻尼方程式(damping function)，所以簡化了方程式加快了運 算的速度，在高雷諾數 Wilcox model 下各相關係數如下

α*=1， α=5/9， β*=9/100， β=3/40 σ*=1/2， σ=1/2

3-3-2 低雷諾數 Wilcox 模式

在 1992 年，Wilcox[17]提出了低雷諾數 Wilcox 紊流模式，修正 了高雷諾數 Wilcox 紊流模式之α*、α、β*三個函數，在低雷諾數 Wilcox model 下時，其修正過後之函數如下

*

0 /

* 1 /

T K

T K

Re R Re R α =α ⁺

+ (3-26)

( )

¹

0 /

5 *

9 1 /

T T

Re R Re R

ω ω

α = α ⁺ α ⁻

+ (3-27)

( )

( )

4

4

5 /18 /

* 9

100 1 /

T

T

Re R Re R

β

β

β = ⁺

+ (3-28) 所採用的係數如下

β=3/40， σ*=1/2， σ=1/2， α₀*=β/3 α₀=1/10， R_β=8， R_k=6， R_ω=27/10

ReT是紊流雷諾數，其關係式如下

T

Re k ωv

= (3-29)

第四章 數值分析

本研究模擬結果之比對實驗數據為 Lai 和 So[19]文獻裡之實驗 數據，其數據為雷諾數5 10× ⁴與雷諾數2.2 10× ⁴下對速度、紊流強度、

紊流散逸、渦流剪應力之實驗結果，為方便圖上的標明，實驗數據、

κ-εChien 紊流模式、κ-εJones-Launder 紊流模式、κ-ω高雷諾 數紊流模式及κ-ω低雷諾數紊流模式之比較將分別以 TEST、κ-ε CH、κ-εJ-L、κ-ωWH、κ-ωWL 之縮寫代表。另外在較高雷諾數5 10× ⁵ 則利用 Jones 和 Launder[2]文獻裡之實驗數據，而在低雷諾數 6000 則利用 Launder 和 Spalding[18]文獻裡之實驗數據。

4-1 流速之分佈

圖 4-1 之雷諾數為Re_D ρ^{V Dc}

= μ ，其中V_c為管中央速度，另外較高 雷諾數5 10× ⁵之比較上，因為κ-ω之結果有數值震盪的情形，而無合 理之分佈圖，故在圖 4-1 中僅繪製κ-ε之結果。利用 Jones 和 Launder[2]文獻裡之實驗數據，在雷諾數5 10× ⁵圖中 Chien 之κ-ε紊 流模式與 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式兩者其模擬出的結果非常 相近，而跟實驗結果相比則略高，但整體模擬出的的圖形與實驗結果 相符。圖 4-2 為雷諾數

5 10 ×

⁵下流速近管壁放大圖，在近管壁之區域

之結果與實驗數據相同，但脫離管壁靠近管中央時則以 Chien 之κ- ε紊流模式與實驗結果吻合。

圖 4-3 為四種紊流模式在雷諾數5 10× ⁴下所模擬出與實驗結果的 比較圖，其模擬出的結果為 Chien 之κ-ε紊流模式與實驗數據較為 相近，而低雷諾數之κ-ω紊流模式差異較大。而圖 4-4 為四種紊流 模式在雷諾數2.2 10× ⁴下所模擬出之結果，同樣的，也是以 Chien 之κ -ε紊流模式與實驗數據較為相近，低雷諾數之κ-ω紊流模式差異較 大。其中 Chien 之κ-ε紊流模式在雷諾數2.2 10× ⁴下模擬出的結果與 實驗數據幾乎相同，而雷諾數5 10× ⁴之模擬則使用 Lai 和 So[19]文獻 裡之實驗數據。

圖 4-5 利用 Launder 和 Spalding[18]文獻裡之實驗數據，四種 紊流模式在雷諾數 6000 下與實驗的模擬比較圖，圖中以 Chien 之κ- ε紊流模式模擬的結果與實驗數據較相近，而低雷諾數之κ-ω紊流 模式差異較大。

圖 4-1 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁵)

圖 4-2 近壁區不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁵)

圖 4-3 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-4 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re

＝

2.2 10× ⁴)

圖 4-5 不同紊流模式在速度分佈之比較(Re_D

＝

6000)

4-2 擾動剪應力之分佈

圖 4-6 為雷諾數5 10× ⁴下擾動剪應力分佈之模擬與實驗之比較 圖，四種紊流模式模擬出的結果幾乎相同，與實驗結果也蠻相符合，

但四種紊流模式除了 Chien 之κ-ε紊流模式沒有產生數值波動，其 餘的κ-εJones-Launder，高雷諾數與低雷諾數之κ-ω三種紊流模 式皆有數值之波動情形發生。圖 4-7 為雷諾數2.2 10× ⁴模擬與實驗之擾 動剪應力分佈比較圖，其模擬出的結果在近壁面的地方以 Chien 之κ -ε紊流模式模擬的結果與實驗較接近，而低雷諾數之κ-ω紊流模式 之結果比實驗還高，但當脫離壁面後其四種紊流模式的模擬結果非常 相近，與實驗結果也蠻相符合。四種紊流模式在雷諾數2.2 10× ⁴下只有

圖 4-6 不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-7 不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

圖 4-8 為雷諾數5 10× ⁴下擾動剪應力分佈之模擬與實驗近管壁放 大比較圖，在近壁區間只有低雷諾數之κ-ω紊流模式之結果比實驗 還高，而 Chien 之κ-ε、Jones-Launder 之κ-ε及高雷諾數之κ- ω三種紊流模式都與實驗數據相近，但四種紊流模式在脫離壁面後其 模擬結果與實驗結果相近，同樣除了 Chien 之κ-ε紊流模式沒有產 生數值波動，其餘的 Jones-Launder 之κ-ε，高雷諾數與低雷諾數 之κ-ω三種紊流模式皆有數值之波動情形發生。而在圖 4-9 雷諾數

2.2 10× 4下擾動剪應力分佈之模擬與實驗近管壁放大比較圖裡以κ-ε

Chien 紊流模式其模擬出的結果與實驗較相符合，但在遠離壁面後，

四種紊流模式模擬之結果相近但會高於實驗結果，當開始脫離壁面時 κ-ω高雷諾數與低雷諾數二種紊流模式有數值波動情形發生。

圖 4-9 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

4-3 擾動動能之分佈

利用 Jones 和 Launder[2]文獻裡之實驗數據，較高雷諾數5 10× ⁵ 之比較上κ-ω之結果令數值震盪而無合理之分佈圖，所以在圖 4-10 與圖 4-11 只繪製κ-ε之結果，圖 4-10 為雷諾數5 10× ⁵下紊流動能之 模擬與實驗比較圖，在靠近管壁的地方 Chien 之κ-ε紊流模式與 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式兩者其模擬之結果都比實驗結果 小，但在靠近管中央時兩者模擬之結果則比實驗高，而圖 4-11 為雷 諾數5 10× ⁵下紊流動能近壁區模擬與實驗之比較圖，在近壁區間 Chien 之κ-ε紊流模式與 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式其模擬之結果 與實驗相近，但在脫離近壁區間時 Chien 之κ-ε紊流模式模擬之結 果高出實驗，而在靠近管中央兩紊流模式模擬之結果低於實驗。

圖 4-10 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁵)

圖 4-11 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁵)

利用 Lai 和 So[19]文獻裡之實驗數據，圖 4-12 為雷諾數5 10× ⁴下 紊流動能之模擬與實驗之比較圖，在靠近壁面的地方，四種紊流模擬 出的結果以 Chien 之κ-ε紊流模式與實驗結果較相近，而再遠離壁 面靠近管中央則模擬出的結果會比實驗結果高，而高雷諾數與低雷諾 數之κ-ω二種紊流模式在壁面之模擬結果以低雷諾數之κ-ω紊流 模式較接近實驗數據，但再遠離壁面靠近管中央時，高雷諾數與低雷 諾數之κ-ω二種紊流模式模擬的結果非常相近並且與實驗結果有相 當之吻合，其中 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式有數值波動產生，

而低雷諾數之κ-ω紊流模式為高雷諾數之κ-ω紊流模式之修正型 式，所以模擬出的整體形狀與實驗結果非常相似。圖 4-13 則為雷諾

數2.2 10× ⁴模擬與實驗之紊流動能比較圖，模擬出的結果，四種紊流模

式以 Chien 之κ-ε紊流模式與實驗結果較相近，但再脫離壁面的地 方比實驗結果小，而在接近管中央的地方則以高雷諾數與低雷諾數之 κ-ω二種紊流模式跟實驗較為相近，同樣之情形在雷諾數2.2 10× ⁴ 裡，低雷諾數之κ-ω紊流模式為高雷諾數之κ-ω紊流模式之修正型 式，所以模擬出的整體形狀與實驗結果非常相似。

圖 4-12 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-13 不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

圖 4-14 為雷諾數5 10× ⁴下紊流動能之模擬與實驗近管壁放大比較 圖，在近管壁的地方 Chien 之κ-ε、Jones-Launder 之κ-ε及低雷 諾數之κ-ω三種紊流模式與實驗結果非常相近，而高雷諾數之κ- ω紊流模式模擬的結果比實驗要小，但在遠離壁面後高雷諾數與低雷 諾數之κ-ω二種紊流模式模擬的結果與實驗結果非常相近，而 Chien 之κ-ε紊流模式模擬之結果比實驗高。低雷諾數之κ-ω紊流模式模 擬出的形狀與實驗結果較相似。圖 4-15 為雷諾數2.2 10× ⁴下紊流動能 之模擬與實驗近管壁放大比較圖，四種紊流模式再壁面模擬出的結果 都比實驗小，其中以 Chien 之κ-ε紊流模式較接近實驗結果，但遠

圖 4-14 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-15 近壁區不同紊流模式在紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

離壁面接近管中央時則以高雷諾數與低雷諾數之κ-ω二種紊流模式 之結果與實驗結果接近，在雷諾數2.2 10× ⁴裡同樣以低雷諾數之κ-ω 紊流模式模擬出的形狀與實驗結果較相似。

4-4 紊流散逸能量之分佈

圖 4-16 為雷諾數5 10× ⁴下紊流散逸之模擬與實驗之比較圖，圖中 Chien 之κ-ε紊流模式再壁面模擬出的結果比實驗結果還高，但是 當脫離壁面靠近管中央時，則模擬出的結果與實驗相近，而 Jones- Launder 之κ-ε紊流模式模擬的結果比實驗低。圖 4-17 為雷諾數

之κ-ε紊流模式之結果與實驗較相近，而 Chien 之κ-ε紊流模式則 比實驗高出很多，當脫離壁面靠近管中央時則與實驗結果較接近。圖 4-18 為雷諾數5 10× ⁴下紊流散逸之模擬與實驗之近管壁放大比較圖，

在近管壁的地方 Jones-Launder 之κ-ε紊流模式模擬的結果較接近 實驗數據， Chien 之κ-ε紊流模式比實驗結果高，在脫離壁面靠近 管中央時，其實驗結果介於 Chien 之κ-ε與 Jones-Launder 之κ- ε兩紊流模式之間，圖 4-19 雷諾數2.2 10× ⁴之模擬也有同樣的情形。

圖 4-16 不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-17 不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

圖 4-18 近壁區不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-19 近壁區不同紊流模式在紊流散逸分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

4-5 擾動剪應力及紊流動能之分佈

實驗之量測提供-uυ/κ擾動剪應力與紊流動能之比例分佈，圖 4-20 為雷諾數5 10× ⁴下擾動剪應力與紊流動能之模擬與實驗之比較 圖，在靠近壁面的地方，Chien 之κ-ε紊流模式模擬的結果與實驗 較相近，但脫離壁面後，其結果比實驗小，高雷諾數與低雷諾數之κ -ω二種紊流模式遠離壁面後，兩者模擬出結果與實驗結果相近，圖 4-21 為雷諾數2.2 10× ⁴下擾動剪應力與紊流動能之模擬與實驗之比較 圖，四種紊流模式以 Chien 之κ-ε紊流模式與實驗較相符合，而高 雷諾數與低雷諾數之κ-ω二種紊流模式模擬之結果都比實驗要高，

圖 4-20 與 4-21 中低雷諾數之κ-ω紊流模式為高雷諾數之κ-ω紊流 模式之修正型式，所以模擬出的整體形狀與實驗結果非常相似。

圖 4-20 不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

5 10× 4)

圖 4-21 不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較(Re_D

＝

2.2 10× 4)

圖 4-22 為雷諾數5 10× ⁴下擾動剪應力與紊流動能之近管壁放大模 擬與實驗之比較圖，在近管壁的地方以κ-εChien 紊流模式與實驗 相同，但遠離壁面後，其模擬的結果小於實驗數據，圖 4-23 四種紊 流模式再近管壁的地方模擬的結果都比實驗大，但遠離管壁靠近管中 央時，κ-εChien 紊流模式會小於實驗結果，而圖 4-22 與圖 4-23 裡的κ-ω低雷諾數紊流模式為κ-ω高雷諾數紊流模式之修正型 式，所以模擬出的整體形狀與實驗結果非常相似。

圖 4-22 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較 (Re_D＝5 10× ⁴)

圖 4-23 近壁區不同紊流模式在擾動剪應力及紊流動能分佈之比較 (Re_D= 2.2 10× ⁴)

4-6 Chien 之κ-ε紊流模式之修正

為了使模擬之結果更符合實驗數據，在雷諾數5 10× ⁴與2.2 10× ⁴下調 整 Chien 之κ-ε紊流模式裡C_ε1與C_ε2這兩個參數與改變近牆函數之 係數並針對流速、紊流動能及紊流散逸之分佈進行修正。

4-6-1 紊流散逸能量之係數影響(

C_ε1

、

C_ε2

)

採用之參數如表 4-1 中 A、B、C 三組參數，其中 A 為 Chien 之κ -ε紊流模式之原始參數，而實驗數據為 Lai 和 So[19]文獻裡之實驗 結果，在圖上以 TEST 代表，而 B 組之參數在增大其效應，而 C 組參 數則為減少其效應。圖 4-24 為表 4-1 A、B、C 三組不同參數在雷諾

正確(C 組)C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42。在雷諾數2.2 10× ⁴時，三組參數中也 以C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 這組減小效應參數之結果與實驗數據較吻 合，其模擬與實驗之比較圖為圖 4-25。故減小係數之方向能使館中 央處之流速更吻合實驗之結果。

A

(原始 Chien 之 κ-ε紊流模

式)

B (增大效應)

C (減小效應)

C

_ε1 1.35 1.6 1.1

C

_ε2 1.8 2.15 1.42 表 4-1 C_ε1與C_ε2之參數表

圖 4-24 改變紊流散逸能量係數對速度分佈之影響(Re

＝

5 10× ⁴)

圖 4-25 改變紊流散逸能量係數對速度分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× ⁴) 在雷諾數5 10× ⁴下三組不同參數對紊流動能之模擬與實驗比較於 圖 4-26，在管壁的區所有三組參數模擬出的結果皆非常相似並且與 實驗數據有些落差，但在脫離壁面之區域，三組參數模擬之結果皆高 於實驗數據，但在靠近管中央時，以C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 C 組參數 模擬之結果與實驗數據較為接近。圖 4-27 中，另外在雷諾數2.2 10× ⁴時 其紊流動能之模擬，在管壁所有參數模擬之結果皆非常相似，但比實 驗數據略小，在脫離壁面之區域，則略高於實驗數據，而在靠近管中 央時以C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 之 C 組參數模擬之結果與實驗數據較相 近，所以係數減小時能修正管中央之數值使其大小更能配合實驗值。

圖 4-26 改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-27 改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× 4)

圖 4-28 為雷諾數5 10× ⁴下三組參數對紊流動能模擬與實驗之近管 壁放大比較圖，圖中三組參數模擬出的結果皆非常相似，在壁面 y+<15 之區域與實驗數據非常相近，但在 y+>15，三組參數模擬之結果皆高 於實驗數據。在雷諾數2.2 10× ⁴下其模擬與實驗之近管壁放大比較圖為 圖 4-29，三組參數模擬出的結果亦非常相似，在壁面 y+<15 之區域，

模擬之結果略低於實驗數據，但在脫離壁面 y+>15 後則高於實驗數 據。故改變C_ε1及C_ε2對進壁區之影響很小。

圖 4-28 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

5 10× 4)

圖 4-29 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× 4)

圖 4-30 為雷諾數5 10× ⁴下三組參數對紊流散逸模擬與實驗之比較 圖，在近壁區域三組參數模擬出的結果非常相似但皆高於實驗數據，

壁面外時則以C_ε1 =1.6 與C_ε2 =2.15 之 B 組參數模擬之結果與實驗數 據較接近，而在靠近管中央三組參數模擬之結果與實驗數據皆相當一 致。在雷諾數2.2 10× ⁴下模擬與實驗比較圖為圖 4-31，三組參數在近 壁區域模擬之結果皆高於實驗數據，但在脫離管壁靠近管中央則以

C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 之 C 組參數模擬之結果與實驗較接近。

圖 4-30 改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-31 改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× 4)

圖 4-32 為雷諾數5 10× ⁴下三組參數對紊流散逸近管壁放大模擬與 實驗之比較圖，三組參數在近管壁區域模擬之結果都非常接近，但在 脫離壁面時C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 C 組參數模擬之結果略高於其他兩 組參數，而三組參數模擬之結果都高於實驗數據。而雷諾數2.2 10× ⁴下 三組參數對紊流散逸近管壁放大模擬與實驗之比較於圖 4-33，在脫 離壁面時C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 之 C 組參數模擬之結果略低於其他兩 組參數，而在近管壁之區域則略高其他兩組參數，但三組參數模擬之 結果皆高於實驗數據，但在近管中央以C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 這組參 數模擬之結果較接近實驗數據，但整體而言C_ε1及C_ε2之參數變化對近 壁區之影響很小。

圖 4-32 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響(Re_D

＝

5 10× 4)

圖 4-33 近壁區改變紊流散逸能量係數對紊流散逸分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× 4)

4-6-2 近牆函數之係數影響

由改變紊流散逸能量係數發現C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 這一組參數能有 效的改善流速與紊流強度之管中央分佈，但是對近牆區域之紊流動能 與紊流散逸分佈卻無法改善，因此調整 3-22 式近牆函數ε₀之係數由 原先之 2 至 2.7，而 3-23 式中近牆函數E原先係數 2 至 30，並搭配

C_ε1 =1.1 與C_ε2 =1.42 先前之結果其新的方程式如所示：

紊流動量方程式：

%

( )

2 1

0 u 2.7 k / k

v ^{⎛∂ ⎞} ε v ^{∂ ⎡}r v v σ ^{∂ ⎤}

= ⎜ ⎟ − − + ⎢ + ⎥ (4-1)

紊流消散方程式：

% % %

( )

^%

2 2

/ 2

1 2 2

0 1.1 _T u 1.42 30 ^y 1 _T/

f v f v e r v v

k r k y r r ^ε r

ε ^{⎛∂ ⎞} ε ε ^{− + ∂ ⎡} σ ^∂ε^⎤

= ⎜⎝∂ ⎟⎠ − − + ∂ ⎢⎣ + ∂ ⎥⎦ (4-2)

圖 4-34 為雷諾數5 10× ⁴下改變近牆函數之係數對速度分佈之影 響，改變紊流散逸能量係數所模擬之結果與改變近牆係數模擬之結果 兩者相當一致，顯示近牆函數之係數不影響管中央之流動。而在雷諾

數2.2 10× ⁴中，其模擬之結果也有同樣之情形，實驗與分析之比較圖於

4-35。

圖 4-34 改變近牆函數之係數對速度分佈之影響(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-35 改變近牆函數之係數對速度分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× ⁴) 圖 4-36 為雷諾數5 10× ⁴下改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之 影響，在靠近管壁時修正近牆係數之結果有較原先略小一些，但仍比 實驗值略高。靠近管中央時改變紊流散逸能量係數模式與改變近牆係 數模式兩者模擬之結果與實驗數據非常接近，而在雷諾數2.2 10× ⁴其結 果於圖 4-37 所示脫離管壁之區域，其三種模式模擬之結果都大於實 驗數據，但以改變近牆係數模式模擬之結果與實驗數據較接近，接近 管中央則改變紊流散逸能量係數模式與改變近牆係數模式兩者模擬 之結果非常相似並與實驗數據非常接近。

圖 4-36 改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

5 10× ⁴)

圖 4-37 改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× ⁴)

雷諾數5 10× ⁴下近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影 響比較如圖 4-38 所示，三種模式在壁面模擬之結果與實驗數據非常 接近，但在脫離壁面後，三種模式模擬之結果都比實驗數據高，其中 改變近牆函數之係數模式模擬之結果略低於其他兩種模式。雷諾數

2.2 10× 4下近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響比較如

圖 4-39 所示，在管壁之區域三種模式模擬之結果略低於實驗數據，

但脫離管壁後則高於實驗數據，其中 Chien 之κ-ε紊流模式及改變 紊流散逸能量係數模式兩者模擬之結果非常相近，而改變近牆函數之 係數模式則低於其他兩者，由上述結果可知放大其近牆函數之係數可 將紊流動能之近牆分佈向下修正，但對 y+>20 以後則沒有太大幫助，

故目前只修正係數之方式對 y+>20 之後之模擬改善幫助不大。

圖 4-38 近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

圖 4-39 近壁區改變近牆函數之係數對紊流動能分佈之影響(Re_D

＝

2.2 10× 4)

圖 4-40 為雷諾數5 10× ⁴改變近牆函數之係數對紊流散逸分佈之影 響比較圖，在近管壁之區域，改變近牆函數之係數模式模擬之結果與 實驗數據較接近，而在脫離壁面之區域以原先 Chien 之κ-ε紊流模 式模擬之結果較接近實驗數據，而在靠近管中央，三種模式模擬之結 果與實驗皆非常相近。而在雷諾數2.2 10× ⁴時如圖 4-41 所示，近管壁 之區域內，改變近牆函數之係數模式模擬之結果較低於其他兩種模式 能較接近實驗結果，在脫離壁面時則以改變紊流散逸能量係數模式與 改變近牆函數之係數模式兩者較接近實驗數據，當接近管中央時三種 模式模擬之結果非常接近。