4.1 Maximum and Minimum Values
Chih-Kuang Lee October 29, 2013
4. For each number a, b, c, d, r, and s, state whether the function whose graph is shown has an absolute maximum or minimum, a local maximum or minimum, or neither a maximum nor a minimum.
這一題看圖說故事就好了，那麼我們就逐點來看吧！
a 是 absolute minimum，不過不是 local minimum。
b 是 local maximum。
c什麼也不是。（聽以來真可憐）
d 是 local minimum。
r 是 absolute maximum，也是 local maximum。
s什麼也不是，因為極值在端點 (end point)
5. Use the graph to state the absolute and local maximum and min- imum values of the function.
這題也是看圖說故事，不過有些地方要小心。
Absolute maximum為 f(4) = 5，而 absolute minimum 不存在。
另外，f(2) = 2 以及 f(1) = f(5) = 3 都是 local minimum；而 f(6) 是 local maximum。
這題比較詭異的是 f(1)，同學要看仔細喔！
9. Sketch the graph o a function f that is continuous on [1, 5] and has the given properties.
Absolute maximum at 5, absolute minimum at 2, local maximum at 3, local minima at 2 and 4.
由於題目沒有說 f 要可微分，因此隨便畫畫也行！圖片請參考 Figure 1。
13.(a) Sketch the graph of a function on [−1, 2] that has an absolute maximum but no local maximum.
13.(b) Sketch the graph of a function on [−1, 2] that is discontinuous but has both an absolute maximum and an absolute minimum.
(a) 小題令 y = x 即可（恆等函數），這樣只有在 x = 2 有最大值。
(b) 小題由於題目要求要不連續，因此普通的函數是行不通的。函數圖形請看 Figure 2。
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 1
1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2
Figure 1: 第9題的函數 f
35. Find the critical numbers of the function. g(y) = y − 1 y2− y + 1 在開始做之前，我們先來確認一下這個函數的定義域 (domain)。分母是一個二次函 數，其判別式為 −3，因此分母是恆正的，也就是說 g(y) 的定義域是整個實數 R。
要算出臨界點 (critical number)，就必須知道導函數。其導函數為
g0(y) = 1(y2− y + 1) − (y − 1)(2y − 1) (y2− y + 1)2
= − y2− 2y (y2− y + 1)2
令 g0(y) = 0，得到 y2− 2y = 0，算出 y = 0 或是 y = 2。
因為 g(y) 這個函數沒有邊界，因此臨界點就是 0 和 2。
49. Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.
f (x) = 2x3− 3x2− 12x + 1, [−2, 3]
我們知道最大值與最小值會發生在臨界點 (critical number) 或是端點 (end point)，
故我們先求出臨界點的位置。
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Figure 2: 第13題的兩個函數，藍色是 (a)、綠色是 (b)
首先，f 的導函數為 f0(x) = 6x2− 6x − 12，令其為 0，我們得到 f0(x) = 6(x − 2)(x + 1) = 0
算出來是 x = 2 或 x = −1，正好這兩個答案都落在 [−2, 3] 裡面，因此它們都是臨 界點。我們比較一下，f(2) = −19、f(−1) = 8、f(−2) = −3 和 f(3) = −8，所以 absolute maximum為 8，absolute minimum 為 −19。
55. Find the absolute maximum and absolute minimum values of f on the given interval.
f (t) = tp
4 − t2, [−1, 2]
方法同上，因此我們先試著找出其臨界點。把 f 微分後得到 f0(t) =p
4 − t2+ t · −t
√4 − t2
= 4 − 2t2
√ 4 − t2 令其為 0，得到 4 − 2t2= 0，算出來是 t = ±√
2。不過因為 −√
2 不在我們的定義 域 [−1, 2] 裡面，因此只有√
2 這個臨界點。
on the given interval.
f (x) = xe−x2/8, [−1, 4]
方法和前兩題都一樣，因此我們先把 f 微分求其導函數。
f0(x) = e−x2/8+ xe−x2/8·
−x 4
=
1 −x2
4
e−x2/8
接著我們令 f0(x) = 0。因為 exponential 函數恆正，因此化簡為 1 − x2/4 = 0，算 出來是 x = ±2。不過因為 −2 不在我們的範圍 [−1, 4] 裡頭，故臨界點只有 x = 2。
由於 f(−1) = −e−1/8、f(2) = 2e−1/2 和 f(4) = 4e−2，因此 absolute minimum 為 −e1/8。至於 f(2) 和 f(4) 誰比較大呢？由於
f (4) = 4e−2 = 2e−2 ln 2
< 2e−1/2 = f (2)
所以 absolute maximum 為 2e−1/2。同學如果不會比較 f(2) 和 f(4) 的大小的話，
先試試看比較 2 ln 2 和 1/2 的大小吧！ 75. Prove that the function
f (x) = x101+ x51+ x + 1 has neither a local maximum nor a local minimum.
這題的結果是很顯然的，因為 f(x) 的走勢主要受到 x101 的影響，而 y = x101 是沒 有最大最小值的。不過即使結果如此清楚，我們還是來試著證明看看。
我們用反證法，假設 f(x) 有最大最小值，分別叫做 M 和 m。顯然地 M > 0，我們 發現
f (M ) − M = M101+ M51+ 1 > 0
於是 f (M ) > M，這和 M 是最大值相牴觸！所以其實 f(x) 沒有最大值。
最小值的部分方法類似，因為很明顯地 m < −1，我們又發現 f (m) − m = m101+ m51+ 1
< (−1)101+ (−1)51+ 1
= −1 < 0
於是得到 f(m) < m，這和 m 是最小值相牴觸！因此 f(x) 也沒有最小值！證明完 畢。
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−15
−10
−5 0 5 10 15
f(x) = x3 − x
g(x) = x3
h(x) = x3+3x
Figure 3: 三個函數 f(x)、g(x) 及 h(x)
78. A cubic function is a polynomial of degree 3.
(a) Show that a cubic function can have two, one, or no critical num- ber(s). Give examples and sketches to illustrate the three possibili- ties.
(b) How many local extreme values can a cubic function have?
我們先從 (a) 小題開始吧！令
f (x) = x3− x g(x) = x3 h(x) = x3+ 3x 則
f0(x) = 3x2− 1 g0(x) = 3x2 h0(x) = 3(x2+ 1)
所以 f(x) 有兩個臨界點、g(x) 只有一個臨界點、而 h0(x) = 0 沒有實數解，因此 h(x)沒有臨界點。三個函數的圖形請看 Figure 3。
至於 (b) 小題，從上面的三個函數可以看出一個三次多項式有可能有 2 個極值 (extreme value)、或是沒有極值。不過有沒有可能只有 1 個極值呢？
