懲罰函數─直接搜尋法應用於考慮環保限制之經濟調度

(1)

陳俊隆：懲罰函數-直接搜尋法應用於考慮環保限制之經濟調度 135

懲罰函數 -直接搜尋法應用於考慮環保限制之經濟調度

陳俊隆

明新科技大學電機工程系

摘要

本研究擬提出一套簡單、有效之演算法，以解決考量環保限制之經濟調度問題。對於處理污染限制之經濟調度問題，本文乃採懲罰函數-直接搜尋演算法以改善傳統直接搜尋法容易落入局部最佳解的問題。首先，將調度週期內污染量限制的不等式限制條件，經由懲罰函數轉換將其併入目標函數；其次，改良型直接搜尋法則用以最小化此目標函數，許多不等式限制條件及非凸集之機組燃料成本曲線皆可經由直接搜尋的程序來適當地控制；最後透過懲罰參數規律性的調整以逼近全域或接近全域最佳解。實例模擬結果顯示，比起其它文獻已經發表的最佳化技巧，本文所提出的演算法能以合理的時間內求得較高品質的解。

關鍵詞：懲罰函數-直接搜尋法、多重污染控制、經濟調度。

ENVIRONMENTALLY-CONSTRAINED ECONOMIC DISPATCH USING A PENALTY FUNCTION-DIRECT SEARCH METHOD

Chun-Lung Chen Department of Electrical Engineening Ming Hsin University of Science and Technology

Hsinchu, Taiwan 304, R.O.C.

Key Words: penalty function-direct search method, multiple emissions control, economic dispatch.

ABSTRACT

This paper develops a simple and efficient approach for solving the environmentally-constrained economic dispatch (ECED). The conventional direct search method (DSM) makes no guarantee that the solutions are optimal or even close to the optimal solution for solving the ECED problem.

This situation can be improved by the proposed approach, a penalty function–direct search method (PF-DSM). First, the total emission limit over the scheduling horizon is constrained by adding it as the exact penalty term to the objective function to form a generalized objective function. Second, an improved direct search method is also applied to minimize the generalized objective function. A number of inequality and equality constraints and nonconvex unit cost functions can be handled properly in the direct search procedure. Finally, satisfactory solutions were obtained by regularly adjusting the penalty parameter. The results obtained by use of the pro-

技術學刊第二十一卷第二期民國九十五年 135

Journal of Technology, Vol. 21, No. 2, pp. 135-144 (2006)

(2)

posed algorithm are compared with those obtained using previously pub- lished methods to illustrate the merits of this technique.

一、緒論

眾所皆知，適當的機組預定排程(unit commitment)及經濟調度(economic dispatch)可為電力公司於一年內節省為數可觀的發電成本，且為運轉規劃人員每天必須面對的問題。經濟調度之主要目的是要決定發電機組的最佳發電量，使運轉的成本最低，同時必須滿足所有的限制條件。

惟火力機組於發電運轉時，所伴隨而來的二氧化碳(CO₂)、

氮氧化物(NO_x)及硫氧化物(SO_x)等氣體之污染，造成全球溫室效應。為了抑制溫室氣體的排放量，世界各國曾於日本召開「聯合國氣候變化公約」(the United Nations Framework Convention on Climate Change)來共同強制防制工作，且於第三次締約國大會簽定「京都議定書」以規範已開發國家溫室氣體的排放，此勢必對我國的經濟發展會造成相當程度的衝擊。隨著環保意識日益高漲，空氣污染問題愈受重視，將污染排放量限制納入經濟調度就顯得特別重要，然機組的燃料成本曲線與污染排放量函數皆為非線性型式，

且污染物在抑制上彼此有衝突特性；因此，如何有效地抑低溫室氣體的排放量，同時滿足系統最小成本將是一個極具挑戰的問題。

於考量環保限制經濟調度的問題中，許多數學規劃的方法已經成功地應用在解決此問題[1-6]，拉格鬆弛法 (Lagrangian relaxation)乃最被為廣泛使用的方法，許多不等式之限制條件可經由拉格乘數(Lagrangian multipliers)來控制，其缺失為拉格乘數的增加，由於彼此太過相互牽連依賴，此將導致收斂的問題。又其成本曲線一般皆假設為嚴格遞增，但對於某些火力機組為顧及運轉特性及實際操作情形，會出現片段連續或不可微分之複雜燃料成本曲線，

以及考量非線性之限制條件時，將導致傳統的微分技巧 (calculus - based techniques)容易落入次佳解，甚至於無法解決此類問題，因此必須藉助其它隨機引導搜尋技巧(guided random search techniques) 的方法，諸如模擬結晶法 (simulated annealing)[7] 、遺傳基因演算法 (genetic algorithm)[8-10]、禁區搜尋法(tabu search)[11]、進化規劃法 (evolutionary programming)[12]、粒子群優法(particle swarm optimization)[13]及其它混合演算法[14-17]等，只可惜許多參數的選定及過長的執行時間一直是必須克服的問題，使得新技術之開發值得進一步研究。

本文擬提出一套以直接搜尋法(direct search method)[18]

為基礎的新演算法，用以有效地解決考慮環保限制經濟調度的最佳化問題。由於污染物之排放量與發電量存在某一非線性關係，外加考量調度週期內污染排放量之最大限制時，龐大的搜尋空間增加了求解的困難性，因此本調度問

題存在許多局部的最佳解，為了解決此問題，本研究乃提出幾個簡單且有效的策略乃用來增加跳出局部最佳解的機率及適當地處理時間相依的污染限制，期能改善傳統直接搜尋法容易落入次佳解的問題及不易處理時間相依的調度問題，以求得全域或接近全域的最佳解。實例結果可用以驗證所提方法的效益，可提供電力公司的決策人員在成本與環保兼顧情況下處理此類問題的方法。

二、問題與數學模式

考慮環保限制經濟調度之目的係將所需要的發電量分配給各運轉機組，使總發電成本最低，又能符合負載需求、

機組發電量之上下限制及調度週期內污染排放量之最大限制，以數學式表示如下：

(一) 目標函數

∑∑

= =

=

T t

N

i i i

T F P t

F Minimize

1 1

)) (

( (1 )

(二) 電力之平衡方程式限制

) ( ) ( ) (

1

t P t P t

P _Loss

N

i i = D +

∑

=

(2)

(三) 機組最大發電量及最小發電量限制

max

min _i() _i

i P t P

P ≤ ≤ (3)

於成本計算方面，火力機組的燃料成本可為二次式、三次式或其它較複雜的函數[1]，本文乃以三次式成本函數表示 [3,4]，如下所示：

) ( ) ( ) ( ))

(

(P t A BP t CP² t DP³ t

F_i _i = _i+ _i _i + _i _i + _i _i (4)

火力機組於發電運轉時，所伴隨而來的二氧化碳(CO₂)、氮氧化物(NOx)及硫氧化物(SOx)等氣體之污染量必須限制在某一最大值以內。例如對污染物 q 在一調度週期之排放量 限制可以數學式表示為

∑∑

= =

≤

T t

N

i Eiq Pi t ETq

1 1

)) lim

(

( (5)

本文亦假設污染排放量為機組發電量之三次多項函式

(3)

[3,4]，以數學式表示如下：

Eiq (Pi(t))=αiq + βiq Pi(t) + γiq Pi2(t) + δ iq Pi3(t) (6)

傳輸線損失可由負載潮流方程式中求得，亦可利用B 係數損失公式(loss formula)[1]，將傳輸線損失以發電機的輸出功率之函數表示為

∑ ∑ ∑

= = =

+ +

=

N i

N

i i i

j N j i ij

Loss PB P B P B

P

1 00

1 0 1

(7)

三、所提出的方法

本文乃採懲罰函數- 直接搜尋演算法 (penalty function-direct search method；簡稱 PF-DSM)之應用，以改善傳統直接搜尋法(direct search method；簡稱 DSM)[18]不能夠處理時間相依的污染限制，使其能夠有效地解決考量環保限制之經濟調度的最佳化問題。有別於傳統序列無限制最小化技術(sequential unconstrained minimization technique；

簡稱 SUMT)[19]，本文所提的方法並非將所有限制條件皆以一懲罰函數表示，而僅是選定少數較複雜的限制條件來考量，如處理連續時段機組污染最大排放量之耦合限制等，其它許多未選定的限制條件，仍經由直接搜尋的程序中來控制，此可以避免SUMT 需要在大量懲罰參數的調整上花費較多的試驗時間及求解過程中容易產生振盪的問題。懲罰函數-直接搜尋演算法之計算步驟扼要說明如下：

步驟1：以直接搜尋法求解各時段忽略污染限制時之最佳調度P_i^*(⁰⁾(t)，同時計算總燃料成本及各污染物之排放量

∑∑

= =

=

^T

1 t

N 1 i

0)

* i iq

Tq

E P t

E

⁽⁰⁾

(

⁽

( ))

，q=1, 2, … , Q。

步驟2：檢驗E_Tq⁽⁰⁾≤E_Tq^lim? q=1, 2, … , Q

『是』，執行步驟9。

『否』，執行下一步驟。

步驟3：令 k=1 且設定懲罰參數ω(k)=1。

步驟4：建立污染物 q 之懲罰成本函數ψ_q(P_i⁽^k⁾(t))^，如下式所示：









>

− ×

−

≤

= ₍ ₎ _lim

lim ) 0 (

lim ) (

lim ) ( )

(

) ( 0

)) ( (

Tq k Tq Tq

Tq Tq k Tq

Tq k Tq k

i

q k E E

E E

E E t

P ω

ψ

q=1, 2, … , Q (8)

步驟5：由燃料成本及懲罰成本的總合組成新的目標函數，如下式所示：

∑ ∑ + ∑

= = = =

T t

N i

Q q

k q k

i

k t ω k F P t ψ P t

P Φ

1 1 1

) ( i )

( i )

(

i ( ), ( )) ( ( )) ( ( ))

(

(9)

步驟6：初始解為P_i^*(^k⁻¹⁾(t)，對於固定的懲罰參數ω(k) 值，利用改良型直接搜尋法尋找P_i^*(^k⁾(t)使得目標函數Φ趨近於最小值。

步驟7：檢驗E_Tq⁽^k⁾≤E_Tq^lim? q=1, 2, … , Q

『否』，ω(k+1)=ω(k)×c，其中懲罰常數 c>1，k =k+1，執行步驟 4。

步驟8：動態搜尋是否擴大搜尋範圍？

步驟9：輸出最佳的調度結果。

由上述得知，PF-DSM 利用擴展性拉格(Lagrange)的觀念，將原來具有較複雜限制性的問題轉化成為求解一個簡化限制極值的問題，藉由懲罰參數ω 及選定限制條件的結合，

配合懲罰參數ω 簡單的更新規則，使得目標函數漸近式地逼 近最佳解。值得注意的是式子(8)的正規劃處理，可避免當污染物的排放量差異過大產生懲罰係數不好選定的問題，於本文中，所有污染物的懲罰參數 ω 皆相同。隨著懲罰參數 ω 有規律的增加，將使得系統的污染排放量逐漸減少，一直至滿足限制條件。當懲罰參數ω 足夠大時，懲罰項的作用就隨 之增大，無限制問題的最佳解應滿足限制條件，而成為限制條件的最佳解。茲將本演算法進一步詳細說明如下：

1. 改良型直接搜尋法

直接搜尋法對於目標函數Φ的性質幾乎沒有要求，許多不等式的限制條件皆可經由直接搜尋的程序來控制，而多階層收斂的策略不僅可改善直接搜尋法的收斂性質，同時對於處理非嚴格遞增之燃料成本曲線亦增加了跳出局部最佳解的機率。為了求解最小化目標函數Φ的問題，直接搜尋法必須執行一系列的跨步，往成本下降最大的方向搜尋，由於目標函數存在許多局部最佳解，傳統微分技巧極容易落入次佳解，為了增加跳出局部最佳解的機率，參數的選擇對於直接搜尋法的應用就顯得特別重要，一般乃建議採取較大的初始跨步量S△1及較小的遞減係數K△以求得較有效的搜尋。本策略的直覺觀念為，直接搜尋法取較大的初始跨步量S△1時，其功用可以探索可能產生全域最佳解的區域，隨著機組跨步量 S△慢慢地逐漸遞減（即取較小的

(4)

K^△值）時，發現最佳解區域的機率將隨之提高，而細步收斂則可於最佳解區域中提供快速的收斂性質，以求得全域的最佳解。本演算法扼要說明如下：

步驟1：以前一次疊代之最佳發電量P_i^*(^k⁻¹⁾(t)為初始解。

步驟2：設定初始跨步量 S^△1及縮減係數K^△。步驟3： S^△= S^△1。

步驟4：執行第 k 次疊代且跨步量為 S^△之直接搜尋程序。

步驟5： S^△是否小於某一容忍值ε ?

『是』，終止搜尋程序。

步驟6： S^△ = S^△/K^△。步驟7：回步驟 4。

以下就針對直接搜尋程序加以說明。

2. 直接搜尋程序

直接搜尋程序之優點不僅可處理任何型態的燃料成本曲線，同時可以適當地控制許多不等式的限制條件，為了處理時間相依的污染限制及往成本下降最大的方向搜尋，本文乃採動態搜尋的技巧，即每一次跨步中僅選取某一時段中跨步成本最省的一對機組搜尋，計算步驟進一步說明如下：

步驟1：在不違反機組之發電極限下，可先分別計算各機組於每一時段在發電量跨步為S△時之遞增燃料成本_IC⁽^k⁾₍_t₎

i 及懲罰成本IE_iq⁽^k⁾(t)；同時亦計算遞減燃料成本DC_i⁽^k⁾(t)及懲罰成本DE_iq⁽^k⁾(t)，如下所示：

∆

∆ −

= +

S

t P F S t P t F IC

k i i k

i k i

i

)) ( ( ) ) ( ) (

(

) ( )

( )

( (10)

) )) ( ( ( ) ) ( ) (

(

) ( )

( )

( k

S

t P E S t P t E IE

k i iq k

i k iq

iq + − ×ω

=

∆

∆ (11)

∆

− ∆

= −

S

S t P F t P t F DC

k i i k i k i

i

) ) ( ( )) ( ) (

(

) ( )

) (

( (12)

) ) ( ) ( ( )) ( ) (

(

) ( )

( )

( k

S

S t P E t P t E DE

k i iq k

i k iq

iq − − ×ω

=

∆

∆ (13)

受限於

max )

(^k () _i

i t S P

P + _∆≤ 及P_i⁽^k⁾(t)−S_∆≥P_i^min

t =1, 2, 3, …, T ; i =1,…, N ; q =1,…,Q (14)

步驟2：各時段所有機組全部檢查過且總成本（包括燃料成本及懲罰成本）不再改善時，即可終止搜尋程序。否則執行下一步驟。

步驟3：僅選取某一時段的一對機組使總成本（包括燃料成本及懲罰成本）下降最大且滿足所有限制條件來跨步。假設於時段 t1，選取一部遞增成本

(

∑

=

+

Q q

k xq k

x t IE t

IC

1 1

) ( 1

)

( ( ) ( ))為最小的上跨機組 x，同時

選擇一部遞減成本(

∑

= +

Q q

k yq k

y t DE t

DC

1 1 ) ( 1

)

( ( ) ( )) 為

最大的下跨機組y（其中 y≠x），以滿足時段 t1之電力供需平衡限制。

步驟4：若機組 x 於時段 t1無違反其上限發電量，則可繼續往上跨步以再計算該機組之遞增燃料成本

) (₁

)

( t

IC_x^k 及懲罰成本IE_xq⁽^k⁾(t₁)，q =1,…, Q；同理，

機組y 於 t1時段在無違反其發電量下限時，亦可

往下跨步以求得該機組之遞減燃料成本 )

(₁

) ( t

DC_y^k 及懲罰成本DE⁽_yq^k⁾(t₁)，q =1,…, Q。

步驟5：回步驟 2。

3. 進一步解品質的改善

由上述得知，懲罰函數-直接搜尋法之處理程序概分為三階段，茲分述如下：

第一階段：求出忽略污染限制之最佳調度，若系統無違反污染限制，則可終止搜尋；否則執行第二階段的程序。

第二階段：以第一階段的調度結果為初始值，將污染限制之不等式，經由懲罰函數轉換將其併入目標函數，同時以改良型直接搜尋法最小化此非凸集的目標函數，最後透過懲罰參數規律性的調整以求得一可接受的合理解。

第三階段：以第二階段已經求得的合理解為初始值，進一步擴大搜尋範圍改善最後解的品質。由於第二階段之動態搜尋程序僅針對時段 t1當中的一對機組（上跨機組x 及下跨機組 y）來搜尋，因此 在第三階段之動態搜尋可擴展至一次搜尋二對

（或三對）的機組，以進一步探索最佳的搜尋方向而求得成本之最小化。由於本階段之懲罰項已經相當的大，故可於合理解中繼續搜尋更佳解。

ω (k) ω (k)

(5)

四、實例探討

為了證明本演算法的效益，在此乃以9 部機組 6 時段的系統來探討前面所述方法之可行性與比較，各機組的燃料成本曲線為三次式且嚴格遞增，而污染排放量SO2、NOx

亦以三次函數表示，然有出現負號，詳細系統機組、污染排放量係數及負載資料可參考附錄A [3]，本文 SO2及NOx

之最大排放量分別限制於72.198 噸及 17.566 噸，本調度問題存在許多的局部最佳解，外加考量調度週期內污染排放量之最大限制時，龐大的搜尋空間更增加了求解的困難性，故本實例極適合驗證所提方法的強健性。模擬程式乃以FORTRAN 撰寫進一步說明如下：

PF-DSM ：執行第一階段及第二階段。

PF-DSM*：執行第一階段、第二階段及第三階（取 2 對機組擴大搜尋範圍）。

所採用的計算機系統為個人電腦Pentium III / 500MHz，茲將模擬結果分述如下：

1. 解品質之比較

為了驗證所提方法的成效，在此藉著考量不同污染物的三個例子，來探討前面所述之調度方法的可行性，且與其它文獻已經發表的最佳化技巧做一比較，如拉格鬆弛法

（Lagrangian relaxation ；簡稱 LR ） [3] 及進化規劃法

（evolutionary programming；簡稱 EP）[4]，各例子的參數選擇如表一所示，且模擬結果則可參考表二。例子 1 說明當系統考量單一污染物 SO2排放量限制時，PF-DSM 所求得的調度成本比LR 為佳，且計算時間僅需 0.05 秒；於例子2 中，僅考量污染物 NOx時，則PF-DSM*必須經過擴大搜尋範圍方能找到比 LR 還低的成本，執行時間約為 0.49 秒；若問題同時含括SO2及NOx兩種污染物時，如例子3 所示，PF-DSM 所求得的成本優於 LR，但略高於 EP 方法，

但PF-DSM 透過擴大搜尋所得的調度結果就比 EP 方法略佳了；於本例中，LR 之最佳調度成本為$198152.30，且 SO2

及NOx污染物之排放量分別為72.198 噸及 17.564 噸；EP 最佳化技巧的成本則為$198150.27，污染物 SO2及NOx排放量之值分別為72.198 噸及 17.566 噸；而 PF-DSM*所得之調度結果為$198149.79，污染物 SO2及NOx排放量之值亦為72.198 噸及 17.566 噸。對於此系統而言，模擬結果證明了本文所提出的方法的確能夠在合理的時間內有能力找到較佳解，至於每一時段所求出的最佳SO2及NOx排放量及各機組的發電量則可參考表三。另外值得注意的是本演算的主要計算時間發生在第三階段的搜尋，如表二例子 3 所示，執行PF-DSM 所需的計算時間約為 0.16 秒，然執行

PF-DSM*則需要 0.97 秒，可見第三階段的擴大搜尋需時 0.81 秒，佔了本演算法的大部份時間，還好於第二階段的搜尋即可求得不錯的調度結果($198151.30)。由於缺乏其它方法之計算設備的相關訊息，在此僅列出PF-DSM 的執行時間。

2. 收斂性質之探討

為了探討所提方法的收斂性質，表四至表六分別列出上述三個例子的疊代情況，從中可證明所提出的方法具有穩定收斂的效果，三個例子的疊代次數皆為 7 次。當系統忽略污染限制時(k=0)，此情況與傳統經濟調度相同可得最經濟的成本，然其SO2及NOx之污染排放量卻可能超過最大值，故調度人員必須重新調度以減少溫室氣體的排放量。如表六所示（例子3），系統忽略污染限制所求出的SO₂ 及NOx污染排放量分別為72.9038 噸及 19.1039 噸，若同時考量SO2及NOx之排放量限制，此兩污染物皆已經超過最大排放量，隨著懲罰參數ω 規律性的調整(k=1, 2, 3,…)，懲 罰成本之作用就隨之增大，從表六中第6、7 欄可觀察出 SO2

及NOx之污染排放量可同時受到抑制，一直至滿足環保限制為止。表七的模擬結果顯示出於第三階段時動態搜尋取二對機組擴大搜尋範圍的收斂情況，從中可觀察各收斂階層中之跨步次數、SO2、NOx污染物排放量及調度成本的比較，足以證明本演算法有良好的收斂性質。因其機組發電量必須重新調度以滿足污染限制，此將導致調度成本的增加；於本例中，考慮污染限制所增加的額外成本約為

$1726.720 (=$198149.792-$196423.072)，此訊息可提供調度人員的參考。

3. 參數選擇之分析

為了瞭解懲罰參數ω 選擇對調度結果所造成的影響，

於此針對不同的懲罰常數c 進行一系列模擬，例子 1 及例 子 2 的調度結果如表八所示，從中得知調度成本對於不同的懲罰常數c 相當的靈敏，c 值適當的選擇決定了本演算法 能否有能力找到全域或接近全域的最佳解，太大或太小的c 值皆很容易落入局部次佳解，必須相當小心訂定。表九及表十的模擬結果分別顯示出例子3 在不同的縮減係數 K^△及初始跨步量S^△1下對調度成本所造成的影響，由於模擬系統之燃料成本曲線為嚴格遞增，因此 K△及S△1參數的選擇對於調度結果就顯得較不靈敏，所有不同參數的模擬皆能求得令人滿意的結果，且執行時間約為1 秒鐘。

(6)

表一懲罰函數-直接搜尋法之各項參數選擇

Case 懲罰常數c 初始跨步量S△1 縮減係數K△ 收斂條件ε

例子 1 5.0 80 MW 3.0 0.001 MW

例子 2 5.0 80 MW 3.0 0.001 MW

例子 3 4.5 80 MW 5.0 0.001 MW

表二各種方法調度結果的比較 Case ^SO²^lim

(tons)

lim

NOx

(tons) Method SO2

(tons) NOx

(tons) Cost

($) Time (sec.) LR[3] 72.197 18.079 197851.50 －

PF-DSM 72.198 18.088 197849.56 0.05 例子1 72.198 －

PF-DSM * 72.198 18.097 197848.65 0.88 LR[3] 72.624 17.565 197613.50 －

PF-DSM 72.608 17.566 197621.76 0.06 例子2 － 17.566

PF-DSM * 72.616 17.566 197612.46 0.49 LR[3] 72.198 17.564 198152.30 － EP[4] 72.198 17.566 198150.27 －

PF-DSM 72.198 17.566 198151.30 0.16 例子3 72.198 17.566

PF-DSM * 72.198 17.566 198149.79 0.97 表三 PF-DSM*於例子 3 所得之最佳調度結果

各時段之負載需求(MW) 機組發電量(MW)

2000 1800 2150 2300 2500 2250 U1 224.245 200.450 236.476 239.999 239.999 239.999 U2 227.611 203.109 239.680 240.000 240.000 239.999 U3 389.921 350.658 409.004 426.752 450.000 420.166 U4 266.151 245.280 276.538 287.159 304.816 283.282 U5 259.358 240.137 269.023 278.937 294.797 275.275 U6 350.000 350.000 359.207 391.485 441.668 379.350 U7 35.000 35.000 80.930 126.052 174.999 112.370 U8 92.696 35.000 118.246 139.705 171.765 132.176 U9 155.016 140.325 160.894 169.909 181.952 167.380 SO2(tons) 11.1734 10.1365 11.9433 12.7179 13.7676 12.4584 NO_x(tons) 2.6186 2.2053 2.9105 3.1787 3.5643 3.0876

表四例子 1 之疊代情況疊代

次數k

懲罰參數 )

ω(k ^(tons)^SO² ^(tons)^NO^x ^Cost^($)

lim 2 2 SO SO −

(tons)

0 0 72.9038 19.1039 196423.072 0.7058

1 1 72.9038 19.1039 196423.072 0.7058

2 5 72.9031 19.1034 196423.075 0.7051

3 25 72.9006 19.1012 196423.131 0.7026 4 125 72.8893 19.0910 196424.307 0.6913 5 625 72.7607 18.9462 196504.946 0.5627 6 3125 72.2009 18.0850 197834.129 0.0029 7 15625 72.1979 18.0883 197849.557 0.0000

表五例子 2 之疊代情況疊代

次數k

懲罰參數 )

lim x

x NO

NO −

(tons)

0 0 72.9038 19.1039 196423.072 1.5379

1 1 72.9038 19.1039 196423.072 1.5379

2 5 72.9037 19.1011 196423.078 1.5351

3 25 72.9025 19.0900 196423.188 1.5240 4 125 72.8983 19.0152 196426.963 1.4492 5 625 72.8625 18.6314 196521.901 1.0654 6 3125 72.6081 17.5660 197621.766 3.1e-7 7 15625 72.6081 17.5659 197621.766 0.0000

(7)

表六例子 3 之疊代情況疊代

次數k

懲罰參數 )

lim 2 2 SO SO −

(tons)

lim x

x NO

NO −

(tons)

0 0.0 72.9038 19.1039 196423.067 0.7058 1.5380 1 1.0 72.9037 19.1037 196423.068 0.7057 1.5377 2 4.5 72.9029 19.1007 196423.076 0.7049 1.5347 3 20.2 72.9002 19.0905 196423.209 0.7022 1.5245 4 91.1 72.8889 19.0365 196426.056 0.6909 1.4705 5 410.0 72.7605 18.6638 196542.360 0.5625 1.0978 6 1845.2 72.1999 17.5660 198145.989 0.0019 7.3e-7 7 8303.7 72.1979 17.5659 198151.300 0.0000 0.0000

表七例子 3 進一步擴大搜尋範圍之跨步收斂情況

各階層收斂情形 SO2 (tons) NOx (tons) 跨步次數 Cost ($) 初始解估計 72.19799 17.56599 － 198151.3000

S^△1=30 MW 72.19799 17.56599 0 198151.3000

S^△2=6.0 MW 72.19799 17.56599 0 198151.3000

S△3=1.2 MW 72.19799 17.56599 19 198150.0900

S^△4=0.24 MW 72.19799 17.56599 29 198149.8267

S△5=0.048 MW 72.19799 17.56599 31 198149.7939

S^△6=0.0096 MW 72.19799 17.56599 7 198149.7933

S^△7=0.00192 MW 72.19799 17.56599 2 198149.7926

S^△8=0.000384 MW 72.19799 17.56599 18 198149.7923

表八 不同懲罰常數 c 對例子 1 及例子 2 調度結果所造成的影響

Case 懲罰常數c 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Cost ($) 197904.51 197873.70 197849.55 197990.90 197888.98 SO2 (tons) 72.19799 72.19799 72.19799 72.19799 72.19799 NOx (tons) 18.09465 18.09747 18.08831 18.07569 18.07849 例子1

疊代次數 10 9 7 6 6

Cost ($) 197689.61 197632.96 197621.76 197762.13 197668.99 SO2 (tons) 72.63698 72.62511 72.60812 72.59419 72.58461 NOx (tons) 17.56599 17.56599 17.56599 17.56599 17.56599 例子2

疊代次數 9 7 7 6 6

註：參數選擇： S^△1 = 80 MW；K^△= 3.0；ε = 0.001MW

表九 不同縮減係數 K△對例子3 調度結果所造成的影響

PF-DSM PF-DSM*

縮減係數

K△ Cost ($) Time (sec.) Cost ($) Time (sec.)

2.0 198151.291 0.11 198150.392 0.55 3.0 198151.762 0.11 198150.110 0.83 4.0 198150.941 0.10 198149.951 0.99 5.0 198151.300 0.16 198149.792 0.97 6.0 198152.885 0.11 198150.760 0.71 7.0 198153.211 0.12 198151.170 0.92 8.0 198154.262 0.12 198150.515 0.93 註：參數選擇：c = 4.5；S^△1 = 80 MW；ε = 0.001MW

表十 不同初始跨步量 S△1對例子3 調度結果所造成的影響

PF-DSM PF-DSM*

初始跨步量

S△1 (MW) Cost ($) Time (sec.) Cost ($) Time (sec.)

30 198155.897 0.12 198151.863 0.72 60 198152.739 0.11 198149.793 1.02 80 198151.300 0.16 198149.792 0.97 100 198152.280 0.12 198149.989 0.98 120 198152.163 0.11 198150.819 0.94 註：參數選擇：c = 4.5；K^△= 5.0；ε = 0.001MW

(8)

附錄 A

表A1 九部機組資料[3]

機組編號

最大發電量 (MW)

最小發電量 (MW)

燃料價格

($/MBTU) 方程式類型 f₀ f₁ f₃ U1 240.0 45.0 1.400 Fuel

SO2

NOx

7.59211E+01 4.55526E-02 5.07328E-02

8.69354E+00 5.21612E-03 4.31109E-04

4.75855E-06 2.85514E-09 1.47897E-08 U2 240.0 45.0 1.400 Fuel

SO2

NOx

8.60796E+01 5.16478E-02 5.07318E-02

8.68309E+00 5.20986E-03 4.31109E-04

4.55527E-06 2.73316E-09 1.47897E-08 U3 450.0 275.0 1.400 Fuel

SO₂ NOx

2.24940E+02 1.34964E-01 3.21630E-01

8.75150E+00 5.25090E-03 2.99660E-05

1.31540E-06 7.89240E-10 6.14709E-09 U4 350.0 150.0 1.750 Fuel

SO2

NOx

2.30881E+02 1.38529E-01 -9.30240E-02

7.34518E+00 4.40710E-03 7.77628E-04

5.15577E-06 3.09346E-09 8.64334E-09 U5 350.0 150.0 1.750 Fuel

SO2

NOx

2.31E+02 1.39E-01 -9.30E-02

7.23297E+00 4.33978E-03 7.77628E-04

6.11535E-06 3.66920E-09 8.64334E-09 U6 750.0 350.0 1.750 Fuel

SO2

NOx

6.50000E+02 3.90000E-01 3.03952E-02

8.57000E+00 5.14200E-03 3.36485E-04

1.30000E-06 7.80000E-10 1.92622E-09 U7 175.0 35.0 1.800 Fuel

SO₂ NOx

5.32498E+01 2.66250E-02 1.05714E-01

9.52691E+00 4.76346E-03 1.30298E-03

4.41090E-06 2.20546E-09 1.48810E-09 U8 175.0 35.0 1.800 Fuel

SO2

NOx

5.82490E+01 2.91246E-02 1.05714E-01

9.28746E+00 4.64374E-03 1.30298E-03

7.62027E-06 3.81014E-09 1.48810E-09 U9 240.0 45.0 1.800 Fuel

SO2

NOx

1.73124E+02 1.03874E-01 2.04166E-02

7.68484E+00 4.61090E-03 4.06670E-04

1.39491E-05 8.36946E-09 1.44581E-08 註：所有方程式(Fuel、SO₂及NO_X)的類型皆為f₀+ f₁×P + f₃×P³

表A2 負載資料[3]

時段(小時) 1 2 3 4 5 6

負載(MW) 2000 1800 2150 2300 2500 2250

五、結論

為了兼顧系統運轉的經濟性及環保限制，本文成功地發展出一套簡單、有效且強健的演算法，懲罰函數-直接搜尋法，以解決考慮環保限制之經濟調度問題。時間相依污染限制的不等式，可經由懲罰函數轉換為一系列排除該限制條件的最佳化問題，同時以改良型直接搜尋法最小化此新的目標函數，最後透過懲罰參數ω 規律性的調整以逼近 最佳解。模擬結果證明了本研究所提出的方法能以合理的時間內求得較高品質的解；對於本演算法的收斂性質，本文有進一步探討，從中足以證明其收斂的穩定性；最後本文亦分析了各種不同參數的選擇對於調度結果所產生的影響，結果顯示調度成本對於不同的懲罰常數c 相當的靈敏，

必須小心訂定。本文之研究成果，可做為國內未來實施污

染排放總量管制下，提供運轉調度人員於考慮環保限制下進行電力調度的參考。

符號索引

A_i, B_i, C_i, D_i 第i 部機組之燃料成本係數 Bij, Boi, B00 損失係數

)) ( (Pt

E_iq _i 機組i 於時段 t 第 q 個污染物所產生污染排 放量

lim

ETq 週期內第q 個污染排放量之最大限制

i(.)

F 第i 部機組之燃料成本曲線

F_T 調度總成本 i 火力機組之指標

(9)

N 系統之總機組數

) (t

P_D 時段t 之負載需求

max

Pi 第i 部機組之最大發電量

min

Pi 第i 部機組之最小發電量

) (t

P_i 時段t 第 i 部機組之發電量

) (t

P_Loss 時段t 之損失 q 污染物之指標

Q 污染物總數

t 時段之指標

T 系統之調度週期

αiq, βiq, γiq, δiq 機組 i 第 q 個污染排放量之係數

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2005 年 04 月 11 日收稿 2005 年 04 月 26 日初審 2006 年 01 月 09 日複審 2006 年 01 月 20 日接受