為無理數的證明

√ 2 為無理數的證明

蔡聰明

數學最讓我欣喜的是, 事物能夠被證明。

—B. Russell—

√2 為無理數, 這是古希臘畢氏學派 的偉大發現, 是歸謬證法的典範。 一方面, 它震垮了畢氏學派的幾何原子論以及幾何學 的算術化研究綱領, 導致數學史上的第一次 危機。 另一方面, 它也讓古希臘人發現到連 續統 (continuum) 並且直接面對到 「無 窮」(infinity), 使得往後的數學家、 哲學家為 了征服無窮而忙碌至今, 收獲非常豐富。

對於宇宙、 人生之謎, 佛家有所謂的 25 證道法門。 換言之, 一個深刻的事物往往可以 從各種角度與觀點來論證。 對於 「√

2 為無理 數」, 我們一共蒐集了 28種證法 (有些是大同 小異), 其中的第十二種與第十三種是筆者自 己的證法, 至少在文獻上不曾見過 (也許是筆 者孤漏寡聞)。 在數量上, 雖然比不上畢氏定 理的 370 種證法 (見參考資料 [5]), 但是 28 種已夠驚人了 (28 是第二個完美數, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)。 這些證法牽涉到數學 各方面的概念, 弄清楚它們, 有助於加深與增 廣對於數學的了解, 並且可將零散的知識統 合在一起。

一、 奇偶論證法

√2 只有兩種情形: 有理數 (rational number) 或者不是有理數。 不是有理數就叫 做無理數 (irrational number)。 因此, 我們 立下正、 反兩個假說:

H

1

: √

2為有理數;

H

2

: √

2為無理數。

到底是哪一個成立呢? 如何證明?

欲證 H

2

成立, 我們不易直接著手, 所 以改由 H

1

切入。

換言之, 我們假設 「√

2 為有理數」, 先 投石問路一番, 看看會得出什麼邏輯結論。

第一種證法: 假設√

2 為有理數, 故√ 2

可以寫成 √

2 = a

b (1)

其中 a 與 b 為兩個自然數並且互質。 將上式 平方得

a

²

= 2b

²

(2)

12

所以 a

²

為偶數, 從而 a 亦為偶數。 令 a = 2m

其中 m 為某一自然數, 於是 2b

²

= a

²

= (2m)

²

= 4m

²

或者

b

²

= 2m

²

因此, b

²

為偶數, 故 b 亦為偶數。 這就跟 a 與 b 互質的假設互相矛盾, 所以 「√

2 為有理 數」 不成立, 從而得證 「√

2 為無理數」。

這是一般教科書上最常見的證法, 我們 稱之為反證法或歸謬法 (reductio ad absur- dum)。

二、 算術根本定理

質數 2, 3, , 5, 7, 11, 13, . . . 相當於自然 的 「原子」(不可分解之意), 算術根本定理是 說: 任何大於 1 的自然數都可以唯一分解成 質數的乘積。 這跟 「萬物都是由原子組成的」

具有平行的類推。

欲證√

2 為無理數, 我們仍然採用歸謬 法。 假設 √

2 為有理數, 即 √

2 =

^a _b

, 其中 a 與 b 為自然數, 則 a

²

= 2b

²

。

首先我們注意到: b > 1 且 a > 1。 因為 若 b = 1, 則 a

²

= 2, 但是 2 不是平方數, 故 b = 1 不成立, 於是 b > 1。 又因為√

2 > 1, 故 a > 1。

其次, 由算術根本定理知, a = p

^α 1

¹p

^α 2

²· · · p

^α n

ⁿ

b = q

1 ^β

¹q

2 ^β

²· · · q

m ^β

^m

其中 p

1

, . . . , p

n

與 q

1

, . . . , q

m

皆為質數且 α

1

, . . . , α

n

, β

1

, . . . , β

m

皆為自然數。 再由 a

²

= 2b

²

得到

p

^2α 1

¹p

^2α 2

²· · · p

^2α n

ⁿ = 2q

^2β 1

¹q

^2β 2

²· · · q

m ^2β

^m

(3) 第二種證法: 觀察 (3) 式中的 2, 左項 的 2 為偶次方, 但右項的 2 為奇次方, 這是一 個矛盾。

第三種證法: 在 (3) 式中, 左項有偶數 個質數 (計較重複度), 右項有奇數個質數, 這 也是一個矛盾。

無論如何, 我們由歸謬法證明了 √ 2 為 無理數。

三、 無窮下降法

這可以有三種變化的證法。

第四種證法: 假設 (1) 式成立。 因為 1 <√

2 = a b < 2 所以 a > b, 故存在自然數 q 使得

a = b + q 由 a

²

= 2b

²

得

2b

²

= a

²

= (b + q)

²

= b

²

+ 2bq + q

²

消去 b

²

得

b

²

= 2bq + q

²

所以

b > q

於是存在自然數 p 使得 b = q + p 從而

a = b + q = (q + p) + q = 2q + p 又由 a

²

= 2b

²

得

(2q + p)

²

= 2(q + p)

²

展開化簡得

p

²

= 2q

²

(4) 至此, 我們由兩個自然數 a 與 b 出發, 求得另外兩個較小的自然數 p 與 q, 滿足

a > b > p > q。

在形式上, (4) 式和 (2) 式完全相同, 故 可採用上述方法, 重複做下去, 就得到自然數 所成的遞減的無窮數列

a > b > p > q > · · · 但這是不可能的, 因為不存在這種數列。

第五種證法: 對於第一種證法, 筆者遇 見過有人不滿意一開始就假設 a 與 b 互質, 那麼我們就改為如下的論證。

假設 √

2 =

^a _b

為有理數, 我們得知 a 與 b 皆為偶數。 令 a = 2a

1

, b = 2b

1

, 則

√2 =

^a _b

¹₁。 同理可證 a

1

與 b

1

也都是偶數, 令 a

1

= 2a

2

, b

1

= 2b

2

。 如此這般, 反覆做 下去, 我們就得到遞減的自然數列

a > a

1

> a

2

> · · · 與 b > b

¹

> b

2

> · · · (6)

但這是一個矛盾, 因為自然數不能無止境地 遞減下去。

第六種證法: 假設 √

2 =

^a _b

, 其中 a 與 b 為自然數, 代入等式

√2 + 1 = 1

√2 − 1 得到

a

b + 1 = 1

(

^a _b

) − 1 = b a − b 所以

√2 = a b = b

a − b − 1 = 2b − a a − b = a

1

b

1

(7) 其中 a

1

= 2b − a 且 b

¹

= a − b。

今因 1 <√

2 =

^a _b

< 2, 乘以 b 得 b < a < 2b

於是

0 < 2b − a 且 2b < 2a 從而

a

1

= 2b − a < a 由 (7) 式知

√2 = a

1

b

1

並且 0 < a

1

< a。 重複上述的過程, 又可得

√2 = a

2

b

2

且 a

2

< a

1

總之, 我們可以得到自然數所成的無窮數列 a > a

1

> a

2

> a

3

> · · · > 0 但這是一個矛盾。

四、 進位法

利用三進位法, 也可以證明√

2 為無理 數。

第七種證法: 假設 √

2 為有理數, 則

√2 =

^a _b

, 其中 a 與 b 為自然數。 於是 a

²

= 2b

²

。 今將 a 與 b 用三進位法表達時, 顯然 a

²

與 b

²

最後一位非零的數字必為 1, 但 是 2b

²

之最後一位非零數字為 2。 因此, a

²

不 可能等於 2b

²

, 這是一個矛盾。

第八種證法: 假設 √

2 為有理數, 亦即

√2 =

^a _b

, 其中 a 與 b 為自然數且互質。 在三 進位記數法中, a 與 b 的個位數字為 0, 1 或 2, 所以 a

²

與 b

²

之個位數字必為 0 或 1, 從 而 2b

²

之個位數字為 0 或 2。 由 a

²

= 2b

²

可 知, a

²

與 2b

²

之個位數字必為 0, 於是 a 的 個位數字為 0。 另一方面, b

²

的個位數字也是 0, 從而 b 的個位數字為0。 換言之, a 與 b 不 互質, 這是一個矛盾。

第九種證法: 設 √

2 =

^a _b

, 且 a 與 b 互 質, 則 a

²

= 2b

²

。 a 與 b 的個位數字可能為 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 或 9, 於是 a

²

與 b

²

的 個位數字可能為 0, 1, 4, 5, 6 或 9, 而 2b

²

的 個位數字可能為 0, 2 或 8。 由 a

²

= 2b

²

可 知, a

²

與 2b

²

的個位數字必為 0, 從而 a 的 個位數字為 0, 且 b

²

的個位數字為 0或 5, 所 以 b 的個位數字為 0 或 5。 因此, a 與 b 可被 5 整除, 這跟 a 與 b 互質的假設矛盾, 故 √

2 為無理數。

五、 完全平方數

第十種證法: 設 √

2 為有理數, 故 √ 2 可以寫成 √

2 =

^a _b

, 其中 a 與 b 為互質的自

然數, 於是 a

²

= 2b

²

。 這表示 b

²

可以整除 a

²

, 從而 b 可以整除 a。 因為 a 與 b 互質, 所以只好 b = 1。 因此 √

2 = a, 或 2 = a

²

, 亦即 2 為一個完全平方數, 這是一個矛盾, 故

√2 為無理數。

注意: 當我們推得 b = 1 時, 就已跟 b > 1 矛盾。 另一方面, 我們仿上述的證法可 以證明: 若 √

n 為有理數, 則 n 為完全平方 數。

六、 輾轉相除法

求兩個整數之最大公因數最常用輾轉相 除法 (又叫做歐氏算則)。 由此可衍生出一個 美妙的結果:

定理1: 若 a, b 的最大公因數為 d, 則 存在兩個整數 r, s 使得

d = ar + bs (8) 第十一種證法: 設√

2 =

^a _b

且 a, b 互質, 則 a = √

2b, √

2a = 2b, 根據上述定理知, 存 在兩個整數 m, n, 使得 1 = am + bn。 於是

√2 =√

2 · 1 =√

2(am + bn)

= (√

2a)m + (√ 2b)n

= 2bm + an 為一個整數, 這是一個矛盾。

七、 畢氏三元數公式

我們知道, 方程式 x

²

+ y

²

= z

²

的所有正整數解為



 

 

 

 

x = ℓ(m

²

− n

²

) y = ℓ(2mn) z = ℓ(m

²

+ n

²

)

(9)

其中 ℓ, m, n 皆為自然數且 m > n.

√2 起源於等腰直角三角形的斜邊與一 股的比值, 要證明√

2 為無理數, 只需證明不 存在正整數邊的等腰直角三角形就好了。

我們仍然利用歸謬法, 假設存在有正整 數邊的等腰直角三角形, 亦即存在自然數 ℓ, m, n, m > n, 滿足

ℓ(m

²

− n

²

) = ℓ(2mn) (10)

第十二種證法: 由 (10) 式得到 m

²

− (2n)m − n

²

= 0 解得

m =2n ±√

4n

²

+ 4n

²

2

= n(1 ±√ 2) 負根不合, 故

m = n(1 +√ 2) 我們再證明: n(1 +√

2) 永不為自然數。 這 就得到一個矛盾, 而完成證明。

令集合

S = {n : n(1 +√

2) ∈

^N

且 n ∈

^N

} 如果 S 為空集合, 則證明完畢。 因此, 我們考 慮 S 6= φ (空集合) 的情形。 由良序性原理 (well-ordering principle, 即任何非空的自

然數子集必有一最小元素, 這等價於數學歸 納法) 可知, S 有一最小元素, 令其為 u。

由 S 的定義知 u 與 u(1 +√

2) 皆為 自然數。 考慮 u(√

2 − 1)。 顯然 u(√

2 − 1) < u 並且

u(√

2 − 1) = u(1 +√

2) − 2u ∈

^N

u(√

2 − 1)(1 +√

2) = u ∈

^N

再由 S 的定義知, u(√

2 − 1) ∈ S。 這跟 u 的最小性矛盾, 故 √

2 為無理數。

第十三種證法: 由 (10) 式得到

(m − n)

²

= 2n

²

, m > n (11) 因此, (m − n)

²

為偶數, 從而 (m − n) 也是 偶數。 令 m − n = 2p

¹

, 代入 (11) 得到

2p

² 1

= n

²

(12) 故 n

²

為偶數, 從而 n 也是偶數。 因此, m 與 n 都是偶數。

令 n = 2q

1

, 代入 (12) 式得到 p

² 1

= 2q

1 ²

於是 p

² ₁

為偶數, 從而 p

1

也是偶數。 按此要 領不斷做不去, 我們就得到偶數所成的兩個 數列

m > p

1

> p

2

> · · · n > q

1

> q

2

> · · · 這是不可能的, 故 √

2 為無理數。

八、 良序性原理

一個分數有無窮多的化身, 例如 2

3 = 4 6 = 6

9 = 20

30 = · · · 等等。

今假設 √

2 為有理數, 即 √

2 =

^a _b

。 此 時 a 與 b 皆有無窮多個可能值。 令 A, B, C 表示分子、 分母與 a + b 之全體所成的集合, 亦即

A = {a :√ 2 = a

b; a, b ∈

^N

} B = {b :√

2 = a

b; a, b ∈

^N

} C = {a + b :√

2 = a

b; a, b ∈

^N

} 由良序性原理知, A, B, C 皆有最小元素, 分 別令其為 a、b、a + b。

今因為 a

²

= 2b

²

, 所以 a

²

− ab = 2b

²

− ab 亦即

a(a − b) = b(2b − a)

從而 √

2 = a

b = 2b − a a − b 故 √

2 有新的表示法

² _a−b ^b−a

。 但是, 由 1 < √

2 =

^a _b

< 2, 可知 b < a < 2b。 從而

2b − a < a (13) a − b < b (14) (2b − a) + (a − b) < a + b (15)

第十四種證法: (13) 式與 a 之最小性 抵觸, 故 √

2 為無理數。

第十五種證法: (14) 式與 b 之最小性抵 觸, 故 √

2 為無理數。

第十六種證法: (15) 式與 a + b 之最小 性抵觸, 故√

2 為無理數。

第十七種證法: 假設 √

2 為有理數, 則

√2 可表成

√2 = a

b, a 與 b 為自然數。

於是 a = b√

2, 亦即 b√

2 為自然數。 由良序 性原理知, 存在最小自然數 b

0

使得 b

0

√2 為 自然數。

因為 1 <√

2 < 2, 所以 b

0

√2 − b

⁰

< b

0

並且 (b

0

√2 − b

⁰

)√

2 = b

0

− b

⁰

√ 2 ∈

^N

這就跟 b

0

的最小性矛盾, 故 √

2 為無理數。

九、 質因數論證法

利用質數 3 的特性, 我們可以證明 √ 2 為無理數。

補題1: 設 a, b 為自然數, 則 3|(a

²

+ b

²

) ⇔ 3|a 且 3|b 注意: 記號 a|b 表示 b 可被 a 整除。

證明: ⇐) 是顯然的。

⇒) 因為 a 與 b 被3除的餘數為0,1或 2, 故 a

²

與 b

²

被 3 除的餘數為 0 或 1。 現在 假設 3|(a

²

+ b

²

), 則 3|a

²

且 3|b

²

, 從而 3|a 且 3|b, 證畢。

第十八種證法: 假設 √

2 =

^a _b

, 且 a 與 b 為互質, 則 a

²

= 2b

²

。 於是 a

²

+ b

²

= 3b

²

, 亦即 3|(a

²

+ b

²

)。 由補題知 3|a 且 3|b, 這 跟 a 與 b 互質矛盾, 故 √

2 為無理數。

第十九種證法: 假設 √

2 =

^a _b

, 且 a 與 b 為互質, 則 a

²

= 2b

²

, 因此 b|a

²

。 今若 b > 1, 由算術根本定理知, 存在質數 p 使得 p|b, 從而 p|a

²

, 故 p|a, 於是 gcd(a, b) ≥ p, 這是矛盾。 若 b = 1, 則 √

2 = a, 於是 a

²

= 2, 這也是矛盾的, 因為沒有一個自然 數的平方會等於 2。

第二十種證法: 假設 √

2 =

^a _b

且 a 與 b 互質, 則

a

²

= 2b

²

或 b

²

= a 2 · a

顯然 b > 1, 由算術根本定理知, 存在質數 p, 使得 p|b。 於是 p|b

²

, 從而 p|(

^a 2

· a)。 由此得 p|

^a 2

或 p|a, 不論何者皆可得 p|a。 因此, p 為 a 與 b 之公因數, 這跟 a 與 b 互質矛盾, 故

√2 為無理數。

第二十一種證法: 假設 √

2 =

^a _b

, 且 a 與 b 互質, 則 a

²

= 2b

²

, 或

b

²

= a

²

− b

²

= (a + b)(a − b) 令 p 為 b 的一個質因數, 則 p|b

²

, 從而 p|(a + b)(a − b), 於是

p|(a + b) 或 p|(a − b)

因為 p|b, 故 p|a。 換言之, p 為 a 與 b 的公 因數, 這就跟 a 與 b 互質矛盾, 所以由歸謬 法知√

2 為無理數。

十、 方程式論的論證法

補題2: 若

^a _b

為既約的分數, 則

^a _b

²2 亦 然。

證法: 設

^a _b

為既約分數, 則 a 與 b 互 質。 由算術根本定理知, a

²

與 b

²

亦互質, 故

a

²

b

² 也是既約分數。

定理2: 代數方程式

x

²

= 2, x > 0 (16) 既無自然數解, 也無分數解。

證明: 首先我們觀察平方數 1, 4, 9, 16, . . .

其中沒有 2, 故 (16) 式沒有自然數解。

其次, 設 x =

^a _b

為 (16) 式的既約分數 解, 即

^a _b

²2 = 2。 由補題知 x

²

=

^a _b

²2 也是既約 分數。 但 x

²

=

^a _b

²2 = 2 是自然數, 而不是分 數, 這是一個矛盾, 故 (16) 式沒有分數解。

第二十二種證法: √

2 為 x

²

= 2 的一 個正數解, 但由定理 2知 x

²

= 2 既無自然數 解, 也無分數解, 故√

2 為無理數。

定理3: (牛頓有理根定理) 整係數多項 方程式

c

n

x

ⁿ

+ c

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · · + c

¹

x + c

0

= 0,

c

n

6= 0 (17)

若存在有理根

^a _b

, 並且 a 與 b 互質, 則 a|c

⁰

且 b|c

ⁿ

。

證明: 在 (17) 式中, 以 x =

^a _b

代入, 再乘以 b

ⁿ⁻¹

。 我們注意到 c

n

a

ⁿ

/b 為一個整

數。 因為 a 與 b 互質, 故 b|c

ⁿ

。 另一方面, 以 x =

^a _b

代入 (17) 式並且乘以 b

ⁿ

/a。 我們觀 察到 c

0

b

ⁿ

/a 為一個整數, 故 a|c

⁰

。

推論: 如果整係數方程式

x

ⁿ

+ c

_n−1

x

ⁿ⁻¹

+ · · · + c

¹

x + c

0

= 0 存在非零的有理根, 則此根必為可整除 c

0

之 整數。

第二十三種證法: 設 √

2 為有理數, 亦 即設

√2 = a

b, a 與 b 互質, 且b > 1。

考慮方程式

x

²

− 2 = 0 (18) 那麼 x =

^a _b

為 (18) 式的一個有理根。 由定 理 3知

b|1 且 a|(−2) 於是 b = 1, 這跟 b > 1 矛盾, 故 √

2 為無 理數。

補題3: 若存在 n ∈

^N

使得 cos nθ 為 整數, 則

cos θ = 0, ±1

2, ±1 或為無理數。

證明: 由三角恆等式 2 cos 2θ = (2 cos θ)

²

− 2

2 cos(n + 1)θ = (2 cos θ)2 cos nθ

−2 cos(n − 1)θ

及數學歸納法可得知: 對於每一個自然數 n, 恆存在一個整係數 n 次多項式 f

n

(x), 最高 次項的係數為 1, 使得

f

n

(2 cos θ) = 2 cos nθ。

因此, 若 cos nθ 為一個整數, 則 2 cos θ 為 整係數多項方程式

f

n

(x) − 2 cos nθ = 0

的一個根。 由上述推論知 2 cos θ 為整數或無 理數。 因為

2 cos θ ≤ 2

故 cos θ = 0, ±

¹ 2

, ±1 或為無理數。

定理4: 設 θ = rπ, 其中 r 為有理數, 則

cos θ = 0, ±1

2, ±1或為無理數。

證明: 取 n ∈

^N

使得 nr 為整數, 則 cos θ = cos nrπ = ±1

當 nr 為偶數時, cos nθ = +1; 當 nr 為奇 數時, cos θ = −1。 由補題3知, 在 θ = rπ 之下,

cos θ = 0, ±1

2, ±1 或為無理數。

第二十四種證法: 由定理 4 立知 cos(π

4) =

√2 2 為無理數, 從而 √

2 為無理數。

十一、 畢氏學派的弄石法

畢氏學派喜歡將自然數用小石子排成各 種形狀, 叫做形數 (figurate numbers), 例 如 1, 3, 6, 10, . . . 是三角形數:

• • ••

• • • • • •

• , • • , • • • , • • • • 而 1, 4, 9, 16, . . ., 是正方形數:

• • • •

• • • • • • •

• • • • • • • • •

• , • • , • • • , • • • • 第二十五種證法: 若 √

2 為有理數, 令

√2 =

^a _b

, 則 a

²

= 2b

²

= b

²

+ b

²

, 這表示一 個較大的正方形數 a

²

必可重排成兩個相同 的較小的正方形數 b

²

+ b

²

。

0 0 0 0

0 0 0 0

00 0 0 0 0 00 0 00 0 00

0 00 0 00 0

0 0 0 0

0 0 0

... .

.. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .

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... a ... . ...

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a

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... b ...

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b

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b

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... b ... .

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... b ...

0 0 0 0 0

00 0 0 0 0 0

00 00

0 0 0 0 00

0 00

0 0 0

0 0 0 00 0

0 0 00

00 0 0 0 0 0

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...

... ... ...

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... ...

... ...

...

...

... ... ...

...

... ...

... ...

d

²

...

c

²

d

²

圖1

如圖 1 所示, 中間的正方形數 c

²

可重排 成對角的兩個正方形數 d

²

+ d

²

。 容易看出

c = 2b − a, d = a − b (2b − a)

²

= 2(a − b)

²

按此要領繼續遞降下去, 就會得到矛盾, 因為 2

²

6= 1

²

+ 1

²

, 3

²

6= 2

²

+ 2

²

3

²

6= 1

²

+ 1

²

, 4

²

6= 3

²

+ 3

²

4

²

6= 2

²

+ 2

²

, 4

²

6= 1

²

+ 1

²

十 二、 無窮步驟論證法:

兩線段 AB 與 CD 可共度 (commen- surable) 是指, 存在一個共度單位 u > 0 及 自然數 a, b, 使得

AB = a · u, CD = b · u

最大的這種 u, 叫做最大共度單位。 共度單位 與最大共度單位分別相當於公因數及最大公 因數。 顯然我們有

定理5: 兩線段 AB 與 CD 可共度的 充要條件是比值 AB/CD 為一個有理數。

給兩條線段 AB 或 CD, 假段 AB >

CD, 所謂輾轉互度法就是, 從 AB 扣掉 CD 的整數倍, 使得

CD > AB − m

¹

CD ≡ A

¹

B

1

≥ 0 如果 A

1

B

1

= 0, 則 CD 就是 AB 與 CD 的最大共度單位; 否則, 再從 CD 扣掉 A

1

B

1

的整數倍, 使得

A

1

B

1

> CD − m

²

A

1

B

1

≡ A

²

B

2

≥ 0 如果 A

2

B

2

= 0, 則 A

1

B

1

就是 AB 與 CD 的最大共度單位。 按此要領不斷做下去, 當求 得最大共度單位時, 就停止輾轉互度的操作。

容易看出

定理6: AB 與 CD 可共度的充要條件 是經過有窮步驟的輾轉互度就可求得最大共 度單位。

注意: 輾轉互度法就是輾轉相除法也。

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...A...

B

C D

E

F

G

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...

圖 2

現在我們考慮正方形 ABCD, 參見圖

2, 則 √

2 = AC CD。 欲證 √

2 為無理數, 根據定理 5 及定理 6, 我 們只需證明 AC 與 CD 作輾轉互度時, 沒 完沒了, 即會涉及無窮步驟 (infinite pro- cesses)。

第二十六種證法: 我們作 AC 與 CD 的輾轉互度操作。 在 AC 上取一點 E, 使 得 CE = CD。 過 E 點 EF , 垂直 於 AC 並且交 AD 於 F 點。 由作圖知

△CDF 與 △CEF 全等, 所以 DF = EF 。 又 △AEF 為等腰直角三角形, 故 AE = EF = DF 。 以 AE 為一邊作正方 形 AEF G, 則

AE = AC − CD

再用 AE 去度 CD, 就是用 DF 去度 AD, 得到

AD − DF = AF

接著變成 AF 與 DF 的互度, 即 AF 與 EF 的互度。 換言之, 就是正方形 AEF G 的對角 線 AF 與一邊 EF 的輾轉互度, 這個情形跟 原先 AC 與 CD 的輾轉互度完全一樣, 只 是比例縮小而已。 如此這般互度下去, 沒完沒 了, 故 √

2 為無理數。

第二十七種證法: 將 √

2 展開成連分數

√2 = 1 + (√

2 − 1) = 1 + 1

√2 + 1

= 1 + 1 2 + (√

2 − 1) = 1 + 1 2 +

^√ ₂₊₁ ¹

= · · · = 1 + 1 2 +

₂₊ ¹

¹

2+···

由連分數的理論知: 無理數展開成連分數 時, 必為無窮的簡單連分數 (infinite simple continued fraction); 反之亦然。 因此, √

2 為無理數。

第二十八種證法: 假設 √

2 為有理數, 則存在兩個自然數 a, b, a > b, 使得 a

²

= 2b

²

, 亦即

a : b = b : a 2

此式可以圖解如下: 作一個長方形 (a, b), 將它分割成兩半, 得到兩個相同的小長方形 (b,

^a ₂

), 那麼 (a, b) 與 (b,

^a ₂

) 相似, 參見圖 3。 我們稱具有這種性質的長方形為正規的長 方形 (normal rectangle)。

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... a ... ..

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...

a

...

2

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b

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圖3

另一方面, 由 a

²

= 2b

²

也可得 (a + b) (a − b) = b

²

, 亦即

(a + b) : b = b : (a − b)

此式也可以圖解如下: 取兩個相同的正規長 方形 (a, b), 將其中一個的短邊 b 接在另一 個的長邊 a 上, 如圖 4。 我們得到一個大長方 形 (a + b, b) 與一個小長方形 (b, a − b), 並 且兩者相似。 這種長方形我們稱為超正規長 方形 (hyper-normal retangle)。

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...

b

...

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a −b

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...

a +b

... .

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a

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b

圖4

換言之, 將超正規長方形 (a + b, b) 去 掉兩個正方形 (b, b), 就得到一個更小的超正 規長方形 (b, a − b)。

再將超正規長方形 (b, a − b) 去掉兩個 正方形 (a − b, a − b), 又得到一個更小的超

正規長方形 (a −b, 2b−a)。 每次所得的超正 規長方形的邊長皆為自然數, 而且越來越小。

仿上述辦法操作下去, 沒完沒了, 這是荒 謬的, 故 √

2 為無理數。

以上 28 種法之間並非完全不同。 事實 上, 第二十八種是第六種的圖解。 所有的證法 可以看作是歸謬法的主題變奏。

十三、 結語

歸謬法是數學中一種非常重要的證明方 法, 更是思考的利器。 根據數學史家 Sazabo 的看法, 古希臘哲學家利用歸謬法, 發現正 方形的對角線與一邊不可共度 (等價於 √

2 為無理數), 迫使古希臘的幾何學走上公理演 繹之路。 因此, 歸謬法在數學的發展史上扮演 著關鍵性的角色。 顯然, 它不只是在數學中有 用而已, 例如 Galileo 就曾利用它來否證掉 Aristotle 的自由落體理論。

古希臘哲學家發明歸謬法, 這是他們在 作幾何分析 (geometric analysis) 的過程 中, 發現的一顆珍珠, 一件精緻的論證武器。

畢氏學派大膽地假設任何兩線段皆可共 度, 從而幾何度量只會出現整數或整數比, 而 將幾何學成功地奠定在有理數的算術基礎上 面。 後來畢氏學派又發現 √

2 為無理數, 這 使得幾何學的地基鬆動。

數學家 Hardy 在 「一個數學家的辯 護」(見參考資料 [4]) 一書中, 列舉了五個 第一流的、 漂亮的、 真正的數學定理, 其中 一個就是 「√

2 為無理數」, 可見這個定理在 Hardy 心目中的崇高地位。

古希臘數學家對√

2 不只以求得近似估 計, 達到實用目的為滿足, 他們更關心 √

2 是否為有理數與它的 「本質」 是什麼, 並 且堅持要有證明。 這種不帶功利的 「終極關 懷」, 為抽象的事物—理念、 理想、 真理而堅 持到底的態度, 恰是古希臘文明的特色, 也是 往後西方文明產生科學、 民主與人權的胚芽 (germ)。

古希臘文明是西方文明的源頭, 而歐氏 幾何是希臘文明的精品。 「√

2 為無理數」 對 於促成歐氏幾何的誕生具有不可磨滅的貢獻, 對人類的歷史影響深遠。 偉哉,√

2 !

參考資料

1. Cauman, L. S., On Indirect Proof, Scripta Mathematica, Vol. XXIII, No.

2, 1966.

2. Gauntt, R., The Irrationality of √ 2, American Math. Monthly, 63, p. 247, 1956.

3. Harris, V. C., On Proofs of the Irra- tionality of √

2, Mathematics Teacher, 64, p. 19, 1971.

4. Hardy, G. H., A Mathematician’s Apology, Cambridge Univ. Press, Reprinted, 1984.

5. Loomis, E. S., The Pythagorean propo- sitions, Ann Arbor, Michigan, Edward Brothers, 1968.

6. Szabo, A., The Beginning of Greek Mathematics, Dordrechet, 1978.

7. Szabo, A., The Transformation of mathematics into deductive science and the beginnings of its foundation on def- initions and axioms. Scripta Mathmat- ica, Vol. XXVll, No. 1 and No. 2, 1960.

8. Anglin, W. S., Mathematics, A con- cise History and Philosophy, Springer- Verlag, 1994.

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本文作者任教於台灣大學數學系

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