＊Triple Integral：

§15.7 Triple Integrals

＊屋頂：u = f ( x, y, z )

地基：在三維空間的物體 E.

＊Triple Integral：

(1) )

, , ( )

, ,

(

) , (

2

 

 ^ _ ^ _ ^

D

y x u

y x u E

dA dz z y x f dV

z y x f

Example 1：

. 1 and

0 , 0 , 0

planes four by the bounded solid

the is where ,















z y x z

y x

E zdV

E

Solution：

  

  



  

  







1 0

1 0

1 0 1 0

1 0

1 0

24 1

dz dy zdx

dx dy zdz zdV

z y z

x x y

E

＊註記：

Fubini Theorem：屋頂夠好(沒三維破洞，或只有有限的二維或一維

的裂縫)，則 Triple Integral 可寫成遞回式(iterated)的三個一維積分。

2      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Example 2：

4 . by bounded is

.

2 2 2

2

 







 

 ^{x z dV E} _y ^{y x z}

E

Solution：

  ^{ }

 

 

128 . 4

4 4

2 0

2 2 2

2 4

4

2 2 2 2 4

2 2 2

2

4 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

 





















 

 

  







 

 



 



























d dr r r

dx dz z x z x

dA z x z

x

dA dy z x

dV z x

x x z x

D y x E

Alternate solution：

 ^, 

' y x

y x

D

E     

) (

2

2

4 2 2

'

2 2

2 2

2 2

2

   較難算

 



















 

 



 



dx dy dz z x

dA dz z x

x x y

x y D

x y

x y

Example 3：

Use a triple integral to find the volume of the tetrahedron T bounded by the planes x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 and z = 0.

Solution：

3 . 1

1 1

1 0

2 2

2

2 2 0 2 2 0







  



  





dx dy dz dA dz V

x x

y x D

y x

4      國立交通大學應用數學系 莊重教授 

Example 4：

orders.

other five the

in integral iterated

equivalent an

as )

, , ( Rewrite

0

1 1

  

^{f x y z dz dy dx}

Solution：

  

  

  

  

  



 

 





















1 0

1 0

1 1

0 1 0

1 1 0

1

0 0

1 0

1

0 0

1 0 0

1 0 1 0

2 2 2 2

dz dx fdy

dx dz fdy

dy dz fdx

dz dy fdx

dy dx fdz

dA fdz

z z

x

x z

x y y z y

y y

D y

Example 5：

Which of the following iterate integrals are equal to the integral?

. )

, ,

1

(

0 1

0 0

  

^{f x y z dz dy dx}

(A)   

2

) , ,

( x y z dy dz dx

z x

f

(B)   

2

) , ,

( x y z dy dz dx

x x

f

(C)   

2 1 2

) , ,

( x y z dx dy dz

z z

f

z

(D)   

2 1 2

) , ,

( x y z dx dy dz

z y

f

z

Solution：

(B),(D).