給定 f (x), g(x)∈ F[x], 我們可以考慮 f (x), g(x) 所生成 的 ideal ( f (x), g(x

現在我們來說明如何將 V 寫成 T -invariant subspaces 的 direct sum. 由於 F[x] 是一 個 principle ideal domain (P.I.D.), 給定 f (x), g(x)∈ F[x], 我們可以考慮 f (x), g(x) 所生成 的 ideal ( f (x), g(x)), 這個 ideal 中的元素都是 a(x) f (x) + b(x)g(x) (其中 a(x), b(x)∈ F[x]) 這 樣 的 形 式. 因 為 F[x] 是 P.I.D. 所 以 存 在 d(x)∈ F[x] 使得 ( f (x),g(x)) = (d(x)). 亦 即 ( f (x), g(x)) 中 的 元 素, 都 可 以 寫 成 h(x)d(x) 的 形 式. 因 為 f (x)∈ ( f (x),g(x)), 所以 d(x)| f (x), 同理 d(x) | g(x). 另外又 d(x) ∈ ( f (x),g(x)) 所以存在 a(x), b(x) ∈ F[x] 使得 d(x) = a(x) f (x) + b(x)g(x). 由此可知若 h(x)| f (x), h(x) | g(x) 則 h(x) | a(x) f (x) + b(x)g(x), 即 h(x)| d(x). 可以看出其實 d(x) 就是 f (x),g(x) 的最高公因式, 即 d(x) = gcd( f (x),g(x)). 我們 將 d(x) = gcd( f (x), g(x)) 的性質列出如下:

(1) d(x)| f (x), d(x) | g(x).

(2) 若 h(x)∈ F[x] 則 h(x) | f (x), h(x) | g(x) ⇔ h(x) | d(x).

(3) 存在 a(x), b(x)∈ F[x] 使得 d(x) = a(x) f (x) + b(x)g(x).

特別地, 當 f (x), g(x) 沒有共同的質因式時, 我們稱為 relatively prime, 此時 gcd( f (x), g(x)) = 1, 故存在 a(x), b(x)∈ F[x] 使得 a(x) f (x) + b(x)g(x) = 1.

Theorem 3.5.7. 假設 V 為 finite dimensional F-space, T : V → V 為 linear operator 且 µT(x) = f (x)g(x), 其中 f (x), g(x)∈ F[x] 為 monic polynomials 且 relatively prime. 若令 U = Ker( f (T )), W = Ker(g(T )), 則 V 可 以 寫 成 T -invariant subspaces U,W 的 internal direct sum, 即 V = U⊕W, 而且 µT|U(x) = f (x) 以及 µT|W(x) = g(x).

Proof. 我們已知 U,W 為 T -invariant subspaces. 現在要證明 V = U +W 而且 U∩W = {OV}.

首先因 f (x), g(x) 為 relatively prime, 故存在 a(x), b(x)∈ F[x] 使得 a(x) f (x) + b(x)g(x) = 1.

因此知 a(T )◦ f (T) + b(T) ◦ g(T) = id. 亦即對任意 v ∈ V, 我們有

v = a(T )◦ f (T)(v) + b(T) ◦ g(T)(v). (3.5) 令 w = a(T )◦ f (T)(v),u = b(T) ◦ g(T)(v), 此時利用 Lemma 3.2.3 得

f (T )(u) = f (T )◦ (b(T) ◦ g(T))(v) = b(T) ◦ ( f (T) ◦ g(T))(u) = b(T) ◦µT(T )(v).

然而 µT(T ) = O, 故知 f (T )(u) = OV, 亦即 u∈ Ker( f (T)). 同理可得 w ∈ Ker(g(T)). 得證 V = Ker( f (T )) + Ker(g(T )) = U +W .

現若 v∈ U ∩W = Ker( f (T)) ∩ Ker(g(T)), 表示 f (T)(v) = g(T)(v) = OV. 故由等式 (3.5) 得 v = a(T )(O_V) + b(T )(O_V) = O_V. 得證 U∩W = {OV}.

現考慮 minimal polynomial. 由於 U = Ker( f (T )), 故 f (T )|U = O. 因此由等式 (3.3) 得 f (T|U) = O. 再由 Lemma 3.3.5 得 µT|U(x)| f (x). 同理得 µT|W(x)| g(x). 但 f (x),g(x) 為 relatively prime, 故知 µT|U(x),µT|W(x) 亦為 relatively prime, 得

lcm(µT|U(x),µT|W(x)) =µT|U(x)µT|W(x).

因此由 Lemma 3.5.6 得

µT|U(x)µT|W(x) =µT(x) = f (x)g(x).

故再由 µT|U(x)| f (x) 以及µT|W(x)| g(x) 得證 µT|U(x) = f (x) 以及 µT|W(x) = g(x).  F[x] 是一個 unique factorization domain (U.F.D.), 表示 F[x] 中的非常數多項式都可 以唯一寫成一些 irreducible polynomials 的乘積. 因此對於 linear operator T 的 mini- mal polynomial, 我們可以找到相異的 monic irreducible polynomials p1(x), . . . , p_k(x) 使得 µT(x) = p1(x)^m1··· pk(x)^mk, 其中 m1, . . . , m_k∈ N. 由於 characteristic polynomial χT(x) 和 µT(x) 有相同的質因式 (Theorem 3.3.9) 且µT(x)|χT(x), 我們知道χT(x) = p₁(x)^c1··· pk(x)^ck, 其中 c_i∈ N 且 ci≥ mi.

Theorem 3.5.8 (Primary Decomposition Theorem). 假設 V 是 dimension 為 n 的 F-space, T : V → V 為 linear operator 且

µT(x) = p₁(x)^m1··· pk(x)^mk and χT(x) = p₁(x)^c1··· pk(x)^ck

其中 p₁(x), . . . , p_k(x) 為相異的 monic irreducible polynomials. 若令 V_i= Ker(p_i(T )^◦mi), for i = 1, . . . , k, 則

V = V1⊕ ··· ⊕Vk

且

µT|_Vi(x) = pi(x)^mi and χT|_Vi(x) = pi(x)^ci,∀i = 1,...,k.

Proof. 我們對 µT(x) 的相異 moinic irreducible divisor (質因式) 的個數 k 作數學歸納法.

若 k = 1, 表示µT(x) = p1(x)^m1, 此時因µT(T ) = p1(T )^◦m1 = O, 故知 V = Ker(p1(T )^◦m1),因此 在 k = 1 時定理成立. 現假設當µT(x) 有 k−1 個相異 monic irreducible divisor 時亦成立, 我 們考慮 µT(x) = p₁(x)^m1··· pk(x)^mk 的情形. 此時令 f (x) = p₁(x)^m1, g(x) = p2(x)^m2··· pk(x)^mk, 因 f (x), g(x) 為 relatively prime, 由 Theorem 3.5, 我們知 V = U⊕W, 其中 U = Ker( f (T)) = Ker(p₁(T )^◦m1), W = Ker(g(T )) 而且 µT|U(x) = p₁(x)^m1, µT|W(x) = p₂(x)^m2··· pk(x)^mk. 現考慮 vector space W 以及 linear operator T|W : W → W, 套用 induction 在 k − 1 情形的假設 知 W = V₂⊕ ··· ⊕Vk 其中 V_i= Ker(p_i(T|W)^◦mi) 且 µ(T|W)|_Vi(x) = p_i(x)^mi,∀i = 2,...,k. 然而當 i = 2, . . . , k 時 pi(x)^mi | g(x), 故 Ker(pi(T )^◦mi)⊆ Ker(g(T)) = W, 因此

V_i= Ker(p_i(T|W)^◦mi) = Ker(p_i(T )^◦mi)∩W = Ker(pi(T )^◦mi).

另一方面, 因 V_i⊆ W, 我們有 (T|W)|Vi = T|Vi 故得

µT|_Vi(x) =µ(T|W)|_Vi(x) = p_i(x)^mi.

故令 U = V₁, 利用 Corollary 3.4.7, 得證 V = U⊕W = V1⊕V2⊕ ··· ⊕Vk.

至於 characteristic polynomial, 利用 Theorem 3.3.9 我們知χT|_Vi(x) = p_i(x)^ei 其中 e_i≥ mi. 因此由 Lemma 3.5.5 知

p₁(x)^c1··· pk(x)^ck =χT(x) =χT|_V1(x)···χT|_Vk(x) = p₁(x)^e1··· pk(x)^ek,

利用 F[x] 為 U.F.D. 得證 e_i= c_i,即 χT|_Vi(x) = p_i(x)^ci,∀i = 1,...,k. 

回顧一下, 對於 linear operator T : V→ V, 要找到 Ker(T), 我們可以利用 V 的 ordered basisβ, 先得到 representative matrix [T]_β. 再求 [T ]_β 的 null space N([T ]_β) (我們用 N(A) 表示矩陣 A 的 null space). 接著將 null space 的元素用 τ_β^◦−1 還原成 V 的元素, 就得到 Ker(T ) 的元素了. 我們看以下 primary decomposition 的例子.

Example 3.5.9. 考慮 Example 3.3.10 中的 linear operator T : P₂(R) → P2(R). 我們要考 慮它的 primary decomposition. 在 Example 3.3.10 中我們知道 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x + 1)²(x− 2), 因此我們必須找出 V1= Ker((T + id)^◦2) 和 V₂= Ker(T− 2id). 利 用 representative matrix 可以幫助我們找到這兩個 T -invariant subspaces. 我們仍然沿用 ordered basisβ = (−x²+ x + 1, x + 1, 1). 首先考慮 ([T ]_β+ I3)² 的 null space, 即解



 −9 −9 0 18 18 0

0 0 0



 ·



 x₁ x₂ x3



 =



 0 0 0



, i.e. {

−9x1 −9x2 = 0 18x1 +18x₂ = 0 .

得知 N(([T ]_β+ I₃)²) = Span((1,−1,0)^t, (0, 0, 1)^t) 故得 V₁= Ker((T + id)^◦2) = Span(x², 1). 同 理 N([T ]_β− 2I3) = Span((1,−2,0)^t), 故得 V₂= Ker(T− 2id) = Span(x²+ x + 1). 很容易驗證 V1,V2 皆為 T -invariant subspace 且 V = V₁⊕V2. 若令β^′= (x², 1, x²+ x + 1), 則因

T (x²) =−x², T (1) = 2x²+ (−1)1,T(x²+ x + 1) = 2(x²+ x + 1), 得

[T ]_β′ =



 −1 2 0 0 −1 0

0 0 2



.

考慮 (x², 1) 為 V1 的 ordered basis, 則 T|V1 的 representative matrix 為

( −1 2 0 −1

) , 故得 χT|_V1(x) =µT|_V1(x) = (x + 1)². 同理可得 χT|_V2(x) =µT|_V2(x) = (x− 2).

Primary Decomposition Theorem 告訴我們, 若 linear operator T : V→ V 的 characteris- tic polynomial (或 minimal polynomial) 是 p1(x)^c1··· pk(x)^ck, 則我們可以找到 V 的 ordered basisβ, 使得 [T]β 為以下的 block diagonal matrix



 A_{1 . ..}

O O



, (3.6)

其中每個 A_i 的 characteristic polynomial 為 χAi(x) = p_i(x)^ci. 因此以後我們只要個別探討 linear operator 其 characteristic polynomial 為 p(x)^c (其中 p(x) 為 monic irreducible, c∈ N) 這種情形就可以了.

對於 n× n 方陣 A ∈ Mn(F), 我們也可以利用 linear operator 的 primary decomposition 的概念找到 invertible matrix P∈ Mn(F) 使得 P⁻¹·A·P 為如 (3.6) 的 block diagonal matrix.

我們可以將 A 看成是 linear transformation T : Fⁿ→ Fⁿ其定義為 T (x) = Ax. 此時 A 便是 T 對於標準基底ε 的 representative matrix [T]ε. 利用 Primary Decomposition Theorem, 我

們可以找到 Fⁿ 的 ordered basisβ 使得 [T]β 為 block diagonal matrix. 然而由 Proposition 2.4.6 知

[T ]_β =_β[id]_ε · [T]ε·ε[id]_β =_ε[id]⁻¹_β · A ·ε[id]_β,

所以可以令 P =_ε[id]_β. 也就是說若將 ordered basis β 一個 column 一個 column (column by column) 的依序排成的 n× n matrix 就是我們想要的 P. 因此我們的步驟如下: 首先求得 µA(x) 並將之分解成相異的 monic irreducible polynomials 的乘積µA(x) = p1(x)^m1··· pk(x)^mk. 接下來便是求每一個 p_i(A)^mi 的 null space N(p_i(A)^mi) (此即對應到 Ker(p_i(T )^◦mi)). 得到每 個 null space 的 basis 後, 將之 column by column 的依序排成矩陣 P 即可. 我們看以下的 例子.

Example 3.5.10. 考慮 5× 5 matrix

A =









2 1 1 1 0

1 4 2 2 1

−1 −2 0 −1 −1

0 0 0 1 1

0 −1 −1 −1 0









我們要將之化為 block diagonal matrix. 首先求得 χA(x) =µA(x) = (x− 1)³(x− 2)². 利用 Primary Decomposition Theorem 我們知道 A 可以化為有兩個 blocks 的 block diagonal matrix, 其中一個是 3× 3 matrix 另一個是 2 × 2 matrix. 首先求得

N((A− I5)³) = Span((−1,0,0,0,1)^t, (−2,0,0,1,0)^t, (−2,0,1,0,0)^t) N(A− 2I5)²= Span((1,−1,1,0,0)^t, (1, 0, 0, 0, 0)^t).

若令

v₁=









−1 0 0 0 1







, v2=









−2 0 0 1 0







, v3=









−2 0 1 0 0







, v4=







 1

−1 1 0 0







, v5=







 1 0 0 0 0







,

則因

Av₁=









−2 0 0 1 0







= v₂, Av₂=









−3 0 1 1

−1







=−v1+ v₂+ v₃, Av₃=









−3 0 2 0

−1







=−v1+ 2v₃,

Av4=







 2

−1 1 0 0







= v4+ v5, Av5=







 2 1

−1 0 0







=−v4+ 3v5,

取

P =









−1 −2 −2 1 1

0 0 0 −1 0

0 0 1 1 0

0 1 0 0 0

1 0 0 0 0









可得 block diagonal matrix

P⁻¹· A · P =









0 −1 −1 0 0

1 1 0 0 0

0 1 2 0 0

0 0 0 1 −1

0 0 0 1 3







.

若令

B =



 0 −1 −1

1 1 0

0 1 2



 C =(

1 −1

1 3

) ,

我們有 χB(x) =µB(x) = (x− 1)³ 以及 χC(x) =µC(x) = (x− 2)².

Exercise 3.5. Suppose that T ∈ L (V) and p(x),q(x) ∈ F[x] are relatively prime.

(1) Prove that Im(p(T )) + Im(q(T )) = V . (2) Prove that Ker(p(T ))∩ Ker(q(T)) = {O}.

(3) Suppose thatµT(x) = p(x)q(x). Prove that Ker(p(T )) = Im(q(T )) and hence show V = Ker(p(T ))⊕ Im(p(T)) and V = Im(p(T)) ⊕ Im(q(T)).

Exercise 3.6. For each of the following matrix A, (using its minimal polynomial found in Exercise 3.2) find an invertible matrix P so that P⁻¹· A · P is a block diagonal matrix.



 1 2 3 0 1 2 0 0 1



,



 1 0 3 0 1 0 0 0 1



,



 1 0 1 0 2 0 1 0 1



,



 1 −1 0 1 0 1 0 1 1



.

Exercise 3.7. Suppose that T∈ L (V) andχT(x) = p₁(x)^c1··· pk(x)^ck,µT(x) = p₁(x)^m1··· pk(x)^mk where c_i, m_i∈ N and p1(x), . . . , p_k(x) are distinct monic irreducible polynomials.

(1) Show that dim(Ker(pi(T )^◦mi)) = c_ideg(pi(x)),∀i = 1,...,k.

(2) Prove that Ker(p₁(T )^◦m1) = Im(p₂(T )^◦m2◦ ··· ◦ pk(T )^◦mk).

(3) Prove that Ker(pi(T )^◦mi) = ker(pi(T )^◦m),∀m > mi.

Exercise 3.8. Suppose that T ∈ L (V) and V = U ⊕W, where U,W are T-invariant. Con- sider a mapπU : V → V defined byπU(v) = u, if v = u + w with u∈ U,w ∈ W.

(1) Show thatπU is a linear transformation and find Im(πU), Ker(πU).

(2) Prove thatπU◦ T = T ◦πU.

(3) Suppose that µT(x) = f (x)g(x) with f (x), g(x)∈ F[x] relatively prime. Suppose further that Ker( f (T )) = U and Ker(g(T )) = W . Prove that there exists h(x)∈ F[x]

such that πU= h(T ).

———————————– 24 November, 2017