− 32 x − 32 x x + 1 ⇒= f (3)342

第 1 頁

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：99.01.17 範

圍

第 16 回 3-2 餘式因式定理(Ⅰ)

班級 姓

座號 名 一、計算題 (每題 20 分)

1、 (1)試求 f x( ) ÷ −(x 1)(x−2)的餘式為 8x+ ，試求7 f x( ) ÷ −(x 2)的餘式。

(2)設 f x( )除以x+ 餘2 −1，除以x− 餘 5，試求1 f x( )除以(x+2)(x−1)的餘式。

答案：(1) 23 ； (2) 2x+ 3 解析：

(1)設 f x( ) (÷ −x 1)(x−2)=Q x( )8x+ ⇒7 f x( )=(x−1)(x−2) ( ) (8Q x + x+7) ^{f x( ) ÷ −(x 2)}的餘式 f(2)= +0 16 7+ =23

(1)設 f x( ) (÷ +x 2)(x− =1) Q x( )ax b+ ⇒ f x( )=(x+2)(x−1) ( ) (Q x + ax b+ ) ^{f x( )}除以x+ 餘2 −1⇒ f( 2)− = −1，除以x− 餘 51 ⇒ f(1)=5

( 2) 2 1 2

(1) 5 3

f a b a

f a b b

− = − + = − =

 

 = + = ⇒ =

  ，所求餘式 2x+ 3

2、設 f x( )=357x⁵−699x⁴−635x³−1419x²+37x+ ，試求15 f(3)之值為何?

答案：342 解析：

357 699 635 1419 37 15 1071 1116 1443 72 327 3 357 372 481 24 109 342

− − − + +

+ + + + + +

+ + + + +

(3) 342

⇒ f =

3、 (1)試求x+1除x¹⁰⁰+x⁵⁰−1之餘式。(2)試求(1−x)¹⁰除以x²+1之餘式。

答案：(1) 1 (2) 32x− 解析：

(1)x= −1⇒ −( 1)¹⁰⁰+ −( 1)⁵⁰− = + − =1 1 1 1 1 (2)設 f x( )= −(1 x)¹⁰ =(x²+1) ( )Q x +ax b+

2 1 0

x + = ⇒ = ± ， x ix i = ⇒ −(1 i)¹⁰ =[(1−i) ]^{2 5}= −( 2 )i ⁵ = −32i⁵ = −32i 又 ( ) 0f i = + + ② ai b

由①② 32

0 a b

 = −

⇒  = ，所求餘式 32x−

4、設 f x( )=(a+1)x²+ −(b 2)x+ + ，滿足(c 3) f(2)= f( 1)− =5, ( 3)f − = −5，求 a b c+ + = ？ 答案：5

解析：

(2) 5 2( 1) 2( 2) ( 3) 5 f = ⇒ a+ + b− + + =c

( 1) 5 ( 1) ( 2) ( 3) 5 f − = ⇒ a+ − − + + =b c ( 3) 5 9( 1) 3( 2) ( 3) 5 f − = ⇒ a+ − b− + + = −c 解得a= −2,b=3,c= ⇒ + + =4 a b c 5

第 2 頁

5、 設 f x( )=(x²+2x+2)⁴ ，試求 f( 1− − 3) 答案：256

解析：

2 2 2

1 3 ( 1) ( 3) 2 2 0

x= − − ⇒ x+ = − ⇒x + x− =

又 f x( )=(x²+2x+2)⁴ =[(x²+2x− +2) 4]⁴ =(x²+2x−2) ( )Q x +4⁴ f( 1− − 3)= +0 4⁴ =256